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Física Geral - Laboratório
Aula 2: Organização e descrição de dados e parâmetros de dispersão e correlação
1
Física Geral - 2016 - Aula 2Física Geral - 2016 - Aula 2
Física Geral - Objetivos
Ao final do período, o aluno deverá ser capaz de compreender as principais características do
método científico; realizar medições de comprimentos com instrumentos de escala direta; construir tabelas e histogramas; caracterizar, do ponto de vista da estatística descritiva, quaisquer
conjuntos de medidas diretas.
2
Física Geral - 2016 - Aula 2Física Geral - 2016 - Aula 2
Física Geral
3
Bibliografia: “Estimativas e Erros em Experimentos
de Física”(EdUERJ)
• Organizar e descrever conjuntos genéricos de dados (cap 2.);
• Estimar erros em medidas diretas (cap. 3) e indiretas (cap. 4)
• Determinar parâmetros físicos a partir de ajustes lineares (cap. 4)
Física Geral - 2016 - Aula 2
Resumo: conjuntos de dados
4
Idades dos estudantes:
{18; 19; 18} (anos)
Medidas do comprimento de uma mesa:
{150,3; 152,0; 150,4; 151,8} (cm)
Tipo sanguíneo dos estudantes de FG:
{‘O-’; ‘A-’; ‘O+’}
...
Mesa Comprimento (cm)1 150,32 152,03 150,44 151,8
Física Geral - 2016 - Aula 25
Para um conjunto de dados (de idades):
{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)
Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas
Física Geral - 2016 - Aula 25
Para um conjunto de dados (de idades):
{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)
Classe de idades (anos) Frequências
6 1
7 3
8 3
9 3
10 6
11 1
12 3
13 1
14 2
15 1
Escolha 1:
Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas
Física Geral - 2016 - Aula 25
Para um conjunto de dados (de idades):
{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)
Classe de idades (anos) Frequências
6 1
7 3
8 3
9 3
10 6
11 1
12 3
13 1
14 2
15 1
Escolha 1:
Classe de idades (anos) Frequências
[6 , 7) 1
[7 , 8) 3
[8 , 9) 3
[9 , 10) 3
[10 , 11) 6
[11 , 12) 1
[12 , 13) 3
[13 , 14) 1
[14 , 15) 2
[15 , 16) 1
Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas
Física Geral - 2016 - Aula 25
Para um conjunto de dados (de idades):
{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)
Classe de idades (anos) Frequências
6 1
7 3
8 3
9 3
10 6
11 1
12 3
13 1
14 2
15 1
Escolha 1:
Classe de idades (anos) Frequências
[6 , 7) 1
[7 , 8) 3
[8 , 9) 3
[9 , 10) 3
[10 , 11) 6
[11 , 12) 1
[12 , 13) 3
[13 , 14) 1
[14 , 15) 2
[15 , 16) 1
Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas
6 7
Física Geral - 2016 - Aula 25
Para um conjunto de dados (de idades):
{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)
Classe de idades (anos) Frequências
6 1
7 3
8 3
9 3
10 6
11 1
12 3
13 1
14 2
15 1
Escolha 1:
Classe de idades (anos) Frequências
[6 , 7) 1
[7 , 8) 3
[8 , 9) 3
[9 , 10) 3
[10 , 11) 6
[11 , 12) 1
[12 , 13) 3
[13 , 14) 1
[14 , 15) 2
[15 , 16) 1
Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas
7 8
Física Geral - 2016 - Aula 25
Para um conjunto de dados (de idades):
{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)
Classe de idades (anos) Frequências
6 1
7 3
8 3
9 3
10 6
11 1
12 3
13 1
14 2
15 1
Escolha 1:
Classe de idades (anos) Frequências
[6 , 7) 1
[7 , 8) 3
[8 , 9) 3
[9 , 10) 3
[10 , 11) 6
[11 , 12) 1
[12 , 13) 3
[13 , 14) 1
[14 , 15) 2
[15 , 16) 1
Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas
8 9
Física Geral - 2016 - Aula 26
Para um conjunto de dados (de idades):
{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)
Escolha 1:
Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas
Classe de idades (anos) Frequências
[6 , 7) 1
[7 , 8) 3
[8 , 9) 3
[9 , 10) 3
[10 , 11) 6
[11 , 12) 1
[12 , 13) 3
[13 , 14) 1
[14 , 15) 2
[15 , 16) 1
Física Geral - 2016 - Aula 26
Para um conjunto de dados (de idades):
{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)
Escolha 1:
Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas
Classe de idades (anos) Frequência
[6 , 8) 4
[8 , 10) 6
[10 , 12) 7
[12 , 14) 4
[14 , 16) 3
Escolha 2:Classe de idades (anos) Frequências
[6 , 7) 1
[7 , 8) 3
[8 , 9) 3
[9 , 10) 3
[10 , 11) 6
[11 , 12) 1
[12 , 13) 3
[13 , 14) 1
[14 , 15) 2
[15 , 16) 1
Física Geral - 2016 - Aula 2
Classe de idades (anos) Frequência
[6 , 8) 4
[8 , 10) 6
[10 , 12) 7
[12 , 14) 4
[14 , 16) 3
Conjunto de idades: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)
7
Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas
Física Geral - 2016 - Aula 2
Classe de idades (anos) Frequência
[6 , 8) 4
[8 , 10) 6
[10 , 12) 7
[12 , 14) 4
[14 , 16) 3
Conjunto de idades: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)
7
Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas
Física Geral - 2016 - Aula 2
Resumo: parâmetros de posição
8
i) Média: Valor médio de um conjunto de dados {x1, x2, ..., xN} ou de dados agrupados em M classes (intervalos) com ponto médio {x1, x2, ..., xM} e frequência {n1, n2, ..., nN}
iii) Média quadrática: raiz quadrada da média dos quadrados dos dados
ii) Moda: Valor mais frequente de um conjunto de dados {x1, x2, x3, ..., xN} (ponto médio da classe de maior frequência)
iv) Mediana: valor que divide uma distribuição ordenada de dados de forma que a metade dos dados está acima, e metade está abaixo deste valor.
x =1
N
NX
i=1
xi
x =1
N
MX
j=1
xjnj
xrms =
vuut 1
N
NX
i=1
x
2i
xmed = x(N+1)/2
xmed =xN/2 + x(N/2+1)
2
Física Geral - 2016 - Aula 2
Resumo: parâmetros de dispersão
9
Física Geral - 2016 - Aula 2
Resumo: parâmetros de dispersão
9
i) Amplitude: Diferença entre os valores máximo e mínimo de uma coleção de dados {x1, x2, ..., xN}
A = x
max
� x
min
Física Geral - 2016 - Aula 2
Resumo: parâmetros de dispersão
9
i) Amplitude: Diferença entre os valores máximo e mínimo de uma coleção de dados {x1, x2, ..., xN}
A = x
max
� x
min
ii) Desvio médio: Média dos módulos dos desvios, em relação à média
|�x| =1N
NX
i=1
|�xi| =1N
NX
i=1
|xi � x| =|x1 � x| + . . . + |xN � x|
N
Física Geral - 2016 - Aula 2
Resumo: parâmetros de dispersão
9
i) Amplitude: Diferença entre os valores máximo e mínimo de uma coleção de dados {x1, x2, ..., xN}
A = x
max
� x
min
ii) Desvio médio: Média dos módulos dos desvios, em relação à média
|�x| =1N
NX
i=1
|�xi| =1N
NX
i=1
|xi � x| =|x1 � x| + . . . + |xN � x|
N
iii) Variância: Média dos quadrados dos desvios (δxi)
�
2x
=1N
NX
i=1
(�xi
)2 =1N
NX
i=1
(xi
� x)2 =(x1 � x)2 + . . . + (x
N
� x)2
N
�
2x
=1N
NX
i=1
x
2i
�
1N
NX
i=1
x
i
!2
= x
2 � x
2
Note que a expressão para a variância pode ser simplificada por:
Física Geral - 2016 - Aula 210
Resumo: parâmetros de dispersão
iv) Desvio padrão: Raiz quadrada da variância, ou média quadrática dos desvios
�
x
=
vuut 1N
NX
i=1
(�xi
)2 =
s(x1 � x)2 + . . . + (x
N
� x)2
N
�
x
=q
x
2 � x
2
Física Geral - 2016 - Aula 210
maxf
/2maxf
1x 2x x
Γ
v) Largura a meia altura: Comprimento do intervalo limitado pelos valores (x1,x2) correspondentes à metade da frequência máxima
�Símbolo:
� = |x2 � x1|
Resumo: parâmetros de dispersão
iv) Desvio padrão: Raiz quadrada da variância, ou média quadrática dos desvios
�
x
=
vuut 1N
NX
i=1
(�xi
)2 =
s(x1 � x)2 + . . . + (x
N
� x)2
N
�
x
=q
x
2 � x
2
Física Geral - 2016 - Aula 2
Atividade de aula
11
1- Obtenha as coleções de dados das idades, massas e alturas de todos os estudantes da turma de Física Geral
2- Construa uma tabela com os dados ordenados
3- Defina as classes de agrupamento (intervalos) dos dados relativos a cada atributo (idade, massa, altura)
4- Construa tabelas com as frequências de cada classe de agrupamento e para cada atributo
5- Em um papel milimetrado, construa os histogramas para a partir das tabelas de frequências
6- Compute o valor máximo, o valor mínimo, a média, a moda, a média quadrática e a mediana para cada coleção de dados
Física Geral - 2016 - Aula 212
Estudante Idade (anos) Massa (Kg) Altura (cm)1 19 65 1672 20 100 1803 18 58 1704 19 66 1775 19 70 1696 18 61 1757 21 58 1648 19 95 1709 20 57 17210 22 108 18711 53 90 17412 22 86 18013 19 59 17514 21 80 17015 25 65 16916 22 68 164
Atividade - Aula 1
Física Geral - 2016 - Aula 2
Atividade - Aula 1
13
Estudante Idade (anos)3 186 181 194 195 198 1913 192 209 207 2114 2110 2212 2216 2215 2511 53
Física Geral - 2016 - Aula 2
Atividade - Aula 1
14
Estudante Idade (anos)3 186 181 194 195 198 1913 192 209 207 2114 2110 2212 2216 2215 2511 53
Física Geral - 2016 - Aula 2
Atividade - Aula 1
15
Estudante Massa (Kg)9 573 587 5813 596 611 6515 654 6616 685 7014 8012 8611 908 952 10010 108
Física Geral - 2016 - Aula 2
Atividade - Aula 1
16
Estudante Massa (Kg)18 4810 501 5122 5312 5514 585 6211 6219 648 6517 6516 6624 687 7021 723 7315 7313 7520 7523 762 786 789 1154 120
Estudante Massa (Kg)1 652 1003 584 665 706 617 588 959 5710 10811 9012 8613 5914 8015 6516 68
Estudante Massa (Kg)9 573 587 5813 596 611 6515 654 6616 685 7014 8012 8611 908 952 10010 108
Física Geral - 2016 - Aula 2
Atividade - Aula 1
17
Estudante Altura (cm)1 1672 1803 1704 1775 1696 1757 1648 1709 17210 18711 17412 18013 17514 17015 16916 164
Estudante Altura (cm)7 16416 1641 1675 16915 1693 1708 17014 1709 17211 1746 17513 1754 1772 18012 18010 187
Física Geral - 2016 - Aula 2
Atividade - Aula 1
18
Estudante Altura (cm)7 15818 15910 16022 1625 1688 1682 17312 17319 17321 17314 17416 1741 17524 17511 1766 17815 17817 18020 1803 1814 18113 1819 18323 184
Estudante Altura (cm)7 16416 1641 1675 16915 1693 1708 17014 1709 17211 1746 17513 1754 1772 18012 18010 187
Física Geral - 2016 - Aula 2
Representando duas variáveis
19
Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}
Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) (x1, y1)
N = 1
Física Geral - 2016 - Aula 2
Representando duas variáveis
20
Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}
Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) (x1, y1)
(x2, y2)
(x3, y3)N =3
Física Geral - 2016 - Aula 2
Representando duas variáveis
21
Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}
Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)
N = 6
Física Geral - 2016 - Aula 2
Representando duas variáveis
22
Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}
Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)
N = 12
Física Geral - 2016 - Aula 2
Representando duas variáveis
23
Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}
Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)
N = 20
Física Geral - 2016 - Aula 2
Representando duas variáveis
24
Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}
Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)
N = 50
Física Geral - 2016 - Aula 2
Representando duas variáveis
25
Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}
Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)
N = 100
Física Geral - 2016 - Aula 2
Representando duas variáveis
26
Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}
Outro exemplo: dados de altura e massa de uma lista de estudantes:
Física Geral - 2016 - Aula 2
Parâmetros de correlação
27
i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi)
�
xy
=1N
NX
i=1
�x
i
�y
i
=1N
NX
i=1
(xi
� x) (yi
� y)
=(x1 � x) (y1 � y) + . . . + (x
N
� x) (yN
� y)N
Física Geral - 2016 - Aula 2
Parâmetros de correlação
27
i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi)
�
xy
=1N
NX
i=1
�x
i
�y
i
=1N
NX
i=1
(xi
� x) (yi
� y)
=(x1 � x) (y1 � y) + . . . + (x
N
� x) (yN
� y)N
�
xy
= xy � xy
Note que a expressão para a covariância pode ser simplificada por:
Física Geral - 2016 - Aula 2
Parâmetros de correlação
27
i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi)
�
xy
=1N
NX
i=1
�x
i
�y
i
=1N
NX
i=1
(xi
� x) (yi
� y)
=(x1 � x) (y1 � y) + . . . + (x
N
� x) (yN
� y)N
�
xy
= xy � xy
Note que a expressão para a covariância pode ser simplificada por:
�xy
= �yx
e que não importa a ordem das variáveis:
Física Geral - 2016 - Aula 2
Parâmetros de correlação: covariância
28
�
xy
=1N
NX
i=1
(xi
� x) (yi
� y)
Covariância:
Física Geral - 2016 - Aula 2
Parâmetros de correlação: covariância
28
x ⇡ 0
y ⇡ 0
�
xy
=1N
NX
i=1
(xi
� x) (yi
� y)
Covariância:
Física Geral - 2016 - Aula 2
Parâmetros de correlação: covariância
28
x ⇡ 0
y ⇡ 0
�xy
> 0
�
xy
=1N
NX
i=1
(xi
� x) (yi
� y)
Covariância:
Física Geral - 2016 - Aula 2
Parâmetros de correlação: covariância
29
�
xy
=1N
NX
i=1
(xi
� x) (yi
� y)
Covariância:
Física Geral - 2016 - Aula 2
Parâmetros de correlação: covariância
29
x ⇡ 0
y ⇡ 0
�
xy
=1N
NX
i=1
(xi
� x) (yi
� y)
Covariância:
Física Geral - 2016 - Aula 2
Parâmetros de correlação: covariância
29
x ⇡ 0
y ⇡ 0
�
xy
=1N
NX
i=1
(xi
� x) (yi
� y)
Covariância:
�xy
< 0
Física Geral - 2016 - Aula 2
Parâmetros de correlação
30
ii) Coeficiente de correlação linear de Pearson: covariância entre duas variáveis, dividida por seus desvios padrão
r =�
xy
�x
�y
�1 � r 1
Correlação linear, perfeita e positiva: r = 1
Correlação linear, perfeita e negativa: r = �1
Física Geral - 2016 - Aula 2
Atividade - Aula 1
31
Idade (anos)
Massa (Kg) Altura (cm)19 65 16720 100 18018 58 17019 66 17719 70 16918 61 17521 58 16419 95 17020 57 17222 108 18753 90 17422 86 18019 59 17521 80 17025 65 16922 68 164
Física Geral - 2016 - Aula 2
Atividade - Aula 1
32
Idade (anos)
Massa (Kg) Altura (cm)19 65 16720 100 18018 58 17019 66 17719 70 16918 61 17521 58 16419 95 17020 57 17222 108 18753 90 17422 86 18019 59 17521 80 17025 65 16922 68 164
Física Geral - 2016 - Aula 2
Atividade - Aula 1
33
Idade (anos)
Massa (Kg) Altura (cm)19 65 16720 100 18018 58 17019 66 17719 70 16918 61 17521 58 16419 95 17020 57 17222 108 18753 90 17422 86 18019 59 17521 80 17025 65 16922 68 164
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Atividade de aula
34
1- Com as coleções de dados das idades, massas e alturas dos estudantes da turma de Física Geral, determine:
i) Obtenha a variância e o desvio-padrão para cada atributo
ii) Covariância de todos os pares de variáveis (massa x idade, altura x idade, altura x massa) e respectivo coeficiente de correlação
2- Exercícios 2.5.1 - 2.5.5 do livro “Estimativas e erros em Experimentos de Física”
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Experimentos: medidas diretas
35
Experimento de medidas diretas de uma grandeza:
Aquisição de um conjunto de dados através de medições repetidas e independentes de uma mesma grandeza
Medições independentes realizadas nas mesmas condições experimentais, ambientais, etc.
Objetivo: Estimativa do valor esperado da grandeza sendo medida
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Experimentos: medidas diretas
35
Experimento de medidas diretas de uma grandeza:
Aquisição de um conjunto de dados através de medições repetidas e independentes de uma mesma grandeza
Medições independentes realizadas nas mesmas condições experimentais, ambientais, etc.
Objetivo: Estimativa do valor esperado da grandeza sendo medida
No processo de medição de uma grandeza, há inevitavelmente incertezas
Imperfeições instrumentais, limitações observacionais, condições ambientais, etc.
Hipóteses, modelos teóricos
Natureza possivelmente aleatória do fenômeno
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Valor esperado de uma grandeza
36
Valor esperado: valor hipotético, μ, de uma grandeza, equivalente ao valor médio de medições repetidas indefinidamente
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Valor esperado de uma grandeza
36
Valor esperado: valor hipotético, μ, de uma grandeza, equivalente ao valor médio de medições repetidas indefinidamente
É claro que não podemos repetir uma medição infinitamente..
Dessa forma, fazemos uma estimativa para o valor esperado, a partir de um conjunto finito de medidas da grandeza
Chamamos esse conjunto finito de uma amostra de todos os possíveis valores para as medidas, ou população
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Resultado de uma medição
37
estimativa do valor esperado ± erro (unidade)
x± ✏
x
(unidade)
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Estimativa do valor esperado
38
A partir de medições de uma grandeza, com instrumentos bem calibrados e procedimentos apropriados, e para um grande número de medidas diretas, a média da distribuição de frequência dos dados tende ao valor esperado da grandeza
A distribuição de frequência dos dados é chamada de distribuição amostral
Ou seja, a melhor estimativa para o valor esperado de uma grandeza, x, a partir de uma amostra {xi} de dados, é a média
(Podemos pensar no limite para um número grande de medidas, ou seja, N → ∞)
x! µ
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Estimativa do valor esperado
39
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Estimativa do valor esperado
39
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Estimativa do valor esperado
39
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Estimativa do valor esperado
39
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Estimativa do valor esperado
39
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Estimativa do valor esperado
39
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Estimativa do valor esperado
39
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Estimativa do valor esperado
39
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Estimativa do valor esperado
39
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Incertezas aleatórias e sistemáticas
40
Incertezas aleatórias: devido a flutuações inevitáveis no processo de medição, que provocam a dispersão das medidas em torno da média
Incertezas sistemáticas: desvios em geral regulares, devido a imperfeições instrumentais, observacionais, ou do modelo teórico
As incertezas aleatórias estão associadas à precisão do experimento, enquanto as incertezas sistemáticas, com a sua exatidão
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Medições: precisão e exatidão
41
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Medições: precisão e exatidão
41
preciso
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Medições: precisão e exatidão
41
preciso
exato
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Erro da média
42
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Erro da média
42
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Erro da média
42
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Erro da média
42
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Erro da média
43
Distribuição das médias de 100 “experimentos”, cada um com 100 medidas
Note que o “erro da média” é menor que o “erro da medida”
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Estimativa do erro da medida e da média
44
s
x
=
vuutNX
i=1
(xi
� x)2
N � 1=
rN
N � 1�
x
Vamos estimar primeiramente o erro de cada medida como:
Podemos também estimar o erro da média a partir de uma única bateria de N medidas diretas.
O erro da média pode ser aproximado por:
�x
=s
xpN
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Estimativa do erro da medida e da média
44
s
x
=
vuutNX
i=1
(xi
� x)2
N � 1=
rN
N � 1�
x
Vamos estimar primeiramente o erro de cada medida como:
Podemos também estimar o erro da média a partir de uma única bateria de N medidas diretas.
O erro da média pode ser aproximado por:
desvio padrão
“desvio padrão experimental” ou “amostral”
�x
=s
xpN
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Estimativa do erro da medida e da média
44
s
x
=
vuutNX
i=1
(xi
� x)2
N � 1=
rN
N � 1�
x
Vamos estimar primeiramente o erro de cada medida como:
Podemos também estimar o erro da média a partir de uma única bateria de N medidas diretas.
O erro da média pode ser aproximado por:
desvio padrão
“desvio padrão experimental” ou “amostral”
O desvio padrão experimental (sx) será comumente representado igualmente por σx
�x
=s
xpN
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Estimativa do erro da medida e da média
45
N !1) sx
⇡ �x
�x
⇡ �xpN
Para um número grande de medidas:
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Estimativa do erro da medida e da média
45
N !1) sx
⇡ �x
�x
⇡ �xpN
Para um número grande de medidas:
Quanto maior o número de medidas em um experimento, menor o erro estimado “da média”
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Medidas diretas
46
Em medidas diretas o valor desconhecido da grandeza é comparado com o valor padrão
Sem levar em conta a medida do erro experimental, qual o comprimento do pedaço de madeira?
L = 4,54 cm
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Medidas indiretas
47
Já em medidas indiretas as mesmas são realizadas efetuando-se operações matemáticas com os resultados das medidas diretas.
Sem levar em conta a medida do erro experimental, qual a área do pedaço de madeira?
Ela é calculada a partir das medidas de comprimento e largura do mesmo.
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Medidas indiretas
48
Já em medidas indiretas as mesmas são realizadas efetuando-se operações matemáticas com os resultados das medidas diretas.
Individualmente, as medidas de L e H apresentam erros.Consequentemente, a medida indireta da área A também possui
erros!!!
L = 4,54 cm H = 0,43 cm
A = 2,0 cm2A = 4,54 cm x 0,43 cm = 1,9522 cm2
A = L・H
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Algarismos significativos
49
Todos os números obtidos em uma medida, acompanhados de um último duvidoso são chamados de algarismos significativos.
Na prática, algarismos significativos de uma medida são aqueles que temos plena certeza, mais um duvidoso.
O algarismo duvidoso está diretamente ligado à escala do instrumento de medida…
… logo, algarismo duvidoso é um indicativo da escala do instrumento de medida
Física Geral - 2016 - Aula 2
Algarismos significativos
50
Exemplos de algarismos significativos: medidores analógicos
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Algarismos significativos
51
Exemplos de algarismos significativos: medidor digital
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Algarismos significativos
52
Qual o comprimento da barra abaixo?
1) 4,5 cm
2) 4,54 cm
3) 4,547 cm
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Algarismos significativos
52
Qual o comprimento da barra abaixo?
1) 4,5 cm
2) 4,54 cm
3) 4,547 cm
Física Geral - 2016 - Aula 2
Algarismos significativos
53
Quantos são os algarismos significativos nos números abaixo???
1) 0,030 m
2) 4050
litros
3) 0,0008 g
4) 3,00 m
5) 0,8340
1
2
1
1
3
2
3
2
2
5
3
4
4
3
4
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Algarismos significativos
53
Quantos são os algarismos significativos nos números abaixo???
1) 0,030 m
2) 4050
litros
3) 0,0008 g
4) 3,00 m
5) 0,8340
1
2
1
1
3
2
3
2
2
5
3
4
4
3
4
1) 0,030 m
2) 4050 litros
3) 0,0008 g
4) 3,00 m
5) 0,8340
1
2
4
3
4
Física Geral - 2016 - Aula 2
Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas
54
estimativa do valor esperado ± erro (unidade)
Física Geral - 2016 - Aula 2
Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas
54
estimativa do valor esperado ± erro (unidade)
x
Física Geral - 2016 - Aula 2
Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas
54
estimativa do valor esperado ± erro (unidade)
x �x
=s
xpN
Física Geral - 2016 - Aula 2
Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas
54
estimativa do valor esperado ± erro (unidade)
x
Note que aqui estamos estimando o que definimos antes como incertezas aleatórias. Incertezas aleatórias podem ser reduzidas por repetição (maior número N de medidas).
Incertezas sistemáticas, no entanto, não podem em geral ser reduzidas por mera repetição. Elas dependem do entendimento do instrumento e das técnicas de medição. A partir de um número suficientemente grande de medidas, elas passam a ser dominantes.
�x
=s
xpN
Física Geral - 2016 - Aula 255
estimativa do valor esperado ± erro (unidade)
x �x
=s
xpN
Exemplo:
x = 10, 08± 0, 07(unid.)x = 10, 0835
�
x
= 0, 072
Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas
Física Geral - 2016 - Aula 255
estimativa do valor esperado ± erro (unidade)
x �x
=s
xpN
Exemplo:
x = 10, 08± 0, 07(unid.)x = 10, 0835
�
x
= 0, 072
Número de algarismos significativos determinado pelo valor do erro
Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas
Exemplo Média
56
• Calcule a média da idade dos alunos da tabela ao lado, utilizando as diferentes classes.
Exemplo Média
56
• Calcule a média da idade dos alunos da tabela ao lado, utilizando as diferentes classes.
x ⇡ n1x1 + n2x2 + . . . + nMxM
N
=1N
MX
j=1
njxj
Dados em M classes (intervalos) com ponto médio {x1, x2, ..., xM} e frequência {n1, n2, ..., nM}:
Exemplo Média
56
• Calcule a média da idade dos alunos da tabela ao lado, utilizando as diferentes classes.
x ⇡ n1x1 + n2x2 + . . . + nMxM
N
=1N
MX
j=1
njxj
Dados em M classes (intervalos) com ponto médio {x1, x2, ..., xM} e frequência {n1, n2, ..., nM}:
Exemplo Média
56
• Calcule a média da idade dos alunos da tabela ao lado, utilizando as diferentes classes.
x ⇡ n1x1 + n2x2 + . . . + nMxM
N
=1N
MX
j=1
njxj
Dados em M classes (intervalos) com ponto médio {x1, x2, ..., xM} e frequência {n1, n2, ..., nM}:
Exemplo Média
56
• Calcule a média da idade dos alunos da tabela ao lado, utilizando as diferentes classes.
x ⇡ n1x1 + n2x2 + . . . + nMxM
N
=1N
MX
j=1
njxj
Dados em M classes (intervalos) com ponto médio {x1, x2, ..., xM} e frequência {n1, n2, ..., nM}:
Conclusão: A média calculada a partir de uma tabela de frequências agrupada em classes é uma estimativa do valor real. Na prática, SEMPRE calcule a média com os dados originais.
Média - Mediana - Moda
57
Distribuição assimétrica para a esquerda,
Distribuição simétrica
Distribuição assimétrica para a direita,
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