Geometria Analtica II

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CIRCUNFERÊNCIAS

EQUAÇÃO REDUZIDA Circunferência é o conjunto dos pontos que distam de ( ),C CC x y uma distância r , que

chamamos de raio. Se um ponto ( ),P x y

pertence a esta circunferência, logo a distância de ao ponto ( ),C CC x y , que chamaremos de centro

da circunferência, será:

( ) ( )2 2

CP C Cd x x y y= − + − .

Como a distância é o raio temos

( ) ( )2 2

C Cx x y y r− + − = , logo a equação geral

da circunferência é

EXERCÍCIOS

1. Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r em cada caso:

a) ( ) e 6C 4, 2 r = b) ( )1, 2 e 5C r− =

c) ( )1, 4 e 10C r− − = d) ( )0, 4 e 3C r− =

e) ( )1, 0 e 1C r− = f) ( )0, 0 e 2C r =

2. Dê o centro e o raio de cada circunferência:

a) ( ) ( )2 27 9 36x y− + − = b) ( ) ( )2 2

2 3 25x y+ + − =

c) ( )2 25 9x y+ + = d) 2 2 16x y+ =

3. Determine os pontos de ordenada 2 da circunferência ( )22 2 20x y+ + = .

4. Obtenha as coordenadas do ponto médio da corda determinada na circunferência

( ) ( )2 22 3 4x y− + − = pela bissetriz dos quadrantes ímpares.

( ) ( )2 2 2C Cx x y y r− + − =

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EQUAÇÃO GERAL

Partindo da equação reduzida da circunferência C ( ) ( )2 2 2C Cx x y y r− + − = obtemos a equação

2 2 2 2 22 2 0C C C C

x y x x y y x y r+ − − + + − = , fazendo 2 2 22 , 2 e C C C Cx d y e x y r f− = − = + − = , termos a nova

equação: Logo, temos o centro e o raio da circunferência dadas por

2 2

C, y e 2 2C C C

d ex r x y f= − = − = + − , onde 0r > .

Se 0r = ou 0r < a equação não representa uma circunferência.

EXERCÍCIOS

1. Determine o centro e o raio de cada circunferência: a) 2 2 6 10 33 0x y x y+ − − + = b) 2 2 4 2 11 0x y x y+ + + − =

c) 2 2 8 12 0x y x+ − + = d) 2 2 6 0x y y+ + =

2. Verifique se representam circunferência a equação dada em cada caso:

a) 2 24 2 2 4 5 0x y x y+ + + − = b) 2 2 2 4 4 8 0x y xy x y+ + + + + =

c) 2 22 2 4 4 8 0x y x y+ − − + = d) 2 24 4 4 4 1 0x y x y+ − − − =

3. Verifique se a equação x2 + y2 + 2x + 2y – 2 = 0 representa uma circunferência. Em caso

afirmativo, dê as coordenadas do centro e o raio da circunferência.

4. Calcule e p q de modo que 2 2 22 2 2 0x pxy y qx qy q+ + − − + = seja a equação de uma

circunferência de raio igual a 5.

5. Calcule α e β de modo que as circunferências 2 2 6 10 7 0x y x yα+ − + − = e

( )2 2 12 1 0x y x yβ α+ − + − + = tenham centros coincidentes (circunferências concêntricas).

2 2 0x y dx ey f+ + + + =

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POSIÇÕES RELATIVAS DE UM PONTO EM RELAÇÃO AUMA CIRCUNFERÊNCIA Um ponto pode ser interno à circunferência, pode pertencer à circunferência ou ainda externo à circunferência.

PONTO INTERNO À CIRCUNFERÊNCIA PONTO PERTENCENTE À CIRCUNFERÊNCIA Como sabemos a distância entre dois pontos é dada pela equação

( ) ( )2 2

CP P C P Cd x x y y= − + −

PONTO EXTERNMO À CIRCUNFERÊNCIA

EXERCÍCIOS

1. Dados o ponto P e a circunferência λ, determine a posição de P em relação a λ.

a) ( ) ( ) ( )2 2 21, 2 e : 3 1 5P x yλ− − + + =

b) ( ) 2 22, 2 e : 10 8 1 0P x y x yλ + − + − =

c) ( ) 2 23, 1 e : 8 5 0P x y xλ + − − =

d) ( ) 2 23, 1 e : 8 5 0P x y yλ + − − =

2. Dada a circunferência de equação 2 2 2 4 3 0x y x y+ − + − = , qual é a posição relativa do ponto

( )3, 4P − em relação a essa circunferência?

3. Sabendo que o ponto ( )1, 3M − não pertence à circunferência de equação

2 2 2 4 3 0x y x y+ − + − = , determine se o ponto M é interno ou externo à circunferência.

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POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA EM RELAÇÃO AUMA CIRCUNFERÊNCIA

A reta r é secante à circunferência λ. A distância da reta r ao centro da circunferência ( ),C CC x y é menor que o raio,

Crd r<

2 2

0:

0

ax by cS

x y dx ey f

+ + =

+ + + + =

( ) ( )1 1 2 2, e ,A x y B x y são os pares que são

solução dos sistema S.

( ) ( )2 2

CP P C P Cd x x y y< − + −

A reta r é tangente à circunferência λ. A distância do ponto P ao centro C da circunferência é igual ao raio r. Logo:

( ) ( )2 2

CP P C P Cd x x y y= − + −

A reta r é externa à circunferência λ. A distância do ponto P ao centro da circunferência C é maior que o raio r.

( ) ( )2 2

CP P C P Cd x x y y> − + −

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EXERCÍCIOS

1. Dadas uma reta r e uma circunferência λ, verifique a posição relativa de r e λ. Se houver pontos comuns (tangente ou secante), determine esses pontos: a) 2 2:2 1 0 e : 2 0r x y x y xλ− + = + − =

b) 2 2: e : 2 4 4 0 0r y x x y x yλ= + + − − = =

c) 2 2: 4 e 2 e : 2 6 8 0r x t y t x y x yλ= − = − + − − − =

2. Seja AB o diâmetro da circunferência 2 2 6 8 24 0x y x y+ − − + = contido na reta perpendicular a

7y x= + . Calcule as coordenadas de A e B.

3. Determine as coordenadas dos pontos em que a reta r, de equação 5y x= − + , intersecta a

circunferência de equação 2 2 10 2 21 0x y x y+ − − + = .

4. Determine o comprimento da corda determinada pela intersecção da reta r, de equação

1 0x y+ − = , com a circunferência de equação 2 2 2 2 3 0x y x y+ + + − = .

5. A reta r, de equação 3 0x y+ − = , e a circunferência de equação ( ) ( )2 22 1 10x y+ + − = são

secantes nos pontos A e B. Determine a área do triângulo cujos vértices são o centro da circunferência e os pontos A e B.

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS

DOIS PONTOS EM COMUM

Circunferências secantes. A distância entre os seus centros, C1 e C2 é dada por 1 2C Cd , onde

1 2 1 21 2C Cr r d r r− < < +

UM PONTO EM COMUM TANGENTES INTERIORMENTE

Quando tangentes de forma que uma circunferência seja interior. A distância entre os seus centros, C1 e C2 é dada por 1 2C Cd , onde

1 21 2C Cd r r= −

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UM PONTO EM COMUM TANGENTES EXTERIORMENTE

Quando tangentes de forma que as circunferências sejam externas. A distância entre os seus centros, C1 e C2 é dada por

1 2C Cd , onde

1 21 2C Cd r r= +

NENHUM PONTO EM COMUM CIRCUNFERÊNCIA INTERNA

Quando uma circunferência é interna a outra sem ter nenhum ponto em comum a distância entre os seus centros, C1 e C2 é dada por

1 2C Cd , onde

1 21 2C Cd r r< −

NENHUM PONTO EM COMUM CIRCUNFERÊNCIA EXTERNA

Quando as circunferências são externas e não têm nenhum ponto em comum a distância entre os seus centros, C1 e C2 é dada por 1 2C Cd , onde

1 21 2C Cd r r> +

NENHUM PONTO EM COMUM CIRCUNFERÊNCIA INTERNA (CONCÊNTRICA) Duas circunferências são concêntricas quando uma circunferência é interna a outra sem ter nenhum ponto em comum e a distância entre os seus

centros, C1 e C2 , 1 20

C Cd = isto é: C1 ≡ C2 .

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EXERCÍCIOS

1. Dadas as circunferências λ1 e λ2, descubra suas posições relativas e seus pontos comuns (se houver):

a)

2 21

2 21

: 4 8 5 0

: 2 6 1 0

x y x y

x y x y

λ

λ

+ − − − =

+ − − + = b)

2 21

2 21

: 8 4 10 0

: 2 10 22 0

x y x y

x y x y

λ

λ

+ − − + =

+ − − + =

c) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

1

2 2

1

: 2 1 4

: 2 2 1

x y

x y

λ

λ

− + − =

− + + = d)

2 21

2 21

: 16

: 4 0

x y

x y y

λ

λ

+ =

+ + =

2. λ1 e λ2 são duas circunferências concêntricas, com λ1 interna à λ2. Sabendo que a equação de λ1 é 2 2 6 8 0x y x y+ − − = e que a área do anel circular formado por λ1 e λ2 é igual a 24π, determine

a equação de λ2 na forma geral.