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Indutância

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• Como vimos, um capacitor pode ser utilizado para produzir um campo elétrico

com as propriedades desejadas. O tipo mais simples de capacitor é o capacitor de

placas paralelas.

• Analogamente, um indutor pode ser utilizado para produzir um campo

magnético com as propriedades desejadas. O tipo mais simples de indutor é o

solenóide longo (ou, mais exatamente, a parte central de um solenóide longo).

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Unidade SI de indutância: henry (H), em homenagem ao físico americano Joseph

Henry.

Simbologia de indutor:

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Definição de indutância – L – de um indutor: se as N espiras do solenóide que estamos

utilizando como indutor conduzem uma corrente i, a corrente produz um fluxo

magnético na região central do indutor. A indutância – L – de um indutor é

definida como:

Indutância de um solenóide

Considere um solenóide longo de área de seção reta A e percorrido por uma corrente i.

Qual é a indutância por unidade de comprimento perto do centro do solenóide?

Consideraremos aqui um “solenóide ideal”: campo magnético uniforme no interior do

solenóide e nulo fora dele.

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já que, como vimos, o campo magnético no interior de um solenóide ideal percorrido

por uma corrente I é dado por:

com n especificando o número de espiras por unidade de comprimento. Assim, a

indutância será:

Por fim:

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Indutores e força eletromotriz

Uma força eletromotriz εL induzida aparece em todo indutor cuja corrente está

variando. Da definição de indutância, temos que:

Da lei de Faraday:

Portanto, a fem auto-induzida em um indutor submetido a uma corrente variável é

dada por:

O sinal negativo decorre da lei de Lenz; ele mostra que a fem auto-induzida em

um circuito se opõe a qualquer variação de corrente que ocorra no circuito. 6

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Circuitos RL (Resistor + Indutor)

Consideremos a chave S é fechada na posição a em t=0. Aplicando a lei das malhas,

temos que:

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constante de tempo

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Diminuição da corrente em um circuito RL

Se a chave S é mantida na posição a por um tempo suficiente para que a corrente atinja

o valor de saturação e depois é deslocada para a posição b, o efeito é remover a fonte do

circuito.

Nesse caso, teremos que:

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Energia armazenada no campo magnético do indutor

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Densidade de Energia de um campo magnético

Considere um segmento de comprimento l perto do centro de um solenóide longo de

seção reta A percorrido por uma corrente i; o volume do segmento é Al.

Para um solenóide ideal, deduzimos que:

Portanto:

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De uma forma geral, se o material existente dentro do solenóide não é o vácuo, porém

um material com permeabilidade magnética constante , então

Embora tenhamos deduzido a expressão para a densidade de energia de um

campo magnético para a situação especial de um solenóide ideal, é possível

mostrar que ela é a expressão correta para qualquer configuração de campo

magnético com permeabilidade magnética constante.

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Indutância mútua

Consideremos o caso de duas bobinas próximas: uma corrente i em uma das bobinas faz

com que um fluxo magnético atravesse a outra. Se a corrente i varia com o tempo, uma

força eletromotriz dada pela lei de Faraday aparece na segunda bobina

O processo é conhecido pela expressão indução mútua, para ressaltar o fato de que o processo

envolve a interação de duas bobinas e distingui-lo do processo de auto-indução, que envolve

apenas uma bobina. 17

Lei de Faraday:

Portanto, a fem induzida na bobina 2 depende do fluxo magnético sobre ela. O fluxo

magnético depende do campo magnético gerado pela bobina 1, que por sua vez,

depende da corrente percorrendo a bobina 1. Assim:

Introduzimos a grandeza M, chamada de indutância mútua:

Assim:

Conduzindo-nos ao seguinte resultado: Um raciocínio equivalente para a fem

induzida na bobina 1 nos leva a:

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Oscilações em circuitos LC (Indutor + Capacitor)

Seja um circuito composto por um indutor ligado em série com um capacitor:

A energia total do circuito, parte armazenada no campo elétrico do capacitor (UE) e

parte no campo magnético do indutor ( UB ), é dada por:

A taxa de variação da energia total com o tempo é então

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Considerando que não há perdas de energia (desprezando qualquer resistência dos

fios), teremos que:

Mas:

Então:

Solução típica para a equação diferencial anterior:

Oscilações de carga e corrente.

(Q: carga máxima no capacitor.) 20

Portanto, substituindo a solução na equação diferencial, concluímos que:

Energia no capacitor:

Energia no indutor:

Energia total:

A frequência de oscilação angular será então dada por:

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com f sendo a frequência e T o período de oscilação.

Estágios de um circuito LC:

t = 0

t = T/4

t = T/2

Considerando que em t = 0 a

carga é máxima, = 0. 22

t = T/2

t = 3T/4

t = T

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Para a análise procedida neste e nos

últimos dois slides, em t = 0 a carga é

máxima. Assim, = 0.

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Oscilações amortecidas em circuitos RLC (Resistor + Indutor + Capacitor)

Seja um circuito composto por um indutor ligado em série com um capacitor e um

resistor:

Neste caso, a taxa de variação da energia total é igual à energia dissipada no resistor:

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Solução da equação acima:

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com

Sistema superamortecido:

Neste caso, q passa a ser

uma função dada pela

soma de duas exponenciais

decrescentes com o tempo,

não havendo oscilação.

Amortecimento crítico: o

sistema deixa de oscilar

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Corrente alternada

Corrente alternada

• Durante a década de 1880, ocorreu um caloroso debate nos EUA sobre qual

deveria ser o melhor método para a distribuição da energia elétrica.

Uma corrente alternada pode ser gerada a partir de uma força eletromotriz também

alternada, comumente escrita como:

• Thomas Edson defendia que a melhor solução seria utilizar a corrente contínua

(cc), ou seja, a corrente cujo sentido não varia com o tempo. George

Westinghouse afirmava que o melhor método consistia em utilizar a corrente

alternada (ca), cujo sentido varia continuamente (via uma função senoidal, por

exemplo).

• Principalmente por reduzir as perdas durante a transmissão de eletricidade, assim

como a versatilidade de converter voltagens a partir de transformadores (que

estudaremos na sequência), as ideias de Westinghouse prevaleceram.

: amplitude da força eletromotriz (o índice m significa “máxima”).

: frequência angular de oscilação da força eletromotriz. 29

Um exemplo de gerador de corrente alternada é exposto na figura a seguir:

Uma espira condutora é forçada a girar com

velocidade angular constante ω na presença de

um campo magnético externo constante B.

Fazendo , temos que:

Símbolo de uma fonte (ou gerador) ca:

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A corrente elétrica associada é comumente escrita como:

: constante de fase, introduzida porque a corrente i pode não estar em fase com

a força eletromotriz (como veremos).

: amplitude da corrente.

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Três circuitos simples

1. Resistor + fonte ca

A amplitude da força motriz será igual à amplitude da tensão no resistor, que,

aqui, escreveremos como VR . Assim:

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Além disso, as amplitudes de tensão e corrente no resistor estão vinculados

pela expressão:

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Portanto, a tensão e corrente no resistor estão em fase, ou seja, passam ao

mesmo tempo pelos máximos e pelos mínimos. Ou seja, .

Notação de Fasores

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2. Capacitor + fonte ca

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Reatância Capacitiva

Via identidade trigonométrica:

Portanto:

Ou seja, neste caso, a tensão e corrente no capacitor estão defasadas,

com . Dizemos que a corrente está adiantada em relação à

tensão. 36

Notação de Fasores:

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3. Indutor + fonte ca

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Reatância Indutiva

Via identidade trigonométrica:

Portanto:

Ou seja, neste caso, a tensão e corrente no indutor estão defasadas,

com . Dizemos que a corrente está atrasada em relação à

tensão. 39

Notação de Fasores:

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Circuito RLC em série

A fonte de fem ca é descrita por:

Como R, L e C estão em série, a mesma corrente i atravessa os três

componentes:

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Fasores – circuito RLC em série:

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Impedância 43

Frequência de Ressonância:

A frequência de ressonância é aquela que maximiza a amplitude de corrente

para uma dada resistência R. Temos que:

Portanto, a amplitude de corrente será maximizada se

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Constante de fase

Potência em circuitos de corrente alternada

Potência média:

valor médio quadrático (“root mean square”)

Quando ligamos um voltímetro de corrente alternada a uma tomada de parede e

obtemos um valor de 220 V, essa é a tensão rms. Nesse caso, o valor máximo da

diferença de potencial é .

Os instrumentos utilizados em circuitos de

corrente alternada, como amperímetros e

voltímetros, são quase sempre calibrados para

indicar valores de tensão e corrente rms.

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: fator de potência

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Transformadores

Exemplo: Considere a linha de 735 kV utilizada para transmitir energia

elétrica da usina hidrelétrica La Grande 2, em Quebec, para a cidade de

Montreal, situada a 1000 km de distância. Suponha que a corrente é 500 A

(rms) e o fator de potência é próximo da unidade. Nesse caso, a potência

elétrica fornecida pela usina é:

A resistência da linha de transmissão é da ordem de 0,220 /km; assim, a

resistência total para o percurso de 1000 km é 220 . A potência dissipada

na linha devido a essa resistência é:

que corresponde a 15% da potência fornecida.

Suponha agora que a usina forneça a mesma potência, porém, a partir de

uma corrente de 1000 A e 367,5 kV (ou seja, o dobro da corrente e metade

da diferença de potencial). Nesse caso, a potência dissipada pela resistência

dos fios será:

que corresponde a 60% da potência fornecida (368 MW).

Portanto, na transmissão de energia elétrica, é interessante manter a

diferença de potencial (tensão) no mais alto valor possível,

reduzindo a corrente ao menor valor possível. Assim, reduz-se a

dissipação devido à resistência.

É comum a necessidade de um dispositivo que seja capaz de aumentar (para

a transmissão) e diminuir (para o consumo) os valores de tensão, mantendo

o produto tensão x corrente praticamente constante. Esse dispositivo é o

transformador. 48

Transformador – representação esquemática:

Componentes básicos de um transformador: duas bobinas ou enrolamentos e

o núcleo, geralmente feito de ferro. O primário é o enrolamento conectado

com a fonte de tensão; o secundário é o enrolamento cujos terminais

fornecem a tensão transformada.

Enrolamento primário

Enrolamento secundário

Np espiras

Ns espiras

Núcleo

O núcleo faz com que as

linhas de campo magnético

fiquem confinadas e que

atravessem os enrolamentos,

maximizando a indutância

mútua.

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Da lei de indução de Faraday:

Então, com os fluxos através das bobinas sendo os mesmos, temos que:

Considerando um transformador ideal, não havendo perdas por dissipação

de resistências, cada força eletromotriz é igual à voltagem através do

primário e do secundário. Portanto:

voltagens nos terminais dos enrolamentos

primário (p) e secundário (s)

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Pela conservação de energia, desprezando perdas, teremos ainda que:

Então:

Mas:

Assim:

Portanto:

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Equações de Maxwell

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Até aqui, vimos duas equações envolvendo o fluxo através de superfícies

fechadas:

1. Lei de Gauss para campos elétricos:

2. Lei de Gauss para campos magnéticos:

Ausência de monopolos magnéticos 53

Ou seja, a lei de Faraday afirma que a variação do fluxo magnético dá origem a um

campo elétrico.

E duas equações envolvendo integrais de linha fechadas:

1. Lei de Ampère:

2. Lei de Faraday:

Será que a indução pode ocorrer no sentido oposto? Um fluxo

elétrico variável pode induzir um campo magnético? 54

A resposta é afirmativa. Trata-se da lei de indução de Maxwell, em homenagem ao

cientista inglês James Clerk Maxwell:

Podemos, portanto, escrever a lei de Ampère – Maxwell:

Quando existe uma corrente e o fluxo elétrico não está variando – como no caso

de um fio percorrido por uma corrente constante – o segundo termo do lado

direito da equação anterior é zero e, portanto, ela se reduz à lei de Ampère.

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Exemplo: Um capacitor de placas paralelas circulares de raio R está sendo carregado.

(a) Escreva uma expressão para o campo magnético na região entre as placas, a uma

distância r do eixo central e que seja válida para r < R.

• Na região entre as placas, a corrente Iinte = Ic que aparece na lei de Ampère

– Maxwell é igual a zero. Assim, teremos que: 56

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(b) Escreva uma expressão para o campo magnético induzido no caso em que r > R.

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Corrente de condução Ic e corrente de deslocamento Id

A lei de Ampère – Maxwell pode ser reescrita da seguinte maneira:

Da maneira como é definida, a corrente de deslocamento não necessita de um meio

físico para se propagar, como ocorre com a corrente de condução.

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Voltando ao exemplo anterior do capacitor placas paralelas circulares de raio R, a

corrente de condução no fio pode ser escrita da seguinte maneira:

já que, como já vimos, na região entre as placas do capacitor, temos que:

módulo do campo elétrico na região entre as placas de um

capacitor de placas paralelas de área A e carga q. 60

A corrente de deslocamento, por sua vez, será:

Pensando na continuidade da corrente, escrevemos que:

tal que:

Assim, para r < R, teremos que:

Para r > R:

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Equações de Maxwell:

1. Lei de Gauss para campos elétricos:

2. Lei de Gauss para campos magnéticos:

3. Lei de Faraday:

4. Lei de Ampère – Maxwell:

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