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Geometria e Álgebra
Geometria e Álgebra
Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.
Demonstração:
a + x = 180º b + x = 180ºI
= IIa + x = b + x
a + x – x = b + x – xa + 0 = b + 0
a = b
I
II
Ângulos opostos pelo vértice
2
Geometria e ÁlgebraÂngulos formados por duas retas concorrentes
• r e s são duas retas concorrentes que determinam os ângulos , , ede medidas a, b, c e d, respectivamente.
• e são ângulos adjacentes e suplementares (a + b = 180º).
• e são ângulos opostos pelo vértice (a = c).
3
Geometria e Álgebra
Ângulos correspondentes
a = eb = fc = gd = h
Ângulos colaterais externos
a + h = 180º
b + g = 180º
Ângulos alternos externos
a = g b = h
Ângulos alternos internos
c = e d = f
Ângulos colaterais internos
c + f = 180ºd + e = 180º
Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma reta transversal
eee
e
e
e
e
e
e
e e e
4
Geometria e Álgebra
Se x + y + z = 180º, então podemos concluir que:
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
• x é a medida de ;
• y é a medida de , pois e são ângulos alternos internos, e a reta r é paralela à reta ;
• z é a medida de , pois as retas r e são paralelas, e e são ângulos alternos internos.
= 180º.+ +
5
Geometria e ÁlgebraRelação que envolve as medidas dos ângulos internos e externos de um triângulo
180º
Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.
180º+ +
+ x =
x = +
y = + z = +
=
6
onde x é a medida do ângulo externo, e esão ângulos internos não adjacentes a ele.
Geometria e Álgebra
Tomamos dois pontos na região limitada pelos polígonos:X e Y no polígono ABCDE M e N no polígono PQRST
Polígonos convexos e polígonos não convexosPolígonos
O segmento de reta , independentemente das posições dos pontos, sempre estará contido dentro do polígono ABCDE. Quando isso ocorre chamamos o polígono de convexo.
No polígono PQRST é possível encontrar dois pontos (M e N) tal que o segmento de reta não esteja inteiramente contido na região limitada por esse polígono. Por isso ele é chamado de polígono não convexo.
A
B
C
D E
X
Y
P Q
R
S
T
M
N
7
Geometria e ÁlgebraElementos de um polígono convexo
Em qualquer polígono convexo, o número de vértices, de lados, de ângulos internos e ângulos externos é o mesmo.
8
Geometria e ÁlgebraSoma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo (Si)
Si = 180º = 1 . 180º
Número de lados menos 2 (3 – 2)
Si = 2 . 180º = 360º
Número de lados menos 2 (4 – 2)
Si = 3 . 180º = 540º
Número de lados menos 2 (5 – 2)
Se o polígono convexo tem n lados, a soma das medidas de seus ângulos internos (Si) é dada pela fórmula:
Si = (n – 2) . 180º
A
B
C
9
Geometria e Álgebra
+ =
Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo (Se)
SeSi 900º
Si = (n – 2) . 180ºSi = (5 – 2) . 180º
Si = 540º
540º + Se = 900º540º – 540º + Se = 900º – 540º
Se = 360ºEm qualquer polígono convexo, a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 360º.
Exemplo:+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
10
Geometria e ÁlgebraÂngulos internos e ângulos externos de polígonos regulares
Indicamos por:
ai: medida de cada ângulo interno. ai = =
ae: medida de cada ângulo externo. ae = =
Polígono regular é aquele que tem todos os lados com medidas iguais e todos os ângulos internos com medidas iguais.
11
Geometria e ÁlgebraNúmeros de diagonais de um polígono convexo
d =
diagonais quepartem de 1 lado
número de lados
Dividimos por 2 para nãocontar cada diagonal 2 vezes.
A
B
CD
E
12
Geometria e Álgebra
Elementos de um triângulo
Vértices: pontos A, B e C.
Ampliando o estudo dos triângulos
Ângulos internos: , e .
Lados: segmentos de reta , e .
Ângulos externos: , e .
O lado oposto ao ângulo é o lado .
O ângulo é o ângulo oposto ao lado .
Os ângulos internos não adjacentes ao ângulo externo são os ângulos e .
Os ângulos e são adjacentes suplementares .
13
Geometria e ÁlgebraCondição de existência de um triângulo
Desigualdade triangular
Em todo triângulo, a medida de um lado é sempre menor do que a somadas medidas dos outros dois lados.
a < b + c
b < a + c
c < a + ba
bc
3 cm
4 cm
2 cm
4 cm
2 cm 1,5 cm
14
Geometria e ÁlgebraRelação entre lados e ângulos de um triângulo
Observe que o maior ângulo opõe-se ao maior lado, e o menor ângulo opõe-se ao menor lado.
>90º >60º 30º
Em todo triângulo, o maior ângulo opõe-se ao maior lado e, reciprocamente, o maior lado opõe-se ao maior ângulo. Da mesma forma, o menor ângulo opõe-se ao menor lado e, reciprocamente, o menor lado opõe-se ao menor ângulo.
> >
A
BC
60º
30º
Lados opostos
15
Geometria e ÁlgebraFiguras congruentes e congruência de triângulos
Figuras congruentes
Congruência de triângulosA congruência dos seis elementos (três lados e três ângulos) determina a congruência dos dois triângulos.
A
B
C
DP
Q40º
40º
A B
C
P Q
R
16
Geometria e ÁlgebraCasos de congruência de triângulos
1o caso: LAL (lado, ângulo, lado)
Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o ângulocompreendido entre eles respectivamente congruentes.
A
B
C E
F
G
Então:
17
Geometria e Álgebra2o caso: LLL (lado, lado, lado)
Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados respectivamente congruentes.
A B
C
EF
G
Então:
18
Geometria e Álgebra3o caso: ALA (ângulo, lado, ângulo)
Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado eos dois ângulos adjacentes a ele respectivamente congruentes.
A B
C
E F
G
Então:
19
Geometria e Álgebra4o caso: LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto)
Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ânguloadjacente e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.
A
B
C
E F
G
Então:
20
Geometria e ÁlgebraMediana, bissetriz e altura de um triângulo
Mediana de um triângulo
Mediana de um triângulo é o segmento que temcomo extremidades um vértice do triângulo e oponto médio do lado aposto a esse vértice.
Baricentro de um triângulo
Em todo triângulo, as três medianas cruzam-se em um mesmo ponto, chamado baricentro do triângulo.
O baricentro de qualquer triângulo divide a mediana na razão de 1 para 2.
A
B CM
F
G HM
NL
21
B
Geometria e ÁlgebraBissetriz de um triângulo
Bissetriz de um triângulo é o segmento que tem uma extremidade em um vértice do triângulo, divide o ângulo interno ao meio e tem a outra extremidade no lado oposto a esse vértice.
Incentro de um triângulo
Em todo triângulo, as três bissetrizes cruzam-seem um mesmo ponto, chamado incentro do triângulo.
A
B CS
P
Q R
I
22
Geometria e ÁlgebraAltura de um triângulo
Altura de um triângulo é o segmento com uma extremidade em um vértice e a outra extremidade no lado oposto ou no seu prolongamento, formando com ele ângulos retos.
A
B CH
E
F G
P
QR
X
23
Geometria e ÁlgebraOrtocentro de um triângulo
Em todo triângulo, as três alturas ou seus prolongamentos cruzam-seem um mesmo ponto, chamado de ortocentro do triângulo.
A
B CH
PR
24
Geometria e ÁlgebraMediatriz de um segmento de reta e circuncentro de um triângulo
Mediatriz de um segmento de reta Circuncentro de um triângulo
• m é a mediatriz de
FC
B
mediatriz de
mediatriz de
mediatriz de
P
C
BAM
m
• e é reto
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Geometria e Álgebra
Paralelogramos
todo quadrilátero cujos ladosopostos são paralelos.
Propriedades dos paralelogramos1a propriedadeEm todo paralelogramo, dois ângulos opostos são congruentes e dois ângulos não opostos são suplementares.
Ampliando o estudo dos quadriláterosBA
C D// e //
BA
CD
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
=
=
26
Geometria e Álgebra2a propriedadeEm todo paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
Pelo caso ALA, concluímos que:
3a propriedadeEm todo paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.
Ou seja, o ponto O, cruzamento das diagonais,é o ponto médio das duas diagonais.
(ângulos alternos internos)=
(ângulos alternos internos)=
. Logo, ee .
(caso ALA).
Então:
e
27
Geometria e ÁlgebraPropriedade dos retângulosAs diagonais de um retângulo são congruentes.
Então podemos afirmar que as diagonais de um retângulo são congruentes e cortam-se ao meio.
A B
CD
A
D C
B
CD
(retos)
(lados opostos de um retângulo)
(lado comum)Pelo caso LAL, temos que ∆ADC ∆BCD.
Portanto, .
28
Geometria e ÁlgebraPropriedade dos losangos
As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango.
Como então e+ = 180º, = 90º.= 90º
Logo, e são perpendiculares entre si.
Então, está sobre as bissetrizes de e de .
Pelo caso LLL, temos e daí temos = .
Pelo caso LLL, temos e daí temos e .
29
Geometria e ÁlgebraTrapézios
quadriláteros que têmapenas dois lados paralelos.
base menor
base maior//
Tipos de trapézio
Trapézio retângulo é aquele que tem doisângulos internos retos.
Trapézio isósceles é aquele que tem dois lados não paralelos congruentes, isto é, de medidas iguais.
A B
CD
P Q
RS
A B
CD
30
Geometria e ÁlgebraBase média de um trapézio
Em todo trapézio, a medida da base média é igual à medida aritméticadas medidas das bases maior e menor do trapézio.
MN =
A B
CD
31
M N
Links paraambiente online
Geometria e Álgebra
Chamamos expressões algébricas inteiras as que não têm letras (ou variáveis) em denominador nem dentro de radicais.
Exemplos:
• 4x + 6
• 8x2y
• a2 – a + 4
• 8x1
• ab
Expressão algébrica inteira
32
Geometria e Álgebra
A área do quadrado é: ℓ . ℓ ou ℓ2
O perímetro do quadrado é:ℓ + ℓ + ℓ + ℓ = 4ℓ
Em geral, um monômio é formado por uma parte numérica (coeficiente)e uma parte literal.
Monômios
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
33
Geometria e ÁlgebraGrau de um monômio
Exemplos:
• –5x3y4
3o grau referente a x
4o grau referente a y
O grau deste monômio é 7 (3 + 4 = 7).
• 12x5 5o grau referente a xO grau deste monômio é 5.
Monômios semelhantes ou termos semelhantes
Exemplo:
O termo semelhante dos monômios x3, 8x3, 64x3 e 125x3 é a parteliteral que eles apresentam: x3.
34
Geometria e ÁlgebraOperações com monômios
Adição e subtração de monômios semelhantes
Exemplos:
• 2x + 3x = (2 + 3)x = 5 . x = 5x
Portanto: 2x + 3x = 5x
• 7y2 – 5y2 = (7 – 5)y2 = 2y2
Portanto: 7y2 – 5y2 = 2y2
35
Geometria e ÁlgebraMultiplicação de monômios
Exemplos:
• (9x2) . (5x3) = (9 . 5)(x2 . x3) = 45x2 + 3 = 45x5
propriedade comutativa eassociativa da multiplicação
propriedade do produto de potências de mesma base
• (3a) . (–4b) = –12ab
3 . (–4)
a . b
36
Geometria e ÁlgebraDivisão de monômios
Exemplos:
• (12x6) : (3x2) =1
4
4x6 – 2 = 4x4
• (5a) : (15b) =1
3
• (10y2) : (2y3) = 5y2 – 3 = 5y –1 =
=
=
37
Geometria e ÁlgebraPotenciação de monômios
Exemplos:
• (5x3)2 = 52 . (x3)2 = 25x3 . 2 = 25x6
• (4x2)–1 = 4 –1 . (x2)–1 =
• (5a3b2)4 = 5 4 . (a3)4 . (b2)4 = 625a12b8
, com x ≠ 0. x –2 = . =
38
Geometria e Álgebra
Toda expressão que indica uma soma algébrica (adição ou subtração) de monômios não semelhantes é chamada de polinômios.
Exemplos:
5a2 – 3a
2x + 6
4x2 – 2xy + 3x
a2 – 2ab + b2 – a2b2
Trinômio (3 termos):Binômio (2 termos):
Polinômio (mais de um termo):
Polinômio
x – y + 5
39
Geometria e ÁlgebraRedução de termos semelhantes
Exemplo:
2x + y + 2x + 2y + 4x + 3y
(2x + 2x + 4x) + (y + 2y + 3y)
ouUsando as propriedades
comutativas e associativas da adição.
8x 6y
8x + 6y
ouReduzindo os
termos semelhantes.
40
Geometria e ÁlgebraGrau de um polinômioO grau de um polinômio é numericamente igual à soma dos expoentes da parte literal do seu termo de maior grau depois de reduzidos seus termos semelhantes.
Exemplo:
• 4x3 – 3x2 + 5
Polinômio do 3o grau, 4x3 é seu termo de maior grau.
• 2x + xy – 6y
Polinômio do 2o grau, xy é seu termo de maior grau.
41
Geometria e ÁlgebraOperações com polinômios
Adição e subtração de polinômios
Exemplos:
Sejam os polinômios: A = 3x2 + 2x e B = 2x2 + x
• A + B = (3x2 + 2x) + (2x2 + x) = 3x2 + 2x + 2x2 + x = 5x2 + 3x
• A – B = (3x2 + 2x) – (2x2 + x) = 3x2 + 2x – 2x2 – x = x2 + x
Polinômios opostos ou simétricosExemplo:
3x2 – 5x – 10– 3x2 + 5x + 10
+ 00x2 + 0x
42
Geometria e ÁlgebraMultiplicação de polinômios
Exemplos:
• A área da parte I é: x . (3x) = 3x2
• A área da parte II e I é: 3x . (x + 5x + 1) = 3x . (5x + 1) = 15x2 + 3x
A área da região é:
(x + 2) . (x + 5) = x . x + x . 5 + 2 . x + 2 . 5 =
= x2 + 5x + 2x + 10 = x2 + 7x + 10
I II
A x E 5x + 1 B
CFD
3x
A B
CD x + 5
x + 2
43
Geometria e Álgebra
3x – 2
(3x – 2) . (x2 – 4x + 6)
x2 – 4x + 6
X
+ 18x– 12x23x3
+ 8x– 2x2 – 12
– 12+ 26x– 14x23x3
Multiplicação de polinômios
44
Geometria e ÁlgebraDivisão de polinômios
é equivalente à divisão (6x3 – 12x) : (3x)
(6x3 – 12x) : (3x) = (6x3) : (3x) – (12x) : (3x) = 2x2 – 4
ou
2x2 – 4= − =
Exemplos:
45
Geometria e ÁlgebraDivisão de polinômios
(15x2 + 2x – 8) : (5x + 4)
15x2 + 2x – 8 5x + 4 Dividimos o 1o termo do dividendopelo 1o termo do divisor:3x– 15x2 – 12x
– 10x – 8
– 2(15x2) : (5x) = 3x
Dividimos novamente o 1o termo de–10x – 8 pelo 1o termo de 5x + 4:
(–10x) : (5x) = –2
+ 10x + 8 0
Verificação:
(3x – 2) . (5x + 4) = 15x2 + 12x – 10x – 8 = 15x2 + 2x – 8
quociente divisor
Exemplo:
46
Geometria e Álgebra
a b
a
b
Quadrado da soma: (a + b)2 ou (a + b)(a + b)
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) = a . a + a . b + b . a + b . b =
2ab
a2 + 2ab + b2
Portanto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Geometricamente:
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 1o termo mais o dobro do produto do 1o termo pelo 2o termo mais o quadrado do 2o termo.
a2 + 2ab + b2
Produtos notáveis
a2
ab b2
ab
47
Geometria e ÁlgebraQuadrado da diferença: (a – b)2 ou (a – b)(a – b)
(a – b)2 = (a – b) . (a – b) = a . a – a . b – b . a + b . b =– 2ab
a2 – 2ab + b2
Portanto: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
quadrado do 1o termo
o oposto do dobro do produtodo 1o pelo 2o termo
quadrado do 2o termo
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1o termo menos o dobro do produto do 1o termo pelo 2o termo mais o quadrado do 2o termo.
48
Geometria e ÁlgebraProduto da soma pela diferença: (a + b)(a – b)
(a + b) . (a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
O produto da soma pela diferença dos mesmos termos é igual ao quadrado do 1o termo menos o quadrado do 2o termo.
49
Link paraambiente online
Geometria e ÁlgebraCubo da soma: (a + b)3
(a + b)3 = (a + b) . (a + b)2 = (a + b) . (a2 + 2ab + b2) =
= a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Geometricamente:
a bb
a
b
a
b3 3a2b a3 3ab2
50
Geometria e ÁlgebraCubo da soma: (a + b)3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do 1o termo mais o triplo do produto do quadrado do 1o termo pelo 2o termo mais o triplo do produto do 1o termo pelo quadrado do 2º termo mais o cubo do 2o termo.
cubo do 1o termo
triplo do produto doquadrado do 1º termo
pelo 2o termo
triplo do produto do 1o termo pelo
quadrado do 2o termo
cubo do 2o
termo
51
Geometria e ÁlgebraCubo da diferença: (a – b)3
(a – b)3 = (a – b) . (a – b)2 = (a – b) . (a2 – 2ab + b2) =
= a3 – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do 1o termo menos o triplo do produto do quadrado do 1o termo pelo 2o termo mais o triplo do produto do 1o termo pelo quadrado do 2o termo menos o cubo do 2o termo.
52
Geometria e Álgebra
1o caso de fatoração: fator comum (colocação de um termo em evidência)
Exemplos:
• 3a2 + 3ab = 3a . a + 3a . b =
fator comum
3a . (a + b)
Portanto: 3a2 + 3ab = 3a(a + b)
forma fatorada
• 10x2 – 15x = 2x . 5x – 3 . 5x =
fator comum
5x(2x – 3)
Fatoração de polinômios
O fator comum é colocadoem evidência.
53
Geometria e Álgebra2o caso de fatoração: agrupamento
Exemplos:
ax + 2a + 5x + 10
a(x + 2) + 5(x + 2)
(a + 5) . (x + 2)
ab + a – bx – x
a(b + 1) – x(b + 1)
(b + 1) . (a – x)
54
Geometria e Álgebra3o caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito
x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
quadradode x
Exemplos:
o dobro do produtode x e 5
quadradode 5
a2 – 14a + 49 = (a – 7)2
quadradode a
o dobro do produtode a e 7
quadradode 7
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
9x2 + 60x + 100 = (3x + 10)2
(3x)2
2 . (3x) . 10
102
55
Geometria e Álgebra4o caso de fatoração: diferença entre dois quadrados
Exemplos:x2 – 64 = (x + 8)(x – 8)
quadradode x
quadradode 8
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
25x2 – 81 = (5x + 9)(5x – 9)
(5x)2 92
5o caso de fatoração: soma de dois cubos
(x + y)(x2 – xy + y2) = x3 – x2y + xy2 + yx2 – xy2 + y3 = x3 + y3
Portanto: x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)cubo de x cubo de y
(5x + 2)(25x2 – 10x + 4) = 125x3 – 50x2 + 20x2 + 50x2 – 20x + 8 = 125x3 + 8
Exemplos:
Portanto: (5x + 2)(25x2 – 10x + 4)125x3 + 8 =
56
Geometria e Álgebra6o caso de fatoração: diferença entre dois cubos
(x – y)(x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 – yx2 – xy2 – y3 = x3 – y3
x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)Portanto:
(3x – 5)(9x2 + 15x + 25) = 27x3 + 45x2 + 75x – 45x2 – 75x – 125 = 27x3 – 125
cubo de x cubo de y
Portanto: 27x3 – 125 = (3x – 5)(9x2 + 15x + 25)
(3x)3 53
57
Link paraambiente online
Geometria e Álgebra
= =
= =
= =
Simplificação de frações algébricas
Exemplos:
•
• (x – y)
•
fatorando
fatorando
2(1 + 2a) = 2 + 4a2
1
Frações algébricas
58
Geometria e ÁlgebraAdição e subtração de frações algébricas
Exemplos:
•
produto dos denominadores:2x . 4y . 3 = 24xy
fatorando
+ – = =+ –
= = =
• + =
mmc(x – y, x2 – y2) = (x + y)(x – y)
+ =
= = =
59
Geometria e Álgebra
=
=
Multiplicação de frações algébricas
Exemplos:
•
2
1
• 3
1
Divisão de frações algébricas
•
Exemplo:
– = =
: = . =
. = . =
60
Geometria e ÁlgebraPotenciação de frações algébricas
Exemplos:
•
•
= =
= = ou
61
‒2