Proff Matemática e Suas Tecnologias - Editora LT · ciência matemática. As definições e os conceitos de matemática são ... e situações de aplicações, ... Manual do Professor

Proff

Ciências da Natureza, Matemática e

Suas TecnologiasManual do Professor deMatemática Volume 1

Manual do Professor de Matéria Matemática Volume 12

Apresentação

O material didático da Coleção EJA Educação Profissional foi elaborado a par-tir do documento base do Programa Nacional de Integração da Educação Profissional com a Educação Básica na modalidade de Educação de Jovens

e Adultos, tendo como pressupostos alguns princípios e fundamentos pedagógicos: compreensão do trabalho como princípio educativo; pesquisa como fundamento da for-mação, por entendê-la como modo de produção de conhecimentos e de entendimento da realidade, além de contribuir para a construção da autonomia intelectual dos educandos; integração do currículo; valorização dos diferentes saberes no processo de ensino e apren-dizagem; e o trabalho como princípio educativo.

Nos livros que compõem a coleção, as abordagens das áreas dos conhecimentos são embasadas na perspectiva de complexos temáticos, ou seja, em temas gerais comuns liga-dos entre si. Temas que abrangem os conteúdos mínimos a serem abordados sob o enfoque de cada área do conhecimento; possibilitam a compreensão do contexto em que os alunos vivem; atendem às condições intelectuais e sociopedagógicas dos alunos; garantem um aprofundamento progressivo ao longo do material; e promovem o aprofundamento e a ampliação do conhecimento do aluno.

A abordagem dos materiais didáticos é centrada em resoluções de problemas, ou seja, no início da unidade são propostos os problemas, dilemas reais vividos pela sociedade e, a partir da disciplina, são fornecidos dados e fatos buscando a solução dos problemas propostos.

Para efetivar a integração das diferentes áreas do conhecimento, articulando-as ao mundo do trabalho, são utilizados grandes temas integradores: sociedade e trabalho; ciên-cia e tecnologia e trabalho; saúde e trabalho; linguagens e trabalho; entre outros.

Em cada volume da coleção, a disciplina é dividida em unidades que, por sua vez, são separadas em capítulos. Cada unidade conta com seção inicial de abertura, em que é colocado o problema gerador; conteúdos desenvolvidos de modo a propiciar a construção de soluções para o problema inicial por meio de atividades, propostas de reflexão, aná-lise de situações, simulação de cenários para tomada de decisão que são intercalados ao conteúdo em estudo; atividades de reflexão, de análise, de pesquisa e de produção (oral e escrita); seção final de sistematização da unidade, retomando o percurso de aprendizagem e relacionando-o ao problema inicial.

Com a intenção de desenvolver ideias e conceitos, ampliando os conhecimentos do educando de maneira estimulante e participativa, as obras contam ainda com sugestões de livros e sites, nos quais o aluno poderá realizar pesquisas para explorar as conexões entre as áreas do conhecimento.

Por meio da participação de todos os envolvidos no processo educacional, o material foi desenvolvido de modo que o trabalho dos alunos se desenvolva de maneira prazerosa e significativa.


Orientações aos Professores

Orientações aos Professores

Orientações Gerais do VolumeEsta obra foi construída com o objetivo de apresentar/explorar determinados conteúdos

programáticos que são comumente trabalhados na primeira série do Ensino Médio ou Técnico. Os conteúdos são apresentados sequencialmente com definições, considerações epistemológicas acerca dos temas explorados e possíveis aplicações cotidianas.

A leitura ou a investigação de novas informações, tanto de natureza científica quanto cultural e social, preconiza a análise e interpretação de forma adequada, com o objetivo de facilitar a compreensão do mundo e possibilitar atitudes, assim como decisões adequadas na vida. Entre as chamadas “disciplinas” que são exploradas no ensino formal, considera-se fundamental a matemática para tal compreensão.

A matemática e a lógica são fundamentais para a interpretação e análise de qualquer infor-mação, o que viabiliza diferenciar situações de nossas vivências cotidianas de fenômenos diversos observáveis na natureza.

Os conteúdos apresentados em cada capítulo desta obra podem ser explorados no contexto de sala aula, além de o professor ainda poder agregar novos exemplos, vídeos e listas de exercícios ou atividades como elementos complementares e facilitadores dos processos de ensino e aprendizagem.

Objetivos Gerais do VolumeEste volume didático foi idealizado e desenvolvido com o objetivo principal de contribuir no

processo de formação de alunos da modalidade de Educação de Jovens e Adultos – EJA, na área da ciência matemática. As definições e os conceitos de matemática são apresentados ao leitor, buscando sempre associar às questões cotidianas e sugerindo determinadas aplicações. O que se espera ao final da utilização do volume é tanto o aprofundamento como a ampliação cognitiva dos educandos acerca da matemática. A obra foi organizada em quatro unidades e em cada uma delas há dois capítulos.

Na unidade 1, será possível investigar/desenvolver estudos a respeito da linguagem aritmética: os números, as operações e os conjuntos numéricos, além de aplicações cotidianas.

Na unidade 2, são apresentados os conteúdos da linguagem algébrica, a álgebra e a resolução de alguns problemas, além do sistema de representações de coordenadas cartesianas.

Na unidade 3, são exploradas as relações, as funções e a função algébrica do 1º grau com deter-minadas aplicações cotidianas.

Na unidade 4, são explorados conteúdos de funções algébricas do 2º grau e exponencial. Além de exercícios de fixação, determinadas aplicações cotidianas são apresentadas.


O professor poderá, em cada unidade deste volume, caracterizar aos educandos a importância dos conteúdos estudados e a utilidade dos conceitos vistos na resolução de situações-problemas em suas vidas cotidianas.

Convém reafirmar que, neste volume, em cada uma das unidades e seus respectivos capítu-los, determinadas situações cotidianas que envolvem números, operações, relações e funções, entre outras, são apresentadas.

Princípios Pedagógicos Gerais do VolumeComo princípio didático-pedagógico, sugere-se a utilização deste volume como um material

de apoio aos conteúdos a serem explorados pelo professor ou de estudos dirigidos. Tanto é possível sugerir aos alunos uma leitura prévia dos assuntos abordados na obra e concluir com argumentações expositivas dialogadas pelo professor quanto organizar grupos de estudos dirigidos seguidos de dis-cussões em forma de seminários. Leituras complementares e sugestões de pesquisa podem contribuir com os educandos para a ampliação e aprofundamento no processo de aprendizagem. A resolu-ção dos exercícios propostos em cada capítulo, quer seja individualmente ou em grupos, também se caracteriza em atividade de aprofundamento cognitivo e aprofundamento de estudos.

Em cada conteúdo explorado, o professor encontrará as devidas definições, com argumentações e situações de aplicações, seguido de exercícios propostos para a fixação de conceitos e procedimen-tos para a resolução de atividades ou problemas.

Articulação do ConteúdoEm todos os capítulos, são apresentados conteúdos e conceitos matemáticos cujas aplicações

podem ser pensadas em diversas outras disciplinas e interpretações de situações ou questões-proble-mas da vida cotidiana.

Entre a relevância dos conceitos explorados neste volume, cita-se o conceito de função, que é amplo, fundamental e necessário para a compreensão de conceitos de inúmeras disciplinas, como os de física. Por exemplo, estudo de conteúdos, como os de mecânica, cinemática ou queda livre dos corpos. No estudo do movimento uniforme de uma partícula, por exemplo, o gráfico das posições de tal partícula equivale ao gráfico de uma função do primeiro grau. Nesse caso, a diferença está nas variáveis dependente (y) e independente (x) e nas situações do domínio da função, uma vez que não existe tempo negativo. Ao longo dos capítulos, são apresentados conteúdos com possíveis aplicações.

Atividades ComplementaresUma atividade complementar relevante é a pesquisa acerca da importância dos conteúdos

explorados em cada capítulo. O professor poderá sugerir aos alunos que se organizem em grupos e investiguem qual é a importância dos conteúdos explorados, apresentando a pesquisa em um semi-nário, por meio de uma aplicação na qual tal conteúdo seja fundamental.

Para exemplificar, sugere-se a realização da prática da leitura e do registro da temperatura de um termômetro em função da unidade de tempo. A prática consiste em colocar água em ebulição em um ambiente fechado (uma cozinha, por exemplo) e nesse recipiente colocar um termômetro. Após alguns segundos (30 segundos, por exemplo), fazer a primeira leitura e registro da altura da coluna de mercúrio. Sugerir que, a cada 5 minutos, os alunos façam o registro até que a água entre em equilíbrio com a temperatura ambiente ou por uma hora. Por exemplo, uma atividade como essa poderá gerar uma tabela como a dos valores abaixo:


Tabela – Temperatura do termômetro em função do tempo

Tempo Temperatura0 97,25 76,6

10 69,015 63,020 59,025 55,530 52,835 50,040 47,945 46,550 44,555 43,260 42,1

Fonte: Dados do autor produzidos em laboratório.

O registro da variação de temperatura em °C em função do tempo a cada 5 minutos é uma opção desta atividade e pode ser mudada. A temperatura do ar quando ela foi realizada era de 31 °C em um lugar do Brasil cuja altitude era de 350 m em relação ao nível do mar.

Uma das sugestões aos alunos é a confec-ção do gráfico de dispersão (Figura 1).

Figura 1 – Gráfico de dispersão

GRÁFICO DE DISPERSÃO TEMPERATURA x TEMPO

Tem

pera

tura

(°C)

Tempo (min)

0 5 10

102030405060708090

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Nessa atividade, diversas questões poderão ser exploradas pelo professor, que poderá suge-rir um debate (seminário) e organizar na lousa o registro das discussões acerca da atividade e tam-bém os resultados. O que os valores de tempo e temperatura indicaram? O que acontece ao longo do tempo? Que tipo de função ou relação existe entre as variáveis envolvidas? Por que a tempe-ratura inicial não era de 100 °C se a água estava em ebulição? Por que a temperatura assumiu um

comportamento assintótico ao longo do tempo? O que é um comportamento assintótico? A velo-cidade de esfriamento variou ao longo do tempo? Isso sempre ocorre ou é um caso especial dessa atividade? Os alunos já viram uma sequência de pontos que se assemelha a alguma função já estu-dada? Em caso afirmativo, qual?

São apenas algumas das possibilidades de questionamentos que podem ser exploradas pelo professor e que estão vinculadas aos con-ceitos estudados neste volume didático.

Sugestão de PlanejamentoEste livro foi elaborado para apoiar os pro-

cessos de ensino e aprendizagem das disciplinas de ciências exatas, como as de física e química.

A sequência dos conteúdos é apresentada por unidades e capítulos como uma proposta a ser explorada ao longo do período letivo pelo professor na modalidade de Educação de Jovens e Adultos e Educação Profissional de Jovens e Adultos – Ensino Médio.

Nesse sentido, sugere-se que os conteúdos do livro sejam explorados segundo a ordem das unidades e que em cada uma delas o processo avaliativo aconteça. Entende-se que avaliação é um processo e que as atividades de pesquisa, dis-cussão de assuntos em dinâmicas de seminários, resolução de exercícios, provas em grupos e indi-viduais podem e devem ser consideradas como um conjunto de habilidades e competências a serem computadas na composição da nota final de cada etapa do processo cognitivo. Entende-se que apenas a prova escrita é um fator limitante ao processo de avaliação da matemática.

Sugestões de LeituraO professor poderá utilizar diversos

recursos para complementar e aprofundar os con-teúdos previstos nos capítulos de cada unidade deste livro. Por exemplo, o MEC tem um sítio no qual está disponível um Banco Internacional de objetos educacionais, disponível em:

• <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15929>.


Nesse sítio, o professor poderá tanto sugerir que os alunos façam pesquisas para ampliar e aprofundar seus conhecimentos quanto direcionar os estudos, como, por exemplo, solicitar que assis-tam ao vídeo Jornal numeral – Quadro 1.

Jornal numeral – Episódio 1 – A matemática na história

Tipo do recurso: Vídeo.

Objetivo: Compreender a matemática como construção humana a partir de proble-mas práticos e matemáticos.

Descrição do recurso:

O audiovisual número 1, Jornal Numeral − A matemática na história é um objeto de aprendizagem que apresenta situações que podem desencadear discussões sobre a história da matemática, em particular sobre a história dos números e a criação do número zero, além de conceitos de base, do sis-tema posicional e da função do zero. A partir do áudio, espera-se despertar no aluno a curiosidade para realizar pesquisas sobre os aspectos históricos que levaram a humanidade à criação dos diferentes conjuntos numéricos.

Observação: Para ser executado, o audiovisual necessita de uma televisão com DVD aco-plado e uma sala adequada para os alunos assistirem.

Componente Curricular: Ensino Médio: Matemática.

Tema: Educação Básica – Ensino Médio – Matemática – Números e Operações.

Autor(es): Emerson Rolkouski; Condigital MEC – MCT; LACTEC – Instituto de Tecnologias para o Desenvolvimento.

Idioma: Português (pt).

País: Brasil (br).

Data de publicação: 2010.

Detentor do direito autoral: MEC.

Licença: Termo de cessão dado pelo autor ou seu representante diretamente ao Ministério da Educação (MEC), que permite o uso do recurso para distribui-ção, tradução e edição, excetuando-se o uso comercial.

Submetido por: Secretaria de Educação a Distância (SEED/MEC).

URI: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15929>.

Disponível em: Ensino Médio: Matemática: Vídeos.Fonte: BANCO INTERNACIONAL DE OBJETOS EDUCACIONAIS. Disponível em: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15929>. Acesso em: 10

mar. 2014.

A seguir, outros sítios interessantes que o professor poderá solicitar que os alunos explorem:

• Um grupo dos Estados Unidos da América que pesquisa e apresenta simuladores de fenô-menos físicos interativos. Excepcional sítio para pesquisa e estudos, já com tradução para o português do Brasil: <http://phet.colorado.edu/pt_BR/?q=physics>.

• Também nos Estados Unidos, foi desenvolvido um conjunto de vídeos denominado Universo Mecânico, já dublado para o português e que tanto envolve conceitos de matemática e física quanto a caracterização epistemológica dessas ciências e, ainda, com uma dose de filoso-fia: <http://www.4shared.com/dir/30460665/38958f7f/O_Universo_Mecanico__Completo_.html#dir=uE-AESzh>.

• O professor poderá, ainda, conhecer e fazer parte da Sociedade Portuguesa de Investigação em Educação Matemática (S P I E M). Nessa sociedade, é possível ampliar conhecimentos para aplicar atividades pedagógicas com os educandos. A página deles está disponível em: <https://pt-br.facebook.com/SPIEMatematica>.


Orientações Didáticas

Unidade 1

Orientações GeraisEsta unidade é uma introdução à matemática e à linguagem aritmética.

Sugere-se ao professor que utilize neste capítulo o estudo dirigido e a pesquisa acerca dos números, dos conjuntos e das aplicações. A técnica de seminário com a exposição de pesquisas realizadas por grupos de alunos pode ampliar e maximizar os conceitos explorados no livro didático.

Objetivos GeraisA unidade 1 tem como propósito levar os alunos a refletir acerca dos números,

dos diferentes sistemas de numerações de acordo com determinadas civilizações e da sua importância para a leitura de mundo. Também apresenta determinadas aplica-ções cotidianas que podem ser ampliadas de acordo com as atividades investigativas dos educandos.

Conteúdos Privilegiados• A matemática no dia a dia.

• Os sistemas de numeração de algumas civilizações.

• Os conjuntos numéricos.

• Conjuntos.

• Princípios de contagem.

• Razões e proporções: as grandezas do cotidiano.

• Porcentagem.

• Juros simples.

Orientações Específicas e Respostas das Atividades

Página 11

Abertura

O professor deve notar que em todos os exemplos desta página há uma situa-ção na qual os números são utilizados para a interpretação de momentos cotidianos ou para a interpretação de fenômenos naturais e sociais.


Analisar se os alunos já ouviram ou fizeram alguma destas afirmações:

• Meu quarto mede 4 metros por 4 metros.

• O Brasil ocupa uma área de 8 547 403 km2 no planeta Terra.

• Mais de 60% do lixo produzido pelas famílias brasileiras é de composição orgânica.

• A menor temperatura em Porto Alegre no inverno foi de –2 °C, enquanto em Fortaleza, no mesmo dia, os termômetros registraram 30 °C.

• A distância aproximada entre as cidades de Curitiba e Foz do Iguaçu, no Paraná, é de 637 km.

• O índice de homicídios registrado para aquela cidade em 2011 foi de 0,3111 para cada 10 mil habitantes.

• Meu apartamento fica na Rua 301, número 2 230.

• O aluno classificado em 1º lugar no vestibular ganhou um prêmio em dinheiro no valor de R$ 10.000,00.

• Dividi 24 por 66 em uma calculadora e obtive como resultado 0,363636...

Além dessas situações, o professor pode sugerir aos alunos que registrem em seus cadernos outros casos nos quais os números são utilizados. Depois, por amostragem, pode sugerir que deter-minadas leituras sejam realizadas para os alunos da classe. Em cada nova situação apresentada, uma discussão poderá ser realizada.

Páginas 13-15

Análise

1) Observar que no livro-texto são apresentadas diversas condições para a avaliação das notí-cias de jornal, entre elas a posição no alto da página, o tamanho da letra do título e a área ocupada pela notícia (imagem e textos).

Sugestão de resposta: Se o critério para ordenação for o tamanho do título do jornal, uma possível resposta é:

1) A condenação de Maluf por Jersey a devolver US$ 22 milhões.2) O ataque sofrido por Jerusalém desde 1970.3) A morte de uma criança de 1 ano por criminosos em fuga do ABC em São Paulo.

2) Sugestão de resposta: pelo que é possível observar e ler no jornal, nem todas. Nas três relacionadas em ordem, sim. Na primeira, 22 milhões representam dólares americanos; na segunda, 70 representa a década de 1970; e na terceira há duas: 1 para a idade do menino que foi assassinado e 1 para a pessoa (quantidade).

3) Sugestão de resposta: A notícia com a maior área não está ocupando o topo da página. Parece que o redator do Jornal Folha de S. Paulo ,nesse caso, preferiu colocar a notícia com letra maior no título e maior imagem e texto na parte central da primeira página do jornal. Por ser um jornal de São Paulo e os desvios de verbas públicas terem acontecido nesse estado, essa notícia foi eleita a mais relevante para a edição do jornal.


Página 17

Análise

10 t Indica: A carga máxima total permitida: 10 ton.

Noção matemática: Grandeza de medida – massa: em toneladas

1,8m

Indica: A largura máxima permitida: 1,8 m.

Noção matemática: Grandeza de medida – comprimento: distância em metros.

2 t Indica: A carga máxima total permitida por eixo: 2 ton.

Noção matemática: Grandeza de medida – massa: em toneladas.

10 m

Indica: O comprimento máximo permitido: 10 m.


3,0mIndica: A altura máxima permitida: 3 m.


80km/h

Indica: A velocidade máxima total permitida: 80 km/h.

Noção matemática: Grandeza de medida – velocidade em: quilômetros por hora.

Página 23

Análise

Solução:a.

8

b. 49.

c. Agrupamento 1 3 5 9 10 11 25

Triângulos 1x1=1 3x3=9 25 81 100 121 625


Página 26

Pesquisa

Para aprofundar os estudos acerca do número áureo, sugere-se a leitura do artigo intitulado Número de ouro e que foi publicado no Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Londrina. O artigo está disponível em: <http://www.mat.uel.br/geometrica/artigos/ST-15-TC.pdf>.

Assista, também, ao filme Arte e matemática – o número de ouro no site da TV Escola em: <http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=4941>.

Páginas 27-29

Análise

Solução:

1) Os números naturais múltiplos de 2 e maiores que 6 são {8;10;12;14;16...}. Em uma reta, podem ser assim representados:

8 ...10 12 14 16 18 20

2) Os números racionais assumem a forma ab

. Então, dois números maiores que 3 são, por exemplo, 7

2 e 10

3 .

3) A equação 3 x + 1 = 8 tem como solução o número racional x = 73

. Também são

racionais que satisfazem à igualdade dessa equação: 146

; 219

e 2812

.

4) Dois conjuntos, M e N, são organizados de modo que alguns de seus com-ponentes são comuns. Com base nessa composição, classifique as afirmações como verdadeiras (V) ou falsas (F).

Solução:a. a ∈ M ( V )b. a ∈ M e a ∈ N ( F )c. b ∈ M e b ∈ N ( V )d. b ∈ M ou b ∈ N ( V )e. a ∈ M e a ∉ N ( V )


5) Os números naturais divisores de 8 são {1; 2; 4; 8}.

6) Os divisores de um número inteiro tanto podem ser números positivos quanto negativos. Então, os divisores de 8 são {–8; –4; –2; –1; 1; 2; 4; 8}.

7)

X 1 2 9 10 100 625

x 1 1,4142... 3 3,16227... 10 25

Número Racional Irracional Racional Irracional Racional Racional

8) 2369

; 13

; 0,3333... ; 515

e 412

.

0,333...13 23

695

15

412

9)

a. 3 deve ser multiplicado pelo racional 13

, pois o produto resulta 1.

b. –5 deve ser multiplicado pelo racional –15


c. 37

deve ser multiplicado pelo racional 73


d. m deve ser multiplicado pelo racional 1m


e. –0,2 = –210

, logo deve ser multiplicado pelo racional –102

, pois o pro-

duto resulta 1.

10) a. Todo número inteiro é natural (F).

b. Todo número natural é inteiro (V).

c. Todo número irracional pode ser escrito na forma ab

com b dife-rente de zero (F).

d. Todo número racional pode ser escrito na forma ab

com b diferente de zero (V).

e. Todo número irracional pertence ao conjunto dos números reais (V).


Página 31

Trabalho Interdisciplinar

Sugestão de resposta:Substantivo coletivo Conjunto de:Assembleia Pessoas reunidasAlcateia LobosArquipélago IlhasBanda MúsicosBanca ExaminadoresBatalhão SoldadosCardume PeixesCaravana Viajantes peregrinosCacho FrutasCáfila CamelosCancioneiro Canções, poesias líricasColmeia AbelhasChusma Gente, pessoasConcílio BisposCongresso Parlamentares, cientistasElenco Atores de uma peça ou filmeEsquadra Navios de guerraEnxoval Roupas e de certos complementos

Página 36

Análise

Sugestão de resposta:a. Entre 1º e 31 de julho de 2013.b. Entre 320 e 495 mil veículos.c. Se o governo cumprir a negação, não haverá reajuste.d. Especula-se 10%.

Página 43

Análise

Resposta: a3

= 59

; então, a = 159

; logo, simplificando, tem-se que a = 53

.

Portanto, a deve ser de 53

para estar em proporção com 59

.


Página 47

Reflexão

Resposta: Isso indica que foi autorizado aumentar os combustíveis. Se, por exemplo, um litro de gasolina custar antes do aumento R$ 3,00, após o aumento cada litro passará a custar R$ 3,24.

Resposta: Significa que, para cada produto comprado, o cliente terá um des-conto no preço. Por exemplo, se adquirir uma calça no valor de R$ 100,00 pagará somente R$ 70,00.

Páginas 50-52

Análise

1)

M

K

2 6 5

1

73

L

2) a. K L = {–1, 0, 1, 2, 3, –5, 8, 4, 5, –2, 6}.b. K L = {–1, 0, 1, 2}.c. K M = {1, 2, 4, 5, –2}.d. K M = {1, 2, 3}.

3) Dos 40 alunos, há 26 que estudam com livros e 18 com computadores. Somente 10 estudam com os dois recursos. Portanto, apenas 6 alunos não estudam com nenhum desses recursos.

4) Cada pizza de 8 pedaços alimentará 4 pessoas, uma vez que, em média, cada participante consumirá 2 pedaços. Dessa forma, 160 x 4 = 640, ou seja, 640 é o número máximo de pessoas que poderá participar da festa. Resposta: alternativa c.

5) A razão entre o total de quilômetros percorridos e a quantidade total de gaso-lina consumida, ou seja, consumo médio = número de quilômetros/número de litros = 440/40 = 11 km/L. Portanto, o carro dessa família, em média, percorreu 11 km com cada litro de gasolina.


6) Primeiro calcule o valor de 15% de 800 e some ao valor inicial do salário: 800.

15% de 800 = 0,15 · 800 = 120.800 + 120 = 920.

Portanto, o novo salário será de R$ 920,00. Outra forma de resolver é: como o salário inicial é de 100% e o

aumento é de 15%, então o novo salário será: 115% do salário inicial. Como 115% = 1,15; então, o novo salário será = 1,15 · 800 = 920.

7) Primeiro calcule o valor de 80% de 200. 80% de 200 = 0,80 · 200 = 160. Portanto, a maioria, 160, prefere pão francês e 40 o pão de leite.

8) J = C · i · t

J = 2 000 · 0,01 · 3 = 60 Portanto, o amigo deverá pagar ao aluno R$ 2.060,00.

9) Sabe-se que:

C = R$ 620,00. t = 5 meses. M = C + J = R$ 868,00. J = R$ 868,00 – R$ 620,00 = R$ 248,00. i = ? Como J = C · i · t, então: 248 = 620 · i · 5 i = 0,08 Ou seja, a taxa é de 8% ao mês.

10) Sabe-se que:

t = 2 anos. i = 20% = 0,20. J = R$ 1.900,00. C = ? Utilizando a fórmula de juros simples, pode-se escrever: C = 5 000 J = C · i · t 1 900 = C · 0,20 · 2 C = 4 750 Portanto, a quantia emprestada pela dona de casa para a irmã foi

de R$ 4.750,00.


Unidade 2

Orientações GeraisA unidade 2 deste livro explora os con-

teúdos da linguagem algébrica associando-os à resolução de determinados problemas. Explora, ainda, o sistema de representação de coor-denadas cartesianas para a representação de pontos e de gráficos de funções com aplicações. Sugere-se ao professor que utilize os exercícios e exemplos deste capítulo para a representação de gráficos tanto em papel quadriculado como em uma planilha eletrônica, por exemplo, por meio do software Excel ou outro similar, para que o educando possa fazer tais representações. Desenvolver habilidades e competências com planilhas eletrônicas pelos alunos pode ampliar e maximizar os conceitos explorados no livro didático e facilitar seus processos cognitivos.

Objetivos GeraisOs objetivos de aprendizagem específicos

desta unidade é iniciar ou ampliar o entendi-mento acerca da álgebra como uma ferramenta fundamental no equacionamento e na resolução de determinados problemas cotidianos. O sis-tema cartesiano também potencializa aplicações na resolução de problemas e o professor pode e deve explorar tais potencialidades.

Conteúdos Privilegiados• Equações.

• Equações do primeiro grau.

• Equações do segundo grau.

• Sistemas de equações do primeiro grau.

• Inequações.

• Sistema de coordenadas.

• O sistema cartesiano e as representações.

• Aplicações do plano de coordenadas.


Página 55Abertura

Aqui, o professor poderá explicar aos alunos a importância da matemática para a interpretação de bulas de remédios, por exem-plo. Poderia propor uma atividade individual ou coletiva para que os alunos buscassem bulas de medicamentos em suas residências e as trouxes-sem para um debate em sala de aula. Ressaltar que alguns termos técnicos, por vezes, não são de fácil interpretação e, provavelmente, teria que se buscar ajuda de profissionais da saúde, como médicos, farmacêuticos ou enfermeiros.

Página 56

Análise

Sugestão de resposta: as massas das duas crianças podem ser representadas algebricamente em função da informa-ção contida no enunciado do problema da seguinte maneira:

M – m = 4 M = massa da criança mais pesada. m = massa da criança mais leve. A dose a ser administrada à criança mais

pesada (D) é o triplo da dose que cabe à criança mais leve (d). Algebricamente, temos: D = 3 · d.

Ora, como a dose é medida em gotas, e o número de gotas em cada dose deve corresponder ao peso, em quilogramas, da criança, então teremos que: D = M e d = m. Logo, M = 3 m.

Assim, teremos um sistema de duas equações contendo duas variáveis cada uma, o qual pode ser resolvido por subs-tituição ou adição sem dificuldades.

A resposta será: M = 6 kg e m = 2 kg.


Então, as massas das crianças serão de 6 kg e 2 kg, e as doses de remédio que cada uma terá de tomar serão, respec-tivamente, 6 gotas e 2 gotas.

Páginas 76-77

Análise

1) a. 2x + 8 = 4x – 5 2x – 4x = – 5 – 8 –2x = –13 x = –13/–2 x = 13/2 ou 6,5

b. 4a – 4 = –a + 1 4a + a = + 1 + 4 5a = 5 a = 1

c. 3y – 11 = –5 3y = –5 + 11 3y = 6 y = 6/3 = 2 y = 2

d. 6x – 2 = 9x + 6 6x – 9x = + 6 + 2 –3x = 8 x = –8

32) Equacionando o problema e conside-

rando que a letra p representa a idade de Paulo e a letra r a idade de Ricardo, tem-se que:p + r = 32p = r – 6Então, como: p + r = 32r – 6 + r = 322r = 32 + 6r = 38/2r = 19Resposta: Ricardo tem 19 anos e Paulo tem 19 – 6 = 13 anos.

3) Considere a área de cada quarto como a letra x.3x + 82 = 1603x = 160 – 823x = 78x = 78

3 = 26

Resposta: Cada quarto tem 26 m2.

4)

2a + 2b = 10

2a – 2b = 6

a + b = 5 (2)

2a – 2b = 6

Somando os termos 4a = 16; logo, a = 4 e b = 1. Resposta: Portanto, o sistema é possível

e determinado, ou seja, admite uma única solução.

5)

–4x – 4y = –6

4x + 4y = 6

2x + 2y = 3 (–2)

4x + 4y = 6

Somando os termos, tem-se 0 = 0 e significa que o sistema apresenta infinitas soluções.

Resposta: Portanto, o sistema é possível e indeterminado.

6) Solução:

m + n = 1

(1/7)m + (1/7)n = 5 (–7)

Para facilitar, vamos multiplicar a segunda equação por (–7):

m + n = 1

(1/7)m + (1/7)n = 5 (–7)

m + n = 1

–m + (–n) = –35

0 = –34 Resposta: Como 0 = –34 não é válido, sig-

nifica que esse sistema não apresenta uma solução. Portanto, é um sistema impossível.


7)

2r + 3s = 2

3r – 2s = 4

r = (2 – 3s)2

3 (2 – 3s)2

– 2s = 4

(6 – 9s)2

– 2s = 4

(6 – 9s)2

– 2s = 4

6 – 9s – 4s = 8

–2 = 13s

s = –213

Então, r = 2 – 3 –2

132

r = 2 + 6

132

r =

26 + 6132

r = 3213

. 12

r = 3226

r = 1613

Resposta: Portanto, o sistema é possível e determinado: há uma solução única.

8) a. 3; b = – 5; c = –1. Resposta: Equação completa. b. a = 7; b = 0; c = 11. Resposta: Equação incompleta. c. a = –1; b = –8; c = 0. Resposta: Equação incompleta.

d. a = 1; b = –m; c = 10. Resposta: Equação completa.

9) Equacionando o problema, tem-se: x² – 10 = 3x.

Então, trata-se de uma equação do segundo grau.

x² – 3x – 10 = 0

Logo, x = – (–3) ± (–3)2 – 4·(1)·(–10)2 · 1

X = 3 ± 9 + 402

x = 3 ± 72

x = 102

= 5

E: x = –42

= –2

10) 2(2)2 + 10(2) – m = 0 8 + 20 = m 28 = m

Página 82

Pesquisa

O professor poderá solicitar aos alunos que façam uma investigação sobre o sig-nificado das coordenadas geográficas e, depois, discutam os resultados em um seminário. Poderá, também, utilizar um mapa para fazer a localização a partir de um plano cartesiano referenciado. O ambiente da sala de aula é um bom lugar para ampliar e aprofundar os con-ceitos, a partir do momento em que a localização de determinados alunos é identificada com base em um plano car-tesiano de referência que pode ser os vértices do retângulo formado por uma sala de aula retangular.


Páginas 89-92

Análise

1) Para que A (3r – s, 5) = B (7, r + s) deve-se ter:

3r – s = 7

R + s = 5

Aplicando o método da adição, tem-se:

3r – s = 7

R + s = 5+

4r = 12 r = 12/4 r = 3 Como r = 3; então s = 5 – 3 = 2, ou seja, s = 2. Resposta: Logo, A (7, 5) e B (7, 5).

2) Pontos: A (1, 1), B (2, –1), C (π, 4), D (–3, –5), E (4, –5) e F (–π, 6).

x

y

0

A

C

F

D E

B

–4 –3 –2 –1 –1

10

2

3

4

5

6

–2

–3

–4–5

1 2 3 4

3) Os pontos são A (1, 1), B (2, –1), C (π, 4), D (–3, –5), E (4, –5) e F (–π, 6). a. A maior ordenada é do ponto F: y = 6.b. A menor abscissa é do ponto F: x = –π.c. A ordenada do ponto C é: y = 4.d. A abscissa do ponto F é: x= –π.


4) A questão é responder se os pontos A (2,5) e B (5,2) são coincidentes. A resposta é não. Dois pontos são coincidentes quando suas ordenadas e abscissas são iguais.

5) A (–1, 6);

B (–3, 2);

C (2, 5);

D (2, –3);

E (1, –5);

F (–4, –4);

G (2, 1);

H (6, –5);

I (–4, 6);

J (–1, 1).

6) a. As coordenadas: (–3, –2), (–3, 4), (4, 4) e (4, –2).b. A área da figura: A = 7 · 6 A = 42 unidades de área.c. O perímetro da figura : P = 7 + 6 + 7 + 6 = 26 unidades de comprimento.

7) 3 x –4 = 6; então, x = 10/3.

y + 3 = 5; então, y = 2.

8) a. Como os lados são iguais, a figura é um quadrado.b. A área da figura A= 5 · 5 = 25 unidades de área.

x

y

0–2

–3

0 1 2 3 4

1

2

3

4


9) Considere que x = 10 e y = 2 (notas de R$ 10,00 e R$ 2,00, respectivamente). Então, podemos equacionar esse problema:

x + y = 14

10x + 2y = 60Aplicando o método da adição, tem-se:

x + y = 14 (–2)

10x + 2y = 60

–2x – 2y = –28

14x + 2y = 60+

8x = 32 x = 32/8 x = 4

Resposta: Como x = 4; então, y = 14 – 4, ou seja, y = 10. Logo, serão utilizadas 4 notas de R$ 10,00 e 10 notas de R$ 2,00.

10) a. M (π – 2, 2 – 1) primeiro quadrante.

b. N ( 7 – 2, 3 – 2) quarto quadrante.

c. O (2 – π, 5 – 2) segundo quadrante.

d. P (– 5 + 2, 3 – π) terceiro quadrante.

Unidade 3

Orientações GeraisNa unidade 3 do livro, são apresentados e explorados os conteúdos: relações,

funções e a função algébrica do primeiro grau, sempre com possíveis associações a determinados problemas. Explora e aprofunda o estudo de funções do primeiro grau com suas respectivas representações em sistemas de coordenadas cartesianas. O professor poderá utilizar os exercícios e os exemplos deste capítulo para sugerir aos educandos que também realizem, como no capítulo anterior, a representação tanto em papel quadriculado quanto em uma planilha eletrônica, como no Software Excel ou outro similar. O professor poderá apresentar outros exemplos de aplicações cotidianas para além do que é sugerido no livro.

Objetivos Gerais• Aprofundar os estudos das relações, funções e funções do primeiro grau com rea-

lizações de aplicações e equacionamento com vistas à resolução de determinados problemas cotidianos.


Conteúdos Privilegiados• Relações entre grandezas.

• Funções.

• Função linear. e função do primeiro grau.


Página 94

AberturaNa introdução da unidade 3 (p. 94), os exemplos podem ser utilizados para um debate entre

os alunos na sala de aula, como forma de aprofundar e ampliar o entendimento ou o conceito de relações e funções entre variáveis.

Um seminário com a participação dos alunos pode contribuir para essa ampliação, o professor pode solicitar aos alunos que desenvolvam a seguinte questão:

• Pesquise as recomendações da ergonomia quanto ao ajuste de altura de uma cadeira e da mesa de trabalho e, em função das medidas de seu corpo, verifique quais seriam as medidas ideais para você.

Uma possibilidade de investigação pode ser obtida no manual de Ergonomia da Unicamp. O pro-fessor pode fornecê-lo à turma, está disponível em:<http://www.dgrh.unicamp.br/documentos/manuais/man_dsso_ergonomia.pdf>. E também na Cartilha de Ergonomia, que está disponível em: <http://www.abicalcados.com.br/documentos/literatura_tecnica/CARTILHA%20ERGONOMIA.pdf>.

Páginas 112-115

Análise

1) Foram dados os conjuntos A = {2, 3, 4} e B = {2, 3, 5, 7, 8}. No diagrama de Euler-Venn e no plano cartesiano de IR2, teremos:

2

3

4

2

3

5

7

A

B

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5


2) Com base nos conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 5, 6, 7, 9}, escreva a relação R de A em B, de modo que R= {(x, y) ∈ A x B / y = 3x}.a. Represente os conjuntos A e B no dia-

grama de Euler-Venn com a relação R.

1

2

3

2

3

5

6

7

A B

b. Represente a relação R no plano car-tesiano de IR2.

0

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4

3) a. O domínio da função: {2, 4, 6, 8, 10}.b. O contradomínio da função: {–2, 0, 2,

4, 6, 8, 10, 12}.c. O conjunto imagem: {2, 4, 6, 8, 10}.

4) a. O esboço do gráfico.

00

1

1 2 3 4–1– 1– 2– 3– 4

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

2

3

4

5

b. Domínio: conjunto dos números reais. Imagem: conjunto dos números reais.

c. O gráfico intercepta os eixos de x em (1,0) e em y e, (0,–2).

5) Domínio: {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}. Imagem: {–4, 0, 2, 3, 4, 5}.

6) Domínio: o conjunto dos números reais. Imagem: ]–∞; –1].

7)

a. Domínio: o conjunto dos números reais.

b. Imagem: [–2; +∞[.

c. O gráfico intercepta o eixo da abscis-sas em (–4,0) e (0,0).

d. O gráfico intercepta o eixo da ordena-das em (0,0).


8) a. Domínio: o conjunto dos números

reais.b. Imagem: [1; + ∞[.c. Intercepta o eixo da ordenadas em

(0,2).

9) A função é injetora, pois não há qualquer elemento do conjunto N que seja ima-gem de mais do que um elemento de M.

–2

–1

0

1

2

–1

–

1/

2

3

M N

A função também é sobrejetora, pois a imagem é igual ao contradomínio (não sobram elementos em N).

Podemos argumentar ainda que f(x) = 1/2x é injetora, pois se x1 ≠ x2; então, 1/2x1 ≠ 1/2x2; logo, f(x1) ≠ f(x2).

10) Essa função f(x) = 3x + 2 é injetora, porém não é sobrejetora, pois o conjunto ima-gem é Im: {2, 5, 8, ...} e o contradomínio CD = IN. Como o contradomínio não coincide com o conjunto imagem, a fun-ção não é sobrejetora.

Mas ela é injetora, pois para x1 ≠ x2 implica em f(x1) ≠ f(x2).

0

1

2

3

4

2

5

8

11

14

1...

IN IN

Páginas 126-130

Análise

1) a. f(x) = –3x – 5 a = –3 e b = –5

b. g(x) = 12

– 3x a = –3 e b = 12

c. h(x) = 75

– 57x

a = –57

e b = 75

d. m(x) = –83

+ 35x

a = 35

e b = –83

e. n(x) = – 8x a = – 8 e b = 0

2) a. f(x) = –1

3x – 9

f(x) = 0

0 = –13x

– 9

13x

= – 9

X = –27

b. g(x) = 5 – 2x g(x) = 0 0 = 5 – 2x 2x = 5 x = 5

2

c. h(x) = 97

– 79x

h(x) = 0

0 = 97

– 79x

79x

= 97

x =

9779

x = 8149


3) a. Gráfico:

10

0 1 2 3 4–1

–1–2–3–4

–2–3–4

2

3

10987654

3; 9

2; 7

1; 5

0; 3

–1; 1

–2; –1

–3; –3

b. Raiz: f(x) = 0 2x + 3 = 0 x = –3

24)

a. O gráfico da função:

10

0 1 2 3–1

–1–2–3

–2–3

2

3

7654

–2; –2

–1; 0

0; 2

1; 4

2; 6

b. A raiz da função: 0 = 2x + 2 x = –1

Resposta: as coordenadas da raiz são: (–1,0).

c. A função é crescente, pois aumen-tando-se os valores de x, aumentam os valores de y.

d. Escreva os intervalos nos quais g(x) > 0 para x > –1 e g(x) < 0 para x < –1.

Solução: g(x) > 0 para x >–1 e g(x) < 0 para x < –1

5)

Nº Triângulos 1 2 3 4 ... nNº Lados 3 5 7 9 ...

a. L(t) = 2 · t + 1.b. A função é crescente.c. Domínio: D(L) = {t ∈ IN / t ≥ 1} ou

D(L) = IN*.Imagem: Im (L) = {L ∈ IN / L = 2t + 1, t ≥ 1}.d. O gráfico da função:

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7

e. A função tem um valor que cor-responde à raiz, mas que não está definida no domínio. Portanto, não se considera, pois não há sentido em considerar o triângulo.

6) a. O gráfico da função:

1

00 1 2 3

–1

–1–2–3

–2

2

3

4


b. As coordenadas da raiz: g(x) = –x + 1 g(x) = 0 0 = –x + 1 X = +1 Resposta: Logo são (1,0).

c. A função é decrescente, porque na medida em que x aumenta, f(x) ou y diminui.

7) Uma função é linear quando tem a seguinte forma algébrica: f(x) = ax + 0.

Logo, 3p – 8 = 0; então, p = 2. Dessa forma, anula-se o termo ao quadrado. E: q + 8 = 0; Logo, q = –8. Dessa forma, a função linear será f(x) = 4x.

8) Para que as funções m (x) = (3w – 2)x e n(x) = –32x

sejam iguais, é

necessário que 3w – 2 = –32

. Isolando w, temos:

3w = –32

+ 2

3w = 12

w = 16

Dessa maneira, tem-se que m(x) = n(x) = –3/2x.

9) A função q(x) será crescente em IR se 3m – 9 > 0. Logo, m > 3. Quando m = 4, a função q(x) será q(x) = 3x e o gráfico:

10

0 1 2 3–1

–1–2–3

–2–3

–4–5–6–7

2

3

7654


10) Solução:

Considere a função f(x) = ( 23n

– 9)x. Calcule o valor de n para que a função seja

decrescente. Faça o gráfico da função para n = 9.

10

0 1 2 3–1

–1–2–3

–2–3

–4–5–6–7

2

3

7654

A função f(x) será decrescente em IR se (2/3)n – 9 < 0. Logo; n < 27/2. Quando n = 9, a função f(x) será f(x) = –3x e o gráfico:

Unidade 4

Orientações GeraisNa unidade 4 do livro, são apresentados e explorados os conteúdos: funções algébri-

cas de segundo grau e exponencial. Situações-problemas são apresentadas, cujas resoluções recaem em funções como essas. Também nesta unidade o professor poderá sugerir ou pro-por as representações em sistemas de coordenadas cartesianos. O professor poderá utilizar os exercícios e exemplos dos capítulos para sugerir aos educandos que também realizem, como nas duas unidades anteriores, a representação tanto em papel quadriculado quanto com a utilização de uma planilha eletrônica por meio do Software Excel ou outro similar.

Objetivos Gerais• Aprofundar os estudos acerca das funções quadráticas e exponencial, com realizações de

aplicações e equacionamento com vistas à resolução de determinados problemas cotidianos.

Conteúdos Privilegiados• Função do segundo grau.

• Equações exponenciais.

• Função exponencial.



Página 133

Abertura

Novamente a introdução de um tema requer uma estratégia. Uma possibilidade é organizar um seminário e solicitar um estudo prévio das questões que envolvem a parábola e suas aplicações. O seminário pode ser sistematizado em apresentações/argumentações de grupos e debate cole-tivo. Após o debate, iniciar o estudo das parábolas.

Páginas 143-144

Pesquisa

A pesquisa é um processo dinâmico e extremamente importante. Com ela, os alunos ampliam seus conhecimentos de forma signifi-cativa. É fundamental a forma de devolução, especialmente se for apresentação ou debate.

Sobre as usinas, a maior usina com espelhos refletores e para-bólicos foi inaugurada em Abu-Dhabi. Ler a notícia da Veja neste link: <http://veja.abril.com.br/noticia/ciencia/abu-dhabi-inaugura--maior-usina-de-energia-solar-concentrada-do-mundo>.

Explorar, ainda, as informações a respeito dos espelhos parabó-licos disponíveis no site da Infoescola: <http://www.infoescola.com/optica/espelhos-parabolicos>.

Análise

1)

a. Na função f(x) = –3x2 – 5x + 2: a = –3, b = – 5 e c = 2.

b. Na função g(x) = x2 –9: a = 1, b = 0 e c = –9.

c. Na função h(x) = 3π x2 + 13x

+ 8: a = 3π, b = 13

e c = 8.

d. Na função m(x) = –52x2

– 7x: a = 52

, b = –7 e c = 0.

e. Na função n(x) = –mx2 + n: a = – m, b = 0 e c = n.


2) Para o cálculo de n, substituem-se os valores de x e y conhecidos, que são os valores de P. Logo, tem-se: –3 = n(–1)2 + 3(–1)–2– 3 = n – 3 – 2– 3 = n – 5– 3 + 5 = nn = 2

A função é f(x)= 2x2 + 3x – 2 e o gráfico é:

–6

–1–2–3–4–5–6 –3–1;–3

30

0

–3; 7

–2; 0

–4; 18

3; 25

2; 12

1; 3

0; 2

–5; 33

1 2 3 4

6

91215

18

2124

2730

3336

3) Estudamos que o vértice da parábola tem coordenadas definidas pela fór-

mula: x = b2a

e y = ∆4a

.

Então, –b2a

= –1; logo, temos: – (–3r)2 · 3

= –1. Isolando r, temos r = – 2.

– ∆4a

= 2, implica em que:

–[(–3r)2 – 4 · 3 · 3s]4 · 3 = 2

s = 53

4) Para a função g(x) = (5p – 25)a2 – 5a – 1, apresente o valor máximo do coefi-ciente 5p – 25 > 0.

Logo, 5p > 25; então, p > 5.

Solução: a função g(x) = (5p – 25)a2 – 5a – 1 terá ponto de máximo para quaisquer valores de p no intervalo ]5; + ∞[.

5) Para que o valor de z seja 20 há que se considerar que – ∆4a

= 20.

Logo, temos: –[100 – 4 (–1) · z]2 · (–1)

= 20

–[100 + 4z]/(–4) = 20 100 + 4z = 80 4z = –20 z = –5


6) a. O esboço do gráfico:

0; 0

1; –3

2; –4

3; –3

4; 0

5; –5–1; 5

b. As coordenadas das raízes: f(x) = x2 – 4x = 0 x(x – 4) = 0 x = 0 E: x = 4

Logo; as coordenadas são: (0,0) e (4,0).

c. As coordenadas do vértice:

x = – b2a

e y = – ∆4a

V = (2, –4)

d. A concavidade é para cima. Há ponto de mínimo.


–3; –12

–2; –5

1; 0

0; 31; 4

2; 3

3; 0

4; –5

5; –12


b. As coordenadas das raízes: f(x) = –x2 + 2x + 3 Aplica-se Bhaskara e as coordenadas são: (–1, 0) e (3,0).c. As coordenadas do vértice:

x = – b2a

e y = – ∆4a

V = (1, 4)

d. A concavidade é para baixo. Há ponto de máximo.


–1; 0

0; –3

1; –4

2; –3

3; 0

4; –5–2; 5

b. As coordenadas das raízes: f(x) = x2 – 2x –3. Aplica-se Bhaskara e as coordenadas são: (–1,0) e (3,0).

c. As coordenadas do vértice:

x = – b2a

e y = – ∆4a

V = (1, –4)

d. A concavidade é para cima. Há ponto de mínimo.

e. Intervalos nos quais a função f(x) > 0 e f(x) < 0. f(x) < 0 para {–1 < x < 3} f(x) > 0 para {x > 3 e x < –1}

9) Para que a função f(x) = (m – 10)x2 + 5x –1 seja quadrática, o coeficiente de x2 tem que ser diferente de zero.

Então, m – 10 ≠ 0. Portanto, a solução é {p ∈ IR / p ≠ θ}.


10) a. A sentença matemática que relaciona a área em função dos lados: A(x) = y . x. Observe que y = 16 – 2x. A(x) = (16 – 2x)x. Logo A(x)= 16x – 2x2 ou f(x) = –2x2 + 16x.

b. As dimensões da edificação para que a área seja máxima: Xv = –b/2a Xv = –16/2(–2) Xv = –16/–4 Xv = 4 Portanto, f(4) = 32 u.a.

Páginas 156-157

Análise

1)

x f(x)–3 0,037037037–2 0,111111111–1 0,3333333330 11 32 93 27

Observe o gráfico, cuja função é f(x) = 3x:

Na medida em que os valores da variável x aumentam, os valores da imagem também aumentam; portanto, a função é crescente.

2928272625242322212019181716151413121110

9876543210

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4


2) Calculando-se alguns pares ordenados, tem-se:

x f(x)–4 81–3 27–2 9–1 30 11 0,3333333332 0,1111111113 0,0370370374 0,012345679

A função f(x) = 13

x tem um comportamento decrescente, ou seja, na medida

em que os valores da variável x aumentam, os valores da imagem decrescem ou diminuem, aproximando-se do eixo 0x.

3)

x f(x) f(x)=––4 –1,9375 2–3 –1,875 –2–2 –1,75 –2–1 –1,5 –20 –1 –21 0 –22 2 –23 6 –24 14 –2

16

14

12

10

8

6

4

2

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5

Assíntota:

–2

–4

00


4)

x f(x) f(x)=––4 2,012345679 2–3 2,037037037 2–2 2,111111111 2–1 2,333333333 20 3 21 5 22 11 23 29 2

35

30

25

20

15

10

5

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4

As duas funções têm comportamentos similares.

5)

x f(x) f(x)=3,14–4 3,150286826 3,14–3 3,172300635 3,14–2 3,241423993 3,14–1 3,458471338 3,140 4,14 3,141 6,28 3,142 12,9996 3,143 34,099144 3,14

6) A função tem um comportamento simi-lar ao da função p(x), em termos de variação das ordenadas. Uma diferença entre as funções são as assíntotas: em g(x) é f(x) = 3,14 e em t(x) é f(x)=0.

33

30

27

24

21

18

15

12

9

6

3

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4

7)

Solução:

6

5

4

3

2

1

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5

0

0


8)

a. f(x) = 32

x

decrescente.

b. f(x) = ( 5 – 2)x decrescente.

c. f(x) = π2

x

crescente.

d. f(x) = 72

x

crescente.

9) Para que uma função exponencial seja crescente, a base tem que ser maior do que 1. Logo, 3p – 4 >1; então, p > 5/3. Portanto, a função g(x) será crescente em IR para todo p > 5/3.

10) Para que uma função exponencial seja decrescente, a base tem que ser maior do que zero e menor do que 1. Portanto, 0< –3r + 1 < 1.–3r + 1 < 1; então, –3r <0 [x(–1)], tem-se: r > 0.0< –3r + 1; então, –1< –3r [x(–1)], tem-se: r > 1/3.Resposta: Portanto, a função m(x) será decrescente em IR para todo 0 < r < 1/3.

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