GEOMETRIA MOMENTO 03 · CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ... o terceiro grupo fará a atividade...

CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICAINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

4 DE ABRIL DE 2017

GEOMETRIA

MOMENTO 03

Humberto José Bortolossi

http://www.professores.uff.br/hjbortol/

Universidade Federal Fluminense1

UMA FIGURA AJUDA OU ATRAPALHA?

FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES

UMA FIGURA AJUDA OU ATRAPALHA?

A seguir temos cinco passos de uma demonstração errada para o seguinte teorema falso: “todo triângulo é isósceles'”.Quais passos estão errados? Quais passos estão corretos? Separem-se em três grupos: o primeiro grupo tentaráresponder a estas perguntas só com o enunciado (cabe aos alunos deste grupo decidirem se farão ou não uso de umafigura por eles desenhados com lápis, régua e compasso); o segundo grupo tentará respondê-las com uma figurafornecida pelo professor; o terceiro grupo fará a atividade construindo a figura usando o GeoGebra.

PASSO 1. No triângulo ∆ABC, seja O o ponto de interseção da mediatriz FO do lado ABcom a bissetriz CO do ângulo ACB.

PASSO 2. Construa os segmentos OE perpendicular ao lado AC e DO perpendicular ao ladoBC, respectivamente.

PASSO 3. Os triângulos retângulos ∆CEO e ∆CDO são congruentes e, portanto, EO = DO eEC = DC.

PASSO 4. Como AO = BO, o triângulo retângulo ∆AEO é então congruente ao triânguloretângulo ∆BDO e, assim, AE = BD.

PASSO 5. Consequentemente, AC = AE + EC = BD + DC = BC e o triângulo ∆ABC éisósceles.

FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES

UMA FIGURA AJUDA OU ATRAPALHA?

A seguir temos cinco passos de uma demonstração errada para o seguinte teorema falso: “todo triângulo é isósceles'”.Quais passos estão errados? Quais passos estão corretos? Separem-se em três grupos: o primeiro grupo tentaráresponder a estas perguntas só com o enunciado (cabe aos alunos deste grupo decidirem se farão ou não uso de umafigura por eles desenhados com lápis, régua e compasso); o segundo grupo tentará respondê-las com uma figurafornecida pelo professor; o terceiro grupo fará a atividade construindo a figura usando o GeoGebra.

FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES

Imagem extraída de um livro didático: o gráfico da função g é uma parábola?

FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES

Imagem extraída de um livro didático: parábola?

FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES

Imagem extraída de um livro didático: algo de errado?

FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES

FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES

FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES

FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES

UMA FIGURA AJUDA OU ATRAPALHA?

FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES

UMA FIGURA AJUDA OU ATRAPALHA?

PIRÂMIDE DE HUFFMAN

INTERLÚDIO HISTÓRICO : MORTE E RENASCIMENTO DA GEOMETRIA (DIEUDONNÉ, BOURBAKI, COXETER)

DIEUDONNÉ, BOURBAKI, COXETER

ATÉ QUE PONTO FIGURAS PODEM SER USADAS EM DEMONSTRAÇÕES MATEMÁTICAS?

TEMA DE MONOGRAFIA

FIGURAS PROTOTÍPICAS: COMPONENTE FIGURAL ×COMPONENTE CONCEITUAL

COMPONENTE FIGURAL ×COMPONENTE CONCEITUAL

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COMPONENTE FIGURAL ×COMPONENTE CONCEITUAL

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COMPONENTE FIGURAL ×COMPONENTE CONCEITUAL

Os exemplos e exercícios propostos são, em geral, aquelescujas soluções são baseadas em operações aritméticas do tipo“calcule” ou em equações “determine o valor de x”.

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COMPONENTE FIGURAL ×COMPONENTE CONCEITUAL

Assim, para os alunos, a posição relativa do desenho quantoa borda da página, o traçado particular do segmento, a operaçãoaritmética ou a equação utilizada passam a fazer parte dascaracterísticas do objeto estabelecendo desequilíbrios naformação dos conceitos.

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COMPONENTE FIGURAL ×COMPONENTE CONCEITUAL

A operação de multiplicação substitui o conceito de área,a soma substitui o conceito de perímetro, o Teorema de Tales ea semelhança de triângulos se “escondem” em equaçõescomplicadas e o Teorema de Pitágoras acaba se reduzindoa uma pura aplicação da equação de segundo grau.

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COMPONENTE FIGURAL ×COMPONENTE CONCEITUAL

O aspecto de construção dos objetos geométricos raramente éabordado; dificilmente encontramos no livro escolar a instrução“construa”, e no entanto está é uma das atividades que levao aluno ao domínio de conceitos geométricos. Mais difícilainda é encontrar questões do tipo “o que podemos dizer nestasituação?” ou “que regularidades percebemos?”, ondeestratégias de investigação devem ser estabelecidas.

(Gravina, 1996, p. 2)

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GEOMETRIA DINÂMICA

No sentido de evitar que características de representação sejamconfundidas com as propriedades matemáticas dos objetosgeométricos, devemos passar para um tratamento de “desenhosem movimento” onde particularidades da representaçãodesapareçam quando impomos ao desenho movimentos detranslação, rotação, entre outros. Neste contexto, os softwaresde geometria dinâmica são especialmente convenientes.

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GEOMETRIA DINÂMICA

De fato: uma construção geométrica feita no papel com lápis,régua e compasso ou no quadro com giz é estática e, destamaneira, uma vez feita, ela não pode ser modificada.

Para gerar outros exemplos, o professor ou o aluno deverárepetir o mesmo procedimento da construção com outros dadosiniciais, o que é tedioso e toma um tempo precioso de sala deaula com uma atividade repetitiva.

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GEOMETRIA DINÂMICA

Em um software de geometria dinâmica, por outro lado, aconstrução é feita apenas uma única vez, com mais precisão ede tal modo que os elementos geométricos da construçãopodem ser alterados para gerar uma quantidade grande deexemplos.

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GEOMETRIA DINÂMICA

Mais ainda: ao mover os elementos geométricos da construção,as relações geométricas (pertinência, paralelismo, etc.) entreestes elementos são mantidas. Com isto, ao interagir com umsoftware de geometria dinâmica, o aluno encontrará umambiente propício à visualização, análise e dedução informaldas relações geométricas da construção a partir do qualdeduções formais e rigorosas podem ser construídasposteriormente.

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DISSERTAÇÃO DO EDILSON MACHADO

Uma seleção de exercícios, organizados por nível dedificuldade, onde o aluno deve:

(1) implementar a construção sugerida no exercício,(2) estudá-la movendo os elementos “livres” da construção,(3) formular uma conjectura para o invariante geométrico da

construção e(4) provar sua conjectura.

Vamos praticar? 28

O QUE É GEOMETRIA?POR QUE ENSINÁ-LA NA ESCOLA?

GEOMETRIA: O QUE É? POR QUE ENSINAR?