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Jorge Augusto 28/09/2020Capitalização Composta
Fundamentos da Matemática Financeira 2Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização Composta.➢ Juros compostos.➢ Valor presente e valor futuro na capitalização
composta.➢ Taxa de juros e prazo na capitalização composta.➢ Taxa nominal e taxa efetiva.
Plano de Aula
Fundamentos da Matemática Financeira 3Prof. Jorge Augusto Costa
Objetivos
➢ Conhecer as fórmulas de juros compostos, ovalor presente e valor futuro na capitalizaçãocomposta, a taxa de juros e prazo nacapitalização composta e Taxa nominal e taxaefetiva.
Fundamentos da Matemática Financeira 4Prof. Jorge Augusto Costa
Atividade – Capitalização Composta
1. Qual o juro pago no caso do empréstimo de $2.000,00 à taxa dejuros compostos de 2% ao mês pelo prazo de 10 meses?
Fundamentos da Matemática Financeira 5Prof. Jorge Augusto Costa
Juros compostos.
Fundamentos da Matemática Financeira 6Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização Composta
Juros Compostos - O Efeito dos Juros Sobre Juros
Fundamentos da Matemática Financeira 7Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização CompostaJuros Compostos - O Efeito dos Juros Sobre Juros
Fundamentos da Matemática Financeira 8Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização CompostaJuros Compostos - Diferenças entre os Regimes de Capitalização
Características semelhantes entre os dois regimes
(capitalização simples e capitalização composta)➢ O montante é a soma do capital e juros: M = C + J;
➢ Os juros são calculados ao final de cada período de capitalização, instante em que são pagos, recebidos ou integrados ao capital;
➢ Os períodos são definidos e, portanto, descontínuos e finitos (ano, mês, dia etc.).
Diferenças entre os dois regimes
(capitalização simples e capitalização composta)➢ A principal está na velocidade de crescimento dos juros.
Fundamentos da Matemática Financeira 9Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização CompostaJuros Compostos -Capitalização das Taxas de Juros
JUROS
SIMPLES
JUROS
COMPOSTOS
Taxa anual
Taxa mensal 1,8333% 1,6709%
Mês
1 1,83% 1,67%
2 3,67% 3,37%
3 5,50% 5,10%
4 7,33% 6,85%
5 9,17% 8,64%
6 11,00% 10,45%
7 12,83% 12,30%
8 14,67% 14,18%
9 16,50% 16,08%
10 18,33% 18,02%
11 20,17% 20,00%
12 22,00% 22,00%
13 23,83% 24,04%
14 25,67% 26,11%
15 27,50% 28,22%
16 29,33% 30,36%
17 31,17% 32,54%
18 33,00% 34,75%
22,00%
Taxas acumuladas
Fundamentos da Matemática Financeira 10Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização CompostaJuros Compostos - Capitalização das Taxas de Juros - Gráfico
Fundamentos da Matemática Financeira 11Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização CompostaJuros Compostos - Fórmulas Básicas de Juros CompostosMontante, capital acumulado ou valor futuroEquação 4.1
Com base nessa equação, podemos deduzir outras equações de regime de juros compostos:
Capital, principal, valor atual ou valor presenteEquação 4.2
Taxa de jurosEquação 4.3
Prazo, número de dias, meses, anosEquação 4.4
Fundamentos da Matemática Financeira 12Prof. Jorge Augusto Costa
Valor presente e valor
futuro na
capitalização
composta.
Fundamentos da Matemática Financeira 13Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização CompostaValor Presente e Valor Futuro na Capitalização CompostaValor Futuro ou Montante a Juros CompostosOs juros são calculados ao final de cada período de capitalização, instante em que são pagos, recebidos ou integrados ao capital.
Exemplo: Um investidor aplica R$ 10.000,00 em um CDB (certificado dedepósito bancário), à taxa de juros compostos de 1% a.m., peloprazo de 8 meses. Quanto ele resgatará no vencimento?
VF = VP (1 + i)n
VF = 10.000 (1 + 0,01)8
VF = 10.000 1,082857VF = R$ 10.828,57
Fundamentos da Matemática Financeira 14Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização CompostaValor Presente e Valor Futuro na Capitalização CompostaValor Presente ou Atual a Juros CompostosExemplo: Tem-se um título no valor de R$ 1.061,21 para resgatar daqui a
três meses e a taxa de juros da operação financeira é de 2% a.m.Qual é o seu valor presente?
VP = R$ 1.061,21 / (1 + 0,02)3
VP = R$ 1.061,21 / 1,061208VP = R$ 1.000,00
Jorge Augusto 29/09/2020Capitalização Composta
Fundamentos da Matemática Financeira 16Prof. Jorge Augusto Costa
Taxa de juros e prazo
na capitalização
composta.
Fundamentos da Matemática Financeira 17Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização CompostaTaxa de juros e prazo na capitalização composta.Fórmula da Taxa de JurosExemplo: Um valor de R$ 10.000,00 foi aplicado durante três anos e
resgatado pelo montante de R$ 13.310,00. Qual foi a taxa dejuros em período anual?
i = (13.310/10.000)1/3-1i = (1,331)0,333333-1i = 0,1=10% a.a.
Fundamentos da Matemática Financeira 18Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização CompostaTaxa de juros e prazo na capitalização composta.Fórmula do PrazoExemplo: Em quantos meses uma aplicação de R$ 1.000,00 produzirá um
montante de R$ 1.500,00 com taxa de juros compostos de 2%a.m.?
n = 20,47 meses ou n = 20 meses e 14 dias
ou
Fundamentos da Matemática Financeira 19Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização CompostaTaxa de juros e prazo na capitalização composta.Taxas Equivalentes a Juros CompostosExemplo: Qual é a rentabilidade mensal de uma aplicação financeira com
taxa de juros compostos de 14% a.a.?
Fundamentos da Matemática Financeira 20Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização CompostaTaxa de juros e prazo na capitalização composta.Períodos Não InteirosConvenção linear
A convenção linear é pouco utilizada nas operações financeiras.
Convenção exponencial
É a convenção utilizada no dia a dia do mercado financeiro brasileiro.
Fundamentos da Matemática Financeira 21Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização CompostaTaxa de juros e prazo na capitalização composta.Períodos Não InteirosExemplo de Convenção exponencial:
Aplicação pelo prazo de oito meses, à taxa de juros compostos de 10% a.a.
ief = (1 + 0,1)0 + 8/12 − 1
ief = 1,10,666667 − 1 = 0,0656 = 6,56%
Fundamentos da Matemática Financeira 22Prof. Jorge Augusto Costa
Taxa nominal e taxa
efetiva.
Fundamentos da Matemática Financeira 23Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização CompostaTaxa nominal e taxa efetiva.Conversão de Taxa Nominal e Taxa EfetivaExemplo: Dada uma taxa nominal de 24% a.a., encontre a taxa efetiva
capitalizada mensalmente durante um ano.
Fundamentos da Matemática Financeira 24Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização CompostaTaxa nominal e taxa efetiva.Conversão de Taxa Nominal e Taxa EfetivaExemplo: Qual é a taxa efetiva anual de uma taxa nominal de 12% a.a. com
capitalização mensal?
Fundamentos da Matemática Financeira 25Prof. Jorge Augusto Costa
Capitalização CompostaTaxa nominal e taxa efetiva.Conversão de Taxa Efetiva em Taxa Nominal
Aplicando a fórmula sobre os dados dos exemplo anteriores
Fundamentos da Matemática Financeira 26Prof. Jorge Augusto Costa
Prof. Jorge Augusto Costa
E-mail: jct.jac2705@gmail.com
Celular: 86 9.9851-5570 TIM WhatsApp e Telegram
Muito obrigado!
Até a próxima.
Fundamentos da Matemática Financeira Prof. Jorge Augusto Costa 27
Solução da AtividadeCapitalização Simples e
Composta
Fundamentos da Matemática Financeira 28Prof. Jorge Augusto Costa
Atividade – Capitalização Simples1. Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00 pelo prazo de 2 anos e à
taxa de 10% ao ano. Qual será o valor a ser pago como juro?
Solução
Capital inicial (C) = 1.000,00
Taxa de juros (i) = 10%
Número de períodos (n) = 2 anos
Trabalhando com a taxa de juros na
forma unitária, teremos o juro do primeiro ano como sendo:
J1 = 1.000,00 x 10/100 x 1 = 100,00
No segundo ano, teremos:
J2 = 1.000,00 x 10/100 x 1 = 100,00
O juro total será a soma do juro devido no
primeiro ano ( J1 ) mais o juro devido no segundo ano ( J2 )
J = J1 + J2
J = 100,00 + 100,00 = 200,00
J = 200,00
Fundamentos da Matemática Financeira 29Prof. Jorge Augusto Costa
Atividade – Capitalização Simples2. Considerando os dados do exercício 1 acima calcule o montante, ou seja, qual é o
montante de um capital de $1.000,00 aplicado à taxa de 10%a.a., pelo prazo de 2 anos?
capital inicial (C) = 1.000,00
Taxa de juros (i) = 10%
Número de períodos (n) = 2 anos
E sendo:
M = C(1+in)
Substituindo os valores, temos:
M = 1000 ( 1 + 10/100 x 2)
M = 1000 ( 1 + 0,20)
M = 1.200,00
Fundamentos da Matemática Financeira 30Prof. Jorge Augusto Costa
Atividade – Capitalização Simples
SoluçãoTemos:I1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.I2 = 25% a.a. = 0,25 a.a.N1 = 3 mesesN2 = 12 mesesComo: i1 n1_____ = _____
I2 n2
Substituindo Os valores: 0,05 3______ = _____
0,25 12Notamos que não são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios (0,25 x 3) = 0,75 é igual ao produto dos extremos (0,05 x 12) = 0,6.Logo, as taxas não são proporcionais.
3. Verifique se as taxas de 5% ao trimestre e de 25% ao ano são proporcionais.
Fundamentos da Matemática Financeira 31Prof. Jorge Augusto Costa
Atividade – Capitalização Simples
SoluçãoTemos:I1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.I2 = 20% a.a. = 0,25 a.a.N1 = 3 mesesN2 = 12 mesesComo: i1 n1_____ = _____
I2 n2
Substituindo Os valores: 0,05 3______ = _____
0,20 12Notamos que não são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios (0,20 x 3) = 0,60 é igual ao produto dos extremos (0,05 x 12) = 0,60Logo, as taxas são proporcionais.
4. Verifique se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais.
Fundamentos da Matemática Financeira 32Prof. Jorge Augusto Costa
Atividade – Capitalização Simples5. Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $10.000,00. Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância a taxa de 5% ao mês, daqui a 3 meses?
Solução
Temos: M = C (1 + In)
Onde M + ?
C = 10.000,00
I = 0,05
n = 3 meses
Logo:
M = 10.000 (1 + 0,05 x 3 )
M = 10.000 (1,15)
M = 11.500,00
O valor futuro será de $11.500,00 daqui a 3 meses
Fundamentos da Matemática Financeira 33Prof. Jorge Augusto Costa
Atividade – Capitalização Composta1. Qual o juro pago no caso do empréstimo de $2.000,00 à taxa de juros compostos de 2% ao mês pelo prazo de 10 meses?
Solução
Dados:
C0 = 2.000
i = 2% a.m.
n = 10 meses
Temos:
Jn = C0 [(1 + i )n – 1]
Substituindo:
Jn = 2.000 [(1 +0.02 )10 – 1]
Jn = 2.000 [(1,02 )10 – 1]
Jn = 2.000 [(0.21899)]
Jn = 437,98
Fundamentos da Matemática Financeira 34Prof. Jorge Augusto Costa
Prof. Jorge Augusto Costa
E-mail: jct.jac2705@gmail.com
Celular: 86 9.9851-5570 TIM WhatsApp e Telegram
Muito obrigado!
Até a próxima.
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