Física Geral - Laboratóriodfnae.fis.uerj.br/twiki/pub/DFNAE/FisicaGeralProfDilson/aula2.pdf · Física Geral - 2016Física Geral - 2016 - Aula - Aula 22 Física Geral 3 Bibliograﬁa:

Física Geral - Laboratório

Aula 2: Organização e descrição de dados e parâmetros de dispersão e correlação

1

Física Geral - 2016 - Aula 2Física Geral - 2016 - Aula 2

Física Geral - Objetivos

Ao final do período, o aluno deverá ser capaz de compreender as principais características do

método científico; realizar medições de comprimentos com instrumentos de escala direta; construir tabelas e histogramas; caracterizar, do ponto de vista da estatística descritiva, quaisquer

conjuntos de medidas diretas.

2

Física Geral - 2016 - Aula 2Física Geral - 2016 - Aula 2

Física Geral

3

Bibliografia: “Estimativas e Erros em Experimentos

de Física”(EdUERJ)

• Organizar e descrever conjuntos genéricos de dados (cap 2.);

• Estimar erros em medidas diretas (cap. 3) e indiretas (cap. 4)

• Determinar parâmetros físicos a partir de ajustes lineares (cap. 4)

Física Geral - 2016 - Aula 2

Resumo: conjuntos de dados

4

Idades dos estudantes:

{18; 19; 18} (anos)

Medidas do comprimento de uma mesa:

{150,3; 152,0; 150,4; 151,8} (cm)

Tipo sanguíneo dos estudantes de FG:

{‘O-’; ‘A-’; ‘O+’}

...

Mesa Comprimento (cm)1 150,32 152,03 150,44 151,8


Para um conjunto de dados (de idades):

{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)

Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas



{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)

Classe de idades (anos) Frequências

6 1

7 3

8 3

9 3

10 6

11 1

12 3

13 1

14 2

15 1

Escolha 1:




{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)


6 1

7 3

8 3

9 3

10 6

11 1

12 3

13 1

14 2

15 1

Escolha 1:


[6 , 7) 1

[7 , 8) 3

[8 , 9) 3

[9 , 10) 3

[10 , 11) 6

[11 , 12) 1

[12 , 13) 3

[13 , 14) 1

[14 , 15) 2

[15 , 16) 1




{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)


6 1

7 3

8 3

9 3

10 6

11 1

12 3

13 1

14 2

15 1

Escolha 1:


[6 , 7) 1

[7 , 8) 3

[8 , 9) 3

[9 , 10) 3

[10 , 11) 6

[11 , 12) 1

[12 , 13) 3

[13 , 14) 1

[14 , 15) 2

[15 , 16) 1


6 7



{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)


6 1

7 3

8 3

9 3

10 6

11 1

12 3

13 1

14 2

15 1

Escolha 1:


[6 , 7) 1

[7 , 8) 3

[8 , 9) 3

[9 , 10) 3

[10 , 11) 6

[11 , 12) 1

[12 , 13) 3

[13 , 14) 1

[14 , 15) 2

[15 , 16) 1


7 8



{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)


6 1

7 3

8 3

9 3

10 6

11 1

12 3

13 1

14 2

15 1

Escolha 1:


[6 , 7) 1

[7 , 8) 3

[8 , 9) 3

[9 , 10) 3

[10 , 11) 6

[11 , 12) 1

[12 , 13) 3

[13 , 14) 1

[14 , 15) 2

[15 , 16) 1


8 9



{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)

Escolha 1:



[6 , 7) 1

[7 , 8) 3

[8 , 9) 3

[9 , 10) 3

[10 , 11) 6

[11 , 12) 1

[12 , 13) 3

[13 , 14) 1

[14 , 15) 2

[15 , 16) 1



{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)

Escolha 1:


Classe de idades (anos) Frequência

[6 , 8) 4

[8 , 10) 6

[10 , 12) 7

[12 , 14) 4

[14 , 16) 3

Escolha 2:Classe de idades (anos) Frequências

[6 , 7) 1

[7 , 8) 3

[8 , 9) 3

[9 , 10) 3

[10 , 11) 6

[11 , 12) 1

[12 , 13) 3

[13 , 14) 1

[14 , 15) 2

[15 , 16) 1



[6 , 8) 4

[8 , 10) 6

[10 , 12) 7

[12 , 14) 4

[14 , 16) 3

Conjunto de idades: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)

7




[6 , 8) 4

[8 , 10) 6

[10 , 12) 7

[12 , 14) 4

[14 , 16) 3

Conjunto de idades: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)

7



Resumo: parâmetros de posição

8

i) Média: Valor médio de um conjunto de dados {x1, x2, ..., xN} ou de dados agrupados em M classes (intervalos) com ponto médio {x1, x2, ..., xM} e frequência {n1, n2, ..., nN}

iii) Média quadrática: raiz quadrada da média dos quadrados dos dados

ii) Moda: Valor mais frequente de um conjunto de dados {x1, x2, x3, ..., xN} (ponto médio da classe de maior frequência)

iv) Mediana: valor que divide uma distribuição ordenada de dados de forma que a metade dos dados está acima, e metade está abaixo deste valor.

x =1

N

NX

i=1

xi

x =1

N

MX

j=1

xjnj

xrms =

vuut 1

N

NX

i=1

x

2i

xmed = x(N+1)/2

xmed =xN/2 + x(N/2+1)

2


Resumo: parâmetros de dispersão

9



9

i) Amplitude: Diferença entre os valores máximo e mínimo de uma coleção de dados {x1, x2, ..., xN}

A = x

max

� x

min



9


A = x

max

� x

min

ii) Desvio médio: Média dos módulos dos desvios, em relação à média

|�x| =1N

NX

i=1

|�xi| =1N

NX

i=1

|xi � x| =|x1 � x| + . . . + |xN � x|

N



9


A = x

max

� x

min

ii) Desvio médio: Média dos módulos dos desvios, em relação à média

|�x| =1N

NX

i=1

|�xi| =1N

NX

i=1

|xi � x| =|x1 � x| + . . . + |xN � x|

N

iii) Variância: Média dos quadrados dos desvios (δxi)

�

2x

=1N

NX

i=1

(�xi

)2 =1N

NX

i=1

(xi

� x)2 =(x1 � x)2 + . . . + (x

N

� x)2

N

�

2x

=1N

NX

i=1

x

2i

�

1N

NX

i=1

x

i

!2

= x

2 � x

2

Note que a expressão para a variância pode ser simplificada por:



iv) Desvio padrão: Raiz quadrada da variância, ou média quadrática dos desvios

�

x

=

vuut 1N

NX

i=1

(�xi

)2 =

s(x1 � x)2 + . . . + (x

N

� x)2

N

�

x

=q

x

2 � x

2


maxf

/2maxf

1x 2x x

Γ

v) Largura a meia altura: Comprimento do intervalo limitado pelos valores (x1,x2) correspondentes à metade da frequência máxima

�Símbolo:

� = |x2 � x1|


iv) Desvio padrão: Raiz quadrada da variância, ou média quadrática dos desvios

�

x

=

vuut 1N

NX

i=1

(�xi

)2 =

s(x1 � x)2 + . . . + (x

N

� x)2

N

�

x

=q

x

2 � x

2


Atividade de aula

11

1- Obtenha as coleções de dados das idades, massas e alturas de todos os estudantes da turma de Física Geral

2- Construa uma tabela com os dados ordenados

3- Defina as classes de agrupamento (intervalos) dos dados relativos a cada atributo (idade, massa, altura)

4- Construa tabelas com as frequências de cada classe de agrupamento e para cada atributo

5- Em um papel milimetrado, construa os histogramas para a partir das tabelas de frequências

6- Compute o valor máximo, o valor mínimo, a média, a moda, a média quadrática e a mediana para cada coleção de dados


Estudante Idade (anos) Massa (Kg) Altura (cm)1 19 65 1672 20 100 1803 18 58 1704 19 66 1775 19 70 1696 18 61 1757 21 58 1648 19 95 1709 20 57 17210 22 108 18711 53 90 17412 22 86 18013 19 59 17514 21 80 17015 25 65 16916 22 68 164

Atividade - Aula 1


Atividade - Aula 1

13

Estudante Idade (anos)3 186 181 194 195 198 1913 192 209 207 2114 2110 2212 2216 2215 2511 53


Atividade - Aula 1

14

Estudante Idade (anos)3 186 181 194 195 198 1913 192 209 207 2114 2110 2212 2216 2215 2511 53


Atividade - Aula 1

15

Estudante Massa (Kg)9 573 587 5813 596 611 6515 654 6616 685 7014 8012 8611 908 952 10010 108


Atividade - Aula 1

16

Estudante Massa (Kg)18 4810 501 5122 5312 5514 585 6211 6219 648 6517 6516 6624 687 7021 723 7315 7313 7520 7523 762 786 789 1154 120




Atividade - Aula 1

17

Estudante Altura (cm)1 1672 1803 1704 1775 1696 1757 1648 1709 17210 18711 17412 18013 17514 17015 16916 164



Atividade - Aula 1

18

Estudante Altura (cm)7 15818 15910 16022 1625 1688 1682 17312 17319 17321 17314 17416 1741 17524 17511 1766 17815 17817 18020 1803 1814 18113 1819 18323 184



Representando duas variáveis

19

Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}

Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) (x1, y1)

N = 1



20


Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) (x1, y1)

(x2, y2)

(x3, y3)N =3



21


Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)

N = 6



22



N = 12



23



N = 20



24



N = 50



25



N = 100



26


Outro exemplo: dados de altura e massa de uma lista de estudantes:


Parâmetros de correlação

27

i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi)

�

xy

=1N

NX

i=1

�x

i

�y

i

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

=(x1 � x) (y1 � y) + . . . + (x

N

� x) (yN

� y)N



27


�

xy

=1N

NX

i=1

�x

i

�y

i

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

=(x1 � x) (y1 � y) + . . . + (x

N

� x) (yN

� y)N

�

xy

= xy � xy

Note que a expressão para a covariância pode ser simplificada por:



27


�

xy

=1N

NX

i=1

�x

i

�y

i

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

=(x1 � x) (y1 � y) + . . . + (x

N

� x) (yN

� y)N

�

xy

= xy � xy

Note que a expressão para a covariância pode ser simplificada por:

�xy

= �yx

e que não importa a ordem das variáveis:


Parâmetros de correlação: covariância

28

�

xy

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

Covariância:



28

x ⇡ 0

y ⇡ 0

�

xy

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

Covariância:



28

x ⇡ 0

y ⇡ 0

�xy

> 0

�

xy

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

Covariância:



29

�

xy

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

Covariância:



29

x ⇡ 0

y ⇡ 0

�

xy

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

Covariância:



29

x ⇡ 0

y ⇡ 0

�

xy

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

Covariância:

�xy

< 0



30

ii) Coeficiente de correlação linear de Pearson: covariância entre duas variáveis, dividida por seus desvios padrão

r =�

xy

�x

�y

�1 � r 1

Correlação linear, perfeita e positiva: r = 1

Correlação linear, perfeita e negativa: r = �1


Atividade - Aula 1

31

Idade (anos)

Massa (Kg) Altura (cm)19 65 16720 100 18018 58 17019 66 17719 70 16918 61 17521 58 16419 95 17020 57 17222 108 18753 90 17422 86 18019 59 17521 80 17025 65 16922 68 164


Atividade - Aula 1

32

Idade (anos)



Atividade - Aula 1

33

Idade (anos)



Atividade de aula

34

1- Com as coleções de dados das idades, massas e alturas dos estudantes da turma de Física Geral, determine:

i) Obtenha a variância e o desvio-padrão para cada atributo

ii) Covariância de todos os pares de variáveis (massa x idade, altura x idade, altura x massa) e respectivo coeficiente de correlação

2- Exercícios 2.5.1 - 2.5.5 do livro “Estimativas e erros em Experimentos de Física”


Experimentos: medidas diretas

35

Experimento de medidas diretas de uma grandeza:

Aquisição de um conjunto de dados através de medições repetidas e independentes de uma mesma grandeza

Medições independentes realizadas nas mesmas condições experimentais, ambientais, etc.

Objetivo: Estimativa do valor esperado da grandeza sendo medida


Experimentos: medidas diretas

35

Experimento de medidas diretas de uma grandeza:

Aquisição de um conjunto de dados através de medições repetidas e independentes de uma mesma grandeza

Medições independentes realizadas nas mesmas condições experimentais, ambientais, etc.

Objetivo: Estimativa do valor esperado da grandeza sendo medida

No processo de medição de uma grandeza, há inevitavelmente incertezas

Imperfeições instrumentais, limitações observacionais, condições ambientais, etc.

Hipóteses, modelos teóricos

Natureza possivelmente aleatória do fenômeno


Valor esperado de uma grandeza

36

Valor esperado: valor hipotético, μ, de uma grandeza, equivalente ao valor médio de medições repetidas indefinidamente


Valor esperado de uma grandeza

36

Valor esperado: valor hipotético, μ, de uma grandeza, equivalente ao valor médio de medições repetidas indefinidamente

É claro que não podemos repetir uma medição infinitamente..

Dessa forma, fazemos uma estimativa para o valor esperado, a partir de um conjunto finito de medidas da grandeza

Chamamos esse conjunto finito de uma amostra de todos os possíveis valores para as medidas, ou população


Resultado de uma medição

37

estimativa do valor esperado ± erro (unidade)

x± ✏

x

(unidade)


Estimativa do valor esperado

38

A partir de medições de uma grandeza, com instrumentos bem calibrados e procedimentos apropriados, e para um grande número de medidas diretas, a média da distribuição de frequência dos dados tende ao valor esperado da grandeza

A distribuição de frequência dos dados é chamada de distribuição amostral

Ou seja, a melhor estimativa para o valor esperado de uma grandeza, x, a partir de uma amostra {xi} de dados, é a média

(Podemos pensar no limite para um número grande de medidas, ou seja, N → ∞)

x! µ



39



39



39



39



39



39



39



39



39


Incertezas aleatórias e sistemáticas

40

Incertezas aleatórias: devido a flutuações inevitáveis no processo de medição, que provocam a dispersão das medidas em torno da média

Incertezas sistemáticas: desvios em geral regulares, devido a imperfeições instrumentais, observacionais, ou do modelo teórico

As incertezas aleatórias estão associadas à precisão do experimento, enquanto as incertezas sistemáticas, com a sua exatidão


Medições: precisão e exatidão

41



41

preciso



41

preciso

exato


Erro da média

42


Erro da média

42


Erro da média

42


Erro da média

42


Erro da média

43

Distribuição das médias de 100 “experimentos”, cada um com 100 medidas

Note que o “erro da média” é menor que o “erro da medida”


Estimativa do erro da medida e da média

44

s

x

=

vuutNX

i=1

(xi

� x)2

N � 1=

rN

N � 1�

x

Vamos estimar primeiramente o erro de cada medida como:

Podemos também estimar o erro da média a partir de uma única bateria de N medidas diretas.

O erro da média pode ser aproximado por:

�x

=s

xpN



44

s

x

=

vuutNX

i=1

(xi

� x)2

N � 1=

rN

N � 1�

x




desvio padrão

“desvio padrão experimental” ou “amostral”

�x

=s

xpN



44

s

x

=

vuutNX

i=1

(xi

� x)2

N � 1=

rN

N � 1�

x




desvio padrão

“desvio padrão experimental” ou “amostral”

O desvio padrão experimental (sx) será comumente representado igualmente por σx

�x

=s

xpN



45

N !1) sx

⇡ �x

�x

⇡ �xpN

Para um número grande de medidas:



45

N !1) sx

⇡ �x

�x

⇡ �xpN

Para um número grande de medidas:

Quanto maior o número de medidas em um experimento, menor o erro estimado “da média”


Medidas diretas

46

Em medidas diretas o valor desconhecido da grandeza é comparado com o valor padrão

Sem levar em conta a medida do erro experimental, qual o comprimento do pedaço de madeira?

L = 4,54 cm


Medidas indiretas

47

Já em medidas indiretas as mesmas são realizadas efetuando-se operações matemáticas com os resultados das medidas diretas.

Sem levar em conta a medida do erro experimental, qual a área do pedaço de madeira?

Ela é calculada a partir das medidas de comprimento e largura do mesmo.


Medidas indiretas

48

Já em medidas indiretas as mesmas são realizadas efetuando-se operações matemáticas com os resultados das medidas diretas.

Individualmente, as medidas de L e H apresentam erros.Consequentemente, a medida indireta da área A também possui

erros!!!

L = 4,54 cm H = 0,43 cm

A = 2,0 cm2A = 4,54 cm x 0,43 cm = 1,9522 cm2

A = L・H


Algarismos significativos

49

Todos os números obtidos em uma medida, acompanhados de um último duvidoso são chamados de algarismos significativos.

Na prática, algarismos significativos de uma medida são aqueles que temos plena certeza, mais um duvidoso.

O algarismo duvidoso está diretamente ligado à escala do instrumento de medida…

… logo, algarismo duvidoso é um indicativo da escala do instrumento de medida



50

Exemplos de algarismos significativos: medidores analógicos



51

Exemplos de algarismos significativos: medidor digital



52

Qual o comprimento da barra abaixo?

1) 4,5 cm

2) 4,54 cm

3) 4,547 cm



52

Qual o comprimento da barra abaixo?

1) 4,5 cm

2) 4,54 cm

3) 4,547 cm



53

Quantos são os algarismos significativos nos números abaixo???

1) 0,030 m

2) 4050

litros

3) 0,0008 g

4) 3,00 m

5) 0,8340

1

2

1

1

3

2

3

2

2

5

3

4

4

3

4



53

Quantos são os algarismos significativos nos números abaixo???

1) 0,030 m

2) 4050

litros

3) 0,0008 g

4) 3,00 m

5) 0,8340

1

2

1

1

3

2

3

2

2

5

3

4

4

3

4

1) 0,030 m

2) 4050 litros

3) 0,0008 g

4) 3,00 m

5) 0,8340

1

2

4

3

4


Resultado de uma medição: Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas

54




54


x



54


x �x

=s

xpN



54


x

Note que aqui estamos estimando o que definimos antes como incertezas aleatórias. Incertezas aleatórias podem ser reduzidas por repetição (maior número N de medidas).

Incertezas sistemáticas, no entanto, não podem em geral ser reduzidas por mera repetição. Elas dependem do entendimento do instrumento e das técnicas de medição. A partir de um número suficientemente grande de medidas, elas passam a ser dominantes.

�x

=s

xpN



x �x

=s

xpN

Exemplo:

x = 10, 08± 0, 07(unid.)x = 10, 0835

�

x

= 0, 072




x �x

=s

xpN

Exemplo:

x = 10, 08± 0, 07(unid.)x = 10, 0835

�

x

= 0, 072

Número de algarismos significativos determinado pelo valor do erro


Exemplo Média

56

• Calcule a média da idade dos alunos da tabela ao lado, utilizando as diferentes classes.

Exemplo Média

56


x ⇡ n1x1 + n2x2 + . . . + nMxM

N

=1N

MX

j=1

njxj

Dados em M classes (intervalos) com ponto médio {x1, x2, ..., xM} e frequência {n1, n2, ..., nM}:

Exemplo Média

56


x ⇡ n1x1 + n2x2 + . . . + nMxM

N

=1N

MX

j=1

njxj


Exemplo Média

56


x ⇡ n1x1 + n2x2 + . . . + nMxM

N

=1N

MX

j=1

njxj


Exemplo Média

56


x ⇡ n1x1 + n2x2 + . . . + nMxM

N

=1N

MX

j=1

njxj


Conclusão: A média calculada a partir de uma tabela de frequências agrupada em classes é uma estimativa do valor real. Na prática, SEMPRE calcule a média com os dados originais.

Média - Mediana - Moda

57

Distribuição assimétrica para a esquerda,

Distribuição simétrica

Distribuição assimétrica para a direita,

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