Funções Hiperbólicas das aplicações às definições

Funções Hiperbólicas

das aplicações às definições

Juliana Zys Magro

Karen Maria Jung

Lucas Backes

Rene Baltazar

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Educação Matemática e Tecnologia (MAT01074)

Profº Marcus Basso

MotivaçãoAo observar um fio usado para transporte de

energia elétrica, preso em dois postes, notamos que o peso

do mesmo faz com que ele fique um pouco arredondado,

dando a impressão de que o gráfico formado pela curva

representa uma parábola, mas na verdade, tal curva é o

gráfico da função cosseno hiperbólico, conhecida como a

catenária (do latim catena=cadeia), pois foi através de uma

corrente metálica formada por elos (cadeias) que se

observou primeiramente tal curva.

Problemas

Um paraquedista salta, com velocidade inicial nula, a partir de

uma altura h acima do solo, e atua sobre ele uma resistência do

ar Newtoniana, isto é, proporcional ao quadrado da velocidade.

Escolhendo “para cima” como sentido positivo, podemos

escrever:

0)0(

;2

v

kvmgdt

dvm

Problemas

Esta equação diferencial é do tipo a variáveis separáveis e o

problema de valor inicial acima tem solução:

onde . Observamos que, quando t tende ao infinito,

v(t) tende à velocidade limite . Na verdade, esta

velocidade não é atingida, porque o paraquedista atinge o solo

em algum instante de tempo finito.

,1

1)(

2/1

At

At

e

e

k

mgtv

2/1

2

m

gkA

2/1

k

mgv

Problemas

A solução pode ser reescrita fazendo uso de tangente

hiperbólica, pois:

.2

tanh)(

)(

1

12/2/2/

2/2/2/

At

eee

eee

e

eAtAtAt

AtAtAt

At

At

Um exemplo com números:

,/10

;/.21,0

;120

2

22

smg

msNk

kgm

leva ao gráfico para :)(tv

Problemas

Também encontramos problemas que envolvem funções hiperbólicas relacionados à

Combinatória, por exemplo:

Encontrar o número de r-seqüências quaternárias que contém somente um número par

de zeros.

Para resolvermos uma parte desse problema, encontramos a função geradora para o

dígito zero, que é:

Podemos ver que neste caso encontramos a expressão cosh(x).

).cosh()(2

1...

!6!4!21

642

xeexxx xx

Definição

sinh(t)=

tanh(t)=

cosh(t)=

2

tt ee

2

tt ee tt

tt

ee

ee

Por que o nome

FUNÇÕES HIPERBÓLICAS?

Lembra-se das funções circulares?

sen(x) - cos(x) - tg(x) - sec(x) - cosec(x) - cotg(x)

Por que elas têm este nome?

Pois a partir de uma combinação de sen(x) e cos(x) pode-se “gerar” uma circunferência. Veja:

Esta circunferência é dada pela equação paramétrica

(x,y) = (cos(t), sen(t)), com 0 ≤ t ≤ 2pi.

Vamos nos convencer construindo-a usando o software Winplot.

x

y

Vá até o ícone Equação/Paramétrica

Faça f(t)=cos(t) e g(t)=sin(t)

Para mudar a cor, a espessura da linha do gráfico basta ir até o ícone

desejado e mudar;

Após feitas as escolhas bastar clicar em ok

Será que estas funções ditas hiperbólicas tem este nome porque através destas é possível “gerar” uma hipérbole? SIM, verificaremos isto fazendo os gráficos.

Primeiro faremos o gráfico da hipérbole dita unitária

Para isto vamos até o ícone Equação/Implícita e abrirá a seguinte janela:

122 yx

No campo maior digitamos a equação da

hipérbole da seguinte forma:

X^2-y^2=1

Para melhor visualização do gráfico

mudaremos sua cor para amarelo (para

isto basta ir até o ícone cor e escolher a

cor amarelo) e mudaremos sua

espessura para 5

Agora faremos os gráficos de:

(x,y)=(cosh(t), sinh(t))

(x,y)=(cosh(t), -sinh(t))

(x,y)=(-cosh(t), sinh(t))

(x,y)=(-cosh(t), -sinh(t))

Para isto basta ir até o ícone Equação/Paramétrica e digitar as

equações acima (uma de cada vez) e, para melhor

visualização dos resultados, mude a cor do gráfico para preto

com espessura da linha 1;

Vejamos os resultados obtidos:

A que conclusão podemos chegamos?

Principais Identidades

• Trigonometria circularx² + y² = 1

cos²(t) + sen²(t) = 1tg(t) = sen(t)/cos(t)cot(t) = cos(t)/sen(t)

sec(t) = 1/cos(t)csc(t) = 1/sen(t)

sen(2t)=2sen(t)cos(t)cos(2t)=cos²(t)-sen²(t)tg(2t)=2tg(t)/(1-tg²(t))

• Trigonometria hiperbólicax² - y² = 1

cosh²(t) - senh²(t) = 1tgh(t) = senh(t)/cosh(t)coth(t) = cosh(t)/senh(t)

sech(t) = 1/cosh(t)csch(t) = 1/senh(t)

senh(2t)=2senh(t)cosh(t)cosh(2t)=cosh²(t)+senh²(t)tgh(2t)=2tgh(t)/(1+tgh²(t))

Referências:

• Anton, Howard.   Cálculo.  8. ed.  Porto Alegre: Bookman, 2007. 1 v.

• Santos, Jose Plinio de Oliveira.   Introdução à análise combinatória.  3. ed. rev.  Campinas, SP: Editora UNICAMP, c2002. x, 297 p. : il.

• Contribuição da professora Maria Cristina Varriale no primeiro problema .