Geometria

Conceitos IniciaisPonto: A,B,C...

Reta: r,s,t...Plano: ,,..

Conceitos Primitivos

AB

r

AB Reta que passa pelos pontos A e B BAAB, Semi-retas

Conceitos Iniciais

AB

r

Segmento de reta

AB

AB

PARALELISMOPARALELISMO

Algumas relações importantesAlgumas relações importantes

Qual a soma das medidas dos ângulos ao lado ?

.

Algumas relações importantesAlgumas relações importantes

Se 90 o ; então estes são chamados

é o complementar de é o complementar de

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

.

PERGUNTA !!!PERGUNTA !!!

Quanto mede o compl. do ângulo x ?

xx

.

PERGUNTA !!!PERGUNTA !!!

Quanto mede o compl. do ângulo x ?

Compl(x) = 90o - x Compl(x) = 90o - x

xx

90º - x90º - x90º - x90º - x

.

Ângulos SuplementaresÂngulos Suplementares

Pares de ângulos que somam 180o são suplementaressuplementares.

180o

supl(x) = 180o - x supl(x) = 180o - x

Dica! Bissetriz

P

O

Todo ponto da bissetriz é eqüidistante das duas semi-retas

A

B

+ = 180°

Ângulos SuplementaresÂngulos Suplementares

+ = 180°

/2

/2

/2

/2

+ = 180° /2 + /2 = 90°As bissetrizes de dois ângulos adjacentes e suplementares

são perpendiculares

Ângulos SuplementaresÂngulos Suplementares

Paralelismo Paralelismo

Essas retas são paralelas ?

r

s

Paralelismo Paralelismo

Essas retas são paralelas ?

r

s

Paralelismo Paralelismo

Com a reta “t” transversal às r e s ficam determinados 8 ângulos, com os quais vamos definir os principais

casos de paralelismo.

t

r

s

12

3 4

56

7 8

Paralelismo Paralelismo

Com a reta “t” transversal às r e s ficam determinados 8 ângulos, com os quais vamos definir os principais

casos de paralelismo.

t

r

s

Paralelismo - 1º caso Paralelismo - 1º caso

Os ângulos e estão na mesma posição em relação às retas horizontais e estão ambos à direita de t.

rr

ss

ttParalelismo - 1º caso Paralelismo - 1º caso

São chamados ângulosCORRESPONDENTES

O que podemos afirmar sobre os ângulos e ?

Paralelismo - 1º caso Paralelismo - 1º caso

rr

ss

tt

Paralelismo - 1º caso Paralelismo - 1º caso

rr

ss

tt

O que podemos afirmar sobre os ângulos e ?

Paralelismo - 1º caso Paralelismo - 1º caso

rr

ss

tt

O que podemos afirmar sobre os ângulos e ?

Paralelismo - 1º caso Paralelismo - 1º caso

r r s s

tt

O que podemos afirmar sobre os ângulos e ?

Se os ângulos e e são c o n g r u e n t e s (iguais) ; as retas r e s são paralelas.

Se as retas r e s forem paralelas; os ângulos ângulos correspondentescorrespondentes determinados por uma transversal t serão congruentescongruentes..

Conclusão Conclusão

rr

ss

tt

Se r // s

Conclusão Conclusão

rr

ss

tt

rr

ss

tt

rr

ss

tt

Ângulos correspondentes

fig. 1fig. 1 fig.2fig.2

ComparaçãoComparação

“diferentes” “iguais” r //s

Paralelismo - 2º caso Paralelismo - 2º caso

Esses ângulos estão posicionados como os ângulos do 1o caso ?

rr

ss

tt

Paralelismo - 2º caso Paralelismo - 2º caso

Paralelismo - 2º caso X 1º caso Paralelismo - 2º caso X 1º caso

rr

ss

tt

rr

ss

tt

Claro que não ! Nesse caso, os ângulos estão em posições alternadasalternadas.. Um acima de s, o outro abaixo de r. Um à direita e outro à esquerda de t.

Paralelismo - 2º caso Paralelismo - 2º caso

rr

ss

tt

São os ângulos ALTERNOSALTERNOS.

Podem ser INTERNOS, como e , ou então

EXTERNOS.

Paralelismo - 2º caso Paralelismo - 2º caso

rr

ss

tt

yy

xx

x e y são ALTERNOS EXTERNOSALTERNOS EXTERNOS.

Paralelismo - 2º caso Paralelismo - 2º caso

rr

ss

tt

yy

xx

Em qualquer um dos casos, se temos pares de ânguloscongruentes, as retas r e s serão paralelas, e v.v.

Paralelismo - 2º caso Paralelismo - 2º caso

rr

ss

tt

rr

ss

tt

Se Se rr////ss Se Se rr////ss Se Se xx y y rr////ssSe Se xx y y rr////ss

Paralelismo - 2º caso Paralelismo - 2º caso

yy

xx

rr

ss

tt

rr

ss

tt

Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso

Na figura acima temos ângulos que não sãonão são alternos ou correspondentes. Apenas estão do mesmo ladomesmo lado em relação à reta transversal t .

Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso

rr

ss

tt

Esses são chamados ângulos COLATERAISCOLATERAIS, que também podem ser INTERNOS ou EXTERNOS.

Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso

rr

ss

tt

Colaterais InternosColaterais Internos

Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso

rr

ss

tt

Colaterais ExternosColaterais Externos

Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso

rr

ss

tt

Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso

rr

ss

tt

rr

ss

tt

Note que nesse caso é fácil perceber que os ângulos não são congruentes, pois um é agudo e o outro obtuso. (é possível que ambos sejam retos)

Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso

rr

ss

tt

rr

ss

tt

Qual parece ser a relação que os ângulos das figuras devem satisfazer para que as retas r e s sejam paralelas ?

Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso

rr

ss

tt

Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso

rr

ss

tt

Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso

rr

ss

tt

Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso

r r ss

tt

Se 180o r//s. e suplementares)

Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso

rr

ss

tt

rr

ss

tt