Geometria e Álgebra. Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida. Demonstração: a + x...

Geometria e Álgebra

Geometria e Álgebra

Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.

Demonstração:

a + x = 180º b + x = 180ºI

= IIa + x = b + x

a + x – x = b + x – xa + 0 = b + 0

a = b

I

II

Ângulos opostos pelo vértice

2

Geometria e ÁlgebraÂngulos formados por duas retas concorrentes

• r e s são duas retas concorrentes que determinam os ângulos , , ede medidas a, b, c e d, respectivamente.

• e são ângulos adjacentes e suplementares (a + b = 180º).

• e são ângulos opostos pelo vértice (a = c).

3

Geometria e Álgebra

Ângulos correspondentes

a = eb = fc = gd = h

Ângulos colaterais externos

a + h = 180º

b + g = 180º

Ângulos alternos externos

a = g b = h

Ângulos alternos internos

c = e d = f

Ângulos colaterais internos

c + f = 180ºd + e = 180º

Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma reta transversal

eee

e

e

e

e

e

e

e e e

4

Geometria e Álgebra

Se x + y + z = 180º, então podemos concluir que:

Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo

• x é a medida de ;

• y é a medida de , pois e são ângulos alternos internos, e a reta r é paralela à reta ;

• z é a medida de , pois as retas r e são paralelas, e e são ângulos alternos internos.

= 180º.+ +

5

Geometria e ÁlgebraRelação que envolve as medidas dos ângulos internos e externos de um triângulo

180º

Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.

180º+ +

+ x =

x = +

y = + z = +

=

6

onde x é a medida do ângulo externo, e esão ângulos internos não adjacentes a ele.

Geometria e Álgebra

Tomamos dois pontos na região limitada pelos polígonos:X e Y no polígono ABCDE M e N no polígono PQRST

Polígonos convexos e polígonos não convexosPolígonos

O segmento de reta , independentemente das posições dos pontos, sempre estará contido dentro do polígono ABCDE. Quando isso ocorre chamamos o polígono de convexo.

No polígono PQRST é possível encontrar dois pontos (M e N) tal que o segmento de reta não esteja inteiramente contido na região limitada por esse polígono. Por isso ele é chamado de polígono não convexo.

A

B

C

D E

X

Y

P Q

R

S

T

M

N

7

Geometria e ÁlgebraElementos de um polígono convexo

Em qualquer polígono convexo, o número de vértices, de lados, de ângulos internos e ângulos externos é o mesmo.

8

Geometria e ÁlgebraSoma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo (Si)

Si = 180º = 1 . 180º

Número de lados menos 2 (3 – 2)

Si = 2 . 180º = 360º

Número de lados menos 2 (4 – 2)

Si = 3 . 180º = 540º

Número de lados menos 2 (5 – 2)

Se o polígono convexo tem n lados, a soma das medidas de seus ângulos internos (Si) é dada pela fórmula:

Si = (n – 2) . 180º

A

B

C

9

Geometria e Álgebra

+ =

Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo (Se)

SeSi 900º

Si = (n – 2) . 180ºSi = (5 – 2) . 180º

Si = 540º

540º + Se = 900º540º – 540º + Se = 900º – 540º

Se = 360ºEm qualquer polígono convexo, a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 360º.

Exemplo:+ = 180º

+ = 180º

+ = 180º

+ = 180º

+ = 180º

10

Geometria e ÁlgebraÂngulos internos e ângulos externos de polígonos regulares

Indicamos por:

ai: medida de cada ângulo interno. ai = =

ae: medida de cada ângulo externo. ae = =

Polígono regular é aquele que tem todos os lados com medidas iguais e todos os ângulos internos com medidas iguais.

11

Geometria e ÁlgebraNúmeros de diagonais de um polígono convexo

d =

diagonais quepartem de 1 lado

número de lados

Dividimos por 2 para nãocontar cada diagonal 2 vezes.

A

B

CD

E

12

Geometria e Álgebra

Elementos de um triângulo

Vértices: pontos A, B e C.

Ampliando o estudo dos triângulos

Ângulos internos: , e .

Lados: segmentos de reta , e .

Ângulos externos: , e .

O lado oposto ao ângulo é o lado .

O ângulo é o ângulo oposto ao lado .

Os ângulos internos não adjacentes ao ângulo externo são os ângulos e .

Os ângulos e são adjacentes suplementares .

13

Geometria e ÁlgebraCondição de existência de um triângulo

Desigualdade triangular

Em todo triângulo, a medida de um lado é sempre menor do que a somadas medidas dos outros dois lados.

a < b + c

b < a + c

c < a + ba

bc

3 cm

4 cm

2 cm

4 cm

2 cm 1,5 cm

14

Geometria e ÁlgebraRelação entre lados e ângulos de um triângulo

Observe que o maior ângulo opõe-se ao maior lado, e o menor ângulo opõe-se ao menor lado.

>90º >60º 30º

Em todo triângulo, o maior ângulo opõe-se ao maior lado e, reciprocamente, o maior lado opõe-se ao maior ângulo. Da mesma forma, o menor ângulo opõe-se ao menor lado e, reciprocamente, o menor lado opõe-se ao menor ângulo.

> >

A

BC

60º

30º

Lados opostos

15

Geometria e ÁlgebraFiguras congruentes e congruência de triângulos

Figuras congruentes

Congruência de triângulosA congruência dos seis elementos (três lados e três ângulos) determina a congruência dos dois triângulos.

A

B

C

DP

Q40º

40º

A B

C

P Q

R

16

Geometria e ÁlgebraCasos de congruência de triângulos

1o caso: LAL (lado, ângulo, lado)

Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o ângulocompreendido entre eles respectivamente congruentes.

A

B

C E

F

G

Então:

17

Geometria e Álgebra2o caso: LLL (lado, lado, lado)

Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados respectivamente congruentes.

A B

C

EF

G

Então:

18

Geometria e Álgebra3o caso: ALA (ângulo, lado, ângulo)

Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado eos dois ângulos adjacentes a ele respectivamente congruentes.

A B

C

E F

G

Então:

19

Geometria e Álgebra4o caso: LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto)

Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ânguloadjacente e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.

A

B

C

E F

G

Então:

20

Geometria e ÁlgebraMediana, bissetriz e altura de um triângulo

Mediana de um triângulo

Mediana de um triângulo é o segmento que temcomo extremidades um vértice do triângulo e oponto médio do lado aposto a esse vértice.

Baricentro de um triângulo

Em todo triângulo, as três medianas cruzam-se em um mesmo ponto, chamado baricentro do triângulo.

O baricentro de qualquer triângulo divide a mediana na razão de 1 para 2.

A

B CM

F

G HM

NL

21

B

Geometria e ÁlgebraBissetriz de um triângulo

Bissetriz de um triângulo é o segmento que tem uma extremidade em um vértice do triângulo, divide o ângulo interno ao meio e tem a outra extremidade no lado oposto a esse vértice.

Incentro de um triângulo

Em todo triângulo, as três bissetrizes cruzam-seem um mesmo ponto, chamado incentro do triângulo.

A

B CS

P

Q R

I

22

Geometria e ÁlgebraAltura de um triângulo

Altura de um triângulo é o segmento com uma extremidade em um vértice e a outra extremidade no lado oposto ou no seu prolongamento, formando com ele ângulos retos.

A

B CH

E

F G

P

QR

X

23

Geometria e ÁlgebraOrtocentro de um triângulo

Em todo triângulo, as três alturas ou seus prolongamentos cruzam-seem um mesmo ponto, chamado de ortocentro do triângulo.

A

B CH

PR

24

Geometria e ÁlgebraMediatriz de um segmento de reta e circuncentro de um triângulo

Mediatriz de um segmento de reta Circuncentro de um triângulo

• m é a mediatriz de

FC

B

mediatriz de

mediatriz de

mediatriz de

P

C

BAM

m

• e é reto

25

Geometria e Álgebra

Paralelogramos

todo quadrilátero cujos ladosopostos são paralelos.

Propriedades dos paralelogramos1a propriedadeEm todo paralelogramo, dois ângulos opostos são congruentes e dois ângulos não opostos são suplementares.

Ampliando o estudo dos quadriláterosBA

C D// e //

BA

CD

+ = 180º

+ = 180º

+ = 180º

+ = 180º

=

=

26

Geometria e Álgebra2a propriedadeEm todo paralelogramo, os lados opostos são congruentes.

Pelo caso ALA, concluímos que:

3a propriedadeEm todo paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.

Ou seja, o ponto O, cruzamento das diagonais,é o ponto médio das duas diagonais.

(ângulos alternos internos)=

(ângulos alternos internos)=

. Logo, ee .

(caso ALA).

Então:

e

27

Geometria e ÁlgebraPropriedade dos retângulosAs diagonais de um retângulo são congruentes.

Então podemos afirmar que as diagonais de um retângulo são congruentes e cortam-se ao meio.

A B

CD

A

D C

B

CD

(retos)

(lados opostos de um retângulo)

(lado comum)Pelo caso LAL, temos que ∆ADC ∆BCD.

Portanto, .

28

Geometria e ÁlgebraPropriedade dos losangos

As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango.

Como então e+ = 180º, = 90º.= 90º

Logo, e são perpendiculares entre si.

Então, está sobre as bissetrizes de e de .

Pelo caso LLL, temos e daí temos = .

Pelo caso LLL, temos e daí temos e .

29

Geometria e ÁlgebraTrapézios

quadriláteros que têmapenas dois lados paralelos.

base menor

base maior//

Tipos de trapézio

Trapézio retângulo é aquele que tem doisângulos internos retos.

Trapézio isósceles é aquele que tem dois lados não paralelos congruentes, isto é, de medidas iguais.

A B

CD

P Q

RS

A B

CD

30

Geometria e ÁlgebraBase média de um trapézio

Em todo trapézio, a medida da base média é igual à medida aritméticadas medidas das bases maior e menor do trapézio.

MN =

A B

CD

31

M N

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Geometria e Álgebra

Chamamos expressões algébricas inteiras as que não têm letras (ou variáveis) em denominador nem dentro de radicais.

Exemplos:

• 4x + 6

• 8x2y

• a2 – a + 4

• 8x1

• ab

Expressão algébrica inteira

32

Geometria e Álgebra

A área do quadrado é: ℓ . ℓ ou ℓ2

O perímetro do quadrado é:ℓ + ℓ + ℓ + ℓ = 4ℓ

Em geral, um monômio é formado por uma parte numérica (coeficiente)e uma parte literal.

Monômios

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

33

Geometria e ÁlgebraGrau de um monômio

Exemplos:

• –5x3y4

3o grau referente a x

4o grau referente a y

O grau deste monômio é 7 (3 + 4 = 7).

• 12x5 5o grau referente a xO grau deste monômio é 5.

Monômios semelhantes ou termos semelhantes

Exemplo:

O termo semelhante dos monômios x3, 8x3, 64x3 e 125x3 é a parteliteral que eles apresentam: x3.

34

Geometria e ÁlgebraOperações com monômios

Adição e subtração de monômios semelhantes

Exemplos:

• 2x + 3x = (2 + 3)x = 5 . x = 5x

Portanto: 2x + 3x = 5x

• 7y2 – 5y2 = (7 – 5)y2 = 2y2

Portanto: 7y2 – 5y2 = 2y2

35

Geometria e ÁlgebraMultiplicação de monômios

Exemplos:

• (9x2) . (5x3) = (9 . 5)(x2 . x3) = 45x2 + 3 = 45x5

propriedade comutativa eassociativa da multiplicação

propriedade do produto de potências de mesma base

• (3a) . (–4b) = –12ab

3 . (–4)

a . b

36

Geometria e ÁlgebraDivisão de monômios

Exemplos:

• (12x6) : (3x2) =1

4

4x6 – 2 = 4x4

• (5a) : (15b) =1

3

• (10y2) : (2y3) = 5y2 – 3 = 5y –1 =

=

=

37

Geometria e ÁlgebraPotenciação de monômios

Exemplos:

• (5x3)2 = 52 . (x3)2 = 25x3 . 2 = 25x6

• (4x2)–1 = 4 –1 . (x2)–1 =

• (5a3b2)4 = 5 4 . (a3)4 . (b2)4 = 625a12b8

, com x ≠ 0. x –2 = . =

38

Geometria e Álgebra

Toda expressão que indica uma soma algébrica (adição ou subtração) de monômios não semelhantes é chamada de polinômios.

Exemplos:

5a2 – 3a

2x + 6

4x2 – 2xy + 3x

a2 – 2ab + b2 – a2b2

Trinômio (3 termos):Binômio (2 termos):

Polinômio (mais de um termo):

Polinômio

x – y + 5

39

Geometria e ÁlgebraRedução de termos semelhantes

Exemplo:

2x + y + 2x + 2y + 4x + 3y

(2x + 2x + 4x) + (y + 2y + 3y)

ouUsando as propriedades

comutativas e associativas da adição.

8x 6y

8x + 6y

ouReduzindo os

termos semelhantes.

40

Geometria e ÁlgebraGrau de um polinômioO grau de um polinômio é numericamente igual à soma dos expoentes da parte literal do seu termo de maior grau depois de reduzidos seus termos semelhantes.

Exemplo:

• 4x3 – 3x2 + 5

Polinômio do 3o grau, 4x3 é seu termo de maior grau.

• 2x + xy – 6y

Polinômio do 2o grau, xy é seu termo de maior grau.

41

Geometria e ÁlgebraOperações com polinômios

Adição e subtração de polinômios

Exemplos:

Sejam os polinômios: A = 3x2 + 2x e B = 2x2 + x

• A + B = (3x2 + 2x) + (2x2 + x) = 3x2 + 2x + 2x2 + x = 5x2 + 3x

• A – B = (3x2 + 2x) – (2x2 + x) = 3x2 + 2x – 2x2 – x = x2 + x

Polinômios opostos ou simétricosExemplo:

3x2 – 5x – 10– 3x2 + 5x + 10

+ 00x2 + 0x

42

Geometria e ÁlgebraMultiplicação de polinômios

Exemplos:

• A área da parte I é: x . (3x) = 3x2

• A área da parte II e I é: 3x . (x + 5x + 1) = 3x . (5x + 1) = 15x2 + 3x

A área da região é:

(x + 2) . (x + 5) = x . x + x . 5 + 2 . x + 2 . 5 =

= x2 + 5x + 2x + 10 = x2 + 7x + 10

I II

A x E 5x + 1 B

CFD

3x

A B

CD x + 5

x + 2

43

Geometria e Álgebra

3x – 2

(3x – 2) . (x2 – 4x + 6)

x2 – 4x + 6

X

+ 18x– 12x23x3

+ 8x– 2x2 – 12

– 12+ 26x– 14x23x3

Multiplicação de polinômios

44

Geometria e ÁlgebraDivisão de polinômios

é equivalente à divisão (6x3 – 12x) : (3x)

(6x3 – 12x) : (3x) = (6x3) : (3x) – (12x) : (3x) = 2x2 – 4

ou

2x2 – 4= − =

Exemplos:

45

Geometria e ÁlgebraDivisão de polinômios

(15x2 + 2x – 8) : (5x + 4)

15x2 + 2x – 8 5x + 4 Dividimos o 1o termo do dividendopelo 1o termo do divisor:3x– 15x2 – 12x

– 10x – 8

– 2(15x2) : (5x) = 3x

Dividimos novamente o 1o termo de–10x – 8 pelo 1o termo de 5x + 4:

(–10x) : (5x) = –2

+ 10x + 8 0

Verificação:

(3x – 2) . (5x + 4) = 15x2 + 12x – 10x – 8 = 15x2 + 2x – 8

quociente divisor

Exemplo:

46

Geometria e Álgebra

a b

a

b

Quadrado da soma: (a + b)2 ou (a + b)(a + b)

(a + b)2 = (a + b) . (a + b) = a . a + a . b + b . a + b . b =

2ab

a2 + 2ab + b2

Portanto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Geometricamente:

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 1o termo mais o dobro do produto do 1o termo pelo 2o termo mais o quadrado do 2o termo.

a2 + 2ab + b2

Produtos notáveis

a2

ab b2

ab

47

Geometria e ÁlgebraQuadrado da diferença: (a – b)2 ou (a – b)(a – b)

(a – b)2 = (a – b) . (a – b) = a . a – a . b – b . a + b . b =– 2ab

a2 – 2ab + b2

Portanto: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

quadrado do 1o termo

o oposto do dobro do produtodo 1o pelo 2o termo

quadrado do 2o termo

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1o termo menos o dobro do produto do 1o termo pelo 2o termo mais o quadrado do 2o termo.

48

Geometria e ÁlgebraProduto da soma pela diferença: (a + b)(a – b)

(a + b) . (a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2

O produto da soma pela diferença dos mesmos termos é igual ao quadrado do 1o termo menos o quadrado do 2o termo.

49

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Geometria e ÁlgebraCubo da soma: (a + b)3

(a + b)3 = (a + b) . (a + b)2 = (a + b) . (a2 + 2ab + b2) =

= a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Geometricamente:

a bb

a

b

a

b3 3a2b a3 3ab2

50

Geometria e ÁlgebraCubo da soma: (a + b)3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do 1o termo mais o triplo do produto do quadrado do 1o termo pelo 2o termo mais o triplo do produto do 1o termo pelo quadrado do 2º termo mais o cubo do 2o termo.

cubo do 1o termo

triplo do produto doquadrado do 1º termo

pelo 2o termo

triplo do produto do 1o termo pelo

quadrado do 2o termo

cubo do 2o

termo

51

Geometria e ÁlgebraCubo da diferença: (a – b)3

(a – b)3 = (a – b) . (a – b)2 = (a – b) . (a2 – 2ab + b2) =

= a3 – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do 1o termo menos o triplo do produto do quadrado do 1o termo pelo 2o termo mais o triplo do produto do 1o termo pelo quadrado do 2o termo menos o cubo do 2o termo.

52

Geometria e Álgebra

1o caso de fatoração: fator comum (colocação de um termo em evidência)

Exemplos:

• 3a2 + 3ab = 3a . a + 3a . b =

fator comum

3a . (a + b)

Portanto: 3a2 + 3ab = 3a(a + b)

forma fatorada

• 10x2 – 15x = 2x . 5x – 3 . 5x =

fator comum

5x(2x – 3)

Fatoração de polinômios

O fator comum é colocadoem evidência.

53

Geometria e Álgebra2o caso de fatoração: agrupamento

Exemplos:

ax + 2a + 5x + 10

a(x + 2) + 5(x + 2)

(a + 5) . (x + 2)

ab + a – bx – x

a(b + 1) – x(b + 1)

(b + 1) . (a – x)

54

Geometria e Álgebra3o caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito

x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

quadradode x

Exemplos:

o dobro do produtode x e 5

quadradode 5

a2 – 14a + 49 = (a – 7)2

quadradode a

o dobro do produtode a e 7

quadradode 7

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

9x2 + 60x + 100 = (3x + 10)2

(3x)2

2 . (3x) . 10

102

55

Geometria e Álgebra4o caso de fatoração: diferença entre dois quadrados

Exemplos:x2 – 64 = (x + 8)(x – 8)

quadradode x

quadradode 8

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

25x2 – 81 = (5x + 9)(5x – 9)

(5x)2 92

5o caso de fatoração: soma de dois cubos

(x + y)(x2 – xy + y2) = x3 – x2y + xy2 + yx2 – xy2 + y3 = x3 + y3

Portanto: x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)cubo de x cubo de y

(5x + 2)(25x2 – 10x + 4) = 125x3 – 50x2 + 20x2 + 50x2 – 20x + 8 = 125x3 + 8

Exemplos:

Portanto: (5x + 2)(25x2 – 10x + 4)125x3 + 8 =

56

Geometria e Álgebra6o caso de fatoração: diferença entre dois cubos

(x – y)(x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 – yx2 – xy2 – y3 = x3 – y3

x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)Portanto:

(3x – 5)(9x2 + 15x + 25) = 27x3 + 45x2 + 75x – 45x2 – 75x – 125 = 27x3 – 125

cubo de x cubo de y

Portanto: 27x3 – 125 = (3x – 5)(9x2 + 15x + 25)

(3x)3 53

57

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Geometria e Álgebra

= =

= =

= =

Simplificação de frações algébricas

Exemplos:

•

• (x – y)

•

fatorando

fatorando

2(1 + 2a) = 2 + 4a2

1

Frações algébricas

58

Geometria e ÁlgebraAdição e subtração de frações algébricas

Exemplos:

•

produto dos denominadores:2x . 4y . 3 = 24xy

fatorando

+ – = =+ –

= = =

• + =

mmc(x – y, x2 – y2) = (x + y)(x – y)

+ =

= = =

59

Geometria e Álgebra

=

=

Multiplicação de frações algébricas

Exemplos:

•

2

1

• 3

1

Divisão de frações algébricas

•

Exemplo:

– = =

: = . =

. = . =

60

Geometria e ÁlgebraPotenciação de frações algébricas

Exemplos:

•

•

= =

= = ou

61

‒2