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Guia RetangularGuia Retangular
• Calcular as componentes doscampos das ondascampos das ondaseletromagnéticas dentro doiguia
Ez Hz Ex Hx Ey Hyz z x x y y
S á ifi d ã• Será verificado que nãoexistem ondas TEM
http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/D.Jefferies/wguide.html
Campos no Guia RetangularCampos no Guia Retangular
Usando fasores e considerando que os guias estãopreenchidos compreenchidos com
• Dielétrico sem perdas e
• As paredes são condutores perfeitos
A onda dentro do guia deve satisfazerA onda dentro do guia deve satisfazer2 2 0E k E 2 2
2 2
0dH k H
k
2 2onde k
Tendo em vista que os campos são vetores da forma:forma:
ˆ ˆ ˆx y zE E x E y E z
ˆ ˆ ˆx y z
x y z
y
H H x H y H z
2 2 22E E E 2 2 2H H H
Chega-se num conjunto de 6 equações
22 2 2
2 2 2
0x x xx
E E E k Ex y zE E E
22 2 2
2 2 2
0x x xx
H H H k Hx y zH H H
22 2 2
2 2 2
0y y yy
E E Ek E
x y zE E E
2 2 22
2 2 2
2 2 2
0y y yy
H H Hk H
x y z
2 2 22
2 2 2 0z z zz
E E E k Ex y z
2 2 22
2 2 2 0z z zz
H H H k Hx y z
Trabalhando apenas com a componente‐z2 2 2
22 2 2 0z z z
zE E E k E
2 2 2 zx y z
Usando o método da Separação de Variáveis:( , , ) ( ) ( ) ( )zE x y z X x Y y Z z
2 2 22
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z z k X x Y y Z zx y z
2"( ) ( ) ( ) ( ) "( ) ( ) ( ) ( ) "( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z z k X x Y y Z z
"( ) ( ) ( ) ( ) "( ) ( ) ( ) ( ) "( ) ( ) ( ) ( )X x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z z
'' '' ''X Y Z
2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
X x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z zkX x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z z
2X Y Z kX Y Z
Como cada termo é função de uma única variável, cada termo deve ser então uma constante
'' '' ''X Y Z 2
2 2 2 2
X Y Z kX Y Zk k k
2 2 2 2x yk k k
2 2 2'' '' ''
x yX Y Zk kX Y Z
2 2 2 2
oux yk k k
22222 kkkh
ou
yx kkkh
2
chegando-se em:0''X k X
2
0
0x
''y
X k X
Y k Y
2 0''Z Z
Cuja solução tem a forma:Cuja solução tem a forma:
xx
ykcykcY(y)xkcxkcX(x)
21
sincossincos
zz
yy
ececzZ
ykcykcY(y)
65
43
)(
sincos
65)(
Substituindo na equação do Ezq ç
xx xkcxkcX(x) 21 sincos
zz
yy
xx
Z
ykcykcY(y)
43
21
)(
sincos)()()()( zZyYxXzyxE zz ececzZ 65)()()()(),,( zZyYxXzyxEz
cos sin cos sin z zE c k x c k x c k y c k y c e c e 1 2 3 4 5 6cos sin cos sin
considerando apenas a onda que se propaga na direção :z x x y yE c k x c k x c k y c k y c e c e
z
1 2 3 4cos sin cos sin
de forma similar para o campo magnético
zz x x y yE A k x A k x A k y A k y e
1 2
de forma similar para o campo magnético,
cosz xH B k x B 3 4sin cos sin zx y yk x B k y B k y e
Demais componentes do campo
Da lei de Faraday e Ampere podem ser obtidas as 4 componentes restantesp
E j H H j E
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆx y z x y zx y z E x E y E z j H x H y H zx y z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆx y z x y zx y z H x H y H z j E x E y E zx y z
y
yzEE j H
yzHH j E
xj Hy zE E H
xj Ey z
H H E
x z
yE E j Hz x
E E
x zy
H H j Ez x
H H
y x
z
E E j Hx y
y xz
H H j Ex y
z zE e H e
y yx xx y x y
E HE HE E H Hz z z z
z z z z
2 22 22 2 2 2y yx xE HE HE E H H
2 2 2 2
y yx xx y x yE E H H
z z z z
Outras componentes podem ser escritasem função de Ez e Hz
E Hj 2 2
z zx
E HjEh x h y
2 2z z
yE HjE
h y h x
2 2z z
x
h y h xE HjH
h h
2 2x
z z
h y h xE HjH
2 2yHh x h y
onde
2 2 2 2 2x y
ondeh k k k
Modos de PropagaçãoModos de PropagaçãoDas equações anteriores podemos concluir:Das equações anteriores podemos concluir:• TEM (Ez=Hz=0) não se propagam.
• TE (Ez=0) transversal elétrico– No modo TE mode, as linhas de campo elétrico são , pperpendiculares à direção de propagação.
TM (H 0) t l éti E i t• TM (Hz=0) transversal magnético, Ez exists– No modo TM, as linhas de fluxo magnético sõ perpendiculares à direção de propagação.perpendiculares à direção de propagação.
• Modos HE (híbridos) na qual todas as componentes existem.
Modos TM
zyyxxz eykAykAxkAxkAE sincossincos 4321
• Condições de ,byEz 0at 0
yy
Contorno: ,axEz 0at 0
assim conclui se:assim, conclui-se:X(x) deve ser da forma sin kxx,
onde kx=m/a, m=1,2,3,…x , , , ,Y(y) deve ser da forma sin kyy,
onde ky=n/b, n=1,2,3,…
zjeykxkAAE sinsin42
então a solução para Ez(x,y,z) é
Figure from: www.ee.bilkent.edu.tr/~microwave/programs/magnetic/rect/info.htm
yxz eykxkAAE sinsin42
Campos dos Modos TMmn
sin sin j zz o
m nE E x y ea b
EE z
zeynxmEmE
sincos
0zH
EE
xhE
z
x
2
z
ox
ynxmEnE
eba
Eah
E
i
sincos2
EjH
yhEy
2
zoy
ynxmnj
eby
aE
bhE
cossin2
EjyE
hjH z
x
2
zox
ynxmmj
ebyn
axmE
bn
hjH
cossin2
xE
hjH z
y
2
zoy e
byn
axmE
am
hjH
sincos2
2 2 2 2 2x y
ondeh k k k
Campos dos Modos TMmn
• Os subindicesm e n representam os modos de• Os subindices m e n representam os modos de propagação e indicam o numero de vezes que o campo varia na direção x e y, respectivamente.campo varia na direção x e y, respectivamente.
• Para modos TM, se n ou m for zero, todos os campos são nulos
• Ver applet de Paul Falstadpp
http://www.falstad.com/embox/guide.html
Freqüência de corte TM
2 2
2 2 2 2x y
m nk k k jb
• A frequencia de corte acontece quando,
x y ja b
2 22
2 2
então 0 cm n ja b
• Evanescente:
2 21 1ou 2c
m nfa b
2 22quando e 0 m n
a b
– Significa não propagação, tudo é atenuado
• Propagação:2 2
2quando e 0 m n jb
– Caso de interesse, a onda deve se propagar ao longo do guia.
a b
Corte tt ã P ãCorte attenuação Propagação
do modo mn
• A frequencia de corte é a frequencia abaixo da qual
fc,mn
q q qatenuação acontece e acima da qual a propagação existe. (Filtro passa‐altas)p
22
2'
bn
amuf mnc
• A constante de fase é
2 ba
22 22 ' 1 cfm n
1a b f
Velocidade de fase e impedância
• A velocidade de fase é definida como:
' 2 'puu 2 2
1 1
pp
c c
uff f
f f
• Impedância intrínseca do modo é
2
1'
fEE cyx
TM 1
fHH xy
TM
Resumo dos modos TMResumo dos modos TM
Onda num meio dielétricoinfinito
Dentro de um guia limitado
'/' u2
1'
ffc
/' 2
1'
ffc
TM
f
/2
fup
/1'/' fu
2
'
1'
ffc
fu /''
/1/ fu
2
1
ff c
fu /
Modo TE
zyyxxz eykBykBxkBxkBH sincossincos 4321
• Condições de ,byEx 0at 0 contorno: ,axEy 0at 0
assim conclui se:assim, conclui-se:X(x) deve ser da forma cos kxx,
onde kx=m/a, m=1,2,3,…x , , , ,Y(y) deve ser da forma cos kyy,
onde ky=n/b, n=1,2,3,…
zjeykxkBBH coscos
então a solução para Ez(x,y,z) é
Figure from: www.ee.bilkent.edu.tr/~microwave/programs/magnetic/rect/info.htm
yxz eykxkBBH coscos31
Campos dos Modos TEmn
coscos
zj
oz eyb
nxa
mHH
j 0
zEba
yH
hjE z
x
2
zox e
byn
axmH
bn
hjE
sincos2
xH
hjE z
y
2
zoy e
byn
axmH
am
hjE
cossin2
Hx
Hh
H zx
2
z
ox ebyn
axmH
am
hjH
cossin2
yH
hH z
y
2
z
oy ebyn
axmH
bn
hjH
sincos2
2 22 m nh
a b
Observe que n e m não podem ser zero simultaneamente
Corte tt ã P ãCorte attenuação Propagação
do modo mn
• O calculo da frequencia de corte é identico ao fc,mn
calculo para o modo TM
22 22
2'
bn
amuf mnc
• Porem o modo TE apresenta menor frequencia d t i dde corte pois m ou n podem ser zero.
Modo DominanteModo Dominante
• O modo dominante é aquele que apresenta a menor frequencia de corte.q
• Sempre será o modo TE10A d d d i d i d d d• A ordem dos demais modos vai depender das dimensões geométricas do guia.
Resumo dos modos TE
Onda num meio dielétricoinfinitos
Onda dentro do guia
'/' u2
1'
ffc
/' 2
1
'
fc
TE
1
f
/2
fup
/1'/' fu
2
'
1'
ffc
fu /''
/1/ fu
2
1
ff c
fu /
Variação da impedanciaVariação da impedancia
• A impedancia depende da frequência e do modomodo
TE
’TM
fc,mn
Exemplo:
Considere um guia oco com dimensõesa=2.286cm, b=1.016cm operando em
m n Frequencia0 0 00 1 1.47638×1010
0 2 2 95276 1010, p
10GHz. Encontre a frequencia de cortede todos os possiveis modospropagantes
0 2 2.95276×1010
0 3 4.42913×1010
0 4 5.90551×1010
1 0 6 56168×109
Solução:Usando
1 0 6.56168×109
1 1 1.61563×1010
1 2 3.02478×1010
1 3 4 47748×1010Usando 1 3 4.47748×1010
1 4 5.94185×1010
2 0 1.31234×1010
2 1 1 97533×101022
2'
bn
amuf mnc
2 1 1.97533×102 2 3.23125×1010
2 3 4.61946×1010
2 4 6.04957×10102 ba 2 4 6.04957 103 0 1.9685×1010
3 1 2.46063×1010
3 2 3.54877×1010
3 3 4.84688×1010
3 4 6.22496×1010
Exemplo:Um guia oco de 5 x 2 cm tem
em 15GHz V/m 50sin40sin20 zj
z eyxE
• Qual modo esta sendo propagado?
• Determinar • Determinar E /E• Determinar Ey/Ex
20sin 40 sin 50 V/mj zzE x y e z y
sin sin j zz o
m nE E x y ea b
21
mn
99.60469 10cf
2 292 15 10 9,6' 1 1 241 4cf 81 1 241,4
3 10 15f
Exemplo:Um guia oco de 5 x 2 cm tem
em 15GHz V/m 50sin40sin20 zj
z eyxE
• Qual modo esta sendo propagado?
• Determinar • Determinar E /E i zn m x n yE E
• Determinar Ey/Ex 2 sin cos zy o
yE E eh b a b
m m x n y
2 cos sin zx o
m m x n yE E eh a a b
E 2tan coty
x
E na m x n yE mb a b
21
mn
1,25 tan 40 cot 50yEx y
E
xE
Velocidade de grupo, ug
• Velocidade da energia ou informação.
mffuu c
g d/rad/s 1'
/1
2
É ’
sfg rad/m/
• É sempre menor que u’
2' 2'uuu gp 1'u
http://www.tpub.com/content/et/14092/css/14092_71.htm
Transmissão de PotenciaTransmissão de Potencia
• O vetor de Poynting médio para o guia é
11 ** EE
HEHEHE xyyxave Re21Re
21
22
*** P
[W/ 2]z
EE yx ˆ2
2
[W/m2]
• onde = TE ou TM dependendo do modo
b EE22
a
x
b
y
yxaveave dxdy
EEdSP
0 0 2P [W]
x y0 0
Potencia do modo dominante TE10
cos j zz oH H x e
a
cos j z
z oH H x e
2 sin zy o
j xE H eh a a
a
sin j zj a xE H e
z o a
2 sin zx o
h a aj xH H eh
sin
sin
y o
j z
E H ea
j a xH H e
2h a a
22h
sinx oH H ea
a
b EE22
a
x
b
y
yxaveave dxdy
EEdSP
0 0 2P
x y0 0
Potencia do modo dominante TE10
sin j zy o
j a xE H e
cos j zz oH H x e
sin j z
x oj a xH H e
a
y o a
z o a
*1 ˆRa b
P E H d d
a
0 0
ˆRe2ave
x y
a b
P E H zdydx
*
0 0
1 Re2
a b
ave
x y
P EH dydx
2
2 202
1 Re sin2
y
a b
avea xP H dydx
a
0 0
230
2
Re
x ya
a b HP
2 Re4aveP
Atenuação em guias com perdas
• Quando o dieletrico tem perdas e as paredes nao sao• Quando o dieletrico tem perdas e as paredes nao sao condutores perfeitos, perde‐se potencia ao longo do guia de ondaguia de onda
zoave ePP 2
• A potencia perdida:ave
aveL P
dzdPP 2
• onde c+d são as atenuações devido ao condutor e as perdas no dieletricoe as perdas no dieletrico
• Tipicamente c >> d
Atenuação para o modo TE10• Atenuação no condutor, Np/m
2*
2 2s s
c tR RP H H dl H dl 2 2
c c
cos j zz oH H x e
a
sin j z
x oj a xH H e
a
a a
xH y b zH y b
H x a 0H x zH x a 0zH x
0xH y 0zH y
Atenuação para o modo TE10
2 2 22 0 0 0
2
a b
sc x z z
RP H y H y dx H x dy
0 0
2x y
2 2a bR
2 22 2 22 2
2
0 0
2 sin cos2
sc o o o
x y
R a xP H H x dx H dya a
2 32
22 2c s oa aP R H b
2 3
22 2 2 32 2 2s o
c
a aR H bP a aR b
2 3 230 0
2
2 Re 2 22 Re
4
cc sR b
P a ba b H
4
Atenuação para o modo TE10• Atenuação no dielétrico, Np/m
2 2 2 2 2
x yh k k k 2 2d j h k
2 20 0 1 tand rj h
21 x 2 2
22 2 2 2 2
1tan 12
tan
xa x aa
k
2 2 2 2 2
2 2
tantan2kh k jk h k j
h k
onde
2 2 2h k j 2 2tan tan2 2
k kj j jj
2 tank tan2d
k
Atenuação para o modo TEmn 0n
2 22 2
2b b m n
R f fb a a 22
2 22
2 1 1
' 1
s c cc
c
R f fb a aba f ff m nb af
Atenuação para o modo TM
af
Atenuação para o modo TMmn
3b 32 2
3
22
2 sc
b m nR ab
22 2
2' 1 cbf m nb af
Atenuação do condutor para varios modos num guia de ondaAtenuação do condutor para varios modos num guia de onda retangular de latão com a= 2.0 cm
Exemplo:Considere um guia retangular de cobre preenchido com teflon comdimensões: a = 1,07 cm e b = 0,43 cm.Encontre as frequencias de corte dos primeiros 5 modos.Se a frequencia de operação é 15 GHz, determine a atenuação devido aodielétrico e ao condutor.
2,08 tan 0,0004r 2 2
2cmnc m nf
a b 2 r a b
2 292 15 10 9,72' 1 1 348 14rcf
8' 1 1 348,14
3 10 15cff
9
8
2 15 10453,08
3 10rk
3 102453,08 tan 0,0004 0,118 Np/m 1,03 dB/md 0,118 Np/m 1,03 dB/m
2 348,14d
2 2 32 a a 75 8 10 S/m 3 2
22 2c s
a aR ba b
5,8 10 S/m
0 0,032 sfR
0,050 Np/m 0,434 dB/mc
PL 2.1
HSource Free
Maxwell's Equations
tj0 JM
Field Theory: Wave Propagation
Mt
HE
JtEH
HjE
EjH
Time Harmonic Fields tje
D0 B
EjH
zje z dependence:
zjz eyxezyxezyxE )],(ˆ),([),,(
zjz eyxhzyxhzyxH )],(ˆ),([),,(
ep
xyz HjEj
yE
E
xyz EjHj
yH
HSix Equationsy
zx Hj
xE
Ej
y
zx Ej
xH
Hj
zxy Ej
yH
xH
z
xy Hjy
Ex
E
Six Equations
Coupled First Order Differential Equations
PL 2.1.1
HEj
HEjE zz
Field Theory: TE and TM Waves
x
HyE
kjH zz
cx 2
y
Hx
Ek
jH zz
cy 2
yxkjE zz
cx 2
x
zz
cy
Hy
Ekj
E 2
Solving six equatoins to express tanserverse field components in terms of
zz HE and
0,0 zz HE 0,0 zz HE
Cutoff Wavenumber j j
TE Waves TM Waves
j j 222 kkc xk
j z
cx
2
ykj z
cy
2
ykj z
cx
2
xkj z
cy
2
yk
j z
cx
2
xkj z
cy
2
xkj z
cx
2
ykj z
cy
2
/2k
22ckk
kyx
0ck
yx
22ckk 0ckPropagation Constant
x
y
y
x
kx
y
y
x
Wave Impedance
* Inside closed conductors * Two or more conductors
* Inside closed conductors * Two or more conductors
TE waves can be supported TM waves can be supported
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