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Geometria Analıtica
Prof. Dr. Thadeu Alves Senne
ICT - UNIFESP
senne@unifesp.br
Superfıcies Quadricas
Definicao: Uma superfıcie quadrica Ω e um conjunto depontos (x , y , z) ∈ R3 que satisfazem uma equacao polinomialde segundo grau da forma
Ax2 +By2 +Cz2 +Dxy +Exz + Fyz +Gx +Hy + Iz + J = 0 ,
em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C , D, E e Fdevera ser diferente de zero.
Nota: Podemos dizer, simplesmente, quadrica, em lugar desuperfıcie quadrica.
Superfıcies Quadricas
Alguns tipos de quadricas:
Elipsoide
Esfera
Hiperboloide de uma folha
Hiperboloide de duas folhas
Paraboloide elıptico
Paraboloide hiperbolico
Elipsoide
Definicao: Uma quadrica Ω e um elipsoide se existem numerosreais positivos a, b, c , com pelo menos dois deles distintos, e umsistema ortogonal de coordenadas em relacao ao qual Ω pode serdescrita pela equacao
x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1
que e chamada equacao reduzida de Ω.
Elipsoide
Interseccoes do elipsoide com os eixos coordenados:
Interseccoes do elipsoide com os planos coordenados:
Elipsoide
Interseccoes do elipsoide com planos paralelos aos planoscoordenados:
Elipsoide
Interseccoes do elipsoide com planos paralelos aos planoscoordenados:
Esfera
Caso especial do elipsoide: Se tivermos a = b = c = r naequacao do elipsoide
x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1 ,
teremos uma esfera:
x2 + y2 + z2 = r2 ,
A equacao acima representa uma esfera com centro C (0, 0, 0)e raio r .
Esfera
Esfera com centro C (0, 0, 0) e raio r
Hiperboloide de uma folha
Definicao: Uma quadrica Ω e um hiperboloide de uma folha seexistem numeros reais positivos a, b, c e um sistema ortogonal decoordenadas em relacao ao qual Ω pode ser descrita por uma dasequacoes reduzidas abaixo:
x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1 (o eixo de simetria e o eixo z)
oux2
a2− y2
b2+
z2
c2= 1 (o eixo de simetria e o eixo y)
ou
−x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1 (o eixo de simetria e o eixo x)
Interseccoes do Hiperboloide de uma folha
Vamos analisar o hiperboloide de uma folha, cuja equacao reduzidae dada por
x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1
Interseccoes do Hiperboloide de uma folha
x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1
Interseccoes com os eixos coordenados:
Interseccoes com os planos coordenados:
Interseccoes do Hiperboloide de uma folha
x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1
Interseccoes com planos paralelos aos planos coordenados:
Interseccoes do Hiperboloide de uma folha
x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1
Interseccoes com planos paralelos ao plano xy (elipses)
Interseccoes do Hiperboloide de uma folha
x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1
Interseccoes com os planos paralelos ao plano yz ou ao plano xz(hiperboles)
Interseccoes do Hiperboloide de uma folha
x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1
Casos especiais: As interseccoes do hiperboloide com o planox = a sao as retas y =
(b
c
)z
x = ae
y = −(b
c
)z
x = a,
e as interseccoes do hiperboloide com o plano y = b sao as retasx =
(ac
)z
y = be
x = −
(ac
)z
y = b
Interseccoes do Hiperboloide de uma folha
x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1
Hiperboloide de duas folhas
Definicao: Uma quadrica Ω e um hiperboloide de duas folhas seexistem numeros reais positivos a, b, c e um sistema ortogonal decoordenadas em relacao ao qual Ω pode ser descrita por uma dasequacoes reduzidas abaixo:
−x2
a2− y2
b2+
z2
c2= 1 (o eixo de simetria e o eixo z)
ou
−x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1 (o eixo de simetria e o eixo y)
oux2
a2− y2
b2− z2
c2= 1 (o eixo de simetria e o eixo x)
Interseccoes do Hiperboloide de duas folhas
Vamos analisar o hiperboloide de duas folhas, cuja equacaoreduzida e dada por
−x2
a2− y2
b2+
z2
c2= 1
Interseccoes do Hiperboloide de duas folhas
−x2
a2− y2
b2+
z2
c2= 1
Interseccoes com os eixos coordenados:
Interseccoes do Hiperboloide de duas folhas
−x2
a2− y2
b2+
z2
c2= 1
Interseccoes com os planos coordenados:
Interseccoes do Hiperboloide de duas folhas
−x2
a2− y2
b2+
z2
c2= 1
Interseccoes com planos paralelos aos planos coordenados:
Interseccoes do Hiperboloide de duas folhas
−x2
a2− y2
b2+
z2
c2= 1
Interseccoes com planos paralelos ao plano xy (elipses)
Interseccoes do Hiperboloide de duas folhas
−x2
a2− y2
b2+
z2
c2= 1
Interseccoes com planos paralelos ao plano xz (hiperboles)
Paraboloide elıptico
Definicao: Uma quadrica Ω e um paraboloide elıptico se existemnumeros reais positivos a, b, c e um sistema ortogonal decoordenadas em relacao ao qual Ω pode ser descrita por uma dasequacoes reduzidas abaixo:
z =x2
a2+
y2
b2(o eixo de simetria e o eixo z)
ou
y =x2
a2+
z2
c2(o eixo de simetria e o eixo y)
ou
x =y2
b2+
z2
c2(o eixo de simetria e o eixo x)
Paraboloide elıptico
Grafico do paraboloide elıptico
z =x2
a2+
y2
b2
Paraboloide hiperbolico
Definicao: Uma quadrica Ω e um paraboloide hiperbolico seexistem numeros reais positivos a, b, c e um sistema ortogonal decoordenadas em relacao ao qual Ω pode ser descrita por uma dasequacoes reduzidas abaixo:
Paraboloide hiperbolico
Grafico do paraboloide hiperbolico
z =y2
b2− x2
a2
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