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COPPE/UFRJ
PROGRAMA DE ENGENHARIA CIVIL
ÁREA DE ESTRUTURAS
Prof. Gilberto Bruno Ellwanger, D.Sc.
Aluno: Alex Leandro de Lima, M.Sc.
TÓPICOS BÁSICOS DE HIDRODINÂMICA
APLICADOS A ESTRUTURAS OFFSHORE
(1ª VERSÃO - 12/06/2007)
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
JUNHO DE 2007
ii
PREFÁCIO
iii
CONTEÚDO
1. INTRODUÇÃO.................................................................................................................... 1
1.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ............................................................................................. 1 1.1.1 CAMPO VETORIAL............................................................................................................. 1 1.1.2 VETOR GRADIENTE........................................................................................................... 2 1.1.3 ROTACIONAL..................................................................................................................... 3 1.1.4 DIVERGENTE ..................................................................................................................... 4 1.1.5 DERIVADA SUBSTANTIVA OU MATERIAL ......................................................................... 4 1.2 MECÂNICA DOS FLUIDOS ................................................................................................... 6 1.2.1 MASSA ESPECÍFICA........................................................................................................... 7 1.2.2 PESO ESPECÍFICO .............................................................................................................. 7 1.2.3 DENSIDADE ....................................................................................................................... 7 1.2.4 FLUIDOS COMPRESSÍVEIS E INCOMPRESSÍVEIS................................................................. 8 1.2.5 VISCOSIDADE E TENSÃO DE CISALHAMENTO ................................................................... 8 1.2.6 FLUIDO IDEAL E FLUIDO REAL ....................................................................................... 11 1.3 AS FORMAS DIFERENCIAIS DAS LEIS FUNDAMENTAIS .................................................. 12 1.3.1 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CONTINUIDADE.................................................................. 12 1.3.2 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO........................................................................................ 14 1.3.3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO.......................................... 15 1.3.4 EQUAÇÃO DE EULER ....................................................................................................... 18 1.3.5 EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES ....................................................................................... 19 1.4 EQUAÇÕES NO PLANO XZ................................................................................................ 21 1.4.1 POTENCIAL DE VELOCIDADE .......................................................................................... 21 1.4.2 EQUAÇÃO DE BERNOULLI ............................................................................................... 22
2. FORÇAS AMBIENTAIS .................................................................................................. 25
2.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 25 2.2 MODELOS DE REPRESENTAÇÃO DAS ONDAS DO MAR ................................................... 26 2.2.1 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO PARA ONDAS DO MAR ....................................... 28 2.2.2 SOLUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO ............................................................................ 30 2.2.3 TEORIA LINEAR DE AIRY ................................................................................................ 33 2.2.4 ONDA DE SEGUNDA ORDEM (STOKES DE 2ª ORDEM) ..................................................... 44 2.3 REPRESENTAÇÃO ESPECTRAL......................................................................................... 46 2.3.1 INTRODUÇÃO................................................................................................................... 46
iv
2.3.2 FORMULAÇÃO DO MODELO ESPECTRAL......................................................................... 47 2.3.3 ESPECTRO DE PIERSON-MOSKOWITZ.............................................................................. 49 2.3.4 ESPECTRO DE JONSWAP .................................................................................................. 51 2.4 FORÇAS GERADAS PELA MOVIMENTAÇÃO DO FLUIDO INDUZIDA PELAS ONDAS ....... 54 2.4.1 FORMULAÇÃO DE MORISON ........................................................................................... 54 2.4.2 FORMULAÇÃO DE FROUDE-KRYLOV .............................................................................. 57 2.5 FORÇAS DE CORRENTEZA................................................................................................ 59 2.5.1 INTERAÇÃO COM AS FORÇAS DE ONDA: INTERAÇÃO FÍSICA.......................................... 59 2.5.2 INTERAÇÃO COM AS FORÇAS DE ONDA: INTERAÇÃO ESTATÍSTICA ............................... 60 2.6 VENTO ............................................................................................................................... 61 2.6.1 CÁLCULO DAS FORÇAS: PARCELA ESTÁTICA ................................................................. 61 2.6.2 CÁLCULO DAS FORÇAS: PARCELA DINÂMICA ................................................................ 62
3. REFERÊNCIAS................................................................................................................. 64
1
11.. IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO
O objetivo principal desta seção é introduzir os conceitos básicos necessários para
o entendimento dos problemas relacionados com a Hidrodinâmica de Estruturas
Offshore. Os quais incluem conceitos matemáticos relacionados com cálculo vetorial,
equações diferenciais ordinárias e parciais, e, conceitos de Mecânica dos Fluidos.
1.1 Conceitos Fundamentais
1.1.1 Campo Vetorial
Um campo vetorial é uma função que associa, a cada ponto do espaço, um vetor.
Campos vetoriais são geralmente utilizados na física para indicar, por exemplo, a
velocidade e a direção de um fluido se movendo pelo espaço, ou o comprimento e
direção de alguma força, tal como a força magnética ou gravitacional, com seus valores
de ponto em ponto.
Seja nA ℜ⊂ e consideremos uma transformação F de A em nℜ . Levando em
conta o significado físico ou geométrico de F, será conveniente interpretar F(X), X ∈ A,
como um vetor aplicado em X. Sempre que quisermos interpretar F(X) desta forma,
podemos considerar F como um campo vetorial e utilizaremos, então, a notação →
F .
Figura 1 – Campo vetorial.
Em resumo, um campo vetorial é uma função que associa a cada ponto um vetor,
cujas componentes variam, de ponto para ponto, de maneira contínua e diferenciável.
Isto significa que podemos calcular as derivadas parciais dessas componentes, obtendo
novas funções contínuas.
A título de ilustração a Figura 2 ilustra um campo vetorial dado por vetores da
forma (-x,y).
A X
)(XF→
2
Figura 2 – Campo vetorial dado por vetores da forma (-y, x).
1.1.2 Vetor Gradiente
O gradiente de uma função f(x1, x2,...,xn), denotado por )( fgrad→
ou ∇f(x1, x2,..,xn),
é um vetor de derivadas parciais da função f:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
=∇=→
nn x
fxf
xfxxxffgrad ,...,,),...,,()(
2121 (1.1)
Dado um ponto (x1, x2,...,xn), a direção dada pelo vetor gradiente é a direção de
maior crescimento em torno deste ponto, ou seja, o vetor gradiente indica a máxima
variação da função e o sentido que essa variação tem.
O vetor gradiente é normal às curvas de nível da função.
Figura 3 – Gradiente de uma função.
x
y
z
3
1.1.3 Rotacional
Consideremos o campo vetorial →→→→
++= kzyxRjzyxQizyxPzyxF ),,(),,(),,(),,(
definido no domínio 3ℜ⊂Ω . Suponhamos que P, Q e R admitam derivadas parciais em
Ω. O rotacional de →
F , que se indica por →
Frot , é o campo vetorial definido em Ω e dado por
→→→→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
= kyP
xQj
xR
zPi
zQ
yRFrot (1. 2)
O rotacional corresponde a um vetor tangencial à superfície de uma função. É um
operador vetorial que mostra a tendência de um campo vetorial de girar ao redor de um
ponto.
A expressão (1.2) acima pode ser lembrada facilmente representando-a pelo
determinante a seguir:
→→→
→→→
→
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
= kQPzxj
RPzxi
RQzy
RQPzyx
kji
Frot (1. 3)
Os produtos que ocorrem nos determinantes de 2ª ordem devem ser interpretados
como derivadas parciais: por exemplo, o produto de y∂∂ por R é a derivada parcial
yR ∂∂ .
O rotacional pode ser expresso como um produto vetorial: →→
×∇= FFrot , onde
∇ é o operador nabla →→→
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ kz
jy
ix
(1. 4)
Seja o campo vetorial definido por →→→→
++= kxyzjyzixyzyxF )()()(),,( 2 . O
→
Frot será:
2
( 2 ) (0 ) (0 )
i j k
rotF xz yz i yz j x kx y z
xy yz xyz
∂ ∂ ∂= = − + − + −∂ ∂ ∂
rr r
rr r r
portanto,
→→→→
−+−= kxjyziyxzFrot )()()2(
4
OBS.: Seja )3,2(: =ℜ→ℜ⊂Ω→
nF nn um campo vetorial qualquer; dizemos que →
F é
irrotacional se e somente se →→
= 0Frot em Ω. →
F irrotacional ⇔→→
= 0Frot .
1.1.4 Divergente
Seja 1 2( , , , )nF F F F=r
K um campo vetorial definido no aberto nℜ⊂Ω e
suponhamos que as componentes 1 2, , , nF F FK admitam derivadas parciais em Ω . O
campo escalar ℜ→Ω→
:Fdiv dado por 1 2
1 2
n
n
FF FdivFx x x
∂∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂
rL denomina-se
divergente de Fr
.
A notação →
∇ F. é frequentemente usada para indicar o divergente de Fr
,
interpretamos →
∇ F. como o produto escalar do vetor ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
=∇nxxx
,...,,21
pelo
campo vetorial 1 2( , , , )nF F FK , onde o produto de ix
∂∂
por iF deve ser entendido como
a derivada parcial i
i
Fx∂∂
:
( )n
nn
n xF
xF
xFFFF
xxxF
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
=∇→
......,...,,.2
2
1
1,2,1
21
(1. 5)
Pode-se definir o divergente de um campo vetorial, como a medida da dispersão
de seus vetores num determinado ponto.
1.1.5 Derivada Substantiva ou Material
As mudanças nas propriedades de um fluido em movimento podem ser medidas
de duas formas diferentes. Isso será ilustrado através de um exemplo, utilizando a
medição da velocidade do vento na atmosfera. Uma forma de medir estas mudanças é
com a ajuda de anemômetro em uma estação meteorológica, ou pela liberação de um
balão atmosférico.
No primeiro caso, o instrumento de medição está fixo no espaço e está medindo
mudanças na velocidade a medida o fluido passa por ele. No segundo caso, o
instrumento está medindo mudanças na velocidade a medida que o balão se move com o
5
fluido. A mesma situação surge com medidas da mudança da densidade, temperatura,
etc.
Contudo, quando aplicamos uma diferenciação devemos destacar as diferenças
destes dois casos. A derivada de um campo com respeito a uma posição fixa no espaço é
conhecida como espacial ou derivada de Euler. A derivação acompanhando o
movimento de uma partícula é chamada de substantiva ou derivada Langragiana.
Considere G(x, y, z, t) como qualquer variável no fluxo descrito em termos de
coordenada Euleriana fixa em (x, y, z). Admitindo que a função G(x, y, z, t) descrevesse,
por exemplo, a temperatura de uma partícula fluida. Estaríamos observando a variação
da propriedade temperatura de uma partícula, isto é, de uma certa massa, de uma certa
quantidade de matéria. Daí então o nome derivada material ou substantiva.
A derivada material (ou substantiva) é definida pelo operador:
GGt
GDtD
∇+∂∂
=→
.v)()( (1. 6)
onde →
v é a velocidade do fluido. O primeiro termo do lado direito da equação é a
derivada tradicional de Euler (isto é, a derivada com referência a um ponto fixo de
referência) contudo o segundo termo representa as mudanças trazidas pelo movimento
do fluido.
A representação da perspectiva Euleriana é geralmente mais fácil e, por esse
motivo, mais comum na análise e descrição do fluxo. No entanto, a física e transporte
do fluxo são mais fundamentais em relação à perspectiva Lagrangiana.
6
1.2 Mecânica dos Fluidos
Consideraremos, agora, as leis do movimento de um líquido ideal. Este líquido
deve ser incompressível e sem atrito interno.
Antes de em mais detalhes, é necessário fazer algumas suposições à cerca dos
fluidos. A primeira é que um fluido é um meio continuo. Isto significa que ele não
contém vazios, como por exemplo, bolhas dissolvidas no gás, ou que ele não consiste de
partículas como da neblina. Outra hipótese necessária é que todas as variáveis de
interesse tais como pressão, velocidade, densidade, temperatura, etc., são diferenciáveis
(isto é, não tem transição de fase).
As leis do escoamento de um líquido foram pela primeira vez tratadas
teoricamente por Daniel Bernoulli e por Euler.
Será conveniente, no que se segue, distinguir duas espécies de escoamentos:
1. O escoamento laminar. É o escoamento em que predominam forças de atrito.
É característico do escoamento laminar, o movimento do líquido em camadas ou
estratos. Neste tipo de escoamento pode existir circulação, mas não há formação de
turbilhões ou vórtices.
Se um fluido com escoamento laminar flui em torno de um obstáculo, ele exerce
uma força de arraste sobre o obstáculo (Figura 4 ). As forças de fricção aceleram o
fluido para trás (contra a direção do escoamento) e o obstáculo para frente (na direção
do fluido).
Figura 4 – Escoamento laminar.
2. O escoamento turbilhonar ou turbulento. Este escoamento aparece quando a
velocidade ultrapassa um valor crítico Vk. O aspecto do escoamento, no caso da
turbulência, é caracterizado pela formação de vórtices e pela mistura das camadas
fluidas.
7
Figura 5 – Escoamento turbulento.
A velocidade crítica Vk, na qual o escoamento laminar passa a turbulento, depende
do fluido e da geometria das superfícies que o limitam (paredes dos condutos). A
velocidade crítica Vk pode ser facilmente determinada mediante experimentos.
1.2.1 Massa Específica
A Massa específica de uma substância, designada por ρ , é definida como a massa
de substância contida numa unidade de volume, a unidade da massa específica no SI é
kg/m3. A massa específica dos líquidos é pouco sensível as variações de pressão e de
temperatura.
O volume específico, v, é o volume ocupado por uma unidade de massa da
substância considerada. O volume específico é o inverso da massa específica, isto é,
1vρ
= (1. 7)
1.2.2 Peso Específico
O peso específico de uma substância, designado por γ , é definido como o peso da
substância contida numa unidade de volume. O peso específico está relacionado com a
massa específica através da relação
gγ ρ= (1. 8)
onde g é a aceleração da gravidade local.
O peso específico é utilizado para caracterizar o peso do sistema fluido enquanto a
massa específica é utilizada para caracterizar a massa do sistema fluido. A unidade do
peso específico no SI é N/m3.
1.2.3 Densidade
A densidade de um fluido, designada por SG (specific gravity), é definida como a
razão entre a massa específica do fluido e a massa específica da água numa certa
8
temperatura. Normalmente a temperatura usada é 4º , porque nesta temperatura a massa
específica da água é de 1000kg/m3.
( )4fluido
oágua
SGC
ρρ
= (1. 9)
O valor de SG não depende do sistema de unidades utilizado. O peso específico a
massa específica, e a densidade são interdependentes.
1.2.4 Fluidos Compressíveis e Incompressíveis
Compressibilidade implica em que o volume de uma substância seja uma função
do nível de pressão. Inversamente, diz-se que incompressibilidade é a inabilidade que
uma certa quantidade de massa tem para variar seu volume pela ação de pressões
externas. Assim a massa específica de uma substância não é função de pressões, se a
substância é incompressível.
Ou seja, um escoamento compressível é aquele em que a variação da massa
específica influencia no escoamento. E um escoamento incompressível existe se a massa
específica de cada partícula do fluido permanece relativamente constante no seu
movimento através do campo de escoamento.
Líquidos são geralmente considerados como substâncias incompressíveis, uma
vez que a sua massa específica varia levemente com grandes variações de pressão.
A Hidrodinâmica é o estudo geral da dinâmica dos líquidos, bem como dos gases
incompressíveis sob a influência de pequenas variações de pressão. Dinâmica dos gases
á o estudo geral dos gases compressíveis sob a influência de pressões, causando,
comparativamente, grandes variações de massa específica.
1.2.5 Viscosidade e Tensão de Cisalhamento
Viscosidade é definida como a propriedade que um fluido tem para resistir a razão
de deformação quando o fluido é submetido a forças tangenciais. De acordo com a lei
de Newton da viscosidade (definindo os fluidos newtonianos), para uma dada tensão
cisalhante agindo num elemento fluido, a razão com a qual o fluido se deforma é
inversamente proporcional ao valor da viscosidade. Isto implica que quando submetido
a uma tensão cisalhante constante, a razão com que a deformação se dá é maior para
fluidos com menores valores de viscosidade.
9
A fim de ajudar a visualizar a natureza da viscosidade e das tensões de
cisalhamento, o seguinte exemplo será considerado. A Figura 6 representa um sistema
de coordenadas cartesianas com centro no ponto O, através do qual um fluido é
considerado em movimento. Para simplificar, assumimos que a velocidade (u) resultante
do fluido está na direção Ox e sua magnitude varia linearmente somente com y.
Figura 6 – Escoamento viscoso em camadas.
Consideremos duas camadas L1 e L2 do fluido. Como o fluido é viscoso, uma
tensão de fricção ou cisalhamento atuará entre as camadas fluidas, devida à velocidade
relativa V1 − V2 de uma em relação à outra. A tensão friccional τxy fará com que a
camada 2, de mais alta velocidade, tente acelerar a camada 1, de mais baixa velocidade.
Por outro lado a camada 1 exercerá uma ação de retardamento sobre a camada 2. Cada
camada atuará sobre as outras através de tensões cisalhantes.
O primeiro índice y em τxy indica que a tensão se dá sobre um plano perpendicular
a Oy. O segundo índice x indica que a tensão atua na direção Ox.
Ainda na Figura 6, sob a ação da tensão cisalhante uma lâmina do fluido
originalmente retangular, sofrerá uma deformação
dydx
=≈ θθ tan (1. 10)
Esta relação será verdadeira, desde que sejam consideradas pequenas deformações
na unidade de tempo.
De acordo com a lei de Newton da viscosidade a tensão cisalhante tem que ser
proporcional à razão de variação no tempo da deformação angular e a constante de
proporcionalidade é a viscosidade dinâmica μf
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
dydx
dtd
fxy μτ (1. 11)
L1
L2
u
u, x
y
o
10
Invertendo a ordem da diferenciação temos
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
dtdx
dyd
fxy μτ (1. 12)
e como dtdxu = então
udyd
fxy μτ = (1. 13)
Foi mencionado também que a tensão cisalhante é:
dtd
fxyθμτ = (1. 14)
Acima apresentamos a relação entre a tensão atuando entre duas camadas de
fluido e a taxa de deformação por unidade de tempo introduzindo o conceito de
viscosidade. Para o caso mais geral de uma partícula fluida, a deformação dá-se em duas
direções. Consideremos então o caso de um quadrado infinitesimal com lados dx e dy. A
taxa de deformação total por unidade de tempo é dada pela soma das deformações em x
e em y:
yu
xv
dtd
∂∂
+∂∂
=θ (1. 15)
e a tensão cisalhante resultante vale:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
==yu
xv
dtd
ffxy μθμτ (1. 16)
Para movimentos sem fricção, implica que as tensões cisalhantes (ou de atrito)
não estão presentes, ou seja, τxy = 0.
Para um fluido em movimento a condição de movimento sem fricção é alcançada
quando a viscosidade é nula ou quando as componentes de velocidades do fluido não
apresentam nenhuma variação de magnitude na direção perpendicular a cada
componente de velocidade. Em outras palavras, um movimento sem atrito se dá quando
a viscosidade é nula ou quando a deformação relativa entre camadas não muda com o
tempo como é o caso da hidrostática ou do movimento uniforme. Destas duas hipóteses,
a de fluido não viscoso é a mais ideal. A hipótese de inexistência de tensões cisalhantes
no movimento de um fluido simplifica consideravelmente o tratamento matemático do
problema. Por esta razão, e porque em alguns casos podemos obter resultados bastante
satisfatórios, é que a teoria tomou vulto.
11
1.2.6 Fluido Ideal e Fluido Real
Por definição, um fluido ideal é aquele que é invíscito. Indica a inexistência de
tensões cisalhantes entre camadas fluidas.
Segue que duas camadas adjacentes de um fluido ideal podem mover-se com
velocidades distintas, sem que uma afete a outra por fricção interna. A única influência
que uma exerce sobre a outra é a de sua geometria, que tem que se amoldar com a outra.
Consequentemente, qualquer camada de um fluido ideal pode ser removida do
escoamento e substituída por um contorno sólido da mesma forma geométrica que a
camada removida. O que não alterará o escoamento restante.
Estudo dos fluidos ideais serão importantes para aplicação a regiões onde as
forças de origem viscosas são desprezíveis em comparação às forças inerciais.
A presença da viscosidade é inevitável quando estamos lidando com fluidos reais.
Fluidos reais não podem deslizar com diferença de velocidades finitas sobre camadas
adjacentes ou sobre contornos sólidos. A viscosidade se fará responsável por impor uma
variação gradual de velocidade através de camadas fluidas. Próximos a um contorno
estacionário a velocidade de um fluido real tem que aumentar gradativamente de zero
junto a fronteira até um valor finito da velocidade do escoamento, através de uma fina
camada do fluido chamada camada limite de Prandtl.
12
1.3 As Formas Diferenciais das Leis Fundamentais
Muitas das equações descritas neste item são obtidas de princípios básicos de
conservação da massa, momento, e energia.
Para deduzi-las, algumas vezes é necessário considerar um volume
arbitrariamente finito, chamado de volume de controle, sobre o qual estes princípios
possam ser facilmente aplicados. Adicionalmente, é necessário assumir uma relação
constitutiva ou equação de estado para o fluido.
Na sua forma mais geral, uma lei de conservação estabelece que a razão de
mudança de uma propriedade continua L definida em todo volume de controle deve ser
igual aquilo que é perdido através das fronteiras do volume, carregado para fora pelo
movimento do fluido, mais o que é criado e/ou consumido pelas fontes e sorvedouros
dentro do volume de controle.
1.3.1 Equação Diferencial da Continuidade
Em um fluido real a massa precisa ser conservada, isto é, não pode ser criada ou
destruída.
Considere o fluxo de massa através de cada face do volume de controle fixo
infinitesimal mostrado na Figura 7. Seja o fluxo de massa líquido que entra no elemento
igual à taxa de variação da massa do elemento, isto é,
entrada saída elementom m mt∂
− =∂
& & (1. 17)
Figura 7 – Volume de controle infinitesimal que usa coordenadas retangulares.
13
Identifique ρu, ρv e ρw no centro do elemento e trate cada uma dessas
quantidades como uma variável única.
Aplicando a equação (1.17) ao volume de controle representado na Figura 7,
temos
dydzdxxuudydzdx
xuu ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
−−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
−2
)(2
)( ρρρρ
dxdzdyyvvdxdzdy
yvv ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂−+
2)(
2)( ρρρρ
)(2
)(2
)( dzdydxt
dxdydzzwwdxdydz
zww ρρρρρ
∂∂
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
−−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
−+ (1. 18)
Aplicando a propriedade distributiva tem-se
dydzdxxudydzudydzdx
xudydzu
2)()(
2)()(
∂∂
−−∂
∂−
ρρρρ
dxdzdyyvdxdzvdxdzdy
yvdxdzv
2)()(
2)()(
∂∂
−−∂
∂−+
ρρρρ
)(2
)()(2
)()( dzdydxt
dxdydzzwdxdywdxdydz
zwdxdyw ρρρρρ
∂∂
=∂
∂−−
∂∂
−+ (1. 19)
Somando os termos semelhantes, obtemos
)(2
)(22
)(22
)(2 dzdydxt
dxdydzzwdxdzdy
yvdydzdx
xu ρρρρ
∂∂
=∂
∂−
∂∂
−∂
∂− (1. 20)
Dividindo todos os termos por dxdydz, temos:
ρρρρt
wz
vy
ux ∂
∂=
∂∂
−∂∂
−∂∂
− )()()( (1. 21)
A massa específica é considerada uma variável, então podemos derivar os
produtos e a equação (1.21) toma a seguinte forma:
0=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
tzw
zw
yv
yv
xu
xu ρρρρρρρ (1. 22)
ou
0=∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
tzw
yv
xu
zw
yv
xu ρρρρρ (1. 23)
Em termos de derivada material,
0=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+zw
yv
xu
DtD ρρ (1. 24)
14
Essa é a forma mais geral da equação diferencial da continuidade expressa em
coordenadas retangulares. Introduzindo o operador nabla na equação (1.24) ela pode,
então, ser escrita na forma
0v. =∇+→
ρρDtD
(1. 25)
Em que →→→→
++= kwjviuv e →
∇ v. é o divergente da velocidade. Essa forma da
equação da continuidade não se refere a nenhum sistema de coordenadas particular. É a
forma usada para expressar a equação da continuidade em vários sistemas de
coordenadas.
Para um escoamento incompressível, um escoamento no qual a massa específica
de uma partícula não muda conforme segue sua trajetória, vemos que
0=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=tz
wy
vx
uDtD ρρρρρ (1. 26)
Escoamentos incompressíveis que têm gradientes de massa específica são algumas
vezes chamados de escoamentos estratificados ou escoamentos não-homogêneos;
escoamentos atmosféricos e oceânicos são exemplos de tais tipos.
Usando a equação (1.25), a equação da continuidade, para um escoamento
incompressível, toma a forma:
0=∂∂
+∂∂
+∂∂
zw
yv
xu (1. 27)
ou, na forma vetorial,
0v. =∇→
(1. 28)
O divergente do vetor velocidade é zero para um escoamento incompressível.
1.3.2 Conservação do Momento
A conservação do momento é expressa de maneira similar à equação da
continuidade, com a componente vetor do momento substituindo o de densidade, e com
um termo fonte para representar as forças que atuam no fluido.
Substituímos ρ na equação da continuidade (1.25) com o momento por unidade de
volume ao longo de uma direção em particular, ivρ , onde iv é a i-ésima componente da
velocidade, isto é, a velocidade ao longo das direções x, y, ou z.
15
( ) iii fvvDtD ρρρ =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∇+
→
v. (1. 29)
ifρ é a i-ésima componente da força atuando no fluido (sempre força por unidade
de volume. As forças comumente encontradas incluem a gravidade e gradientes de
pressão.
Nos podemos simplificar a equação (1.29) ainda mais, usando a equação de
continuidade, obtendo:
ii f
DtDv ρρ = (1. 30)
a qual é frequentemente escrita como:
→→
= fDtD ρρ v
(1. 31)
Na qual reconhecemos a usual forma →→
= amF .
1.3.3 Equação Diferencial da Quantidade de Movimento
Suponha que não conhecemos o campo de pressão ou o campo de velocidade em
um escoamento incompressível e que queremos a solução da equação diferencial que
forneçam essas informações. A equação diferencial da quantidade de movimento
fornece três equações escalares que nos dão essas informações. Para tanto usaremos as
componentes da tensão para determinar as forças necessárias na equação da quantidade
de movimento.
São nove as componentes de tensão (Figura 8), sendo três componentes de tensão
normal ( xσ , yσ e zσ ) e seis componentes de tensão tangencial ou cisalhante ( xyτ , yzτ ,
xzτ , zxτ , yzτ e zyτ ). Com estas componentes podemos compor o tensor das tensões
dado por:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=Π
zzyzx
yzyyx
xzxyx
στττστττσ
(1. 32)
Este tensor tem a propriedade de ser simétrico, o que pode ser visto determinando-
se o momento em torno de um dos vértices do cubo representado na Figura 8. Assim
procedendo poderemos observar que yxxy ττ = , zyyz ττ = e zxxz ττ = .
16
Com base na equação (1.16) essas tensões cisalhantes podem ser escritas da
seguinte forma:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
==yu
xv
fyxxy μττ (1. 33a)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
==yw
zv
fzyyz μττ (1. 33b)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
==zu
xw
fzxxz μττ (1. 33c)
Para as tensões normais, demonstra-se [1] que,
xup ffx ∂∂
+∇−−=→
μμσ 2v32
(1. 34a)
yvp ffy ∂∂
+∇−−=→
μμσ 2v32
(1. 34b)
zwp ffz ∂∂
+∇−−=→
μμσ 2v32
(1. 34c)
onde ( )zyxp σσσ ++−= 31 é a pressão estática local.
Usaremos essas nove componentes para nas deduções relacioná-las aos campos de
pressão e de velocidade.
Figura 8 – Componentes da tensão em coordenadas retangulares.
Considere a Figura 9 que mostra as noves componentes de tensão em um ponto do
fluído nas faces positivas. Para obter a equação diferencial da quantidade de movimento
suponha que as componentes da tensão sejam funções de x, y, z e t e, com isso os
valores das componentes da tensão mudam de face para face, porque a localização de
cada face é diferente.
17
(refazer esta figura)
Figura 9 – Componentes da tensão em coordenadas retangulares.
A segunda lei de Newton aplicada a uma partícula do fluído, para a localização da
componente x, é xx maF =∑ . Para a partícula mostrada (Figura 9), essa equação toma
a forma:
dydzdxx
dxdydxz
dxdzdyy
dydzdxx
xx
zxzx
yxxy
xx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+2222
σστττ
τσσ
DtDudxdydzdxdydzgdxdydx
zdxdzdy
y xzx
zxyx
yx ρρτττ
τ =+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+−
22 (1. 35)
em que a componente do vetor g, que age na direção x é gx e DuDt
é a componente x da
aceleração da partícula do fluido. Depois de dividir a equação (1.35) pelo volume
dxdydz, obtemos:
xzxyxx gzyxDt
Du ρττσρ +∂∂
+∂
∂+
∂∂
= (1. 36)
similarmente, para as direções y e z, temos:
yzyyxy gzyxDt
Dv ρτστ
ρ +∂
∂+
∂
∂+
∂
∂= (1. 37)
zzyzxz g
zyxDtDw ρσττρ +
∂∂
+∂
∂+
∂∂
= (1. 38)
18
1.3.4 Equação de Euler
Uma boa aproximação para as componentes do tensor de tensão para muitos
escoamentos afastados de um contorno, tais como, escoamento em volta de um
aerofólio ou em regiões de mudanças bruscas através de uma contração pode ser dada
pela matriz:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=Π
pp
p
000000
(1. 39)
Para tais escoamentos suponha que as componentes de cisalhamento sejam
desprezíveis e as componentes normais da tensão sejam iguais à pressão estática com
sinal negativo, introduzindo essas componentes nas equações (1.36), (1.37) e (1.38)
obtem-se, para esse escoamento sem atrito
xgxp
DtDu ρρ +
∂∂
−= (1. 40)
ygyp
DtDv ρρ +
∂∂
−= (1. 41)
zgzp
DtDw ρρ +
∂∂
−= (1. 42)
Suponha que o eixo z seja vertical, que gx = gy = 0 e gz = -g. As equações
escalares (1.40), (1.41) e (1.42) podem ser escritas como a equação vetorial
→→→→→→→
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++ kgk
zpj
ypi
xpkwjviu
DtD ρρ (1. 43)
Nesta forma vetorial temos a conhecida equação de Euler, que é as três equações
diferenciais que resultam da aplicação da segunda lei de Newton, desprezando os efeitos
da viscosidade.
Introduzindo o operador nabla na equação (1.43) ela pode, então, ser escrita na
forma:
→→
−−∇= kgpDtD ρρ v
(1. 44)
19
1.3.5 Equação de Navier-Stokes
A equação de Navier-Stokes é um conjunto de equações diferenciais que
descrevem o escoamento dos fluidos. São equações de derivadas parciais que permitem
determinar os campos de velocidade e de pressão do fluido.
A equação de Navier-Stokes foi denominada assim após Claude-Louis Navier e
George Gabriel Stokes desenvolverem um conjunto de equações que descreveriam o
movimento das substâncias fluidas tais como líquidos e gases. Estas equações
estabelecem que mudanças no momento e aceleração de uma partícula fluída são
simplesmente o resultado das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas
(similar a fricção) atuando no fluido. A equação de Navier-Stokes é um equilíbrio
dinâmico do balanço de forças atuando em qualquer região do fluido.
Estas equações, diferentes das equações algébricas, não procuram estabelecer uma
relação entre as variáveis de interesse (por exemplo velocidade e pressão), em vez disto,
elas estabelecem relações entre as taxas de variação ou fluxos destas quantidades. Em
termos matemáticos, estas razões correspondem a suas derivadas. As equações de
Navier-Stokes para o caso mais simples de um fluido ideal com viscosidade zero,
estabelecem que a aceleração (a razão de variação da velocidade) é proporcional a
derivada da pressão interna.
Substituindo as expressões (1. 33a), (1. 33b), (1. 33c), (1. 34a), (1. 34b) e (1. 34c)
nas equações diferenciais de movimento (1.36), (1.37) e (1.38), obteremos:
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∇−
∂∂
∂∂
+∂∂
−=→
yu
xv
yxu
xxpg
DtDu
ffx μμρρ v322
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
∂∂
+zu
xw
z fμ (1. 45)
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∇−
∂∂
∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
−=→
v322
yv
yyu
xv
xypg
DtDv
ffy μμρρ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
+yw
zv
z fμ (1. 46)
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
−=yw
zv
yzu
xw
xzpg
DtDw
ffz μμρρ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∇−
∂∂
∂∂
+→
v322
zw
z fμ (1. 47)
20
que são as equações de Navier-Stokes.
Elas são em muito simplificadas quando aplicadas ao escoamento incompressível
com viscosidade constante, que impõe que o divergente do campo de velocidades seja
nulo (equação 1.28). Nestas condições, elas reduzem-se a:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−= 2
2
2
2
2
2
zu
yu
xu
xpg
DtDu
fx μρρ (1. 48)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−= 2
2
2
2
2
2
zv
yv
xv
ypg
DtDv
fy μρρ (1. 49)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−= 2
2
2
2
2
2
zw
yw
xw
wpg
DtDw
fz μρρ (1. 50)
Admitindo que as forças do corpo derivam de um potencial gravitacional Ω = -gz,
obtemos a equação de Navier-Stokes para a hidrodinâmica:
→→→
∇+∇
−−= vv 2f
pkgDtD μ
ρ (1. 51)
Para o caso do escoamento sem atrito ( 0=fμ ), a equação (1.51) reduz-se à
equação de Euler (1.44).
21
1.4 Equações no Plano XZ
Passaremos a tratar agora, algumas equações escritas no plano XZ (problema
bidimensional), tendo como objetivo, determinar as equações que descrevem os campos
de velocidades e acelerações da onda.
1.4.1 Potencial de Velocidade
Podemos formular uma relação chamada função potencial, Φ, para um campo de
velocidade irrotacional. Para isto, devemos usar a identidade vetorial fundamental:
0)( =Φ∇×∇=Φgradrotacional (1. 52)
que é válida se Φ for uma função escalar (das coordenadas espaciais e do tempo), sendo
continua e diferenciável.
Então, para um escoamento irrotacional no qual 0vv =×∇=→→
rot , uma função
escalar Φ, deve existir tal que o gradiente de Φ seja igual ao vetor velocidade, →
v , desta
forma
Φ∇=→
v (1. 53)
Assim,
xu
∂Φ∂
= (1. 54)
zw
∂Φ∂
= (1. 55)
as quais introduzidas na equação da continuidade (1. 27) conduz a
02
2
2
2
=∂Φ∂
+∂Φ∂
zx (1. 56)
ou, na forma vetorial,
0.2 =Φ∇ (1. 57)
que é conhecida como equação de Laplace.
O potencial de velocidades, Φ, existe apenas para escoamento irrotacional. A
irrotacionalidade pode ser uma hipótese válida para aquelas regiões de um escoamento
22
nas quais as forças viscosas são desprezíveis. Nestas regiões, diz-se que fluido é
invíscito, ou seja, 0=fμ .
Todos os fluidos reais possuem viscosidade, mas há muitas situações nas quais a
hipótese de escoamento invíscito simplifica consideravelmente a análise e, ao mesmo
tempo, fornece resultados significativos.
1.4.2 Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli é simplesmente uma forma integrada das equações de
Euler ((1.40) e (1.42)) e fornece uma relação entre o campo de pressões e a cinemática
do fluido.
As equações de Euler escritas para um fluido invíscito e com gx = 0 e gz = -g ,
são:
xp
zuw
xuu
tu
DtDu
∂∂
ρ∂∂
∂∂ 1
−=++∂∂
= (1. 58)
gzp
zww
xwu
tw
DtDw
−−=∂∂
++∂∂
=∂∂
ρ∂∂ 1
(1. 59)
Substituindo-se a condição de irrotacionalidade no plano, ∂∂
∂∂
uz
wx
= , em (1.58) e
(1.59) , tem-se:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=−=++
221 22 w
xu
xtu
xp
xww
xuu
tu
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
ρ∂∂
∂∂
∂∂
(1. 60)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=−−=++
221 22 w
zu
ztwg
zp
zww
zuu
tw
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
ρ∂∂
∂∂
∂∂
(1. 61)
Introduzindo (1.54) e (1.55) em (1.60) e (1.61), tem-se:
xpw
xu
xtx ∂∂
ρ∂∂
∂∂
∂∂∂ 1
22
222
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Φ (1. 62)
gzpw
zu
ztz−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Φ∂∂
ρ∂∂
∂∂
∂∂∂ 1
22
222
(1. 63)
que podem ser reescritas na forma:
23
( ) 021 22 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+++
Φρ∂
∂∂∂ pwu
tx (1. 64)
( ) gpwutz
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++
Φρ∂
∂∂∂ 22
21
(1. 65)
Integrando-se em x e z as equações (1.64) e (1.65) tem-se:
( ) ( )tzCpwut
,'21 22 =+++
Φρ∂
∂ (1. 66)
( ) gztxCpwut
−=+++Φ ),(
21 22
ρ∂∂
(1. 67)
Substituindo a parcela do lado direito de (1.66) em (1.67), pode-se concluir que
gztxCtzC −= ),(),(' (1. 68)
Examinando-se (1.68), conclui-se que C(x,t) não pode ser uma função de x, já que
nem C’(z,t) e nem o termo gz dependem de x , logo C = C(t).
Desta forma a equação (1.67) fica
( ) )(21 22 tCgzpwu
t=++++
Φρ∂
∂ (1. 69)
que é a equação de Bernoulli.
C(t) é denominado termo de Bernoulli e é constante para um fluido em
escoamento permanente (onde então 0=Φt∂
∂ ).
A outra forma de se escrever a equação de Bernoulli é:
)(21 22
tCgzzx
pt
=+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Φ
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Φ
++Φ
∂∂
∂∂
ρ∂∂
(1. 70)
a qual correlaciona a pressão do fluido, a ordenada z da partícula e o potencial de
velocidades.
Entre dois pontos de ordenadas z conhecidas (zA e zB) e de potencial de
velocidades conhecidos, a diferença de pressão pode ser obtida pela seguinte expressão:
24
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Φ
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Φ
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂Φ∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂Φ∂
=−=ΔAB
BA zxzxppp
2222
22 ∂∂
∂∂ρρ
( )ABAB
ZZgtt
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Φ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Φ
+ ρ∂∂
∂∂ρ (1. 71)
Note-se que a constante de Bernoulli C(t) é a mesma em nos pontos A e B de tal
forma que nos permite subtraí-la da equação (1.70).
Um outro meio de eliminá-la consiste no seguinte artifício:
Define-se a função )()( tCttf=
∂∂
Reescreve-se (1.70) passando C(t) para dentro da função potencial, assim:
( ) 021)( 22
=++⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Φ
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Φ
++Φ gzp
zxttf
ρ∂∂
∂∂
∂∂
(1. 72)
Define-se
)(),,(),,(' tftzxtzx +Φ=Φ (1. 73)
e tem-se a nova equação de Bernoulli
0''21' 22
=++⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Φ
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Φ
+Φ
ρ∂∂
∂∂
∂∂ pgz
zxt (1. 74)
Observando-se que
xxu
∂∂
∂∂ 'Φ
=Φ
= (1. 75)
e
zzw
∂∂
∂∂ 'Φ
+Φ
= (1. 76)
25
22.. FFOORRÇÇAASS AAMMBBIIEENNTTAAIISS
2.1 Introdução
No projeto de estruturas flutuantes offshore, é necessário conhecer as forças
ambientais que agem neste tipo de estrutura (navios, plataformas semi-submersíveis,
TLP’s, risers, etc), para que possamos dimensioná-las de tal forma que, atendam aos
critérios de utilização e segurança impostos.
Este capítulo apresentará a formulação para o cálculo das forças externas que
agem em estruturas flutuantes offshore.
Estas forças externas são devidas principalmente aos carregamentos ambientais de
onda, correnteza e vento.
Figura 10 – Forças ambientais em uma unidade flutuante offshore.
Podemos considerar estas forças aplicadas nas estruturas flutuantes da seguinte
forma:
Onda, correnteza e vento atuando no casco da unidade flutuante;
Onda e correnteza atuando nas linhas de ancoragem e risers.
Para o cálculo das forças devidas à movimentação do fluido induzida pelas ondas
e pela correnteza, atuando tanto no casco da plataforma quanto nas linhas de ancoragem
e risers, é necessário inicialmente apresentar a formulação dos modelos de
representação das ondas do mar.
26
2.2 Modelos de Representação das Ondas do Mar
Chamamos de onda de gravidade ao movimento oscilatório de um fluido devido a
efeitos gravitacionais ocasionados pela presença de superfície livre. Qualquer
perturbação que ocasione uma variação da pressão do fluido próximo à superfície livre,
acarretará um movimento da massa fluida em busca do equilíbrio com a pressão
atmosférica e com isto mudança de forma desta superfície. O perfil de uma onda regular
é mostrado na Figura 11.
Figura 11 – Perfil de uma onda regular.
No estudo de ondas de gravidade assumimos as hipóteses de que o fluido é
incompressível e ideal, que o escoamento é irrotacional e que as forças de corpo
derivam de um potencial gravitacional. Com as hipóteses de fluido incompressível e
escoamento irrotacional podemos dizer que o campo de velocidades é dado pelo
gradiente de uma função, que satisfaz a equação de Laplace em todo o domínio fluido.
Assumiremos também, neste estudo, que as ondas são progressivas e viajam na direção
positiva do eixo x.
A superfície livre é descrita pelo movimento das partículas fluidas no contorno em
contato com a atmosfera, sendo então desconhecida. Seu movimento é uma das
incógnitas a serem determinadas. Sabemos que é formada sempre pelo mesmo grupo de
partículas fluidas. Se definirmos a função que descreve a superfície livre então sua
derivada substantiva deverá ser sempre nula.
27
Neste ponto é conveniente entendermos a diferença entre onda progressiva e onda
estacionária. Esta diferença é melhor apresentada na Figura 12.
Figura 12 – Onda progressiva e estacionária.
A onda progressiva viaja ao longo do eixo x com certa velocidade. Suas
características permanecem idênticas para um observador que viaja na mesma
velocidade e no mesmo sentido que a onda. Por outro lado, a superfície livre da onda
oscila verticalmente entre pontos fixos sem progressão.
Ondas Estacionárias se formam quando duas ondas idênticas se encontram, se
movendo em sentidos opostos. Esse tipo de onda é caracterizado por pontos fixos de
valor zero, chamados de nodos, e pontos de máximo também fixos, chamados de
antinodos. É evidente que, entre nós, a superfície livre da onda vibra com a mesma
freqüência, mas com amplitudes diferentes. São, portanto, ondas resultantes da
superposição de duas ondas de mesma freqüência, mesma amplitude, mesmo
comprimento de onda, mesma direção e sentidos opostos.
28
2.2.1 Problema de Valor de Contorno para Ondas do Mar
Nesta seção, descreve-se o modelo matemático que representa o comportamento
de ondas no mar. Este modelo é composto por um Problema de Valor de Contorno
(PVC), que consiste em uma equação diferencial e as condições de contorno associadas.
A Figura 13 ilustra os contornos do problema, no fundo do mar e na superfície
livre.
Figura 13 – Condições de contorno.
Vale observar que o modelo matemático bidimensional descrito nesta seção,
usualmente conhecido como a “teoria de onda”, tem por objetivo determinar
velocidades e acelerações do fluido, sem considerar a presença do corpo. Esta “teoria de
onda” é uma particularização do modelo mais geral que representa a interação das
partículas do fluido com corpos flutuantes ou imersos de grandes dimensões,
usualmente conhecido como a “teoria da difração”. Este último modelo, que é
tridimensional e considera a presença do corpo, tem por objetivo determinar as forças
no corpo que resultam da movimentação do fluido induzida pelas ondas.
Conforme apresentado na Figura 13, em todo o domínio deve ser satisfeita a
equação de Laplace ( 0.2 =Φ∇ ), uma vez que supomos que o fluido é incompressível e
irrotacional.
As duas condições de contorno na superfície livre, expressas em termos do
potencial Φ, são:
z
CC dinâmicaCC cinemática
CC de fundo
02 =Φ∇
η(x,t)
d
x
29
A condição de contorno dinâmica, que pode ser deduzida a partir da equação
de Bernoulli, partindo da premissa que a pressão atmosférica fora da região do
fluido é constante (como demonstrado em [2]):
∂Φ∂t +
12 ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂Φ
∂x
2 + ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂Φ
∂z
2 + gη = 0 em z = η (2.1)
onde η(x,t) é uma função que exprime a elevação da onda na superfície livre.
A condição de contorno cinemática, que estabelece que uma partícula na
superfície livre em um dado instante de tempo irá permanecer na superfície
livre [2]:
∂η∂t +
∂Φ∂x
∂η∂x −
∂Φ∂z = 0 em z = η (2.2)
Lembrando que o fundo do mar é assumido como plano e horizontal, a condição
de contorno no fundo implica que a componente vertical da velocidade da partícula de
fluido deve ser igual a zero.
∂Φ∂z = 0 em z = −d (2.3)
O problema de valor de contorno completo é portanto descrito pela equação de
Laplace (1.57) e as três condições de contorno (2.1) a (2.3).
A Figura 14 a seguir, ilustra os contornos do problema, no fundo do mar e na
superfície livre. Ilustra também a onda definida em termos de sua altura H e período T.
Na Figura 14, L indica o comprimento da onda (a distância medida na direção x
entre dois picos ou cristas sucessivas), e T é o período (o tempo que uma crista leva para
percorrer uma distância igual ao comprimento de onda L). Desta forma, existe uma
relação entre L e T que define a velocidade de propagação da onda (ou celeridade), dada
simplesmente por:
c = LT (2.4)
30
Figura 14 - Modelo matemático: características da onda e condições de contorno.
2.2.2 Solução do Modelo Matemático
O problema de valor de contorno descrito na seção anterior é altamente não-linear,
especialmente devido às condições de contorno de superfície livre. Desta forma, de
modo geral não é possível obter uma solução analítica rigorosa para Φ, e a solução (em
termos de velocidades e acelerações das partículas fluidas induzidas pela onda) deve ser
obtida introduzindo aproximações e/ou utilizando métodos numéricos.
Existem diversos métodos ou “teorias de onda” comumente usadas para a solução
desse problema [3,2]. Algumas teorias são desenvolvidas assumindo-se que a solução
para Φ toma a forma de uma série de potências em termos de um parâmetro de
perturbação adimensional ε:
Φ = ∑n=1
∞ εn Φn (2.5)
onde Φn é a solução de ordem n para Φ; assume-se que o valor do potencial de
velocidade (ou, equivalentemente, o perfil da onda na superfície) converge
assintoticamente com as ordens mais elevadas das séries em ε. Uma solução analítica
∂Φ∂z =
∂η∂t +
∂Φ∂x
∂η∂x
z ∂Φ∂t = −
12 ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂Φ
∂x
2 + ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂Φ
∂z
2 − gη
∂Φ∂z = 0
η(x,t)
d
x Η
L , T
a
31
fechada pode então ser obtida introduzindo uma aproximação, que consiste em limitar o
parâmetro de perturbação ε a uma dada ordem.
O parâmetro de perturbação ε é comumente definido em termos de uma relação
entre a altura H e o comprimento L da onda (ou a declividade), dada por:
ε = π HL (2.6)
Neste ponto, pode-se introduzir o conceito do número de onda k:
k = 2 πL (2.7)
de modo que o parâmetro de perturbação ou declividade da onda ε pode ser escrito
como:
ε = k H2 (2.8)
De forma similar, a elevação da onda η na superfície livre pode ser escrita na
forma de uma série:
η = ∑n=1
∞ εn ηn (2.9)
Assim, a não linearidade ou a ordem do problema é definida em termos da
declividade da onda ε. A teoria de 1a ordem é proporcional à declividade da onda, a
teoria de 2a ordem ao quadrado da declividade, e assim por diante.
Dentre os métodos que se encaixam nesta categoria, podem ser mencionados os
seguintes:
Teoria Linear de Airy, ou Teoria de Onda Senoidal: de primeira ordem, válida
para ondas de pequena amplitude (quando comparadas ao seu comprimento L);
Teoria de Stokes, não-lineares (de segunda, terceira ou quinta ordem).
Há, no entanto, várias teorias que procuram representar matematicamente a forma
da onda, velocidade, aceleração, etc. Variando de teorias mais simples (Teoria Linear
de Airy) até teorias mais complexas onde várias hipóteses simplificadoras são
abandonadas, tais como: fluido homogêneo e incompressível, tensão superficial
desprezível, fluido ideal ou invíscito, etc. Na Figura 15 apresenta-se as regiões de
validade das Teorias de Onda.
32
Figura 15 – Região de validade das Teorias de Onda.
O procedimento mais usual, e que atende à prática de projeto de sistemas offshore,
consiste em empregar a Teoria Linear de Airy. Em alguns casos particulares poderiam
ser empregadas outras teorias não-lineares apresentadas na Figura 15 e descritas com
mais detalhes em [2]. Na próxima seção será descrito o procedimento de solução da
Teoria de Airy.
33
2.2.3 Teoria Linear de Airy
• Linearização
A Teoria Linear de Airy está baseada na premissa de que a altura de onda é
pequena comparada com o comprimento de onda. Esta premissa permite que as
condições de contorno de superfície livre sejam satisfeitas no nível médio de águas
tranqüilas e não no nível real da elevação da onda. Para tanto, as condições de contorno
são linearizadas, desprezando os termos de segunda ordem e de ordens superiores.
O procedimento de linearização consiste em obter apenas a solução de primeira
ordem, tomando somente o primeiro termo das séries em Φ e η nas expressões (2.5) e
(2.9). Como isso o problema passa a ser linear em termos da altura da onda H ou
declividade ε. Substituindo as expressões linearizadas nas condições de contorno de
superfície livre (2.2) e (2.1), obtém-se:
∂η1
∂t − ∂Φ1
∂z = 0 em z = 0 (2.10)
e
∂Φ1
∂t + gη1 = 0 em z = 0 (2.11)
Da equação (2.11), a elevação da onda acima da superfície média da água é dada
por:
η1 = − 1g ∂Φ1
∂t (2.12)
As duas condições de contorno de superfície livre podem ser combinadas em uma,
pela eliminação de uma das incógnitas η1:
∂2Φ1
∂t2 + g ∂Φ1
∂z = 0 em z = 0 (2.13)
Desta forma, o PVC fica definido pela equação diferencial (1.56) e pelas
condições de contorno (2.13) e (2.3).
• Solução do Sistema Linearizado
A solução deste PVC é obtida através de uma técnica de separação de variáveis.
Assume-se que o potencial Φ1 pode ser escrito na forma:
34
Φ1(x,z,t) = Y(z) Λ(α) (2.14)
onde, para uma onda progressiva com celeridade c, e assumindo que a onda está
viajando na direção x positiva, a periodicidade α é dada por α = x + ct.
Substituindo (2.14) na equação diferencial parcial (1.56) obtém-se duas equações
diferenciais ordinárias:
∂2Y∂z2 − k2 Y = 0 (2.15)
∂2Λ∂α2 + k2 Λ = 0 (2.16)
As soluções gerais para estas equações diferenciais são:
Y = A1 cosh kz + A2 sinh kz (2.17)
Λ = A3 cos [k (x − c t)] + A4 sen [k (x − c t)] (2.18)
Considerando-se que, quando x = 0 e t = 0, a elevação da onda corresponde ao
valor da crista (ou seja, sua amplitude a = H/2), pode-se deduzir o valor para a
constante A3 = 0. Além disso, a condição de contorno no fundo fornece A2 = A1 tanh kd.
Assim, (2.14) pode ser escrita como:
Φ1(x,z,t) = A1 A4 cosh k(z + d)
cosh kd sen [k (x − c t)] (2.19)
Ainda considerando x = 0, t = 0 e z = 0, na expressão (2.12) para η1 = H/2,
deduz-se que:
A1 A4 = g ak c (2.20)
Finalmente, lembrando que c = L/T (2.4), T = 2π/ω e L = 2π/k (2.7), deduz-se que
kc = ω onde ω é a freqüência da onda em rad/s. Assim, obtém-se a seguinte expressão
para o potencial de velocidade de 1a ordem (Φ = ε Φ1):
Φ(x,z,t) = g aω
cosh k(z + d)cosh kd sen (kx − ω t) (2.21)
Substituindo a expressão (2.21) em (2.12), obtém-se a elevação da superfície da
onda que corresponde a um trem de ondas regulares se movendo na direção-x:
η(x,t) = a cos (k x − ω t) (2. 22)
35
Substituindo o valor de Φ na condição de contorno de superfície livre combinada
(2.13), obtém-se a relação de dispersão linear, que fornece a relação entre freqüência
circular da onda e o número de onda k em lâminas d’água com profundidade d:
ω2 = g k tanh (k d) (2. 23)
Esta equação é denominada Equação de Dispersão e deve ser resolvida
iterativamente. A Figura 16 seguir apresenta uma das alternativas para a solução do
problema.
IN ICIA LIZA ÇÃO DAS VARIÁVE IS
C = G / w2
k = 1/ C
ARG = k . d
ARG >64
k = 1 / ( C . tanh ( ARG ) )
ABS(k-k)/k<0.001
k = k
IN TE R = IN TER +1
k = k
λ= 2π/k
W rite ( ) k , λ
S
S
N
Figura 16 – Bloco diagrama para a obtenção do número de onda k.
36
Para águas profundas o valor de L = 2π/k tende para gT2/2π já que tanh kd tende
para 1. Já para águas rasas o valor de L = 2π/k tende para gdT .
Partindo desta discussão, em águas rasas, intermediárias e profundas faz-se a
consideração apresentada na tabela a seguir:
Tabela 1 – Consideração para águas rasas, intermediárias e profundas.
Aproximação Critério Comprimento de Onda
Águas Rasas 201
<Ld gdTL =
Águas Intermediárias 2
1201
<<Ld
kL π2=
Águas Profundas 21
>Ld
π2
2gTL =
• Velocidades e Acelerações das Partículas do Fluido
Finalmente, uma vez obtido o potencial de velocidade, as velocidades da partícula
do fluido nas direções horizontal e vertical são obtidas diferenciando-se a equação
(2.21) em relação a x e z:
u = ∂Φ∂x =
g k aω
cosh k(z + d)cosh kd cos (k x − ω t) (2.24)
w = ∂Φ∂z =
g k aω
senh k(z + d)cosh kd sen (k ξ − ω t) (2.25)
Observando-se as expressões de velocidades horizontal e vertical, verifica-se que
a velocidade horizontal da partícula de fluido é máxima (ou mínima) quando a
velocidade vertical for zero e vice-versa.
A Figura 17 mostra os pontos de velocidade horizontal máxima, mínima e nula. Já
a Figura 18, apresenta os pontos de velocidade vertical máxima, mínima e nula. E a
Figura 19 mostra a variação das velocidades horizontais e verticais com a profundidade
em quatro posições para t = 0.
37
Figura 17 – Pontos de velocidade horizontal máxima, mínima e nula.
Figura 18 – Pontos de velocidade vertical máxima, mínima e nula.
Figura 19 – Perfil de velocidades da onda.
38
As acelerações da partícula do fluido nas direções horizontal e vertical são dadas
por:
ax = ∂u∂t = g k a
cosh k(z + d)cosh kd sen (k x − ω) (2.26)
az = ∂w∂t = − g k a
senh k(z + d)cosh kd cos (k x − ω t) (2.27)
A Figura 20 mostra os pontos de aceleração horizontal máxima, mínima e nula.
Enquanto que a Figura 21, apresenta os pontos de aceleração vertical máxima, mínima e
nula. É importante observar que os pontos de aceleração máxima e mínima
correspondem aos pontos de velocidade nula.
Figura 20 – Pontos de aceleração horizontal máxima, mínima e nula.
Figura 21 – Pontos de aceleração vertical máxima, mínima e nula.
39
• Deslocamento das Partículas Fluidas
Como as amplitudes das duas velocidades (horizontal e vertical) são geralmente
diferentes, a partícula de fluido descreve uma trajetória elíptica sobre sua posição
média, em um ciclo de onda completo (Figura 22). Ou seja, todas as partículas
apresentam a mesma posição nos tempos t, t + T, t + 2T, etc, o que implica na
inexistência do transporte de massa com a passagem da onda.
Figura 22 – Trajetória elíptica da partícula fluida.
Na Figura 22, r e s são os deslocamentos horizontal e vertical respectivamente,
(x1, z1) é a posição média da partícula fluida e A e B são os semi-eixos da elipse. É
importante observar que A é sempre maior ou igual a B. As partículas situadas na
superfície livre seguem uma trajetória com altura igual a a = H/2, isto é, fazem parte da
superfície. É importante salientar, também, que não há partículas com posição média
superior a z = 0.
Os deslocamentos da partícula de fluido a partir de sua posição média podem ser
obtidos pela integração das velocidades u e w em relação ao tempo t, aplicando-se a
condição de contorno adequada para a constante de integração. Os deslocamentos nas
direções horizontal e vertical, respectivamente r e s, são dados por:
r = − a cosh k(z + d)
senh kd sen (k x − ω t) (2.28)
s = a senh k(z + d)
senh kd cos (k x − ω t) (2.29)
Em águas rasas, o semi-eixo A >> B. O semi-eixo A passa a ser:
dgTHA
π4= (2.30)
e o semi-eixo B fica:
(x1, z1)
40
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
dzHA 11
2 (2.31)
Em águas intermediárias, o semi-eixo A > B.
E em águas profundas, o semi-eixo A = B, sendo assim,
1
2zkeHBA = (2.32)
o que implica em trajetória circular das partículas, cujos raios decaem
exponencialmente.
A visualização dos orbitais das partículas podem ser observados na Figura 23.
Figura 23 – Orbitais das partículas fluidas.
• Pressões
Finalmente, outro resultado de interesse é o campo de pressões no fluido. Tal
resultado pode ser obtido através da aplicação da equação de Bernoulli (1.70):
p(x,z,t) = − ρ gz − ρ ∂Φ∂t −
12 ρ (∇Φ)2 (2.33)
A primeira parcela desta expressão corresponde ao termo de ordem zero, ou de
pressão hidrostática. As demais parcelas correspondem às parcelas de primeira e
segunda ordem da pressão dinâmica. De forma consistente com a expansão de primeira
ordem do potencial de velocidade assumida pela teoria linear de Airy, a expressão de
primeira ordem da pressão fica:
p1 = − ρ gz − ρ ∂Φ∂t (2.34)
onde a segunda parcela do lado direito representa a pressão dinâmica ou oscilatória pd1:
pd1 = − ρ ∂Φ∂t = − ρ ε
∂Φ1
∂t (2.35)
Águas Rasas Águas Intermediárias
Águas Profundas
41
Empregando a expressão (2.21), pode-se então obter a expressão desejada para
pd1.
pd1(x,z,t) = ρ g a cosh k(z + d)
cosh kd cos (k x − ω t) (2.36)
ou, observando (2.22),
pd1(x,z,t) = ρ g cosh k(z + d)
cosh kd η(x,t) (2.37)
Substituindo-se z = 0 na expressão (2.36) obtém-se
pd1(x,t)z=0 = ρ g η(x,t) (2.38)
ou seja, a pressão dinâmica no nível de águas tranqüilas (z = 0) é calculada tomando o
valor da elevação da superfície livre da onda. Isto é, a pressão dinâmica na superfície
z = 0 é igual pressão hidrostática de uma coluna de água correspondente a elevação da
superfície livre da onda. Assim, em uma partícula localizada na superfície média, sob a
crista de uma onda, a elevação é igual à amplitude da onda e, portanto,
pd1x=0,z=0,t=0 = ρ g a (2.39)
como seria de se esperar, considerando ainda que a pressão hidrostática na superfície
média (calculada com z = 0 na primeira parcela do lado direito de (2.34)) é igual a zero.
Além disso, em uma partícula localizada no cavado da onda, ter-se-ia
pd1x=0,z=-a,t=T/2 = − ρ g a (2.40)
Este é um resultado fisicamente razoável. Entretanto, não é preciso. Pois a pressão
na superfície livre instantânea não é nula. Este é um problema que vêm da linearização
do problema que acarreta a transferência da posição para se impor a condição de
contorno.
A rigor, nesta formulação de primeira ordem as pressões são calculadas apenas
para pontos até a superfície média (com valores negativos para a coordenada z). A
seguir, apresenta-se um procedimento que permite estender o cálculo para pontos acima
da superfície média.
Como será visto, neste caso, o valor calculado para a superfície média será
tomado como sendo o valor na superfície livre. Assim, na crista da onda a pressão
dinâmica fica igual a ρga, mas a condição de contorno de pressões na superfície é
atendida porque a pressão hidrostática (calculada com η = a na primeira parcela do lado
direito de (2.34)) é negativa e igual a −ρga. Por outro lado, no cavado a pressão
42
dinâmica é −ρga, mas a pressão hidrostática fica igual a ρga e, portanto a pressão total
fica igual a zero.
• Correção para a Superfície Livre: Extrapolação de Wheeler
A teoria linear de Airy foi desenvolvida considerando-se que as condições de
contorno do problema eram impostas no nível médio do mar (o nível de águas
tranqüilas, onde z = 0), e não na superfície livre da onda. Desta forma, todas as
expressões apresentadas até agora para fornecer valores para a cinemática da onda (por
exemplo velocidades e acelerações) podiam ser usadas apenas para pontos até a
superfície média (com valores negativos para a coordenada z), ignorando a alteração da
superfície livre devida à onda.
Em aplicações onde a altura de onda é significativa, o efeito de alteração da
superfície livre sobre a força total induzida pela onda torna-se muito importante e,
portanto, faz-se necessário algum tipo de aproximação para considerar os pontos
situados na superfície livre. Dentre os tipos de aproximações mais conhecidos
destacam-se a extrapolação hiperbólica, linear, e o método de extrapolação ou
‘stretching’ de Wheeler [4]. O princípio da extrapolação de Wheeler consiste em
assumir que, na superfície livre da onda, os valores de velocidades, acelerações, etc, são
idênticos aos originalmente calculados pelas expressões de Airy para o nível de águas
tranqüilas. Para isto, afeta-se o termo (z+d) por d/(η + d), onde η é a elevação da onda
no ponto. Por exemplo, a expressão (2.24) para a velocidade horizontal se torna:
u = ∂Φ∂x =
g k aω
cosh k(z + d)d
η + dsenh kd cos (k x − ω t) (2.41)
Observa-se que, na expressão original (2.24), que podia ser usada para valores de
z apenas até a superfície média, para pontos no nível de águas tranqüilas onde z =η = 0
o argumento do cosseno hiperbólico seria kd. Na expressão modificada (2.41), que pode
ser usada para pontos acima da superfície média, em qualquer ponto na superfície livre
da onda tem-se z =η e, portanto, o argumento do cosseno hiperbólico continua sendo kd
− confirmando o pressuposto que os valores na superfície livre para a expressão
modificada são os mesmos obtidos na superfície média para a expressão original. Os
demais valores para pontos abaixo da superfície livre assumem uma distribuição em
cossenos hiperbólicos “esticada” (se o ponto está na crista, ou “encolhida” se o ponto
43
está no cavado), de modo a permitir a determinação da cinemática da onda até o fundo
do mar.
• Aproximações para Águas Profundas
Partindo da relação de dispersão (2.23), deduz-se que
cosh (k d) = g kω2 senh kd
Substituindo esta expressão em (2.21) pode-se obter uma forma alternativa para o
potencial Φ:
Φ(x,z,t) = a ωk
cosh k(z + d)senh kd sen (k x − ω t) (2.42)
Diferenciando-se a equação (2.42) em relação a x e z, e, em seguida, em relação a
t, podem ser obtidas expressões alternativas para as velocidades e acelerações:
u = ∂Φ∂x = a ω
cosh k(z + d)senh kd cos (k x − ω t) (2.43)
w = ∂Φ∂z = a ω
senh k(z + d)senh kd sen (k x − ω t) (2.44)
ax = ∂u∂t = a ω2
cosh k(z + d)senh kd sen (k x − ω t) (2.45)
az = ∂w∂t = − a ω2
senh k(z + d)senh kd cos (k x − ω t) (2.46)
Em águas com profundidade infinita (ou, em termos práticos, em águas profundas
com lâmina d’água maior que o comprimento de onda), pode-se admitir tanh(k d) ≈ 1 e
a relação de dispersão (2.23) é dada por:
ω2 = g k (2.47)
Ainda para águas profundas, a seguinte aproximação é válida:
cosh k(z + d)senh kd ≈
senh k(z + d)senh kd ≈ ek z (2.48)
de modo que a expressão aproximada da função potencial para águas profundas é:
Φ(x,z,t) = g aω ek z sen (k x − ω t) (2.49)
e as expressões correspondentes para velocidades e acelerações ficam da seguinte
forma:
u = a ω ek z cos (k x − ω t) (2.50)
44
w = a ω ek z sen (k x − ω t) (2.51)
ax = a ω2 ek z sen (k x − ω t) (2.52)
az = − a ω2 ek z cos (k x − ω t) (2.53)
Por sua vez, a expressão para a pressão dinâmica (2.36) passa a ser:
pd1 = ρ g a ek z cos (k x − ω t) (2.54)
2.2.4 Onda de Segunda Ordem (Stokes de 2ª Ordem)
Vimos, inicialmente na seção 2.2.2, que o potencial de velocidades Φ pode ter a
forma de uma série de potências em termos de um parâmetro de perturbação ε = πH/L,
conforme apresentado pela expressão (2.5). E de forma similar tinhamos a expressão
(2.9) para a elevação da superfície livre η.
Assim, se ε é pequeno, os movimentos das partículas fluidas são pequenos e o
problema pode ser linearizado. Caso ε não seja tão pequeno não podemos mais
linearizar o problema, e temos que levar em consideração esta influência.
A idéia da metodologia é admitir que haja uma pequena influência de segunda
ordem dada pelo potencial Φ2, que gera um movimento de segunda ordem da superfície
livre η2. Essas grandezas de segunda ordem são supostas serem de ordem ε2. Além
disto, não se objetiva resolver um problema não linear, porém resolver um novo
problema linear que corrija a solução abandonando os efeitos de terceira ordem ε3 e
superiores. Caso os efeitos de terceira ordem sejam importantes, temos então que ir até a
terceira ordem, abandonando efeitos de quarta ordem e superiores. Aqui estamos
estabelecendo a forma das ordens dos termos, mas em geral é possível obter
automaticamente as “intensidades” das ordens superiores, a partir da primeira ordem, de
acordo com as equações que regem o problema.
Nesta seção nos concentraremos no problema de segunda ordem. As equações
referentes a esta teoria, em termos elevação da onda, velocidades horizontais e verticais,
aceleração horizontais e verticais, bem como a pressão dinâmica, são:
Elevação da onda (η):
[ ] )cos(2cosh2cosh8
)cos(),( 3
2
txkkdkdsenhkd
LHtxkatx ωπωη −++−= (2.55)
Como se nota, coloca-se um termo adicional à equação de Airy.
45
A partir da teoria de Stokes de 2ª ordem, há transporte de massa, pois os orbitais
das partículas não são fechados.
Velocidades horizontal e vertical (u e w):
+−+
= )cos()(cosh txkkdsenh
dzkTHu ωπ
)(2cos)(2cosh43
4 txkkdsenh
dzkTH
LH ωππ
−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+ (2.56)
+−+
= )()( txksenkdsenh
dzksenhTHw ωπ
)(2)(243
4 txksenkdsenh
dzksenhTH
LH ωππ
−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+ (2.57)
Aceleração horizontal e vertical (ax e az):
+−+
= )()(cosh2 2
txksenkdsenh
dzkT
Hax ωπ
)(2)(2cosh342
2
txksenkdsenh
dzkLH
TH ωππ
−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+ (2.58)
−−+
−= )cos()(2 2
txkkdsenh
dzksenhT
Haz ωπ
)(2cos)(2342
2
txkkdsenh
dzksenhLH
TH ωππ
−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− (2.59)
Pressão dinâmica (p):
+−+
= )cos(cosh
)(cosh txkkd
dzkgap ωρ
−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
++ )(2cos
31)(2cosh
21
43
2
2
txkkdsenh
dzkkdsenhL
Hg ωπρ
[ ]1)(2cos2
141 2
−+− dzkkdsenhL
Hg πρ (2.60)
46
2.3 Representação Espectral
2.3.1 Introdução
Conforme visto na seção 2.2.1, o modelo matemático para a representação das
ondas do mar que foi formulado em termos de um PVC e resolvido pela teoria de Airy
(seção 2.2.3), trata de apenas um único trem de ondas, definido por sua altura H e
período T, como indicado na Figura 13. Este tipo de representação é usualmente
conhecido como “mar regular” ou “onda determinística”.
Uma representação mais realística consiste em empregar um modelo espectral
para um estado de “mar irregular”, às vezes também referido como “ondas aleatórias”.
Neste modelo, o estado de mar irregular geral é representado pela superposição linear de
várias ondas regulares, com diferentes valores de período, amplitude e fase. Para uma
dada locação, medições e estudos estatísticos ajustam um modelo de espectro adequado
para a representação da distribuição de densidade de energia apropriada das ondas do
mar.
O ajuste do modelo espectral é feito em termos de parâmetros estatísticos, tais
como fatores de forma espectral, altura significativa de onda e período de pico. Na
estatística de curto prazo, estes parâmetros são supostos constantes, cada conjunto deles
caracterizando um “estado de mar”. A escolha do espectro de mar e de seus parâmetros
característicos é função do fenômeno a ser estudado e dos levantamentos em medições
realizadas na posição geográfica a que se queira referir.
O espectro mais comum de um único parâmetro é o modelo de Pierson-
Moskowitz (1964) [5], baseado na altura significativa de onda ou velocidade de vento.
Dos espectros de dois parâmetros, os mais comumente usados são Bretschneider (1969),
Scott (1965), ISSC (1964) e ITTC (1966). O espectro de Jonswap (Hasselman, 1973 a
1976) é de cinco parâmetros, mas usualmente três destes parâmetros são mantidos
constantes. Uma descrição detalhada de cada um destes espectros pode ser encontrada
em Chakrabarti [2]. Dentre os espectros mais utilizados, pode-se destacar o de Pierson-
Moskowitz de dois parâmetros e o de Jonswap.
Para o cálculo dos valores que caracterizam o comportamento das partículas do
fluido em um dado ponto no espaço e um instante no tempo (tais como velocidades,
acelerações e pressões), primeiramente efetua-se um procedimento de discretização do
47
espectro em termos de um somatório de um número arbitrado de componentes de onda
regular. Neste procedimento, determinam-se os valores que caracterizam cada
componente: períodos (ou freqüências), amplitudes e fases aleatórias. Para cada
componente, aplicam-se as expressões de Airy, obtendo-se, por exemplo, as velocidades
e acelerações em um dado ponto pelas expressões (2.24) a (2.27). Finalmente, os
valores desejados para o estado de mar irregular podem ser determinados pelo
somatório dos valores calculados para cada componente de onda regular.
Existem diferentes procedimentos para efetuar a discretização do espectro e
determinar os períodos, amplitudes e fases de cada componente de onda regular. Em
geral, as fases são geradas aleatoriamente a partir de uma distribuição uniforme de
probabilidade no intervalo (0, 2π) radianos; as amplitudes de cada componente de onda
são determinadas a partir da parcela de energia a ela associada no espectro.
Em geral, a forma dos espectros das ondas varia consideravelmente com
quantidade de movimento dos ventos na superfície dos corpos d`água. Para o
desenvolvimento deste complexo mecanismo três características dos ventos podem ser
apontadas como principais fatores: a velocidade, a duração e a área sobre a qual este
vento sopra, que é conhecida como pista.
2.3.2 Formulação do Modelo Espectral
Generalizando a expressão das elevações de onda por uma Série de Fourier
contendo N componentes múltiplos da freqüência fundamental w, temos:
( ) ( )∑=
+=N
nnn nwtbnwtat
1sencosη (2.61)
onde os coeficientes da série são dados por:
( )∫=sT
sn dtnwtt
Ta
0
cos2 η (2.62)
( )∫=sT
sn dtnwtt
Tb
0
sen2 η (2.63)
Esta forma de representar um estado de mar por an e bn com N finito pode ser
usado para representar uma onda harmônica particular, mas não um estado de mar
aleatório. Um estado de mar aleatório de curta duração deve ser caracterizado por
propriedades estatísticas definidas; a melhor representação consiste em um espectro de
48
densidade de energia. Assim, a energia total E do estado de mar (por unidade de área) é
dada pela integral:
( )[ ] dttgE2
21
∫∞
∞−
= ηρ (2.64)
Procede-se agora à generalizando a expressão de η(t) em (2.9), agora com
freqüências não mais representadas por componentes da Série de Fourier, mas sim
variando continuamente; desta forma os coeficientes an e bn são substituídos por funções
a(w) e b(w), resultando na seguinte expressão:
( ) [ ]dwwtwbwtwat ∫∞
∞−
+= sen)(cos)(1π
η (2.65)
onde:
( ) dtwttwa ∫∞
∞−
= cos)(η (2.66)
( ) dtwttwb ∫∞
∞−
= sen)(η (2.67)
Das equações (2.64) e (2.65), a energia pode ser escrita como:
( ) [ ] dtdwwtwbwtwatgE ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+= ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
sen)(cos)(21 ηρπ
(2.68)
Trocando as integrais e desenvolvendo, pode-se chegar às seguintes expressões:
( ) ( ) dwdtwttwbdtwttwagE ∫ ∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+= sen)(cos)(
21 ηηρπ
(2.69)
ou
[ ] dwwbwagE ∫∞
∞−
+= )()(21 22ρπ
(2.70)
ou ainda
dwwAgE ∫∞
∞−
= )(21 2ρπ
(2.71)
Assim, das equações (2.64) e (2.71) é possível obter a igualdade do Teorema de
Parseval, o qual dá origem ao conceito de espectro de energia de onda.
49
( )[ ] ( )[ ] dwwAdtt22
1∫∫∞
∞−
∞
∞−
=π
η (2.72)
Se [ ]2)(tη é o valor médio quadrático (variância) de η(t) durante um
comprimento específico Ts, então:
( )[ ] ( )[ ] dttT
tsT
s
2
0
2 1∫= ηη (2.73)
que pode ser escrito como a energia média por unidade de área:
[ ] dwTwAgEs
∫∞
∞−
=2)(
21 ρπ
(2.74)
Definindo a densidade de energia espectral como:
[ ]sT
wAwSπ
2)()( = (2.75)
A energia total é obtida da área coberta pela curva de densidade de energia como
função da freqüência.
dwwSgE ∫∞
∞−
= )(21 ρπ
(2.76)
2.3.3 Espectro de Pierson-Moskowitz
O modelo espectral de Pierson-Moskowitz (P-M) que descreve um estado de mar
irregular é determinado por um parâmetro, a saber, a velocidade de vento (Uw).
Este espectro é escrito como:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−−
452 74.0exp)(
gwUwgwS wα (2.77)
onde α = 0.0081. Alternativamente, pode-se escrever esta expressão em termos de
frequência de pico do espectro (wp)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−
−
452 25.1exp)(
PwwwgwS α (2.78)
A variança da elevação da onda ( 2σ ) ou o momento de ordem zero (m0) do
espectro é definido pela área da curva do espectro,
50
∫∞
==0
02 )( dwwSmσ (2.79)
Se subistituirmos x = 1.25(w/wp)-4 na equação (2.78), teremos
45
5 pwdxdww −=− (2.80)
Então a equação (2.79) torna-se
4
2
02
5 pwgm ασ == (2.81)
Isolando α, temos
2
425g
wpσα = (2.82)
Substituindo este valor na equação (2.78), obtemos
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−
−
− 4
4
52 25.1exp5)(
Pp ww
wwwS σ (2.83)
O desvio padrão da elevação da onda, σ , pode ser relacionado a frequência de
pico como
52
ασpw
g= (2.84)
A altura de onda significativa Hs, pode ser escrita como
σ4=sH (2.85)
e a frequência de pico relativa a altura de onda significativa pode ser obtida por
sp H
gw 161.02 = (2.86)
Uma forma equivalente para o espectro de P-M em termos de ciclos de frequência
(hertz - Hz), f (= w/2π) pode ser escrita como
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−
−
45
4
2
25.1exp2
)(PfffgfS
πα
(2.87)
onde π2pp wf = .
51
O momento de segunda ordem da densidade espectral de energia é definido
como
∫∞
=0
22 )( dffSfm (2.88)
Integrando esta equação, obtemos
( ) 24
2
2 225.141
pfgm
παπ
= (2.89)
A frequência de cruzamento zero, wz é definida como
0
22mmwz π= (2.90)
Logo, a frequência de pico relacionada a wz pode ser obtida por
zp ww 71.0= (2.91)
2.3.4 Espectro de Jonswap
O espectro de Jonswap resultou originalmente de um projeto conjunto executado
no Mar do Norte, de onde deriva seu nome (JOint North Sea WAve Project). A
expressão para o espectro de Jonswap pode ser escrita da seguinte forma [2]:
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−
−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
22
2
2exp4
54
2
25.1exp2
)( p
p
w
ww
pww
wgwS τγπ
α (2.92)
Esta expressão fornece, a partir de um valor de freqüência w (em Hz), a densidade
de energia correspondente S(w). Os parâmetros variáveis do espectro são a freqüência
de pico wp (em Hz), e os parâmetros de forma α e γ (este último conhecido como o
“parâmetro de pico”). Estas quantidades são dadas por:
γ = 3.3 em média (variando de 1 a 7)
α = 0.076 (X0)-0.22; α = 0.0081 quando o comprimento da pista (X) for
desconhecido. X0 é comprimento adimensional da pista.
( ) 33.002 −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= X
Ugw
wp π ; normalmente relacionado a γ.
52
20wU
gXX = ; normalmente não é usado.
O parâmetro de forma τ é fixo, sendo determinado em função da relação entre a
freqüência w e a freqüência de pico wp:
⎪⎩
⎪⎨⎧
>=
≤==
pb
pa
wwpara
wwpara
,09.0
,07.0
τ
ττ (2.93)
Em geral, nos projetos, a altura significativa de onda (Hs) e período de cruzamento
zero (Tz), são especificados. Para o espectro de Jonswap, a altura significativa de onda e
o período de pico (Tp) são dados por duas equações polinomiais:
22 )00065.00158.011661.0( ps TH γγ −+= (2.94)
zp TT )00079.00142.0102.049.1( 32 γγγ −+−= (2.95)
Para o caso particular de γ = 1, as equação (2.94) e (2.95) ficam:
21317.0 ps TH = (2.96)
zp TT 4014.1= (2.97)
Segundo [2], o espectro de Jonswap em termos de Hs e wp pode ser escrito por:
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−
−
−
−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
22
2
2exp4
4
52* 25.1exp)( p
p
w
ww
pps w
wwwHwS τγα (2.98)
onde
1*
)9.1(185.00336.0230.00624.0
−+−+=
γγα (2.99)
O espectro de Pierson-Moskowitz é especialmente indicado para mares
completamente desenvolvidos e águas profundas. Ele tem sido utilizado com freqüência
para descrever condições da costa brasileira. O espectro de Pierson-Moskowitz e o de
Jonswap se equivalem quando γ = 1.
A Figura 24 faz uma comparação entre o espectro de P-M e Jonswap
considerando Hs = 8.838m, Tz = 10s e γ = 2.
53
0 0.4 0.8 1.2 1.6 20
5
10
15
20
25
30
Espectro de Pierson-MoskowitzEspectro de Jonswap
Freqüência (rad/s)
Den
sida
de d
e En
ergi
a - S
(w)
Figura 24 - Espectro de Mar.
A Petrobras propôs empregar uma expressão do espectro de Jonswap ajustada
para as condições de onda da Bacia de Campos [6], estabelecendo as seguintes relações
para determinar os parâmetros de forma α e γ a partir de Hs e Tp :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
s
p
H
T01966.00394.1expγ (2. 100)
( )[ ]γα ln287.010609.5 4
2
∗−=p
s
TH
(2.101)
54
2.4 Forças Geradas pela Movimentação do Fluido induzida pelas
Ondas
Em um item anterior, foi apresentada a formulação e um procedimento de solução
do modelo matemático que representa o comportamento de ondas no mar. Com isso é
possível determinar as características da movimentação do fluido sob a ação de ondas
(incluindo campos de velocidades, acelerações e pressões), mas sem considerar a
presença de um corpo flutuante ou submerso.
A presente seção irá tratar dos procedimentos para o cálculo das forças no casco e
nas linhas de ancoragem e risers exercidas pelo fluido. Esta é uma das principais tarefas
no projeto de sistemas offshore: trata-se de uma tarefa complexa, pois envolve diversas
incertezas, que se somam às envolvidas na formulação do modelo de ondas, e na
natureza randômica de um estado de mar real, como descrito na seção anterior.
Atualmente, existem formulações que, tendo sido verificadas e calibradas por
ensaios experimentais e monitoração no mar, se mostram adequadas para representar
com precisão as forças devidas à movimentação do fluido sobre sistemas offshore.
Segundo Chakrabarti [2], estas formulações podem ser agrupadas em três classes
principais, de acordo com sua adequação aos diferentes tipos de sistemas offshore:
Formulação de Morison;
Formulação de Froude-Krylov;
Modelo de Difração / Radiação.
A seguir apresenta-se uma descrição resumida das principais características de
cada uma destas formulações.
2.4.1 Formulação de Morison
A formulação de Morison [7] é bastante difundida em aplicações práticas para o
cálculo das forças de fluidos em corpos esbeltos, com dimensão transversal
característica D pequena em comparação com o comprimento de onda L. Um critério
usualmente empregado para definir um “corpo esbelto” consiste em verificar se a
seguinte relação é atendida:
55
DL < 5 (2. 102)
Nestes casos, a formulação de Morison assume que as forças podem ser
computadas através de uma aproximação na qual os parâmetros importantes do fluxo na
superfície do corpo, tais como pressão, velocidade e aceleração, podem ser aproximados
pelo valor correspondente calculado no eixo da seção transversal do corpo esbelto.
A formulação de Morison considera que a força de onda é composta pela soma de
duas parcelas:
Uma parcela de arraste associada a efeitos viscosos, proporcional às
velocidades do fluido e do corpo;
Uma parcela de inércia, proporcional às acelerações do fluido e do corpo.
A equação de Morison pode ser expressa da seguinte forma:
F = 12 ρw D Cd ⎪u
. − x
.⎪(u
. − x
.) + ρw
π D2
4 Cm u..
− ρw π D2
4 Ca x.. (2.103)
Nesta expressão, ρw é a massa específica do fluido; D é uma dimensão transversal
característica do corpo (usualmente o diâmetro de um membro cilíndrico); e u., x
., u
.. e x
..
são respectivamente as velocidades e acelerações do fluido e do corpo. O primeiro
termo do lado direito desta equação (proporcional às velocidades) corresponde, portanto
à parcela de arraste; o segundo e terceiro termos (proporcionais às acelerações)
correspondem à parcela de inércia. Geralmente considera-se que a formulação de
Morison é mais aplicável quando a força de arraste é significativa, e os efeitos viscosos
preponderam sobre os inerciais; este é usualmente o caso em corpos esbeltos [2].
A formulação de Morison é considerada semi-empírica, já que as parcelas de
arraste e inércia são afetadas por coeficientes adimensionais Cd, Cm e Ca, que devem ser
calibrados a partir da observação de resultados experimentais. Por exemplo, na análise
de linhas de ancoragem e risers usualmente empregam-se valores de Cd variando entre
0,7 e 1,2, e valores de Cm em torno de 2,0 . O terceiro termo, afetado pelo coeficiente Ca
(usualmente definido como Cm – 1) é proporcional às acelerações do corpo e está
associado a efeitos de “massa adicional”.
A equação de Morison tem apresentado bons resultados em aplicações práticas
tais como membros de plataformas fixas reticuladas (as jaquetas), e linhas de
56
ancoragem e risers modelados por elementos finitos. Nestas aplicações, no entanto,
deve-se ter em mente os seguintes aspectos:
A Fórmula de Morison considera que a resposta do riser está alinhada com a
direção do fluxo incidente. Portanto, omite forças de lift (sustentação) e forças de
arrasto devidas à vibrações induzidas por vórtices (VIV), que podem ser
importantes em muitas situações.
Não incorpora o efeito da esteira de interferência entre risers muito próximos (o
que pode influenciar a parcela de arrasto). Um riser na esteira de outro pode
receber menos carga, o que pode levar à colisão (clashing) entre os risers. Este
efeito poderia ser modelado empiricamente, variando os valores do coeficiente Cd.
Como será comentado mais adiante, esta equação também pode ser empregada em
plataformas flutuantes compostas por membros reticulados, tais como as plataformas
semi-submersíveis, TLPs ou SPAR-buoys. Nestes casos, membros muito próximos
podem “confinar” uma porção da massa de fluido, que pode agir como parte da
estrutura, levando ao aumento da força de massa adicional. Assim, a utilização pura e
simples da equação de Morison equivaleria a assumir que os membros, além de
relativamente esbeltos, são razoavelmente espaçados entre si, de modo que o
espaçamento médio entre dois membros é grande quando comparado com as dimensões
transversais da seção. A força que o fluido exerce em cada membro não seria então
afetada pela presença de outros membros, e a força total pode ser obtida somando-se as
forças calculadas individualmente para cada membro. O efeito de “confinamento” do
fluido poderia ser modelado empiricamente, aumentando o valor do coeficiente Ca
(proporcional à aceleração do corpo), mas sem alterar o valor do coeficiente Cm que
afeta apenas a força de inércia proporcional à aceleração do fluido.
57
2.4.2 Formulação de Froude-Krylov
Na formulação de Froude-Krylov, a força atuante no corpo é proveniente da
pressão gerada pela passagem da onda incidente sobre a superfície do corpo, também
considerando que a presença do corpo não afeta o fluxo. A partir de uma dada expressão
para o campo de pressões no fluido gerado pela onda, podem ser obtidas as
componentes de força resultante atuando em um corpo, em cada uma das direções de
um sistema de eixos ortogonais. Para isto basta efetuar a integração da correspondente
componente da pressão p, sobre a parte submersa do corpo, como indicado a seguir:
Fx = CH ⌡⌠s
p nx dS (2. 104)
Fy = CV ⌡⌠s
p ny dS (2. 105)
Estas expressões fornecem respectivamente as componentes horizontal e vertical
da força resultante no corpo. nx e ny são as componentes horizontal e vertical do vetor
normal à superfície do corpo. CH e CV são coeficientes de força horizontal e vertical,
também determinados empiricamente, como será comentado a seguir (mas não devem
ser confundidos com os coeficientes de inércia e de arraste da fórmula de Morison).
No cálculo da força de Froude-Krylov para um membro cilíndrico da plataforma,
a integral que expressa a força resultante é dada por:
fFK = ⌡⌠S
p n ds (2. 106)
onde S é a superfície que envolve o volume imerso do corpo; n é um vetor unitário
normal à superfície, e p é um vetor contendo componentes da pressão do fluido dada
pela expressão (2.34).
Pode-se aplicar o Teorema de Gauss para transformar esta integral sobre a
superfície submersa do corpo em uma integral do gradiente de pressão ∇p sobre o
volume imerso:
fFK = ⌡⌠S
p n ds = ⌡⌠
V
∇p dv (2. 107)
Para membros reticulados de plataformas flutuantes, a integração no volume V
pode ser substituída pela multiplicação da área da seção transversal A pela integral ao
58
longo do comprimento do eixo do membro. Além disso, considerando que as dimensões
da seção transversal são pequenas comparadas com o comprimento de onda, os valores
do gradiente de pressão na seção transversal podem ser tomados como constantes e
iguais aos valores calculados no eixo. Desta forma, a força de Froude-Krylov pode ser
aproximada pela seguinte integral:
fFK = ⌡⎮⌠
0
L
A ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞∂p
∂x⎪⎪⎪
0, ∂p∂y⎪⎪⎪
0, ∂p∂z⎪⎪⎪
0 dx
_ (2. 108)
A aplicação desta formulação torna-se mais conveniente quando associada a uma
expressão do campo de pressões no fluido p derivada de uma teoria linear de onda,
como as expressões (2.36) e (2.34) da teoria de Airy, que podem então ser empregadas
paras fornecer a pressão em um ponto na superfície de uma estrutura submersa, agindo
normal à superfície daquele ponto. Neste caso, a aplicação deste método é vantajosa já
que, para algumas formas particulares de membros submersos (como cilindros ou
esferas), podem ser obtidas expressões fechadas para as integrais definidas nas equações
(2. 104) e (2. 105) que fornecem as forças atuantes no corpo. Chakrabarti [2] demonstra
que, em muitos casos, as expressões resultantes são semelhantes às obtidas pela parcela
de inércia da fórmula de Morison (embora, como mencionado anteriormente, o
coeficiente que deve ser determinado empiricamente não é o mesmo).
Desta forma, segundo Chakrabarti [2], a formulação de Froude-Krylov é mais
aplicável quando a força de arraste é pequena, e os efeitos de inércia predominam sobre
os viscosos, mas o corpo é ainda relativamente esbelto e, portanto, pode-se assumir que
a sua presença não afeta significativamente o fluxo das partículas fluidas. Como, ainda
segundo Chakrabarti, poucas aplicações práticas atendem a estas hipóteses, em casos
onde os efeitos de difração são significativos, mas pequenos, é possível considerá-los na
forma de um termo de correção nos coeficientes de força. Em casos mais gerais onde os
efeitos de difração são mais importantes, isso não é possível. Além disso, a proximidade
do corpo com o fundo ou a superfície livre pode gerar efeitos não facilmente
quantificáveis nos coeficientes. Nestes casos, deveria então ser aplicada a formulação
completa da teoria da difração.
59
2.5 Forças de Correnteza
Prosseguindo na descrição da formulação das equações de movimento, esse item
apresenta a formulação para o cálculo das forças de correnteza (atuando tanto no casco
quanto nas linhas de ancoragem e risers).
A correnteza é definida através de um perfil poligonal, em que são fornecidos
valores de velocidade e ângulos de incidência. Este tipo de carregamento geralmente é
aplicado incrementalmente à estrutura e fornecido através de uma função tempo, que
pode ser associada ao carregamento de onda e correnteza.
A correnteza pode ser considerada primordialmente como carregamento estático,
embora existam alguns efeitos dinâmicos associados à correnteza. Pode-se mencionar,
por exemplo, as vibrações induzidas por vórtices (VIV) em elementos esbeltos (como
por exemplo em risers e tendões), e a variação no valor da velocidade da correnteza
medida no tempo, que é usualmente ignorada.
No caso de corpos flutuantes para os quais a fórmula de Morison pode ser
aplicada, tais como membros reticulados de plataformas ou linhas de ancoragem e
risers, as forças de correnteza podem ser consideradas diretamente no cálculo da parcela
de arraste que leva em conta as velocidades relativas fluido-estrutura, simplesmente
efetuando uma soma vetorial das velocidades de correnteza com as velocidades do
fluido devidas à onda e as velocidades da estrutura.
É importante mencionar que, em projetos recentes de plataformas em águas
profundas, tem sido observado que a parcela das forças de correnteza atuando sobre as
linhas pode ser da mesma ordem de grandeza da parcela que atua sobre o casco da
plataforma.
2.5.1 Interação com as Forças de Onda: Interação Física
Usualmente, as cargas totais sobre uma unidade flutuante são consideradas pela
soma vetorial das componentes individuais de onda, vento e corrente, sem considerar
qualquer interação entre eles.
No entanto, um procedimento mais rigoroso deveria incluir a consideração de um
modelo de interação ambiental ou de interação física, particularmente entre as forças de
onda e correnteza. No cálculo das forças de onda pela Teoria Potencial, deve-se
60
inicialmente lembrar que, para a Teoria Potencial continuar sendo aplicável, a
velocidade de correnteza (constante) deve ser menor que a velocidade da partícula da
onda (periódica), do contrário a hipótese de fluido ideal não é mais válida e uma
separação massiva do fluxo pode ocorrer [8]. Ignorar a interação entre onda e correnteza
equivaleria a ir mais além e assumir que a velocidade da correnteza não é maior do que
a dos termos de segunda ordem da onda (de baixa freqüência ou deriva lenta) e portanto
muito menor do que a dos termos de primeira ordem da onda.
Existem situações onde a velocidade da correnteza é maior do que a velocidade de
deriva lenta, e é comparável com a velocidade de primeira ordem. O problema está na
determinação de um modelo de cálculo apropriado para a avaliação das forças
combinadas, que leve em consideração a onda na presença de correnteza. Por exemplo,
tal modelo deveria considerar que as alturas de onda podem ser modificadas na presença
de correnteza. As forças de primeira e segunda ordem de onda também seriam alteradas,
pois a correnteza afeta a forma como a energia da onda é dispersa pela estrutura.
Algumas teorias vêm sendo desenvolvidas para predizer a forma como as forças
de deriva são afetadas pela correnteza [9]. Para estruturas esbeltas, enfoques simples
como, por exemplo, o baseado no conceito da freqüência de encontro fornecem bons
resultados. A freqüência de encontro ωc pode ser calculada a partir da freqüência da
onda ω e da velocidade da correnteza na superfície vc pela seguinte expressão:
ωc = ω + k vc cos β (2. 109)
onde k é o número de onda, e β é a direção relativa entre onda e correnteza.
2.5.2 Interação com as Forças de Onda: Interação Estatística
Além da interação física, deve ser considerada também uma interação estatística
entre as forças de onda e correnteza. As normas API RP 2SK [10] e DNV/POSMOOR
[11] especificam um período retorno individual para onda, vento e corrente, como por
exemplo:
“Vento médio e estado de mar correspondendo a 100 anos de período de retorno,
combinado com uma correnteza de 10 anos de período de retorno”.
Esta forma de especificar o projeto não fornece uma indicação de período de
retorno do evento combinado. Idealmente, o período de retorno do evento combinado
deveria ser especificado e então avaliadas as magnitudes de vento, onda e correnteza.
61
2.6 Vento
As forças de vento atuam sobre a área exposta do casco e do convés das
plataformas flutuantes. As condições de vento usadas em projeto devem ser
apropriadamente determinadas a partir de dados coletados, consistentes com os outros
parâmetros ambientais que ocorrem simultaneamente.
Existem duas maneiras de se considerar os efeitos de vento no projeto, que
dependem de parâmetros do sistema e objetivos da análise:
Força de vento estática, constante no tempo;
Força de vento variável no tempo, calculada em função de uma componente
estática, permanente, somada a uma componente variando com o tempo,
calculada a partir de um espectro de vento adequado.
2.6.1 Cálculo das Forças: Parcela Estática
Para o cálculo da parcela estática da força de vento é assumido que a área exposta
à ação do vento na embarcação possa ser caracterizada por um único número, o qual
representa o produto da área exposta ao vento pelo fator de forma.
Considerando-se que o centro de pressão de vento seja conhecido, a força de
vento é considerada atuando neste ponto, pela seguinte equação:
2
2 ventoventovento VAF ρ= (2. 110)
onde:
ρ - densidade do ar;
Avento – produto da área exposta ao vento pelo coeficiente de forma;
Vvento – velocidade média do vento.
Resultados de teste de túnel de vento podem ser usados para estabelecer
coeficientes de força (força/velocidade2) em determinadas direções de incidência do
vento. Assim, basta multiplicar o valor da velocidade de vento ao quadrado pelo
coeficiente de força obtido do ensaio, para que seja determinada a força de vento sobre a
embarcação. Nos ensaios, os coeficientes de força de vento são normalmente
determinados para uma altura de 10 metros acima da lâmina d’água. Assim, para se
62
obter as forças, as velocidades de vento medidas precisam ser transportadas para esta
mesma altura de 10 metros, de acordo com a fórmula abaixo [10]:
Vw = V10m ⎝⎜⎛
⎠⎟⎞ Z
10
0,13
(2. 111)
2.6.2 Cálculo das Forças: Parcela Dinâmica
De modo similar às ondas, os ventos também geram forças variáveis no tempo.
Embora métodos para determinar a parcela de força de vento variável no tempo
(também referida como força de vento de baixa freqüência [9]) tenham sido
extensivamente estudados, há ainda um substancial grau de incerteza nesta estimativa,
particularmente na definição de um espectro de energia a partir de dados medidos de
vento. Na falta de dados mais precisos, a parcela variável no tempo pode ser obtida a
partir da simulação do espectro proposto pela API RP 2A [12], que é apresentado a
seguir:
( ) ( )3
5
2
5.11⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
=
pp f
ff
zfS σ (2. 112)
σ(z) = V(1hr,z)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
≤⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
× −
−
ss
ss
zzparazz
zzparazz
275.0
125.0
15.0
15.0 (2. 113)
( ) ( )125.0
,1,1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
RR z
zzhrVzhrV (2.114)
( ) 10.0,1
01.0 ≤⋅
≤zhrV
zf p (2.115)
onde:
S(f) – Densidade de energia espectral, na elevação z;
f – Freqüência em Hz;
fp – Freqüência de pico característica do espectro;
σ(z) – Desvio-padrão da velocidade de vento;
V(1hr,z) – Velocidade média de vento em 1 hora, medida na elevação z;
zs – 20m (espessura da “camada superficial”);
63
zr – 10 m (altura da referência).
A Figura 25 ilustra o espectro de vento da API para uma velocidade média horária
de 35 m/s e ( ) 05.0,1
=⋅
zhrVzf p .
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
300.0
350.0
400.0
450.0
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80
f (H z )
S(f)
Figura 25 - Espectro de Vento da API.
A simulação do espectro de vento consiste em determinar uma série de
componentes discretas, senoidais e unidirecionais, as quais são superpostas para se obter
a velocidade instantânea do vento. Estas componentes são geradas em intervalos de
igual energia do espectro, com fases distribuídas randomicamente no intervalo [0,2π], as
quais são superpostas para se obter a velocidade instantânea do vento. Para cada
componente, a seguinte expressão determina a velocidade instantânea do vento no
instante de tempo t:
∑=
−+=N
nnnnrhrw tazVtV
11 )cos()()( θω (2.116)
onde an é a amplitude de cada componente em que o espectro é discretizado, ωn é a
freqüência correspondente, e θn representa a fase da componente, gerada aleatoriamente.
64
33.. RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS
[1] Sphaier, S.H., Ondas de Gravidade. Vol. I e II, COPPE/UFRJ, Programa de Engenharia Oceânica, Rio de Janeiro, 2003.
[2] Chakrabarti, S.K., Hydrodynamics of Offshore Structures. Computational Mechanics Publications / Springer-Verlag, 1987.
[3] Newman, J.N., Marine Hydrodynamics, MIT Press, Cambridge, 1977.
[4] Wheeler, J.D., Method for Calculating Forces Procedure by Irregular Waves, OTC 1006, Offshore Technology Conference, Houston, 1969.
[5] Pierson, W.J., Moskowitz, L., A proposed spectral form for fully developed wind seas based on the similarity theory of S.A. Kitaigorodskii. Journal of Geophysical Research, 1964, 69 (24), 5181-5203.
[6] Especificação Técnica, Metocean Data. I-ET-3000.00-1000-941-PPC-001, Petrobras/Cenpes/PDP, 1999.
[7] Morison, J.R., O’Brien, M.P., Johnson, J.W., et al, “The Force Exerted by Surfaces Waves on Piles”, Petrol. Trans., AIME, no 189, 1950.
[8] Molin, B., Second-Order Hydrodynamics applied to Moored Structures. 19th WEGEMT School, Nantes, 1993.
[9] Clark, P.J., Malenica, S., Molin, B., “An Heuristic Approach to Wave Drift Damping”. J. Applied Ocean Research, vol.15, no 1, 1993.
[10] API RP 2SK, Recommended Practice for Design and Analysis of Stationkeeping Systems for Floating Structures. American Petroleum Institute, 2a edição, 1997.
[11] DNV/POSMOOR, Rules for Classification of Mobile Offshore Units, Part 6 chapter 2: Position Mooring (POSMOOR). Det Norske Veritas, 1989.
[12] API RP 2A, Recommended Practice for Planning, Designing and Constructing Fixed Offshore Platforms. Working Stress Design, RP 2A, Twentieth Edition, American Petroleum Institute, July 1, 1993.
[13] LIMA, A.L., "Avaliação de Metodologias de Análise de Unidades Estacionárias de Produção de Petróleo Offshore", Dissertação de M.Sc., COPPE/UFRJ, Programa de Engenharia Civil, Junho de 2006.
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