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Fundamentos de Análise de Sinais
Erros Estatísticos nos Estimadores
Conceitos Básicos
Definição dos tipos de erros
2ˆE Erro médio quadrático
2 2ˆ ˆ ˆVar E E Variância do estimador
ˆ ˆb E Tendência do estimador
Conceitos Básicos
Definição dos tipos de erros
22
2
2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2
ˆ
E E E E
E E E E E
E E
ˆ ˆ ˆ ˆ 0E E E E
Conceitos Básicos
Definição dos tipos de erros
2 22
2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆVar
E E E E E
b
Conceitos Básicos
Definição dos tipos de erros
2 2ˆ ˆ ˆE E Erro aleatório
2
2 2
ˆrms error
ˆ ˆrms error
E
b
Erro rms
Conceitos Básicos
Definição dos tipos de erros
ˆ
r
Erro aleatório normalizado
ˆ
b
b
2 2ˆ ˆb
Erro de tendência normalizado
Erro RMS normalizado
Conceitos Básicos
Considerações sobre os erros e as FDP dos estimadores
2
2
ˆˆ1ˆ exp
ˆ2 2p
E
ˆ 0b ˆ 0.20
ˆ ˆ com 68% de confiança
1 1
ˆ ˆcom 95% de confiança
1 2 1 2
Estimador da média
0
1ˆ
T
x
x
x t dtT
E x t
ˆ 0
1ˆVar 1
1ˆVar
x
T
x xxT
x xx
b
C dT T
C dT
Estimador da média
22
2
0
0
sin 2
2
xx
xx
xx x
f f BG f B
f B
BC
B
2
se 5
ˆVar2
1ˆ
2
xx
xx
x
BT
BT
BT
Ruído de banda estreita
2
2 2
2
2ˆ
2ˆ
xr x
x
xr x
x
BT
BT
Estimador da média quadrática
2 2
0
2 2
1ˆ
T
x
x
x t dtT
E x t
2
2 2 2
2 2 2
ˆ 0
2ˆVar 1 2
2ˆVar 2
x
T
x xx x xxT
x xx x xx
b
C C dT T
C C dT
Estimador da média quadrática
Ruído de banda estreita
22
2
0
0
sin 2
2
xx
xx
xx x
f f BG f B
f B
BC
B
4
2 2
2
22
se 5
2ˆVar
1 2ˆ
xx x x
x x xx
x x
BT
BT BT
BT BT
2 1ˆ
1ˆ
2
r x
r x
BT
BT
Estimador da variância
2 2 2
22
ˆˆ ˆx x x
x xE x t
22 2 2
24 2
2 2 2
4 4 2 2 4
4 2 2 4
ˆ ˆVar
ˆ ˆ
ˆˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ2
ˆ ˆ ˆ ˆ2
x x x
x x
x x x
x x x x x
x x x x
E
E E
E E E
E E
E E E
Estimador da variância
2 2 2
22
ˆˆ ˆx x x
x xE x t
2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆVar Var Var 2x x x x x x xE E E
Estimador da variância
22
42
ˆ2
ˆVar
xx
xx
bBT
BT
22
2
0
0
sin 2
2
xx
xx
xx x
f f BG f B
f B
BC
B
2 1ˆ
1ˆ
2
r x
r x
BT
BT
Estimador da variância
22
42
ˆ2
ˆVar
xx
xx
bBT
BT
22
2
0
0
sin 2
2
xx
xx
xx x
f f BG f B
f B
BC
B
2 1ˆ
1ˆ
2
r x
r x
BT
BT
Estimador da Função Densidade Probabilidade
00 0
2
2
2
2
1ˆ , Prob2 2
ˆ, ,ˆlim lim lim
ˆ ,ˆ
,
ˆ , , 1ˆ
xi
i
T TWW W
x
x W
x W
x W
x W
TW WP x W x x t x t
T T
P x W P x Wp x p x
W W
P x W Tp x
W TW
P x W p d
E P x W P x WE p x p d
W W W
Estimador da Função Densidade Probabilidade
ˆE p x p x
2 2
2
2
2
2 22 32 2
2 22
ˆ ˆ ˆ
ˆ2
1ˆ
Exp. Série de Taylor2
02 2 24
x W
x W
x Wx W x W
x W x Wx W
E p x p x Var p x b p x
p xVar p x
BTW
E p x p dW
xp p x x p x p x
x Wx d x d
Estimador com erro de tendência
Estimador da Função Densidade Probabilidade
3
3
ˆ24
ˆ ˆ
ˆ24
WE p x p x p x
b p x E p x p x
Wb p x p x
Erro RMS normalizado
2 42 ˆ
2 576
p xc Wp x
BTWp x p x
c=1 para sinais discretos
Estimador das Funções Correlações
0
10
ˆ1
0
T
xy T
x t y t dt TT
Rx t y t dt T
T
Simplificando-se para se evitar o uso da função módulo pode-se utilizar:
0
0
0
1ˆ 0
1ˆ 0
1ˆ 0
T
xy
T
xx
T
yy
R x t y t dt TT
R x t x t dt TT
R y t y t dt TT
Estimador das Funções Correlações
0
0 0
1ˆ
1 1
T
xy
T T
xy xy
xy
E R E x t y t dtT
R dt R dtT TR
2 2
2
1ˆ 02
1ˆ 0 02
xx xx xx
xy xx yy xy
Var R R RBT
Var R R R RBT
Este estimador não possui erro
sistemático.
21ˆ
1ˆ
xx xx xx xx
xy xx yy xy yx
Var R R R R dT
Var R R R R R dT
Para ruídos de banda estreita “B”.
Estimador das Funções Correlações
2
1 22
1ˆ ˆ0 0
1ˆ 12
0
xx x
xx xx
xxxx
xx
RBT
RBT
R
R
1 221ˆ 12
0 0
xy xy
xyxy
xx yy
RBT
R
R R
Casos especiais.
Estimador das Funções Correlações
22 2
2
1ˆ 12
1ˆ 0 22
xyss
xy
S M S NR
BT S
R M S N S M S N SBT
Relações Sinal/Ruído
x t s t m t
y t s t n t
2
22
1ˆ 02
1ˆ 02
xy
xy
NR
BT S
NR
BT S
0 1M N S
1M N N S
Estimador das Funções CorrelaçõesLocalização do pico
3
2
sin 20
2
2sin 2 2
6
2ˆ 0 13
ˆ 0 0
xx xx
xx xx
xx xx
BR R
B
BB B
BR R
E R R
2
4 2 4
22
4 4
ˆ ˆ0 0 0
40
9ˆ 0
ˆ 00
4
9
xx xx xx
xx
xx
xxxx
Var R E R R
B R E
Var RR
R
B E
Estimador das Funções CorrelaçõesLocalização do pico
1
2 21
4 41
42 41
0.5
1
1 1
0 possui uma distribuição normal
E 3
4ˆ 03
0.93 ˆ 0
2 2
xx
xx
E
E
R B
RB
Estimador das Funções Densidades Espectrais
Estimador através de filtro passa banda e integração
Estimador das Funções Densidades Espectrais
2 2
0
2 2 2
0
22
000 0
22
0
22 21 2 1
1ˆ , , ,
1ˆ, , lim , ,
, 1 ˆlim lim , , lim
ˆ ,1ˆ , ,
, ,
e
e e
T
x e e
T
x e x e eT
Tx exx e xxT TB
e eB B
T x exx e
e e
f
x xx x e xxf
f B x t f B dtT
f B E f B x t f B dtT
f BG f x t f B dt G f
B B T
f BG f x t f B dt
B T B
f f G f df f B G d
2
2
22
2
, 1ˆ
f Be
f Be
f Bex exx xx xxf Be
e e
f BE G f G d G f
B B
Estimador das Funções Densidades Espectrais
22
2
2
2
42
ˆ ˆ ˆ
ˆ24
0 nos picosˆ0 nos vales 24
ˆ
1 1ˆ ˆ576
xx xx xx xx
exx xx xx
xxexx xx
xx
xxxx
e
xxer xx xx
ee
E G f G f Var G f b G f
BE G f G f G f
G fBb G f G f
G f
G fVar G f
B T
G fBG f G f
B TB T
2
xxG f
Estimador das Funções Densidades Espectrais
2
2
0
2
2 2 2
12 lim ,
,
2,
, , ,
xxT
T j ft
xx
R I
G f E X f TT
X f T x t e dt
G f X f TT
X f T X f T X f T
Soma de duas variáveis independentes
Estimador das Funções Densidades Espectrais
22 Distribuição de probabilidade Qui-quadrado
2
2 2
Distribuição de probabilidade Qui-quadrado com 2 graus
de liberdade n=2
21
xx
xx
xx
r xxxx
r xx
G f
G f
G f nG f
G f n n
G fn
Estimador das Funções Densidades Espectrais
2
1 1
1 2 1ˆ ,
1ˆ
1
1ˆ
d dn n
xx i xxi id d
r xx
d
r d
e
r xx
e r
G f X f T G fn T n
G fn
T n T
B f T
G fB T
Estimador das Funções Densidades Espectrais
2 2; 2 ; 1 2
ˆ ˆ
2 2ˆ ˆ1 1
xx xxxx d
n n
xx xx xx
d d
nG f nG fG f n n
G f G f G fn n
Intervalos de confiança
Tempo de Amostragem Necessário
Estimadores Avançados
Estimadores Avançados
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