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M@tplus Funções a duas variáveis
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O que é uma função?
Até agora estudamos funções a uma variável, aplicando esse mesmo estudo a problemas da realidade, enquanto regras que transformam de forma única, um determinado valor de entrada num valor de saída.
O valor mensal da prestação de um crédito por 25 anos é função do valor do crédito;
O tempo que se demora numa viagem de 200km é função da velocidade a que se circula.
Contudo, frequentemente, as funções representam um fenómeno dependente de várias grandezas.
O valor mensal da prestação de um crédito é função do valor do crédito e do número de anos de contrato;
O tempo que se demora numa viagem é função da velocidade a que se circula e da distância que se percorre.
Relembrando…
Função real de variável real
Entendemos por função real a uma variável real uma correspondência unívoca, entre dois conjuntos e , que a cada elemento de (denominado objecto), faz corresponder um e um só elemento de (imagem). Os conjuntos e são subconjuntos de .
Em linguagem matemática, temos : , em que para cada existe um e um só tal que . Representamos
:
A chamamos o domínio da função , e a o conjunto de chegada, sendo e subconjuntos de .
Funções reais a duas variáveis reais
Parte I
M@tplus Funções a duas variáveis
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Vejamos um exemplo aplicado.
Numa determinada empresa o lucro anual , em milhares de euros, é dependente do custo do trabalho realizado , em milhares de euros, segundo a função 20 √5 .
Se desejarmos determinar o lucro que esta empresa obteve no último ano, sabendo que o trabalho custou 5 milhares de euros devemos:
1. Tomar 5; 2. Calcular 5 20 √5 5 15.
Temos então que a empresa, no último ano, teve um lucro de 15 milhares de euros.
Estamos perante uma função real a uma variável real, ou seja, cada objecto (variável
independente) é representado por um número real, e cada imagem (variável dependente) é também um número real.
O gráfico de uma função real a uma variável real é um conjunto de pontos do tipo , no plano, em que representa o objecto, e a respectiva imagem.
Até agora foram estudadas apenas funções reais a uma variável real sendo, portanto, o domínio um subconjunto de . Passaremos a estudar funções reais a duas variáveis reais , , sendo, por isso, o domínio um subconjunto de . No caso de funções reais a
três variáveis reais, o domínio será um subconjunto de , a quatro variáveis o domínio será um subconjunto de , e assim sucessivamente.
Neste guião, sempre que possível, faremos uma analogia entre funções a uma e a duas variáveis.
NOTA:
Qualquer variável, pertencente a , (ou em geral a , ), é representada usualmente por letras minúsculas quaisquer.
Recorde:
Um conjunto de pontos no plano representa o gráfico de uma função se qualquer recta vertical o intersecta, no máximo, num ponto. Isto porque, numa função, a cada objecto corresponde uma e uma só imagem.
5
15
Fig.1
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16
5
17
Funções reais a duas variáveis reais
Retomando o problema anterior, verificamos que o lucro anual da mesma empresa não é dependente apenas do custo do trabalho , mas também do capital y da mesma, considerado também em milhares de euros. Seja , 20 √5 a função que nos dá o lucro anual da empresa. Estamos perante uma situação em que o nosso objecto é composto por um par de variáveis , , que representam, respectivamente, o custo do trabalho e o capital, do qual resultará o lucro anual , .
Se desejarmos determinar o lucro que esta empresa obteve no último ano, sabendo que o trabalho custou 5 milhares de euros, e que o seu capital é de 16 milhares de euros, devemos:
1. Tomar 5 e tomar 16, ou seja, , 5,16 ;
2. Calcular 5,16 20 √5 5√16 17;
Temos então que a empresa, no último ano, teve um lucro de 17 milhares de euros.
Estamos então perante uma função real a duas variáveis reais, ou seja, cada objecto , (par de variáveis independentes) é representado por um par ordenado de números
reais, e cada imagem , (variável dependente) é um número real.
Função real a duas variáveis reais Uma função real a duas variáveis e , reais, é uma correspondência unívoca que associa a cada par ordenado , , um único número real , . Representamos :
, , O domínio, , é um subconjunto de e o conjunto de chegada é .
Fig.2
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I. Domínio e gráfico de uma função real a duas variáveis reais
Como calcular o domínio de uma função a duas variáveis
O domínio de uma função real a duas variáveis reais é determinado pelas mesmas restrições que o domínio de uma função a uma variável. É claro que este domínio será um subconjunto de , ao passo que o domínio de uma função real a uma variável real é um subconjunto de . O gráfico de uma função real a duas variáveis reais , é um conjunto de pontos do tipo , , no espaço, em que e representam o objecto e , a respectiva imagem.
Representemos graficamente o domínio e a própria função, para cada uma das funções do exemplo dado:
Função real a uma variável real
20 √5 Calculando o seu domínio, temos que
: 5 0 . Ou seja,
: 0 .
Função real a duas variáveis reais
, 20 √5 Calculando o seu domínio, temos que
, : 5 0 0 . Ou seja,
, : 0 0 .
Atenção:
Um conjunto de pontos no espaço não é sempre gráfico de uma função. Para que seja gráfico de uma função é necessário que, qualquer recta perpendicular ao plano intersecte‐o, no máximo, num ponto. Isto porque, numa função, a cada objecto (neste caso par ordenado , ) corresponde uma e uma só imagem (cota ).
Repare que:
Função a uma variável
Objecto → número real
Imagem → número real
Função a duas variáveis
Objecto → Par ordenado de números reais
Imagem → número real
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Representação gráfica do domínio
Representação gráfica da função
Função 2D
Representação gráfica do domínio Representação gráfica da função
Função 3D
Exercícios:
Na resolução dos exercícios deste guião pode recorrer aos softwares matemáticos Winplot, WinFunc e Nucalc. Pode fazer o download de alguns destes softwares na página http://elearning.ipvc.pt/estg2007/.
1. Represente, graficamente, as seguintes funções:
2 , , 2 , , 3 , √2 e , 2 .
Que conclusões?
Quais destas funções se representam no plano, ou seja, a duas dimensões, e quais delas se representam no espaço, ou seja, a três dimensões?
Como poderemos fazer a distinção?
0 o
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Nota:
Se visualizar o gráfico de uma função real a duas variáveis reais “de cima”, consegue notar o domínio da função, uma vez que este é a projecção do gráfico no plano .
Recorde:
Que lugares geométricos representam, por exemplo, as equações
4 0 4 0 9 0?
Se não os consegue identificar, recorra aos anexos!!!
2. Considere a função real de variável real ln 3 .
a. Represente graficamente a função . b. Determine, se possível, 4 , 10 e 2 . c. Represente geometricamente o domínio da função.
3. Considere agora a função real de variáveis reais , definida por
, .
a. Represente graficamente, com a ajuda de um software adequado, a função .
b. Determine, se possível, 4,2 , 0,1 e 1,0 . c. Dê exemplo de dois pontos que não pertençam ao domínio. d. Represente geometricamente o domínio da função.
4. Considere as seguintes funções reais de variáveis reais.
, 3 4; , ;
, ;
, 4 ;
, 4; , ln 2 3 4;
, 2 ;
, .
a. Calcule, para cada uma das funções, se possível, a imagem dos pares 2,2 , 1,2 , 1,0 e 0,0 .
b. Calcule e represente graficamente o domínio de cada uma das funções.
5. O valor futuro de um investimento que rende 2,5% capitalizados continuamente, é uma função dependente do investimento inicial (em euros) e do tempo que se
mantém o investimento (em semestres), e é definida por , , .
Que conclusões?
Depois de resolver os primeiros exercícios, conclua sobre o que se deve ter em conta no cálculo do domínio de uma função.
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a. Determine 1000,1 e 1000, 2 e interprete a sua resposta, no contexto
do problema.
b. Qual o domínio da função acima descrita se não se considerar o contexto do problema? E se se considerar?
6. Os alpinistas Alfa, Beta e Delta encontram‐se numa montanha cuja superfície pode ser
aproximada pela função , , onde e são as coordenadas oeste‐
este e sul‐norte no mapa e é a altura acima do nível do mar (em km). Relativamente
às coordenadas e , os alpinistas localizam‐se nos pontos 1,2 , 1 ,2√2 e 4,6 , respectivamente.
a. A que altura se encontram os alpinistas Alfa, Beta e Delta?
b. Dê um exemplo de coordenadas da posição de um alpinista, de modo a que a sua altura, acima do nível do mar, seja de 1400 m.
c. As coordenadas de posição obtidas na alínea anterior são únicas?
Até agora…
• Calcular o domínio de uma função a duas variáveis
• Calcular a imagem de um dado objecto ,
• Como calcular, dada uma imagem, os objectos aos quais esta corresponde
Sugestão:
Fixe uma das coordenadas, por exemplo a coordenada oeste‐este, igual a 3.
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Será que o lucro da empresa é de 10 milhares de euros apenas para um valor de custo de trabalho e um valor de capital, ou seja, para um
único par , ?
II. Curvas de nível Na grande maioria dos casos não é fácil representar e interpretar o gráfico de uma função real a duas variáveis reais; portanto recorremos à representação das curvas de nível, que a seguir definimos.
Curvas de Nível
A curva de nível de uma função real a duas variáveis reais , de nível , é o conjunto de pares ordenados , do domínio, que têm a mesma imagem .
Voltando ao nosso exemplo inicial, queremos determinar para que valores de custo de trabalho e de capital , o lucro anual é de 10 milhares de euros!!!
Se calcularmos, por exemplo, , 20 √5 para os pares ordenados
45,625 e 20,0 , temos que 45,625 10 e que 20,0 10, ou seja, a curva de nível associada ao nível 10 da função contém estes pontos.
Estão representados acima o gráfico da função , e duas formas de representação das curvas de nível de . Cada uma das linhas é um lugar geométrico que contém pontos que, por , têm a mesma imagem. No terceiro gráfico interpretamos ainda qual o nível de cada linha,
utilizando a graduação de cor, sendo a cor mais clara utilizada para níveis mais elevados (maiores imagens).
Fig.3
Fig.4 Fig.5
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-2-1
01
2
-2-1
0
12
-4
-2
0
2
4
eixo
Z
eixo Xeixo Y
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Vejamos um outro exemplo.
Consideremos a função real a duas variáveis reais , 4. O domínio desta função é o conjunto . Na figura 6 podemos ver o gráfico de .
Queremos as soluções da equação , 3, ou seja, determinar quais os objectos , cuja imagem é três. Geometricamente, comecemos por identificar a intersecção do
gráfico de com o plano de equação 3, como se ilustra na figura 7. Na figura 8 temos a intersecção com o plano 1.
Assim, as curvas de nível são projecções, do resultado de cada intersecção no plano, como se mostra na figura 10.
-2 -1 0 1 2-2
02
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
eixo X
z=-x2-y2+4
eixo Y
eixo
Z
-2-1
01
2
-2-1
0
12
-4
-2
0
2
4
eixo
Z
eixo Xeixo Y
0 5 10 15 20 25
010
2030
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
eixo Xeixo Y
eixo
Z
Fig.6
Fig.7Fig.8
Fig.10Fig.9
M@tp
Exer
1.
2.
3.
4.
Im
Que
plus
rcícios:
. Considere
a. Cb. D
c. Qp
d. Dq
e. R
. Considere
a. Db. Rc. F
. Dada a f
graficamea. ab. a
Pela obser
. Os meteoDestas obassinaladamesma pcorrespon
portante
e semelhanças
A cada um des
emos a funçã
Calcule o domDetermine o
Que lugar gepara as imageDetermine a que cada curv
Represente g
e a função re
Determine e Represente gFaça um esbo
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nte: a função; as curvas de n
rvação deste
orologistas mbservações, eas as curvas pressão atmnde a um pon
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mínio da funçconjunto de
eométrico reens 0 e 2? curva de níva represent
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medem a preeles criam misobáricas (osférica). Qnto com pres
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riáveis reais
graficamentee a função. as de nível d
variáveis rea
ção.
ndique o dom
essão atmosmapas de clcurvas cujos
Que ponto assão máxima
o domínio da fu
dência?????
mos curva de níve
ar acerca do cont
eais ),( yxf
ue têm image
conjunto det
da ao nível k
e as respecti
yxhz = ),(
e o domínio
da função.
ais (= xgz
mínio da fun
sférica em mima nos quas pontos estassinalado na? E mínima?
unção e das cur
el associada ao nív
tradomínio da fu
Funç
22 += yx
em 0, imagem
terminado n
k. Indique o
ivas curvas d
yxyx
+−
= .
da função.
ln(), = xyyx
ção. Verifiqu
milibares. ais estão tão sob a no mapa ?
rvas de nível?
vel k, em que k é
nção?
ões a duas va
Página 10
42 − .
m 2 e image
na alínea ant
lugar geom
de nível.
)1−y , repre
ue calculando
é imagem dada.
riáveis
0 de 21
m ‐2.
terior,
étrico
esente
o‐o.
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5. Tente agora resolver o exercício 6. b. da primeira parte do guião, encontrando agora não um exemplo, mas todas as soluções.
6. Faça uma correspondência entre as seguintes figuras, de forma a ter o gráfico de uma função e as respectivas curvas de nível.
1
1
ln
ln 2 3 2 4
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y
III. Limites e continuidade
Limite [ELL]
Nas funções reais a uma variável real, calcular o limite de uma função num ponto de abcissa , significa estudar o comportamento das imagens de elementos do domínio próximos de . A facilidade em determinar este limite reside no facto de, na recta real, existirem apenas duas formas de aproximação da abcissa , pela sua direita ou pela sua esquerda. Portanto há, no máximo, duas aproximações a analisar.
Se pelos dois caminhos de aproximação à abcissa , o limite for o mesmo valor , dizemos que existe limite e que
lim
Nas funções reais a duas variáveis reais, o limite é determinado pelo mesmo raciocínio, ou seja, calcular o limite de uma função num ponto de coordenadas , , significa estudar o comportamento das imagens de elementos do domínio próximos de , . A diferença neste cálculo de limite está no facto de, no plano, não existirem duas formas, mas sim infinitas formas de aproximação do ponto de coordenadas , . Portanto, há infinitas aproximações a analisar.
Se por todos os caminhos possíveis de aproximação ao ponto , , contidos no domínio, o limite for o mesmo valor , dizemos que existe limite e que
lim
, ,,
a
b
x
a x
y
x
z
a
b
y
a
k
x
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Dizemos que não existe limite de uma função real a uma variável se:
• por caminhos distintos de aproximação à abcissa , as respectivas imagens tenderem para valores diferentes
OU • este for infinito por algum caminho
de aproximação.
Este é um exemplo em que não existe limite, no ponto de abcissa 1.
Dizemos que não existe limite de uma função real a duas variáveis num ponto , se:
• por caminhos distintos de aproximação
a , , as respectivas imagens tenderem para valores diferentes;
OU • este for infinito por algum caminho de
aproximação. Este é um exemplo em que não existe limite, no ponto de coordenadas 0,0 .
IMPORTANTE
Para mostrarmos que não existe limite, basta que, pela aproximação a , por dois caminhos distintos, as imagens tendam para valores distintos, ou que um limite, por qualquer aproximação a , seja infinito.
Para mostrarmos que existe limite:
• Substituimos na expressão da função , por , e se o resultado for um valor , este é o limite.
o Se o resultado for uma indeterminação, apenas conseguiremos mostrar a existência do limite pela definição, que simbolicamente se expressa do seguinte modo.
kyxfbayx
=→
),(lim),(),(
εδδε <−⇒<−+−<∈>∃>∀⇔ kyxfbyaxDyx f ),()()(0 e ),( :0 0 22 .
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Exemplos:
1. Consideremos uma outra função , ,
representada ao lado.
Veremos o limite da função no ponto (1,0). Intuitivamente, podemos dizer que à medida que nos aproximamos do ponto de coordenadas 1,0 , por qualquer caminho, contido no domínio, as imagens aproximam‐se da imagem 1, ou seja,
lim, ,
1 11
1
Veremos o limite da função no ponto 0,1 . Podemos dizer que à medida que nos aproximamos do ponto de coordenadas 0,1 , por qualquer caminho contido no semi‐plano
0 , as imagens tendem para ∞. No entanto, se nos aproximamos por um caminho contido no semi‐plano 0, as imagens tendem para +∞. Neste caso, dizemos que não existe limite de no ponto de coordenadas 0,1 .
Pela representação das curvas de nível da função , concluiríamos a inexistência de limite nos pontos do tipo 0, , .
2. Consideremos agora a função definida por , . O domínio da função
é o conjunto 0,0 . Como calcular o limite lim , , , ?
Substituindo na função, chegamos a uma indeterminação,
Fig.12
Fig.11
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lim, ,
,10 0 0
2 0 3 000
Representando graficamente a função, e as respectivas curvas de nível, intuímos que não existirá tal limite.
Como provar?
Devemos encontrar dois caminhos e do domínio, que se aproximem do ponto de coordenadas 0,0 , tais que as imagens desses pontos, por , se aproximem de valores diferentes. Isso parece acontecer com as rectas bissectrizes do plano, logo, tomando
: e : , e calculando os limites
lim, ,
, lim, ,
, lim10
2 3 lim2 2
lim, ,
, lim, ,
, lim10
2 3 lim 2 2
Temos dois limites diferentes, o que basta para provar que a função não possui limite nesse ponto.
Importante
Calcular e representar as curvas de nível de uma determinada função real a duas variáveis reais, torna‐se imprescindível para a compreensão do comportamento desta, que nos é difícil, por vezes, visualizar.
Fig.13 Fig.14
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Exercícios:
1. Calcule os seguintes limites.
a. lim , , x y
b. lim , ,
c. lim , ,
d. lim , ,
2. Calcule o limite, se existir. No caso de não existir limite, justifique.
a. lim , ,
b. lim , ,
c. lim , ,
d. lim , ,
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NOTA :
Nas funções reais a duas variáveis, são válidos todos os resultados que se consideram para funções a uma variável, relativamente à continuidade, ou seja:
• Qualquer função polinomial, racional ou irracional é contínua no seu domínio;
• Qualquer função trigonométrica é contínua no seu domínio;
• Quaisquer funções exponenciais ou logarítmicas são contínuas no seu domínio.
E…
A soma de duas funções contínuas num dado ponto é contínua nesse ponto;
O produto de duas funções contínuas num dado ponto é contínua nesse ponto;
O quociente de duas funções contínuas
num dado ponto, no qual a função denominador não se anula, é contínua nesse ponto;
A composição de duas funções, f e g, é contínua num ponto se g for contínua nesse ponto e f for contínua na imagem, por g, desse ponto.
Continuidade
Depois de explorarmos a noção de limite, torna‐se fácil explorar o conceito de continuidade de uma função real a duas variáveis.
Em funções a uma variável, dizemos que uma função é contínua num ponto de abcissa do seu domínio se se verificarem as seguintes condições:
• lim ;
• lim . Uma função diz‐se contínua se for contínua em todos os elementos do seu domínio.
Em funções a duas variáveis, dizemos que uma função é contínua num ponto de coordenadas , do seu domínio se se verificarem as seguintes condições:
• lim , , , ;
• lim , , , , . Uma função diz‐se contínua se for contínua em todos os elementos , do seu domínio.
Analisando a função definida por
, 20 √5 , vemos que a
função é a soma de funções polinomiais e irracionais, logo concluimos que a função é contínua no seu domínio.
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Exemplos:
1. Consideremos a função real a duas variáveis reais , definida por
, , 0,0
2 , 0,0.
O domínio da função é , em que os pontos do domínio , 0,0 têm imagem definida por uma expressão e o ponto , 0,0 tem imagem 2.
A função é contínua para todos os pares de objectos , \ 0,0 , pois é
uma função racional.
Falta averiguar a continuidade para o par 0,0 .
Calcula‐se
I. lim , , 0;
II. 0,0 2;
Como lim , , , 0,0 , a função não é contínua no ponto 0,0 .
Repare:
Para que uma função seja contínua num ponto, é obrigatório que exista limite nesse ponto e que este, por sua vez, seja igual à imagem desse ponto.
Se no cálculo de limite se determinar que este não existe, conclui‐se logo que a função não é contínua no ponto.
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4
‐4
4
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‐4
2. Dada a função definida por , 16 160 16
, temos que:
o domínio da função é o conjunto
, : 16 , : 16 , :16 (ou seja, o interior, o exterior e a circunferência de centro 0,0 e de raio 4, que
se discrimina pois a função muda de expressão nos pontos que estão sobre esta circunferência);
• a função é contínua para todos os pontos do conjunto , : 16 por se obter por uma expressão polinomial nesses pontos;
• a função contínua para todos os pontos do conjunto , : 16 por ser constante, igual a zero, nesses pontos;
• falta mostrar a continuidade para os pontos do conjunto , : 16 .
Como a circunferência é constituída por uma infinidade de pontos, não poderemos mostrar um a um; no entanto sabemos que verificam a igualdade 16, logo, tomando , , : 16 , temos que
por caminhos interiores à circunferência,
lim, ,
, lim, ,
16
16 16 16 16 0,
e por caminhos exteriores à circunferência,
lim , , , lim , , 0 0.
4
4
‐4
4
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Logo, também nos pontos da circunferência, a função é contínua, ou seja, a função é contínua no seu
domínio.
3. Consideremos agora a função definida por:
, 16 161 16
.
Neste caso, a função não é contínua sobre os pontos da circunferência de centro 0,0 e de raio 4, porque
por caminhos interiores à circunferência,
lim, ,
, lim, ,
16 16
16 16 16 0
por caminhos exteriores à circunferência,
lim , , , lim , , 1 1
Exercícios:
1. Considere as seguintes funções:
, , , , ln
a. Determine o domínio e discuta a continuidade de cada uma delas.
b. Determine o limite, se possível, das funções , e no ponto de coordenadas 0,0 .
2. Discuta, recorrendo às representações gráficas das funções e respectivas curvas de nível, a continuidade de e de , dadas por:
a. , ln 4 1 , 0,00 , 0,0
, ln 4 1 , 0,01 , 0,0
b. , 4 36 4 36 3 4 36
, 4 36 4 36 0 4 36
Fig.15
Fig.16
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3. Verifique se as seguintes funções são contínuas na origem.
a. ,
b. , ln 1
c. , 2ln 2 2
4. Seja , , 0,0
0 , 0,0.
a. Calcule o domínio de .
b. Determine o limite da função, na origem.
c. Estude a continuidade de .
Bibliografia [LH] Larson, R., Hostetler, R. e Edwards, B., Cálculo, Mc Graw Hill, 2006 [BHJ] Bortolossi, H .J., Cálculo Diferencial a Várias Variáveis, Edições Loyola, S. Paulo, 2002.
[ELL] Lima, L. E.; Curso de Análise, Vol.1, Projecto Euclides, Nona Edição, 1999.
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