Interpolação polinomial - Spline cúbica

Interpolacao polinomial

Interpolacao polinomial

Spline cubica

Clarimar J. Coelho

November 8, 2013

Interpolacao polinomial

1 Splines cubicos

2 Calculo dos coeficientes

3 Sistema linear subdeterminado

4 Splines cubicos naturais

5 Splines cubicos extrapolados

6 Calculo das derivadas

Interpolacao polinomial

Splines cubicos

Splines cubicos

Sejam n+ 1 pontos (xi, yi), i = 0, 1, 2, . . . n com x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn

A construcao de n polinomios interpoladores cubicos si(x)

Denominados splines1 cubicosQue passam por dois pontos sucessivos (xi, yi) e (xi+1, yi+1)Usado no intervalo [xi, xi+1]

1Um spline e uma curva definida matematicamente por dois ou mais pontos de controle. Ospontos de controle que ficam na curva sao chamados de nos.

Interpolacao polinomial

Splines cubicos

Forma da spline cubica

si(x) = ai(x− xi)3 + bi(x− xi)

2 + ci(x− xi) + di, i = 0, 1, 2, . . . , n− 1 (1)

Que satisfaz as condicoes

si(xi) = yi i = 0, 1, 2, . . . , n− 1 e sn−1(xn) = yn (2)

si(xi+1) = si+1(xi+1), i = 0, 1, 2, . . . , n− 2 (3)

Garantem que os splines cubicos passem pelos pontos (xi, yi) e sejam contınuos

Interpolacao polinomial

Splines cubicos

Inclinacoes e concavidades

Garantia que as inclinacoes e concavidades sejam contınuas

s′i(xi+1) = s′i+1(xi+1), i = 0, 1, 2 . . . , n− 2 (4)

s′′i (xi+1) = s′′i+1(xi+1), i = 0, 1, 2 . . . , n− 2 (5)

Obtemos da equacao (1) n equacoes com 4n incognitas ai, bi, ci e di

A condicoes das equacoes (2) e (5) fornecem 4n− 2 equacoes

Sao necessarias mais duas equacoes para calcular todas as 4n incognitas

Interpolacao polinomial

Calculo dos coeficientes

Calculo dos coeficientes

Para x = xi na equacao (1) e comparando com a equacao (2)

si(xi) = di,di = yi, i = 0, 1, 2, . . . , n− 1

(6)

Para x = xi+1 na equacao (1) e comparando com equacao (3) em consideracaocom a equacao (2)

si(xi+1) = si+1(xi+1) = yi+1

ai(xi+1 − xi)3 + bi(xi+1 − xi)

2 + ci(xi+1 − xi) + di = yi+1

Definindohi = xi+1 − xi (7)

E substituindo na equacao (6), temos

aih3i + bih

2i + cihi + yi = yi+1 (8)

Interpolacao polinomial

Calculo dos coeficientes

Derivadas

As derivadas da equacao (1) sao

s′i(x) = 3ai(x− xi)2 + 2bi(x− xi) + ci (9)

s′′i (x) = 6ai(x− xi) + 2bi (10)

Para x = xi na equacao (10)

s′′(xi) = 6ai(xi − xi) + 2bi

bi =s′′i2, i = 0, 1, 2 . . . , n− 1 (11)

Interpolacao polinomial

Calculo dos coeficientes

Derivadas, cont.

Para xi+1 na equacao (10)

s′′i (x1+1) = 6ai(xi+1 − xi) + 2bi

Devido a equacao (5) e substituindo na equacao (7) e equacao (11)

s′′i+1(xi+1) = 6aihi + 2s′′i xi2

,

ai =s′′i+1 − s′′i (xi)

6hi, i = 0, 1, 2, . . . , n− 1 (12)

Interpolacao polinomial

Calculo dos coeficientes

Derivadas, cont.

Substituindo as equacoes (6,11) e (12) na equacao (8)

s′′i+1(xi+1 − s′′i (xi)

6hih3i +

s′′i (xi)

2h2i + cihi + yi = yi+1

Temos,

ci = ∆yi −s′′i+1(xi+1) + 2s′′i (xi)

6hi, . . . i = 0, 1, 2, . . . , n− 1 (13)

O operador de dividida

∆yi =yi+1 − yi

hi(14)

Interpolacao polinomial

Sistema linear subdeterminado

Sistema linear subdeterminado 2

Impondo a condicao da equacao (4) que as inclinacoes de dois splines cubicosadjacentes si−1(x) e si(x) sejam iguais no ponto comum (xi, yi)

s′i−1(xi) = s′i(xi)

Devido a equacao (9), temos

3ai−1(xi − xi−1)2 + 2bi−1(xi − xi−1) + ci−1 = 3ai(xi − xi)

2 + 2bi(xi − xi) + ci

Substituindo as equacoes (7), (12) e (13), temos

3s′′i(xi)−s′′

i−1(xi−1)

6hi−1h2i−1 + 2

s′′i−1

(xi−1)

2 hi−1 +yi−yi−1

hi−1−

s′′i(xi)+2s′′

i−1(xi−1)

6 hi−1

=yi+1−yi

hi−

s′′i+1

(xi+1)+2s′′i(xi)

6 hi

2Possui menos equacoes que incognitas (m < n).

Interpolacao polinomial

Sistema linear subdeterminado

Sistema linear subdeterminado, cont.

Simplificando, obtemos a i−esima equacao para i = 1, 2, 3, . . . , n − 1

hi−1s′′

i−1(xi−1) + 2(hi−1 + hi)s′′

i (xi) + his′′

i+1(xi+1) = 6(∆yi −∆yi−1) (15)

Que e um sistema linear subdeterminado com n− 1 equacoes e n+ 1incognitas s′′i (xi), i = 0, 1, 2, . . . , n

Interpolacao polinomial

Sistema linear subdeterminado

Sistema linear subdeterminado, cont.

O sistema linear (15) e da forma

h02(h0 + h1) h1h1 2(h1 + h2) h2

h2 2(h2 + h3) h3. . .

. . .. . .

hn−2 2(hn−2 + hn−1)

s′′1(x1)s′′2(x2)s′′3(x3)

...s′′n−1(xn−1)

= 6

∆y1 −∆y0∆y2 −∆y1∆y3 −∆y2

...∆yn−1 −∆yn−2

(16)

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Splines cubicos naturais

A forma mais simples usada para eliminar duas incognitas do sistema (15)consiste em atribuir

s′′0(x0) = 0,s′′n(xn) = 0

}

(17)

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Calculo das derivadas

Substituindo o valor de s′′0(x0) na primeira equacao do sistema (15)

E s′′n(xn) na ultima equacao

Obtemos o sistema linear tridiagonal simetrico (18)

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Calculo das derivadas naturais

A solucao do sistema fornece as derivadas s′′i (xi), i = 1, 2, 3, . . . , n− 1

2(h0 + h1) h1h1 2(h1 + h2) h2

h2 2(h2 + h3) h3. . .

. . .. . .

hn−2 2(hn−2 + hn−1)

s′′1(x1)s′′2(x2)s′′3(x3)

...s′′n−1(xn−1)

= 6

∆y1 −∆y0∆y2 −∆y1∆y3 −∆y2

...∆yn−1 −∆yn−2

(18)

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Splines cubicos naturais

Com estas derivadas temos os chamos splines cubicos naturais

Devem ser usados quando y = f(x) apresentar comportamento linear nasproximidades dos pontos finais x0 e xn

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Exemplo 1

Dados os pontos (1,2), (2,4), (4,1), (6,3) e (7,3), calcular as segundasderivadas s′′i , i = 0, 1, 2, 3, 4 dos splines cubicos naturais

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Solucao

Pela equacao (7)h0 = x1 − x0 = 2− 1 h0 = 1,h1 = x2 − x1 = 4− 2 h1 = 2

h2 = x3 − x2 = 6− 4 h2 = 2,h3 = x4 − x3 = 7− 6 h3 = 1

Usando a equacao (14)

∆y0 =y1−y0h0

= 4−21 ∆y0 = 2

∆y1 =y2−y1h1

= 1−42 ∆y1 = −1, 5

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Solucao, cont.

∆y2 =y3−y2h2

= 3−11 ∆y0 = 2

∆y3 =y4−y3h3

= 3−31 ∆y3 = 0

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Solucao, cont.

Substituindo os valores no sistem (18), temos

2(1 + 2) 2 02 2(2 + 2) 20 2 2(2 + 1)

s′′1(x1)s′′2(x2)s′′3(x3)

= 6

−1.5 − 21− (−1, 5)

0− 1

A partir da equacao (17) e da solucao acima abtemos as segundas derivadas

s′′0(x0) = 0; s′′1(x1) = −4, 7; s′′2(x2) = 3, 6; s′′3(x3) = −2, 2; s′′4(x4) = 0

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Solucao do sitema no octave

a =

2 ∗ (1 + 2) 2 02 2 ∗ (2 + 2) 20 2 2 ∗ (2 + 1)

b = 6

−1.5− 21− (−1, 5)

0− 1

Basta fazer x = inv(a) ∗ b

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Exemplo 2

A partir dos pontos do Exemplo 1, determine as equacoes dos quatro splines

cubicos naturais

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Solucao

Determinacao do spline s0(x)

a0 =s′′1(x1)− s′′0(x0)

6h0=

−4, 7− 0

6× 1 a0 = −

47

60

b0 =s′′0(x0)

2=

0

2 b0 = 0

c0 = ∆y0 −s′′1(x1) + 2s′′0(x0)

6h0 = 2−

−4, 7 + 2× 0

6× 1 c0 =

167

60

d0 = y0 d0 = 2

s0(x) = a0(x−x0)3+b0(x−x0)

2+c0(x−x0)+d0 = −

47

60(x−1)3+0(x−1)2+

127

60(x−1)+2

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Solucao, cont.

Determinacao do spline s1(x)

a1 =s′′2(x2)− s′′1(x1)

6h1=

3, 6 − (−4, 7)

6× 2 a1 = −

83

120

b1 =s′′1(x1)

2=

−4, 7

2 b1 = −

47

20

c1 = ∆y1 −s′′2(x2) + 2s′′1(x1)

6h1 = −1, 5−

3, 6 + 2×−4, 7

6× 2 c1 =

13

30

d1 = y1 d1 = 4

s1(x) = a1(x−x1)3+b1(x−x1)

2+c1(x−x1)+d1 = −

83

120(x−2)3−

47

20(x−2)2+

13

30(x−2)+4

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Solucao, cont.

Determinacao do spline s2(x)

a2 =s′′3(x3)− s′′2(x2)

6h2=

−2, 2 − 3, 6

6× 2 a2 = −

29

60

b2 =s′′2(x2)

2=

3, 6

2 b2 = −

9

5

c2 = ∆y2 −s′′3(x3) + 2s′′2(x2)

6h2 = 1−

−2, 2 + 2× 3, 6

6× 2 c2 =

2

5

d2 = y2 d2 = 1

s2(x) = a2(x−x2)3+b2(x−x2)

2+c2(x−x2)+d2 = −

29

60(x−4)3+

9

5(x−4)2−

2

3(x−4)+1

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Solucao, cont.

Determinacao do spline s3(x)

a3 =s′′4(x4)− s′′3(x3)

6h3=

0− (−2, 2)

6× 1 a3 = −

11

30

b3 =s′′3(x3)

2=

−2, 2

2 b3 = −

11

10

c3 = ∆y3 −s′′4(x4) + 2s′′3(x3)

6h3 = 0−

0 + 2×−2, 2

6× 1 c3 =

11

15

d3 = y3 d3 = 3

s3(x) = a3(x−x3)3+b3(x−x3)

2+c3(x−x2)+d3 = −

11

30(x−6)3−

11

10(x−6)2−

11

15(x−6)+3

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Derivadas dos splines naturais

s′0(x) = −

47

20(x− 1)2 +

167

60e s′′0 = −

47

10(x− 1)

s′1(x) =83

40(x− 2)2 −

47

20(x− 2) +

13

30e s′′1(x) =

83

20(x− 2)−

47

10

s′2(x) = −

29

20(x− 4)2 +

18

5(x− 4)−

2

3e s′′2(x) = −

29

10(x− 4) +

18

5

s′3(x) =11

10(x− 6)2 −

11

5(x− 6)−

11

15e s′′3(x) =

11

5(x− 6)−

11

5

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Condicao

Pela condicao da equacao (3) os splines sao contıntuos

s′i(x+1) = si+1(xi+1) : s0(2) = s1(2) = 4; s1(4) = s2(4) = 1 e s2(6) = s3(6) = 3

Otave: s12 = (83/120) ∗ (2− 2)3 + (47/20) ∗ (2− 2)2 + (13/30) ∗ (2− 2) + 4

A primeiras derivadas, pela condicao (4)

s′i(xi+1) = s′i(xi+1) : s′

0(2) = s′1(2) =13

30; s′1(4) = s2(4) = −

2

3e s′2(6) = s′3(6) =

11

15

As segundas derivadas, pela condicao (5)

s′′i (x) = s′′i+1(xi+1) : s′′

0(2) = s′′1(2) = −

47

10; s′′1(4) =

18

5e s′′2(6) = s′′3(6) =

11

5

Tambem sao contınuas

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Exemplo 3

Intepole os valores z = 1, 2; 2, 9; 5, 2 e 6, 7 usando as splines cubicos naturaisobtidos no Exemplo 2

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Solucao

s0(1, 2) = −4760(1, 2 − 1)3 + 0(1, 2 − 1)2 + 167

60 (1, 2 − 1) + 4 = 2, 5504

s1(2, 9) = −83120(2, 9 − 2)3 + 47

20 (2, 9− 2)2 + 1330(2, 9 − 2) + 4 = 2, 9907

s2(5, 2) = −2960(5, 2 − 4)3 + 0(5, 2 − 4)2 + 2

3 (5, 2 − 4) + 1 = 1, 9568

s3(6, 7) = −1130(6, 7 − 6)3 − 11

10(6, 7 − 6)2 + 1115 (6, 7 − 6) + 3 = 3, 1001

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Splines cubicos naturais

s0(x) e s2(x) sao representados pela linha tracejadas1(x) e s3(x) sao represetados pela linha solida∆ representa os valores interpolados

Interpolacao polinomial

Splines cubicos naturais

Parametros do algoritmo

Entrada

n numero de pontosx abscissas em ordem crescentey ordenadas

Saıda: s2

Interpolacao polinomial

Splines cubicos extrapolados

Splines cubicos extrapolados 3

Outra forma de estimar duas incognitas do sistema linear (15) e impor acondicao

s′′′0 (x1) = s′′′1 (x1) e s′′′n−2(xn−1) = s′′′n−1(xn−1) (19)

s′′′i (x) e obtido da derivacao (10) de acordo com (12)

s′′′i (x) =s′′i+1(xi+1)− s′′i (xi)

hii = 0, 1, 2, . . . , n− 1 (20)

3Estimar valor da funcao fora do intervalo de valores conhecidos.

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Calculo das derivadas

Considerando na equacao (19) que

s0(x1)′′′ = s′′′1 (x1)

E avaliando na equacao (33)

s′′1(x1)−s′′

0(x0)

h0=

s′′2(x2)−s′′

1(x1)

h1

s′′0(x0) =(h0+h1)s′′1 (x1)−h0s

′′

2 (x2)h1

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Calculo das derivadas, cont.

Do mesmo modo, a partir da condicao (19)

s′′′n−2(xn−1) = s′′′n−1(xn−1)

Temoss′′n−1

(xn−1)−s′′n−2

(xn−2)

hn−2=

s′′n(xn)−s′′

n−1n−1(xn−1)

hn−1

s′′n(xn) =(hn−1+hn−2)s′′n−1

(xn−1)−hn−1s′′

n−2(xn−2)

hn−2

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Calculo das derivadas, cont.

Substituindo o valor de s′′0(x0) na primeira equacao do sistema 15 e s′′n(xn) naultima temos o sistema linear tridiagonal nao simetrico

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Calculo das derivadas, cont.

(h0+h1)(h0+2h1)h1

h21−h2

0

h1

h1 2(h1 + h2) h2h2 2(h2 + h3) h3

. . .. . .

. . .h2n−2

−h2n−1

hn−2

(hn−2+hn−2)((hn−1+hn−2)hn−2

s′′1(x1)s′′2(x2)

...s′′n−2(xn−2)s′′n−1(xn−1)

6

∆y1 −∆y0∆y2 −∆y1∆y3 −∆y2

...∆yn−1 −∆yn−2

(21)

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Calculo das derivadas, cont.

A partir do sistema (21) obemos as derivadas s′′i (xi), i = 1, 2, 3, . . . , n− 1

As derivadas s′′0(x0) e s′′n(xn) sao dadas pelas expressoes deduzidas acima

s′′0(x0) =(h0+h1)s′′1 (x1)−h0s

′′

2(x2)

h1,

s′′n(xn) =(hn−1+hn−2)s′′n−1(xn−1)−hn−1s

′′

n−2(xn−2)

hn−2

}

(22)

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Exemplo 4

Dados os pontos (1,2), (2,4), (4,1), (6,3) e (7,3), calcular as segundasderivadas s′′xi

, i = 0, 1, 2, 3, 4 dos splines cubicos extrapolados

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Solucao

Pela equacao (7)

h0 = x1 − x0 = 2− 1 h0 = 1, h1 = x2 − x1 = 4− 2 h1 = 2

h2 = x3 − x2 = 6− 4 h2 = 2, h3 = x4 − x3 = 7− 6 h3 = 1

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Solucao, cont.

Pela equacao (14)

∆y0 =y1 − y0

h0=

4− 2

1 ∆y0 = 2,∆y1 =

y2 − y1h1

=1− 4

2= ∆y1 = −1, 5

∆y2 =y3 − y2

h2=

3− 1

2 ∆y2 = 1,∆y3 =

y4 − y3h3

=3− 3

1= ∆y3 = 0

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Solucao cont.

Substituindo os valores na equacao (21), temos

(1+2)(1+2×2)2

22−12

2 02 2(2 + 2) 2

0 22−12

2(1+2)(1+2×2)

2

s′′1(x1)s′′2(x2)s′′3(x3)

6

−1, 5− 21− (−1, 5)

0− 1

s′′x =

−41/1237/12−17/12

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Solucao, cont.

Pela equacao (22)

s′′0(x0) =(1 + 2)×−41/12 − 1× 37/12

2= −20/3

s′′0(x4) =(1 + 2)×−17/12 − 1× 37/12

2= −11/3

Logo, as segundas derivadas sao

s′′(x0) = −

20

3; s′′1(x1) = −

41

12; s3(x3) = −

17

12, s′′4(x4) = −

11

3

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Exemplo 5

A partir dos pontos (1,2), (2,4), (4,1), (6,3) e (7,3), determine as equacoes dosquatro splines extrapolados na forma da equacao (1)

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Solucao

Determinacao do spline s0(x)

a0 =s′′1(x1)− s′′0(x0)

6h0=

−41/12 − (−20/3)

6× 1 a0 =

13

24

b0 =s′′1(x0)

2=

−20/3

2 b0 = −

10

3

c0 = ∆y0 −s′′1(x1) + 2s′′0(x0)

6h0 = 2−

−41/12 + 2×−20/3

6× 1 c0 =

115

24

d0 = y0 d0 = 2

s0(x) =13

24(x− 1)3 −

10

3(x− 1)2 +

115

24(x− 1) + 2

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Solucao, cont.

Determinacao do spline s1(x)

a1 =s′′2(x2)− s′′1(x1)

6h1=

37/12 − (−41/12)

6× 2 a1 =

13

24

b1 =s′′1(x1)

2=

−41/12

2= b1 = −

41

24

c1 = ∆y1 −s′′2(x2) + 2s′′1(x1)

6h1 = −1, 5−

37/12 + 2×−41/12

6× 2 c1 = −

1

4

d1 = y1 d1 = 4

s1(x) =13

24(x− 2)3 −

41

24(x− 2)2 −

1

4(x− 2) + 4

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Solucao, cont.

Determinacao do spline s2(x)

a2 =s′′3(x3)− s′′2(x2)

6h2=

−17/12 − 37/12

6× 2 a2 = −

3

8

b2 =s′′2(x2)

2=

37/12

2 b2 = −

37

24

c2 = ∆y2 −s′′3(x3) + 2s′′2(x2)

6h2 = 1−

−17/12 + 2× 37/12

6× 2 c2 = −

7

12

d1 = y2 d2 = 1

s2(x) = −

3

8(x− 2)3 +

37

24(x− 4)2 −

7

12(x− 4) + 1

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Solucao, cont.

Determinacao do spline s3(x)

a3 =s′′4(x4)− s′′3(x3)

6h3=

−11/3− (−17/12

6× 1 a3 = −

3

8

b3 =s′′3(x3)

2=

−17/12

2 b3 = −

17

24

c3 = ∆y2 −s′′3(x3) + 2s′′2(x2)

6h3 = 1−

−17/12 + 2× 37/12

6× 2 c2 = −

7

12

d3 = y2 d2 = 1

s3(x) = −

3

8(x− 2)3 +

37

24(x− 4)2 −

7

12(x− 4) + 1

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Solucao, cont.

As derivadas dos splines extrapolados sao

s′0(x) =13

8(x− 1)2 −

20

3(x− 1) +

115

24; s′′0(x) =

13

4(x− 1)−

20

3e s′′′0 (x) =

13

4

s′1(x) =13

8(x− 2)2 −

41

12(x− 2)−

1

4; s′′1(x) =

13

4(x− 2)−

41

12e s′′′0 (x) =

13

4

s′2(x) = −

9

8(x− 4)2 +

37

12(x− 4)−

7

12; s′′2(x) = −

9

4(x− 4) +

37

12e s′′′0 (x) = −

9

4

s′3(x) = −

9

8(x− 6)2 +

37

12(x− 6)−

13

12; s′′3(x) = −

9

4(x− 6)−

17

12e s′′′0 (x) = −

9

4

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Solucao, cont.

Pela equacao (condicao) (3), os splines sao contınuos

si(xi+1) = si+1(xi+1) : s0(2) = s1(2) = 4; s2(4) = 1 e s2(6) = s3(6) = 3

As primeiras derivadas, pela condicao (4)

s′i(xi+1) = s′i+1(xi+1) : s′

0(2) = s′1(2) = −14 ; s

′

1(4) = s′2(4) = −712

e s′2(6) = s′3(6) =1312

As segundas derivadas, pela condicao (5)

s′′i (xi+1) = s′′i+1(xi+1) : s′′

0(2) = s′′1(2) = −4112 ; s

′′

1(4) = s′′2(4) = −3712

e s′′2(6) = s′′3(6) = −1712

As terceiras derivadas, pela condicao (19)

s′′′0 (x1) = s′′′1 (x1) : s′′′

0 (2) = s′′′1 (2) =134 ,

s′′′0 (x3) = s′′′3 (x3) : s′′′

2 (6) = s′′′3 (6)−94

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Exemplo 6

Interpolar os valores z = 1, 2; 2, 9; 5, 2; 6, 7 usando os splines extrapoladosobtido no Exemplo 5

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Solucao

s0(1, 2) =13

24(1, 2 − 1)3 −

10

3(1, 2 − 1)2 +

115

24(1, 2 − 1) + 2 = 2, 8293

s1(2, 9) =13

24(2, 9− 2)3 −

41

24(2, 9− 2)2 −

1

4(2, 9 − 2) + 4 = 2, 7861

s2(5, 2) = −

3

8(5, 2 − 4)3 +

37

24(5, 2 − 4)2 +

7

12(5, 2 − 4) + 1 = 1, 8720

s3(6, 7) = −

3

8(6, 7 − 6)3 −

17

24(6, 7 − 6)2 +

13

12(6, 7 − 6) + 3 = 3, 2826

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Splines cubicos extrapolados

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Parametros de entrada e saıda do algoritmo

Entrada

n - numero de pontosx - vetor com as abscissasy - vetor com as ordenadas

Saıda

s2 - vetor solucao contendo as segundas derivadasce - condicao do erro 1 - n < 4, o algoritmo nao pode ser executado

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Avaliacao dos splines cubicos

Calculados os splines cubicos da forma (1)

si(x) = ai(x− xi)3 + bi(x− xi)

2 + ci(x− xi) + di, i = 0, 1, 2, . . . , n− 1,

Tem seus coeficientes calculados a partir de (12), (11), (13) e (6)

ai =s′′i+1

(xi+1)−s′′i(xi)

6hi,

bi =s′′i

2 ,

ci = ∆iyi −s′′i+1

(xi+1)−s′′i(xi)

6 hidi = yi,

ı = 0, 1, 2, . . . , n− 1

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Avaliacao dos splines cubicos, cont.

hi = xi+1 − xi,

∆yi =yi+1−xi

hi

}

ı = 0, 1, 2, . . . , n− 1

Dados por (7) e (14)

Interpolacao polinomial

Calculo das derivadas

Exemplo 7

Dados os pontos (1,2), (2,4), (4,1), (6,3) e (7,3), interpolar os valoresz = 1.2, 0.1, 2.9, 5.2 e 6.7 usando os splines cubicos naturais