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BETÃO ARMADO II
RICARDO NUNO FRANCISCO DO CARMO
2010
LAJES DE BETÃO ARMADO
Departamento de Engenharia Civil
2 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 3
Índice 1. Introdução 5
1.1. Classificação de lajes 5
2. Lajes aligeiradas de vigotas pré-esforçadas 9
2.1. Considerações gerais 10
2.2. Execução 12
2.3. Verificação da segurança 14
3. Lajes de betão armado (apoiadas em vigas) 26
3.1. Estado limite último de resistência à flexão e de resistência ao esforço
transverso 26
3.2. Estado limite de utilização de fendilhação e de deformação 29
3.2.1. Espessura da laje 30
3.3. Execução 33
3.3.1. Cofragem 33
3.3.2. Colocação das armaduras 34
3.3.3. Betonagem 35
3.4. Disposições relativas a armaduras em lajes 36
3.4.1. Recobrimento mínimo das armaduras em lajes 36
3.4.2. Armadura principal mínima e máxima 39
3.4.3. Espaçamento máximo e mínimo das armaduras 40
3.5. Armaduras em lajes 41
3.5.1. Armadura de distribuição das lajes armadas numa só direcção 41
3.5.2. Armadura de bordo livre 42
3.5.3. Armadura nos apoios, nos bordos simplesmente apoiados e em
apoios paralelos à direcção em que a laje é armada
43
3.5.4. Armadura de canto 47
3.6. Laje armada numa direcção 50
3.6.1. Representação dos apoios nas lajes 53
3.6.2. Flexão cilíndrica 53
3.6.3. Esforços nos casos mais correntes de lajes armadas numa direcção 56
3.6.4. Interrupção das armaduras 57
3.7. Laje armada em duas direcções 61
3.7.1. Teoria de comportamento elástico em lajes finas 63
3.7.2. Condições de apoio e tabelas 65
3.7.3. Elementos finitos 68
3.7.4. Teoria da plasticidade 69
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4 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
3.8. Lajes contínuas (painel de laje com painéis de lajes adjacentes) 78
3.8.1. Equilíbrio dos momentos negativos 80
3.8.2. Análise da região da laje com momentos negativos 82
3.8.3. Determinação dos momentos máximos negativos 87
3.8.4. Análise uma laje com uma laje adjacente em consola 93
3.8.5. Distribuição das armaduras, interrupção e dispensa das armaduras
longitudinais
95
3.9. Lajes com aberturas 100
3.10. Lajes sujeitas a forças concentradas 104
3.11. Lajes aligeiradas de betão armado 107
4. Lajes fungiformes 112
5. Referências bibliográficas
6. Exercícios propostos
119
121
Agradecimentos
Aproveito esta oportunidade para agradecer ao Eng. Paulo Maranha toda a disponibilidade e
simpatia que sempre revelou no debate de questões relacionadas com este trabalho. As
suas sugestões foram fundamentais para melhorar a qualidade deste documento.
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 5
LAJES DE BETÃO ARMADO
1. INTRODUÇÃO
No EC2 é referido o seguinte “Os elementos de uma estrutura são geralmente classificados
em função da sua natureza e função, como vigas, pilares, lajes, paredes, placas, arcos,
cascas, etc. Indicam-se regras para a análise dos elementos mais comuns e das estruturas
constituídas pela sua associação. Para edifícios, aplica-se o seguinte:
• Uma viga é um elemento cujo vão não é inferior a 3 vezes a altura total da sua
secção transversal. Caso contrário, deverá ser considerada como uma viga-parede.
• Uma laje é um elemento cuja dimensão mínima no seu plano não é inferior a 5 vezes
a sua espessura total.
• Um pilar é um elemento cuja secção tem uma altura que não excede 4 vezes a sua
largura e cujo comprimento é pelo menos 3 vezes a altura da secção. Caso contrário
deverá ser considerado como uma parede.”
O REBAP no art. 100 define que os elementos são considerados laminares quando a
largura excede 5 vezes a sua espessura.
Resumindo, as lajes são elementos laminares que têm uma dimensão (espessura) muito
inferior às restantes. As lajes são, por exemplo, elementos estruturais usados nos
pavimentos de edifícios.
Figura 1 – Lajes.
1.1. CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES Tipo de Apoio
• Lajes vigadas (apoiadas em vigas)
• Lajes fungiformes (apoiadas directamente em pilares)
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6 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
• Lajes em meio elástico (apoiadas numa superfície deformável –
ensoleiramentos)
Figura 2 – Fotografias de lajes vigadas e fungiformes.
Constituição
Monolíticas (só em betão armado)
• Maciças (com espessura constante ou de variação contínua)
• Aligeiradas
• Nervuradas
Mistas (constituídas por betão armado, em conjunto com outro material)
• Vigotas pré-esforçadas
• Perfis metálicos
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Figura 3 – Fotografias de lajes de betão armado e de lajes aligeiradas de vigotas pré-
esforçadas.
Modo de flexão dominante
• Lajes armadas numa direcção (comportamento predominantemente
unidireccional)
• Lajes armadas em duas direcções (comportamento bi-direccional)
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8 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Figura 4 – Lajes armadas numa direcção ou em duas direcções.
Modo de fabrico
• Betonadas “in situ”
• Pré-fabricadas: Totalmente (ex: lajes alveolares) ou parcialmente (ex: pré-
lajes)
Figura 5 – Fotografias de lajes de betão armado betonadas “in situ”.
Laje armada numa só direcção
Laje armada em duas direcções
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2. LAJES ALIGEIRADAS DE VIGOTAS PRÉ-ESFORÇADAS
Figura 6 – Lajes aligeiradas de vigotas pré-esforçadas.
As lajes de vigotas pré-esforçadas são pavimentos sujeitos a homologação.
Constituição:
• Vigota pré-esforçada;
• Bloco de aligeiramento (bloco cerâmico);
• Betão de compressão com malhasol (armadura de distribuição);
• Por vezes, existe um, ou mais, tarugos (nervura transversal).
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10 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Figura 7 – Exemplos de vigotas e tijoleiras da empresa Placfort.
Figura 8 – Revestimentos e paredes divisórias (empresa Placfort).
2.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS
• As lajes de vigotas funcionam sempre como lajes armadas numa direcção.
• Estas lajes são concebidas para cargas uniformemente distribuídas (não se
consideram abrangidas acções resultantes de cargas concentradas ou acções
dinâmicas (vibrações)).
o Deverá haver um cuidado especial para as acções resultantes do peso
próprio das paredes divisórias (reforçar a armadura de distribuição junto à
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 11
zona de aplicação da carga). Quando a parede divisória está disposta
paralelamente às vigotas, deverão ser aplicadas vigotas suplementares
nessa área.
• Estas lajes estão concebidas para resistir, essencialmente, a momentos flectores
positivos.
• O dimensionamento destas lajes é, muitas vezes, condicionado pela resistência ao
esforço transverso ou pela limitação da deformação máxima. Relativamente ao
esforço transverso, a resistência poderá ser aumentada maciçando uma faixa junto
aos apoios.
• Nos pavimentos em que se utiliza 2 vigotas a par podem existir maiores conflitos
com os estribos das vigas do que nos pavimentos com vigotas isoladas.
• No caso de dois pavimentos apoiados na mesma viga, com diferentes afastamentos
entre vigotas pode haver incompatibilidades com os estribos das vigas.
• Não é aconselhável a aplicação destas lajes para vãos grandes. Quando o vão é
superior a 8 m, estas lajes devem ser objecto de estudo específico (estes casos
ficam, normalmente, fora do âmbito de aplicação definido pelos documentos de
homologação).
• Antes da aplicação deste tipo de lajes deve ser estudado o respectivo documento de
homologação.
• Aspectos ainda a considerar na análise destes pavimentos: comportamento em caso
de incêndio, isolamento sonoro e isolamento térmico (Documento de Homologação –
LNEC, Catálogo da Novobra).
Figura 9 – Imagens de lajes aligeiradas de vigotas pré-esforçadas.
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2.2. EXECUÇÃO
1. Nivelamento dos apoios para assentamento das vigotas.
2. Preparar o escoramento das vigotas.
3. Colocar as vigotas (devem ser dispostas paralelamente entre si) e os blocos entre
vigotas. A entrega mínima das vigotas nos apoios é de 10 cm.
4. Preparar a cofragem para a zona dos maciçamentos em betão armado junto aos
apoios e tarugos.
• Tarugo é uma viga perpendicular às vigotas, cuja função é solidarizar as
vigotas umas com as outras.
• É necessário colocar tarugos quando os pavimentos têm vãos superiores a 4
m.
• Os tarugos devem estar espaçados cerca de 2 m.
• A largura mínima do tarugo é de 10 cm e deve ter, no mínimo, 2 varões
(colocados imediatamente acima das vigotas).
5. Colocação das armaduras: junto aos apoios quando previsto, nos tarugos quando
previsto e a armadura de distribuição.
6. Humedecer as vigotas, blocos e a cofragem.
7. Betonagem e espalhamento do betão.
8. Manutenção da humidade do betão em obra (Documento de Homologação – LNEC,
Catálogo da Novobra).
Figura 10 – Execução das lajes de vigotas pré-esforçadas.
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Figura 11 – Pormenores construtivos sobre lajes de vigotas pré-esforçadas.
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14 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
2.3. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA Estado Limite Último de resistência à flexão
Mrd ≥ Msd
Garantir que o Mrd (momento resistente do pavimento, tabelado pelo fabricante) é superior
ao Msd (momento máximo actuante resultante da combinação de acções mais desfavorável).
Estado Limite Último de resistência ao esforço transverso
Vrd ≥ Vsd
Garantir que o Vrd (esforço transverso resistente do pavimento, tabelado pelo fabricante) é
superior ao Vsd (esforço transverso máximo actuante resultante da combinação de acções
mais desfavorável).
Estado Limite de Utilização: estado limite de fendilhação
Mfctk ≥ MELS
Garantir que o Mfctk (momento correspondente à formação de fendas) é superior ao MELS
(momento máximo actuante resultante da combinação frequente ou rara). Para um ambiente
pouco agressivo ou moderadamente agressivo usar a combinação frequente. Para um
ambiente muito agressivo usar a combinação rara.
Salienta-se que a norma NP EN 206-1 já está em vigor e nesta norma são definidas novas
classes de exposição (consultar o Quadro 1 da respectiva norma). Dado que os documentos
de homologação para estes pavimentos ainda fazem referência aos diferentes tipos de
ambiente definidos no REBAP, verifica-se que o projectista para realizar os cálculos
necessários à verificação da segurança deve estabelecer uma correspondência entre as
novas classes de exposição e os ambientes definidos no REBAP.
Combinação rara: acções permanentes (valor médio, Gm) + acção variável base (valor
característico, Qk) + restantes acções variáveis (valor frequente, Ψ1.Qk).
Combinação frequente: acções permanentes (valor médio, Gm) + acção variável base (valor
frequente, Ψ1.Qk) + restantes acções variáveis (valor quase permanente, Ψ2.Qk).
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Estado Limite de Utilização: estado limite de deformação
δcalc < δmáx
Garantir que a flecha máxima do pavimento (a longo prazo) é inferior à flecha máxima
admissível.
• Segundo o REBAP (art.º 72): δmáx = L/400 (casos correntes) ou 1,5 cm (se afectar
outros elementos da construção).
A flecha é determinada para a combinação frequente de acções.
• Segundo o EC2 (secção 7.4.1): δmáx = L/250 (casos correntes) ou δmáx = L/500 (se for
susceptível de danificar outros elementos da construção)
A flecha é determinada para a combinação quase permanente de acções.
Cálculo da flecha máxima de um pavimento aligeirado para uma determinada carga:
Flecha a longo prazo (considerar a fluência do betão):
A flecha a longo prazo pode ser obtida multiplicando a flecha instantânea por um factor que
tem em consideração as cargas permanentes e variáveis, e a fluência do betão. Em geral
pode considerar-se o coeficiente de fluência, ϕ, igual a 2.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
ϕ+δ=δ
∑∞sqsg
sg0 MM
.M1.
δ∞ - flecha a longo prazo
δ0 - flecha instantânea
Msg - momento actuante devido às cargas permanentes
Msg + ΣMsq - momento actuante devido à combinação frequente de acções
Flecha instantânea
O comportamento estrutural do pavimento aligeirado com as vigotas apoiadas nas vigas
aproxima-se do de uma viga simplesmente apoiada. Salienta-se que o grau de
encastramento da ligação entre o pavimento e a viga é praticamente nulo. Todavia, esse
grau de encastramento poderá ser aumentado definindo uma zona maciça com uma
determinada largura junto aos apoios. Nestas situações será, também, necessário colocar
armaduras superiores para resistir aos momentos negativos considerados.
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16 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Figura 12 – Modelo estrutural para calcular os esforços em lajes aligeiradas de vigotas pré-
esforçadas.
Figura 13 – Diagrama de momentos de uma viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga
concentrada unitária.
O valor da flecha instantânea pode ser determinado pela integração da linha elástica ou pela
integração do diagrama de momentos da acção aplicada com o diagrama de momentos
resultante de uma carga unitária aplicada na secção onde se pretende determinar o
deslocamento vertical.
.EI.384L.p.52
2L
4L
8L.p
125
EI1dx.M.M
EI1 42
100 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛××××==δ ∫
Portanto, para determinar a flecha instantânea do pavimento é necessário conhecer o vão, o
carregamento, as dimensões do vão e a rigidez à flexão da laje (valor tabelado para cada
tipo de pavimento).
+
p.L /82
p kN/m
+
- -
p.L /(8 a 10)2
Diagrama de momentos flectores admitindo um ligeiro grau de encastramento nos apoios.
L
M1
+
1.L /4
L
1
M0
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 17
Exercício 1
Considere a planta estrutural de um edifício de habitação apresentada na Figura 14.
Acções: peso próprio da laje (como primeira estimativa pode considerar-se 3,5 kN/m2), peso
próprio das paredes divisórias (2,0 kN/m2), revestimento (1,5 kN/m2), sobrecarga (2,0 kN/m2,
Ψ1 = 0,3 e Ψ2 = 0,2).
Classe de exposição XC3, vamos admitir que corresponde a um ambiente moderadamente
agressivo (segundo o REBAP).
Escolha o pavimento aligeirado de vigotas pré-esforçadas que garanta a segurança em
relação aos Estados Limites Últimos e de Utilização.
Figura 14 – Planta estrutural do piso de habitação.
Resolução
• As vigotas ficam, normalmente, dispostas na direcção no menor vão.
• As lajes vão exercer uma acção uniformemente distribuída nas vigas.
• Neste cálculo vamos apenas considerar o pavimento com um vão de 5 m.
Determinar os esforços para a verificação os Estados Limites Últimos
Combinação para os ELU
p = 1,5.CP +1,5.SOB = 1,5x(3,5+1,5+2,0) + 1,5x2 = 13,5 kN/m/m
7.50
7.00
5,00
5.00
4,00
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18 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Msd,max = 42,2 kN.m
Vsd,max = 33,75 kN
Consultar as tabelas dos fabricantes de pavimentos aligeirados de vigotas pré-esforças e
escolher os pavimentos que verifiquem as seguintes condições:
Mrd ≥ Msd
Vrd ≥ Vsd
Atendendo aos aspectos económicos, deve-se escolher os pavimentos cujos esforços
resistentes não sejam muito superiores aos esforços actuantes.
Figura 15 – Modelo estrutural do pavimento e diagrama dos esforços actuantes.
Por exemplo:
1ª hipótese: VP4-22x12-17 (Mrd = 42,3 > Msd; Vrd = 34 > Vsd)
2ª hipótese: VP3-22x16-20 (Mrd = 46 > Msd; Vrd = 36,6 > Vsd; EI = 11588 kN.m2/m e Mfctk = 28
kN.m)
Estado Limite de Fendilhação (formação de fendas)
Como o ambiente é moderadamente agressivo, usar a combinação frequente de acções:
Gm + Ψ1.Qk + Ψ2.Qk = (3,5 +1,5 + 2,0) + 0,3x2 = 7,6 kN/m/m
MELS = 7,6x52/8 = 23,75 kN.m/m < Mfctk = 28 kN.m (verifica)
13,5 kN/m/m
M
+
p.L /8 = 42,2 kN.m2
5 m
33,75 kN
-33,75 kN
+
-
V
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Estado Limite de Deformação
Calcular a flecha instantânea para o carregamento resultante da combinação de acções
frequente: mm33,5m00533,011588384
56,75.EI.384
L.p.5 44
0 ==×
××==δ
Calcular a flecha a longo prazo:
400/Lmm15,1584,233,575,23
2875,211.33,5MM
.M1.
sqsg
sg0 >=×=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ×
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
ϕ+δ=δ
∑∞
Não verifica
L/400 = 5000/400 = 12,5 mm
Msg = 7x52/8 = 21,875 kN.m
Msg + ΣMsq = 23,75 kN.m (momento resultante da combinação frequente de acções)
Escolher um outro pavimento que verifique as condições anteriores mas com uma rigidez à
flexão (EI) maior para que a deformação seja menor.
Por exemplo, 3ª hipótese: VP3-34x20-24 (p.p = 3,23 kN/m2; Mrd = 43,3 > Msd; Vrd = 34,4 >
Vsd; EI = 15971 kN.m2/m e Mfctk = 28,8 kN.m > 23,75)
Só falta verificar o Estado Limite de Deformação
Flecha instantânea: mm87,3m00387,015971384
56,75.EI.384
L.p.5 44
0 ==×
××==δ
Flecha a longo prazo:
mm5,12mm1184,287,375,23
2875,211.87,3MM
.M1.
sqsg
sg0 <=×=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ×
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
ϕ+δ=δ
∑∞
O pavimento com a referência VP3-34x20-24 é uma solução válida.
L > 4 m, colocar um tarugo (nervura transversal de betão armado, perpendicular às vigotas)
• Armadura do tarugo (largura mínima 10 cm e no mínimo 2 varões)
• Para o pavimento com a referência VP3-34x20-24: As,dist (A400) = 119 m2/m
• As > 0,5.As,dist.L/2 = 0,5x1,19x5/2 = 1,4875 cm2 (2∅10), é a armadura a colocar no
tarugo.
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20 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
O peso próprio deste pavimento é 3,26 kN/m2 inferior ao valor 3,5 kN/ m2 considerado nos
cálculos. Se o peso próprio do pavimento escolhido fosse superior ao valor inicialmente
arbitrado, seria necessário verificar novamente a segurança mas considerando o valor real
do peso próprio do pavimento.
Exercício 2
Considere a planta estrutural de um edifício de habitação representada na figura seguinte.
A laje com 5 m de vão é aligeirada de vigotas pré-esforçadas (pavimento com a referência
VP3-34x20-24). A laje em consola é de betão armado.
Acções na laje de 5 m: peso próprio da laje (3,26 kN/m2), peso próprio das paredes
divisórias (2,0 kN/m2), revestimento (1,5 kN/m2), sobrecarga (2,0 kN/m2).
Acções na laje em consola: peso próprio da laje (5 kN/m2), revestimento (1,0 kN/m2),
sobrecarga (5,0 kN/m2 e 2,0 kN/m2).
Considere que a armadura longitudinal na consola é ∅12//0,15m, que o betão é classe B25
(C20/25) e o aço é A400NR.
Determine a distância a partir do apoio para o interior da laje aligeirada, até onde devem ser
prolongadas as armaduras superiores da laje em consola de modo a garantir a segurança
em relação ao ELU de resistência à flexão.
Determine o comprimento da zona a maciçar na zona adjacente à consola de modo a
garantir a segurança em relação ao ELU de resistência à flexão.
Figura 16 – Planta estrutural com a laje em consola.
5 m
1,5
m
Laje aligeirada de vigotas pré-esforçadas
Laje betão armado
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Resolução
As lajes aligeiradas de vigotas pré-esforçadas estão concebidas para resistir essencialmente
aos momentos positivos. Para estas lajes resistirem a momentos negativos é necessário
colocar armadura longitudinal superior e será também necessário que exista betão suficiente
na zona comprimida da laje. Para uma laje desenvolver um momento resistente é preciso
que exista um binário de forças internas.
Portanto, para responder à primeira questão é necessário calcular a zona da laje aligeirada
com momentos negativos. Atendendo ao caso apresentado, será razoável considerar que a
viga funciona como um apoio de continuidade e, portanto, não absorve o momento flector da
laje em consola. Assim, o momento da laje em consola é transmitido à laje adjacente, ou
seja, à laje aligeirada de vigota pré-esforçada. O cenário mais desfavorável para originar a
maior área de laje com momentos negativos é colocar a carga máxima na zona em consola
e a carga mínima na zona entre apoios.
Carregamento na consola:
p1 = 1,5.CP +1,5.SOB = 1,5x6 +1,5x5 = 16,5 kN/m2 (na faixa de 1 m adjacente ao limite sa
consola)
p2 = 1,5.CP +1,5.SOB = 1,5x6 +1,5x2 = 12 kN/m2
Carregamento entre apoios:
p3 = 1,0CP = 1x(3,26 + 1,5 + 2) = 6,76 kN/m2
Como estas acções têm um efeito favorável as cargas permanentes são multiplicadas por 1
e as acções variáveis não são consideradas.
Figura 17 – Carregamento mais desfavorável.
Cálculos auxiliares:
M = 16,5X1 +12X0,5X0,25 = 18 kN.m
1,5 m 5 m
6,76 kN/m
12 kN/m
16,5 kN/m
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22 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
R1 = (16,5x1x6 +12x0,5x5,25+6,76x5x5/2)/5 = 43 kN
V(x) = (43-22,5) -6,76x = 20,5 – 6,76x
M(x) = -6,76x2/2 + 20,5x - 18 = -3,38x2 + 20,5x - 18
M(x) = 0 ⇒ x = 5 ou x = 1,065 m
Figura 18 – Diagrama de momentos.
Considerando que:
• al (translação do diagrama de momentos) é igual a 1,5d (art. 106 do REBAP). Este
valor é o definido para as lajes de betão armado sem armadura de esforço
transverso. Adopta-se este valor também para as lajes aligeiradas de vigotas pré-
esforçadas porque não há informação mais rigorosa.
• lb,net (comprimento de amarração) assume o valor mínimo, neste caso 130,5 mm,
porque pretende-se interromper a armadura na secção onde M = 0, logo As,cal = 0, o
que daria lb,net = 0. Portanto, deve-se aplicar o maior dos seguintes valores: 10∅
(120 mm), 100 mm e 0,3lb (130,5 mm). Considerou-se um betão B25, um aço
A400NR e varões ∅12.
então a distância mínima a partir do apoio até onde devem ser prolongadas as armaduras
superiores é 1,065 + 1,5d + 0,1305 m.
A altura total da laje é 0,24 m, por isso d = 0,24 – 0,025 – 0,012/2 = 0,209 m
x’ = 1,065 + 1,5x0,209 + 0,1305 = 1,509 ≅ 1,51 m
Em relação à segunda questão, o documento de homologação das lajes de vigotas pré-
esforçadas refere que, quando há apoios de continuidade ou de encastramento devem
prever-se faixas maciças de betão armado para resistir aos momentos negativos. A largura
das faixas maciças assim como as armaduras a utilizar para resistir aos momentos
negativos deverão ser convenientemente dimensionadas.
-
+1,065 m
-18
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 23
No limite poderá considerar-se que a zona a maciçar é a toda a zona de momentos
negativos. No entanto, é possível diminuir este valor realizando um cálculo mais detalhado
onde se considera o betão das vigotas na região comprimida da laje.
A largura da vigota é 0,12 m e estão afastadas 0,46 m (entre eixos).
Se se admitir que o eixo neutro da laje na zona dos momentos negativos está na zona mais
larga da vigota, então poderá admitir-se que a largura de betão comprimido por metro é
0,12/0,46 = 0,261 m.
Figura 19 – Corte transversal das lajes aligeiradas do tipo VP2/VP4-34x20-23/25.
Figura 20 – Dimensões da secção transversal da vigota VP2 e VP3.
Agora determina-se o máximo momento resistente com esta largura de betão e com a
armadura longitudinal aplicada ∅12//0,15m (As = 7,53 cm2/m).
Sabe-se que Fs = Fc e Mrd = z.Fc
Admitindo que as armaduras estão em cedência (condição a verificar com base no valor das
extensões do aço) pode-se determinar a profundidade do eixo neutro necessária para
mobilizar toda a força de tracção.
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24 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
O betão utilizado no fabrico das vigotas tem normalmente uma resistência superior ao
utilizado nas estruturas correntes, por isso está-se do lado da segurança ao admitir que o
betão é da classe B25 (C20/25).
No cálculo abaixo considerou-se uma distribuição rectangular para as tensões de
compressão.
Equilíbrio das forças internas, ΣFx = 0
Fs = Fc ⇒ 7,53x10-4.348x103 = 0,8x.0,261.0,85.13,3x103 ⇒ x = 0,0553 m
x = 0,0553 m, significa que a zona comprimida não tem uma largura constante (ver
dimensões da secção transversal da vigota).
Poderá realizar-se uma estimativa abaixo do momento resistente real considerando que x é
igual a 0,042m. Assim, não se está a aproveitar o máximo de resistência das armaduras. A
vantagem desta hipótese é a maior facilidade em calcular a área comprimida e o braço das
forças internas.
Figura 21 – Forças internas numa secção de betão armado.
Fc = 0,8 x 0,042 x 0,261 x 0,85 x 13,3 x 103 = 99,1 kN (força máxima de compressão
considerando x igual a 0,042)
Nota: A máxima força de tracção possível, Fs = 7,53x10-4.348x103 = 262 kN, é muito superior
à força de compressão. Isto reforça a ideia de que a estimativa indicada abaixo para o
momento resistente é inferior ao momento resistente real.
z = d – 0.4x = 0,209 – 0,4 x 0,042 = 0,1922 m
Mrd = z.Fc = 0,1922 x 99,1 = 19 kN.m
Como o momento máximo negativo aplicado é 18 kN.m e a estimativa do momento
resistente é 19 kN.m, significa que o betão das vigotas consegue suportar uma força de
compressão suficiente para resistir ao momento aplicado (ELU). Portanto, não será
necessário maciçar a laje aligeirada junto ao apoio. Uma das razões para este resultado é o
As
e.n.M
0,8x
0.85fcd
Fs
Fc
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 25
facto da laje aligeirada ter uma espessura relativamente alta, consequentemente o braço
das forças internas, z, é também elevado (quando maior o z menores serão as forças
internas para um mesmo momento).
Admitir que a estrutura e as acções são iguais (incluindo a armadura longitudinal), excepto a
dimensão da consola que tem agora 2 metros.
Cálculos auxiliares:
M = 16,5X1,5 +12X1X0,5 = 30,75 kN.m
R1 = (16,5x1x6,5 +12x1x5,5+6,76x5x5/2)/5 = 51,55 kN
V(x) = (51,55-28,5) -6,76x = 23,05 – 6,76x
M(x) = -6,76x2/2 + 23,05x – 30,75 = -3,38x2 + 23,05x – 30,75
Figura 22 – Carregamento mais desfavorável e diagrama de momentos (2º cenário).
Neste caso verifica-se que o betão das vigotas não é suficiente para resistir ao momento
aplicado (ELU) -30,75 kN.m. Para momentos superiores a 19 kN.m (estimativa do momento
resistente) é necessário colocar mais betão na zona de compressão.
Para determinar a largura da faixa a maciçar utiliza-se a equação de momentos.
M(x) = -3,38x2 + 23,05x – 30,75 = - 19 ⇒ -3,38x2 + 23,05x -11,75 = 0 ⇒ x = 6,26 ou x = 0,55
O primeiro valor não tem significado físico.
Ao valor de 0,55 m deve-se adicionar o valor al (translação do diagrama de momentos) igual
a 1,5d, à semelhança do procedimento para utilizado na interrupção das armaduras
longitudinais.
Assim, deve-se maciçar uma faixa com uma largura mínima de 0,55 + 0,314 = 0,864 m.
-30,75
6,76 kN/m
1 m 5 m
12 kN/m
16,5 kN/m
-
+
1 m
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26 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
3. LAJES DE BETÃO ARMADO (APOIADAS EM VIGAS) Constituição: betão e aço (armaduras)
A laje deverá resistir aos esforços actuantes resultantes dos carregamentos
correspondentes aos cenários mais desfavoráveis. Nas lajes apoiadas em vigas os esforços
predominantes são, os momentos flectores e o esforço transverso. O dimensionamento da
laje está também condicionado pelo seu comportamento nas condições de serviço
(deformação e fendilhação) e pela segurança contra incêndios.
3.1. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO E DE RESISTÊNCIA AO ESFORÇO
TRANSVERSO
Mecanismo de resistência à flexão
Nas lajes o mecanismo de resistência à flexão é semelhante ao das vigas. O momento
resistente numa secção resulta da existência de 2 forças (uma de tracção e outra de
compressão) e da existência de uma determinada distância entre as forças (braço interno
das forças).
Figura 23 – Resistência à flexão (Válter Lúcio).
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 27
REBAP EC2
Figura 24 – Equilíbrio de forças internas para a situação de estado limite último de
resistência à flexão.
No cálculo do momento flector resistente ao estado limite último pode considerar-se,
simplificadamente, um diagrama rectangular para a distribuição das tensões no betão na
zona comprimida. No REBAP a tensão considerar nesse diagrama é 0,85fcd e no EC2 a
tensão a considerar é ηfcd, sendo η igual a 1 para fck ≤ 50 MPa e η igual a 1 – (fck – 50)/200
para 50 < fck ≤ 90 MPa.
Numa laje as armaduras de flexão são calculadas por metro de largura (b = 1 m) e
considerando a altura útil da laje. Recomenda-se que o momento reduzido μ seja inferior a
0,20.
Mecanismo de resistência ao esforço transverso
Figura 25 – Mecanismo de resistência ao esforço transverso (F.Leonhardt e E. Monning).
d
As
e.n.M
0,8x
0,85.fcd
Fs
Fc
As
d
η fcd
Fs
λx
εs
x
εcu3
Fc Ac
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28 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Figura 26 – Mecanismo de resistência ao esforço transverso (F.Leonhardt e E. Monning;
Carla Marchão e Júlio Appleton).
Em geral, adopta-se uma espessura para as lajes de modo a não ser necessário armadura
de esforço transverso. Nas lajes sem armadura de esforço transverso a carga é transmitida
aos apoios pelo efeito de arco e consolas. Nas lajes o arco atirantado é muito “achatado” o
que origina um aumento significativo da força no banzo traccionado. Assim, recomenda-se
um cuidado especial na amarração das armaduras traccionadas. Na sequência deste
raciocínio, os regulamentos recomendam o seguinte:
• Nas lajes sem armadura de esforço transverso a translação do diagrama de
momentos flectores deve ser al = 1,5d (art.º 106 do REBAP).
No EC2 al = 1,0d (Secção 9.3.1.1 (4), remete para 9.2.1.3, remete para 6.2.2 (5)).
• Devido à força de tracção que existe junto aos apoios, resultante do efeito de arco, é
necessário prolongar pelo menos ½ da armadura máxima existente a meio vão até
aos apoios, tanto para apoios com liberdade de rotação como para apoios de
encastramento ou de continuidade (art.º 106 do REBAP; Secção 9.3.1.2 do EC2).
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 29
3.2. ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO DE FENDILHAÇÃO E DE DEFORMAÇÃO
Figura 27 – Fotografias de fendas e deformações em elementos de betão armado.
Podem ser tomadas medidas que dispensem a verificação explícita do Estado Limite de
Fendilhação e de Deformação. A fendilhação e a deformação devem ser limitadas de modo
a não prejudicar o funcionamento correcto ou a durabilidade da estrutura, nem a tornar o
seu aspecto inaceitável.
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30 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
REBAP EC2
• De acordo com o REBAP a verificação do
estado limite de deformação considera-se
satisfeita se se cumprir o disposto no art.º
102. Este artigo impõe uma espessura
mínima para a laje em função do vão, das
condições de apoio e do tipo de aço.
• De acordo com o REBAP a verificação do
estado limite de fendilhação (largura de
fendas) considera-se satisfeita se se
cumprir as disposições impostas no art.º
105. Este artigo impõe um espaçamento
máximo para as armaduras longitudinais.
• No EC2 a verificação do estado limite de
deformação pode ser garantida limitando
a relação vão/altura (L/d) de acordo com
a Secção 7.4.2 ou comparando o valor da
flecha máxima com um valor limite, de
acordo com a Secção 7.4.3. (verificação
explícita).
• No EC2 a verificação do estado limite de
fendilhação pode ser garantida limitando
o diâmetro e o espaçamento dos varões,
de acordo com a Secção 7.3.3 ou
comparando a largura máxima da fenda
com um valor limite, de acordo com a
Secção 7.3.4 (verificação explícita).
• No EC2, Secção 7.3.3. (1) (Controlo da
fendilhação sem cálculo directo), é ainda
referido que no caso de lajes de betão
armado ou pré-esforçado de edifícios,
solicitadas à flexão sem tracção axial
significativa, não são necessárias
medidas específicas para controlar a
fendilhação quando a espessura total da
laje não é superior a 200 mm e se tenha
respeitado o disposto em 9.3
(espaçamento máximo dos varões,
armaduras junto aos apoios, armadura de
canto, percentagem mínima de
armadura).
3.2.1. Espessura da laje
Pré-dimensionamento de lajes: determinação prévia da espessura da laje.
Não se deve esquecer que a determinação da solução final é, normalmente, precedida de
um processo iterativo. Como primeira aproximação pode-se utilizar as seguintes
expressões:
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 31
Laje armada numa direcção – h = L/(30 a 35)
Laje armada nas 2 direcções – h = L/(35 a 40)
L é o vão da laje.
A experiência demonstra que, nas situações correntes (sobrecarga < 5 kN/m3), os valores
da seguinte ordem de grandeza conduzem a resultados adequados:
• Vão até 2.5 m ⇒ h = 10 cm;
• Vão de 2.5 a 4 m ⇒ h = 12 cm;
• Vão de 4 a 6 m ⇒ h = 15 cm.
REBAP EC2
• O REBAP no art.º 102 apresenta uma
expressão para a altura mínima da
laje: η
≥.30
lh i .
• No entanto, recomenda-se a aplicação
da seguinte expressão: η
≥.21
lh i
O REBAP no art. 102 impõe valores
mínimos para a espessura das lajes
maciças:
5 cm, lajes de terraços não acessíveis;
7 cm, lajes submetidas principalmente
a cargas distribuídas;
10 cm, lajes submetidas a cargas
concentradas importantes;
12 cm, lajes submetidas a cargas
concentradas muito importantes;
15 cm, lajes apoiadas directamente
nos pilares.
• O EC2 na Secção 9.3.2 (1) refere que uma
laje com armadura de esforço transverso
deverá ter uma espessura pelo menos igual
a 200 mm.
• Para verificar o Estado Limite de
Deformação sem efectuar um cálculo
explícito das flechas, o EC2 na Secção
7.4.2. (2) apresenta valores limite para a
relação L/d, dados pelas seguintes
expressões:
se ρ ≤ ρ0
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
ρρ
+ρ
ρ+=
23
0ck
0ck 1f2,3f5,111K
dL
se ρ > ρ0
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ρρ
+ρ−ρ
ρ+=
0ck
0ck
'f121
'f5,111K
dL
Em relação às expressões do EC2 informa-se que:
L/d valor limite da relação vão/altura;
K coeficiente que tem em conta os diferentes sistemas estruturais;
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32 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
ρ0 taxa de armaduras de referência = 3ck 10f −× ;
ρ taxa de armaduras de tracção necessária a meio vão para equilibrar o
momento devido às acções de cálculo (no apoio no caso de uma consola);
ρ´ taxa de armaduras de compressão necessária a meio vão para equilibrar o
momento devido às acções de cálculo (no apoio no caso de uma consola);
fck em MPa.
Quadro 7.4N do EC2 - Valores básicos da relação vão/altura útil para elementos de betão
armado sem esforço normal de compressão.
Sistema estrutural K Betão fortemente solicitadoρ = 1,5%
Betão levemente solicitado ρ = 0,5%
Viga simplesmente apoiada, laje simplesmente apoiada armada numa ou em duas direcções Vão extremo de uma viga contínua ou de uma laje contínua armada numa direcção ou de uma laje armada em duas direcções contínua ao longo do lado maior Vão interior de uma viga ou de uma laje armada numa ou em duas direcções Laje sem vigas apoiada sobre pilares (laje fungiforme) (em relação ao maior vão) Consola
1,0
1,3
1,5
1,2
0,4
14
18
20
17 6
20
26
30
24
8 Nota 1: Em geral, os valores indicados são conservativos, podendo frequentemente o cálculo revelar que é possível utilizar elementos mais esbeltos. Nota 2: Para lajes armadas em duas direcções, a verificação deverá ser efectuada em relação ao menor vão. Para lajes fungiformes deverá considerar-se o maior vão. Nota 3: Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem para a flecha a meio vão a uma limitação menos exigente do que a de vão/250. A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios.
Os valores de L/d determinados pelas expressões referidas acima deverão ser corrigidos
quando a tensão no aço na secção crítica é diferente de 310 MPa, em vigas com a secção
em T com com uma relação entre a largura do banzo e a largura da alma superior a 3, no
caso de vigas e de lajes (com excepção de lajes fungiformes) com vãos superiores a 7 m e
ainda no caso de lajes fungiformes em que o vão maior é superior a 8,5 m e que suportam
divisórias que possam ser danificadas por flechas excessivas (ver Secção 7.4.2 do EC2).
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 33
3.3. EXECUÇÃO 3.3.1. Cofragem
Requisitos da cofragem:
• Resistir às acções durante a construção (com reduzida deformação);
• Ser suficientemente rígida para que a deformação seja muito reduzida e assim
garantir a geometria definida (dentro das tolerâncias admissíveis);
• Manter a integridade do elemento estrutural;
• Garantir que a superfície do betão tem a qualidade pretendida;
• Ser estanque;
• Não reagir de forma prejudicial com o betão e armaduras;
• Permitir a fácil descofragem sem introduzir danos na estrutura.
Figura 28 – Cofragem para lajes.
Departamento de Engenharia Civil
34 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
3.3.2. Colocação das armaduras
Figura 29 – Espaçadores (algumas imagens são de J.D’Arga e Lima Vol. I).
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 35
3.3.3. Betonagem
O betão deve ser colocado e compactado de modo a assegurar que todas as armaduras e
elementos a integrar no betão ficam adequadamente embebidos de acordo com o
recobrimento definido (considerar também as tolerâncias definidas e permitidas). Deverão
ser considerados os seguintes aspectos durante a betonagem:
• Minimizar a segregação;
• Descarregar o betão na vertical, a baixa altura;
• Começar a betonagem pelas zonas mais baixas quando existe inclinação
significativa da cofragem;
• Utilizar tubagens para colocar o betão
• Vibração/compactação. Pode ser manual, com vibrador, vibração da cofragem (para
peças de pequena espessura) ou com mesas vibrantes (pré-fabricação).
Após a vibração não devem continuar a aparecer bolhas de ar à superfície.
Aplicar a vibração por cada camada não superior a 50 cm de espessura.
Em secções muito espessas a recompactação da camada superficial é
recomendada.
Figura 30 – Betonagem de uma laje. Figura 31 – Betonagem do 1º tramo
viaduto lado Benguela.
O betão nas idades jovens deve ser objecto de cura e protecção para:
• minimizar a retracção plástica;
• assegurar uma resistência superficial adequada;
• assegurar uma durabilidade adequada na zona superficial;
• assegurar resistência à congelação;
• proteger contra vibrações prejudiciais, impacto ou danos.
Departamento de Engenharia Civil
36 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Os seguintes métodos de cura são admissíveis separadamente ou em sequência:
• Manter a cofragem;
• Cobrir a superfície de betão com uma membrana impermeável;
• Colocação de coberturas húmidas.
3.4. DISPOSIÇÕES RELATIVAS A ARMADURAS EM LAJES 3.4.1. Recobrimento mínimo das armaduras em lajes O recobrimento mínimo das armaduras deve assegurar:
• transmissão eficaz das forças de aderência;
• protecção do aço contra a corrosão (durabilidade);
• uma adequada resistência ao fogo (ver EN 1992-1-2).
REBAP EC2
Art.º 78
• Depende do ambiente onde está a
estrutura de betão armado e da classe
do betão.
• Para elementos laminares os valores
indicados podem ser diminuídos de 0,5
cm. Por exemplo, numa laje num
ambiente modera/ agressivo e um betão
de classe inferior a B30 o recobrimento
mínimo é 2,5 cm.
• O recobrimento não deve ser inferior a
1,5 cm nem inferior ao Ø das armaduras
(ou diâmetro equivalente se houver
agrupamento).
Secção 4.4.1
• O recobrimento depende de vários
factores: classe estrutural, classe de
exposição, da resistência betão e do
controlo de qualidade da produção do
betão.
• O recobrimento nas lajes pode ser
reduzido 0,5 cm em relação ao valor
estipulado para os pilares e vigas
(excepto na classe de exposição X0,
considerando que a classe estrutural é
S4, edifícios correntes).
• O recobrimento nominal deve ser
especificado nos desenhos e é definido
como um recobrimento mínimo, cmin (ver
4.4.1.2), mais uma margem de cálculo
para as tolerâncias de execução, Δcdev
(ver 4.4.1.3):
cnom = cmin + Δcdev
cmin = max {cmin,b; cmin,dur + ∆cdur,γ - ∆cdur,st -
∆cdur,add; 10 mm}
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 37
Em relação ao EC2 informa-se que:
Para o cálculo do recobrimento nominal, cnom, deverá majorar-se, ao nível do projecto, o
recobrimento mínimo para ter em conta as tolerâncias de execução (Δcdev).
Nota: O valor de Δcdev a utilizar num determinado país é dado no respectivo Anexo
Nacional. O valor recomendado é 10 mm.
cmin,b - recobrimento mínimo para os requisitos de aderência, ver 4.4.1.2 (3)
Quadro 4.2 do EC2: Recobrimento mínimo, cmin,b, requisitos relativos à aderência.
Requisito de aderência
Disposição dos varões Recobrimento mínimo cmin,b*
Isolados Diâmetro do varão
Agrupados Diâmetro equivalente (φn)(ver 8.9.1)
* Se a máxima dimensão do agregado for superior a 32 mm, cmin,b deve ser aumentado de 5 mm.
∆cdur,γ - margem de segurança, ver 4.4.1.2 (6)
Nota: O valor de Δcdur,γ a utilizar num determinado país é dado no respectivo Anexo
Nacional. O valor recomendado é 0 mm.
∆cdur,st - redução do recobrimento mínimo no caso de utilização de aço inoxidável, ver
4.4.1.2 (7).
Nota: O valor de Δcdur,st a utilizar num determinado país é dado no respectivo Anexo
Nacional. O valor recomendado, na ausência de outras especificações, é 0 mm.
∆cdur,add redução do recobrimento mínimo no caso de protecção adicional, ver 4.4.1.2 (8)
Nota: O valor de Δcdur,add a utilizar num determinado país é dado no respectivo Anexo
Nacional. O valor recomendado, na ausência de outras especificações, é 0 mm.
cmin,dur - recobrimento mínimo relativo às condições ambientais, ver 4.4.1.2 (5)
O valor do recobrimento mínimo das armaduras para betão armado tem em conta as
classes de exposição e as classes estruturais, é dado por cmin,dur.
A classificação estrutural e os valores de cmin,dur a utilizar num determinado país são dados
no respectivo Anexo Nacional. A Classe Estrutural recomendada para edifícios e outras
estruturas comuns (tempo de vida útil de projecto de 50 anos) é S4, as modificações
recomendadas da Classe Estrutural são dadas no Quadro 4.3N. A Classe Estrutural mínima
recomendada é S1. Na NP EN 206-1, DNA 5.3.1 está definido o quadro seguinte e é referido que a vida útil das
obras é especificada em 5 categorias (ver EN 1990).
Departamento de Engenharia Civil
38 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Categorias de vida útil
Vida útil das obras Exemplos
Categoria Anos
1 10 Estruturas temporárias
2 10 a 25 Partes estruturais substituíveis, por exemplo, apoios
3 15 a 30 Estruturas para a agricultura e semelhantes
4 50 Edifícios e outras estruturas comuns
5 100
Edifícios monumentais, pontes e outras estruturas de engenharia civil. Nesta
categoria pode ainda incluir-se estruturas de edifícios altos ou obras de
relevante importância económica e social, como hospitais e teatros.
Quadro 4.4N do EC2: Valores do recobrimento mínimo, cmin,dur, requisitos relativos à
durabilidade das armaduras para betão armado, de acordo com a EN 10080.
Requisito ambiental para cmin,dur (mm)
Classe
Estrutural
Classe de Exposição de acordo com o Quadro 4.1
X0 XC1 XC2 / XC3 XC4 XD1 / XS1 XD2 / XS2 XD3 / XS3
S1 10 10 10 15 20 25 30
S2 10 10 15 20 25 30 35
S3 10 10 20 25 30 35 40
S4 10 15 25 30 35 40 45
S5 15 20 30 35 40 45 50
S6 20 25 35 40 45 50 55
Quadro 4.3N do EC2: Classificação estrutural recomendada.
Classe Estrutural
Critério Classe de Exposição de acordo com o Quadro 4.1
X0 XC1 XC2 / XC3 XC4 XD1 XD2 / XS1 XD3 / XS2 /
XS3
Tempo de vida útil de projecto de 100 anos
aumentar de 2
classes
aumentar de 2
classes
aumentar de 2
classes
aumentar de 2
classes
aumentar de 2
classes
aumentar de 2
classes
aumentar de 2
classes
Classe de Resistência 1) 2)
≥ C30/37
reduzir de 1 classe
≥ C30/37
reduzir de 1 classe
≥ C35/45
reduzir de 1 classe
≥ C40/50
reduzir de 1 classe
≥ C40/50
reduzir de 1 classe
≥ C40/50
reduzir de 1 classe
≥ C45/55
reduzir de 1 classe
Elemento com geometria de laje
(posição das armaduras não afectada pelo
processo construtivo)
reduzir de 1 classe
reduzir de 1 classe
reduzir de 1 classe
reduzir de 1 classe
reduzir de 1 classe
reduzir de 1 classe
reduzir de 1 classe
Garantia especial de controlo da qualidade da produção do betão
reduzir de 1 classe
reduzir de 1 classe
reduzir de 1 classe
reduzir de 1 classe
reduzir de 1 classe
reduzir de 1 classe
reduzir de 1 classe
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 39
Notas ao Quadro 4.3N 1. Considera-se que a classe de resistência e a razão água-cimento estão relacionadas. Poderá considerar-se uma composição especial (tipo de cimento, razão água-cimento, enchimento de finos) a fim de obter uma baixa permeabilidade. 2. O limite pode ser reduzido de uma classe de resistência se a introdução de ar for superior a 4%.
Resumindo: cnom = cmin + Δcdev = cmin = max {cmin,b; cmin,dur + 0 - 0 - 0; 10 mm} + 10 mm
Para determinar os esforços resistentes é necessário estimar a altura útil:
d = h – recobrimento (cnom) – Ølong/2 – Øest (se existir armadura transversal)
3.4.2. Armadura principal mínima e máxima
Verificar se a área As determinada pelo cálculo na verificação da segurança ao estado limite
ultimo de resistência à flexão é superior à área mínima e inferior à área máxima
estabelecida pelos regulamentos.
REBAP EC2
Art.º 104
• O art. 104 (armadura principal mínima
em lajes) remete para o art. 90
(armadura principal mínima em vigas);
• Nas lajes armadas nas 2 direcções este
requisito aplica-se nas 2 direcções;
• A percentagem mínima de armadura é
definida pela seguinte expressão:
Sendo ρ = 0,25 (A235); ρ = 0,15 (A400);
ρ = 0,12 (A500).
• No REBAP não há nenhuma referência
explícita à percentagem máxima de
armadura principal em lajes. No entanto,
salienta-se que existe um limite máximo
para a armadura longitudinal em vigas,
0,04Ac. Este aspecto é relevante pois,
como se referiu acima, a armadura
mínima em lajes é remetida para o limite
imposto às vigas.
Secção 9.3.1.1 (1)
• Para as percentagens mínima e máxima
de armaduras na direcção principal, aplica-
se o disposto em 9.2.1.1 (1) e (3).
• A área da armadura longitudinal de
tracção não deve ser inferior a As,min:
Ver também a Secção 7.3
relativamente à área de armadura
longitudinal de tracção para controlo
da fendilhação;
O valor de As,min a utilizar num
determinado país é dado no
respectivo Anexo Nacional. O valor
recomendado é dado pela seguinte
expressão:
As,min = dbff
tyk
ctm26,0
mas não inferior a 0,0013btd
100xd.b
A s=ρ
Departamento de Engenharia Civil
40 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
• Em complemento da Nota 2 de 9.2.1.1
(1), para lajes em que o risco de rotura
frágil é reduzido, As,min pode ser
considerado igual a 1,2 vezes a área
exigida para a verificação do estado
limite último de resistência à flexão.
• A área das secções, quer da armadura de
tracção quer da armadura de compressão,
não deve ser superior a As,max, excluindo
as zonas de sobreposição. O valor de
As,max a utilizar num determinado país é
dado no respectivo Anexo Nacional. O
valor recomendado é 0,04Ac.
Em relação ao EC2 informa-se que:
bt representa a largura média da zona traccionada. No caso de uma viga em T com
os banzos comprimidos, deverá considerar-se apenas a largura da alma no cálculo
do valor de bt.
fctm deve ser determinado relativamente à classe de resistência aplicável, de acordo
com o Quadro 3.1. do EC2.
3.4.3. Espaçamento máximo e mínimo das armaduras
Espaçamento máximo dos varões da armadura principal e de distribuição.
REBAP EC2
Art.º 105
O espaçamento máximo dos varões da
armadura principal não deve ser superior ao
mínimo de:
1,5.h (altura da laje);
35 cm;
Valores duplos do indicado para as
vigas – ver Quadro XIV. Depende do
ambiente onde está a laje de betão
armado e da classe do aço.
Secção 9.3.1.1 (3)
O espaçamento dos varões não deve ser
superior a smax,slabs. O valor de smax,slabs a
utilizar num determinado país é dado no
respectivo Anexo Nacional.
Os valores recomendados são:
para as armaduras principais, 3h ≤ 400
mm, em que h representa a espessura
total da laje;
para as armaduras de distribuição, 3,5h ≤
450 mm .
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 41
Espaçamento máximo das armaduras de
distribuição é de 35 cm e está referido no
art. 108.
Nos casos correntes de vigas e lajes
considera-se que a verificação da segurança
em relação ao Estado Limite de Largura de
Fendas está garantido quando são
satisfeitas as disposições dos artigos 91º e
105º.
Em zonas com cargas concentradas ou nas
zonas de momento máximo, essas
disposições passam a ser, respectivamente:
para as armaduras principais, 2h ≤ 250
mm;
para as armaduras de distribuição, 3h ≤
400 mm.
Convém salientar novamente que no EC2 a
verificação do Estado Limite de Fendilhação
pode ser garantida limitando o diâmetro e o
espaçamento dos varões, de acordo com a
Secção 7.3.3.
Quadro 7.3N do EC2: Espaçamento máximo dos varões para controlo da fendilhação1.
Tensão no aço
[MPa]
Espaçamento máximo dos varões [mm]
wk=0,4 mm wk=0,3 mm wk=0,2 mm
160 300 300 200
200 300 250 150
240 250 200 100
280 200 150 50
320 150 100 -
360 100 50 - 1 Os valores indicados no quadro baseiam-se nas seguintes hipóteses: c = 25mm; fct,eff = 2,9MPa; hcr = 0,5; (h-d) = 0,1h; k1 = 0,8; k2 = 0,5; kc = 0,4; k = 1,0; kt = 0,4 e k’ = 1,0
A tensão na armadura deve ser calculada considerando a secção fendilhada para a
combinação de acções relevante. Nos elementos de betão armado e elementos de betão
pré-esforçado com armaduras não aderentes, a combinação de acções a considerar é a
combinação quase permanente (ver Quadro 7.1N do EC2).
Distância livre entre varões
As armaduras devem estar suficientemente afastadas para permitir que a betonagem ocorra
em boas condições. Esse afastamento deve também ser suficiente para assegurar que
existe uma boa aderência dos varões ao betão envolvente.
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 41
REBAP EC2
Art.º 77
A distância mínima entre varões não deve
ser inferior ao maior de:
2 cm;
Ømaior (maior diâmetro dos varões
em causa);
Øeq (diâmetro equivalente do
agrupamento de armaduras).
Secção 8.2 (2)
A distância livre (horizontal e vertical) entre
varões paralelos ou entre camadas
horizontais de varões paralelos não deverá
ser inferior ao maior dos valores seguintes:
k1 vezes o diâmetro do varão;
(dg + k2 mm), em que dg é a dimensão
máxima do agregado, ou 20 mm.
Nota: Os valores de k1 e k2 a utilizar num
determinado país poderão ser dados no
respectivo Anexo Nacional. Os valores
recomendados são 1 e 5 mm,
respectivamente.
3.5. ARMADURAS EM LAJES
3.5.1. Armadura de distribuição das lajes armadas numa só direcção
REBAP EC2
Art.º 108
• Na face oposta à da aplicação das
cargas deve ser disposta uma armadura
transversalmente ao vão. Nas consolas
colocar essa armadura também na
direcção do vão.
• Na face de aplicação das cargas, caso
exista armadura principal, deve dispor-se
armadura de distribuição
transversalmente à armadura principal.
• As,dist = 0,20.As,principal (área da armadura
adoptada).
• Espaçamento máximo da armadura de
distribuição é de 35 cm (já referido
acima).
Secção 9.3.1.1 (2)
• Nas lajes armadas numa só direcção,
deverão utilizar-se armaduras transversais
de distribuição correspondentes a pelo
menos 20% da armadura principal. Nas
zonas junto de apoios, não é necessária
armadura transversal aos varões
superiores principais no caso em que não
exista momento flector transversal.
• O espaçamento máximo destas
armaduras está referido acima.
Departamento de Engenharia Civil
42 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Disposição das armaduras:
As armaduras principais devem ser colocadas de modo a funcionarem com o maior braço
interno.
Figura 32 – Disposição das armaduras (Carla Marchão e Júlio Appleton).
3.5.2. Armadura de bordo livre
REBAP EC2
Art.º 109
• Colocar 2 varões em cada aresta;
• Colocar uma armadura transversal ao
bordo num comprimento superior a 2.h
(espessura da laje);
• As,transversal (cm2/m) ≥ 0,05d (A235) e
≥ 0,025d (A400 e A500), d em cm;
• Espaçamento máximo desta armadura
transversal é de 35 cm;
• Para estas armaduras de bordo podem
ser tidas em conta as outras armaduras
existentes na laje.
Secção 9.3.1.4
Ao longo de um bordo livre (não apoiado), a
laje deve, normalmente, ter armaduras
longitudinais e transversais em geral
dispostas como se indica na figura abaixo. As
armaduras correntes utilizadas na laje podem
desempenhar a função de armaduras de
bordo livre.
Figura 33 – Armaduras de bordo livre numa laje (EC2).
≥ 2h
h
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 43
3.5.3. Armadura nos apoios, nos bordos simplesmente apoiados e em apoios paralelos à direcção em que a laje é armada
Figura 34 – Rotação livre das lajes.
Quando no cálculo de esforços da laje se admite que o apoio da laje na viga é simplesmente
apoiada (no cenário em que não há lajes adjacentes), verifica-se, na realidade, que aquele
apoio não se comporta como foi idealizado no cálculo, ou seja, não há uma rotação livre da
laje. Essa restrição à rotação no apoio existe porque há uma ligação entre a viga e a laje
(elementos betonados em simultâneo) e a viga tem certa rigidez à torção. Portanto, quando
a laje é solicitada haverá momentos negativos junto a esse apoio que não estão
contabilizados no modelo de cálculo. Assim, recomenda-se a colocação de armadura
superior junto a esses apoios para absorver a tensões de tracção existentes na face
superior da laje e, consequentemente, controlar a fendilhação.
Segundo alguns engenheiros, a área da armadura no apoio ( −apoio,sA ) deve ser igual à
armadura longitudinal mínima ou igual à armadura de distribuição, com um mínimo de
∅6//0.20m.
Figura 35 – Armadura no bordo simplesmente apoiado (Carla Marchão e Júlio Appleton).
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44 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
REBAP EC2
Art.º 106
A armadura a prolongar até aos apoios (com
liberdade de rotação, de encastramento ou
de continuidade) deve ser pelo menos ½ da
armadura máxima de tracção existente no
vão.
Secção 9.3.1.2
Nas lajes simplesmente apoiadas, metade da
armadura calculada para o vão deve ser
prolongada até ao apoio e aí ser amarrada,
de acordo com 8.4.4.
Art.º 108.2
Quando existem apoios de encastramento
ou de continuidade paralelos à armadura
principal e não foram considerados no
cálculo, deve dispor-se sobre esses apoios
uma armadura transversal na face superior
adequada para resistir aos esforços aí
desenvolvidos.
Esta armadura deve ser colocada num
comprimento igual a ¼ do vão teórico.
Secção 9.3.1.2
No caso em que haja encastramento parcial
ao longo de um dos bordos da laje, não
considerado no cálculo, a armadura superior
deverá ser capaz de resistir a pelo menos
25% do momento máximo no vão adjacente.
Esta armadura deverá ter um comprimento de
pelo menos 0,2 vezes o vão adjacente,
medido a partir da face do apoio, ser
contínua nos apoios internos e amarrada
nos apoios extremos. Num apoio extremo, o
momento a resistir pode ser reduzido até
15% do momento máximo no vão adjacente.
O REBAP não indica nenhuma expressão para estimar os esforços desenvolvidos junto
desses apoios. Cada caso terá de ser estudado detalhadamente. Esses esforços vão
depender significativamente da rigidez do apoio, quanto maior for a rigidez do apoio maiores
serão os esforços. Para se ter uma noção da ordem de grandeza dos esforços aí
desenvolvidos, apresenta-se na Figura 36 a evolução dos momentos junto a um apoio
rígido. O momento negativo é aproximadamente igual ao máximo momento positivo na laje.
Portanto, de acordo com o EC2 a área da armadura superior nos apoios considerados
simplesmente apoiadas ( −apoio,sA ) deve ser suficiente para resistir a 0,15 ou 0,25 do +
vão,máxM
e ser superior à armadura longitudinal mínima. Segundo o EC2, esta armadura deve ser
aplicada num comprimento igual a 0,2L em vez de 0,25L referido anteriormente
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 45
Figura 36 - Variação dos momentos transversais junto ao apoio (não considerado no
cálculo) paralelo às armaduras principais (F.Leonhardt e E. Monning).
Abaixo apresenta-se uma comparação dos momentos numa laje com as dimensões
indicadas na Figura 37, onde se variou a rigidez do apoio paralelo à armadura principal.
Considerando a carga aplicada e as dimensões da laje, o momento máximo positivo é 93,75
kN.m
Figura 37 – Dimensões da laje armada numa só direcção com um apoio paralelo às
armaduras principais.
10 m 10 m
30 k
N/m
5 m
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46 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
1º caso: sem apoio paralelo às armaduras principais
Figura 38 – Deformada e momentos m22 (originam tensões normais na direcção y).
2º caso: apoio paralelo às armaduras principais muito rígido.
O momento máximo negativo na laje sobre o apoio é -83 kN.m.
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 47
Figura 39 – Deformada e momentos m11 e m22.
3º caso: apoio paralelo às armaduras principais é uma viga (apoio menos rígido)
O momento máximo negativo na laje sobre o apoio é -22 kN.m.
Figura 40 – Momentos m11 e m22 (apoio menos rígido).
3.5.4. Armadura de canto
REBAP EC2
Omisso Secção 9.3.1.3
Se as disposições construtivas num apoio
forem tais que o levantamento de um canto
da laje seja impedido, devem dispor-se
armaduras adequadas.
Quando uma laje está simplesmente apoiada em todo o contorno e for solicitada, os cantos
terão tendência a levantar. Normalmente, os cantos estão impedidos de ter deslocamentos
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48 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
verticais, consequentemente aparecem forças de reacção verticais nos cantos e momentos
torsores.
Figura 41 – Deformação de uma laje simplesmente apoiada no contorno (Carla Marchão e
Júlio Appleton).
O efeito originado por esta restrição corresponde ao aparecimento de momentos negativos
com um ângulo de 45º em relação ao bordo (tracção na face superior) e a momentos
positivos com um ângulo de 135º (tracção na face inferior). Estes efeitos podem originar
fendilhação no betão. Deste modo é conveniente colocar armaduras para controlar a
fendilhação. A solução mais prática será colocar armaduras paralelas e perpendiculares aos
bordos da laje (malha ortogonal) em ambas as faces da laje.
Figura 42 – Fendilhação na face superior e inferior da laje (Carla Marchão e Júlio Appleton).
Segundo F.Leonhardt e E. Monning, quando não for feita uma verificação mais rigorosa a
área da armadura de canto deve ser igual à maior armadura no vão (no caso de uma laje
armada nas 2 direcções e simplesmente apoiada em todo o contorno). Esta armadura deve
ser disposta numa área quadrada de lado igual a ¼ do menor vão.
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 49
Quando apenas um dos bordos é apoiado o momento torsor é menor, pelo que se pode
adoptar para armadura de canto metade da maior armadura no vão. Se ambos os apoios
forem encastrados não há momentos torsores.
Lajes armadas nas 2 direcções (admite-se que mx > my):
Figura 43 – Armadura de canto, lajes armadas em 2 direcçoes (Carla Marchão e Júlio
Appleton).
Apoio simplesmente apoiado - apoio simplesmente apoiado:
A armadura de canto deve ser colocada na face superior de acordo com a informação
referida acima. Salienta-se que nos bordos considerados simplesmente apoiados deve
haver uma armadura superior para controlar a fendilhação (ver Secção 3.5.3). Pode-se
aproveitar a existência desta armadura e colocar apenas um reforço, se necessário, de
modo a perfazer o valor Asx+ exigido (ver Figura 43).
Na face inferior da laje não é necessário colocar armadura específica para o efeito na
direcção x quando já existe armadura longitudinal nessa direcção e não se realizou uma
interrupção das armaduras. Na direcção y, uma vez que my < mx, poderá ser necessário
colocar um reforço na região do canto (1/4 do vão teórico).
Lajes armadas numa só direcção (Lx < Ly/2):
Nas lajes armadas numa só direcção a flexão é cilíndrica (deformada cilíndrica). Este
assunto será desenvolvido mais à frente. O momento torsor que aparece nas regiões dos
cantos é menor quando comparado com o das lajes armadas nas 2 direcções, pelo que
pode adoptar-se para armadura de canto metade da maior armadura no vão. Mais uma vez
Departamento de Engenharia Civil
50 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
pode-se aproveitar a existência de armadura na região (armadura principal, armadura de
distribuição e armadura superior nos apoios simplesmente apoiados) e colocar apenas um
reforço, se necessário, de modo a perfazer o valor Asx+/2 exigido (ver Figura 44).
Figura 44 – Armadura de canto, lajes armadas numa só direcção.
Figura 45 – Laje apoiada nos 4 bordos e os respectivos momentos torsores.
Os maiores momentos torsores aparecem junto aos cantos.
3.6. LAJE ARMADA NUMA DIRECÇÃO
Considera-se que as lajes devem ser armadas numa só direcção (ou funcionam
predominantemente numa direcção) quando:
• As condições de apoio estão apenas numa direcção
• A relação entre os vãos for superior a 2 (Lmaior/Lmenor ≥ 2)
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 51
REBAP EC2
Art.º 100
Em condições correntes é recomendado que
as lajes cujo vão maior não exceda duas
vezes o vão menor sejam armadas em duas
direcções.
Secção 5.3.1 (5)
Uma laje solicitada predominantemente por
cargas uniformemente distribuídas pode ser
considerada como resistente numa só
direcção nos seguintes casos:
ter dois bordos livres (não apoiados)
sensivelmente paralelos
corresponder à parte central de uma
laje sensivelmente rectangular apoiada
nos quatro bordos cuja relação entre o
vão maior e o vão menor é superior a
2.
Exemplos:
Laje 1 – armada na direcção do menor vão (se relação entre vãos for superior a 2).
Laje 1
Laje 2 – armada nas 2 direcções (se a relação entre vãos for inferior a 2)
Laje 2
simplesmente apoiada nos 4 bordos
q (kN/m)
bordo livre, encastrado e simplesmente apoiada nos outros 2 bordos
Departamento de Engenharia Civil
52 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Laje 3 e 4 armadas na direcção do maior vão devido às condições de apoio.
Lajes 3 e 4
Figura 46 – Exemplos de lajes armadas numa em duas direcções.
Quando é definido que a laje é armadura numa só direcção, coloca-se a armadura principal
nessa direcção (armadura longitudinal necessária para a secção resistir aos esforços
aplicados) e na direcção perpendicular coloca-se armadura de distribuição (As,dist =
0,20.As,principal). Quando é definido que a laje é armadura nas duas direcções, coloca-se
armadura principal nas duas direcções.
As armaduras secundárias têm a função de assegurar que o comportamento global da
estrutura é adequado: garantem a eficiência das armaduras principais, asseguram a ligação
entre partes dos elementos que tenham tendência a destacar-se e limitam a fendilhação.
2 bordos livres e simplesmente apoiada nos outros 2 bordos
2 bordos livres e encastrada nos outros 2 bordos
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 53
3.6.1. Representação dos apoios nas lajes
Figura 47 – Representação dos vários tipos de apoio em lajes.
3.6.2. Flexão cilíndrica
Figura 48 – Laje rectangular com apoios simples apenas nos bordos de maior dimensão.
Figura 49 – Laje rectangular com apoios simples nos 4 bordos.
Apoiado Encastrado Bordo livre
Departamento de Engenharia Civil
54 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Figura 50 – Laje rectangular com Lx >> Ly com apoios simples nos 4 bordos.
Uma laje está sujeita a flexão cilíndrica quando a curvatura é nula numa direcção (o
deslocamento vertical é constante ao longo dessa direcção ⇒ deformação cilíndrica), sendo
o seu comportamento, na direcção perpendicular, semelhante ao de uma viga com o mesmo
vão (ver Figuras 48 e 51). Quando uma laje tem uma das dimensões muito superior à outra,
verifica-se que a zona central da laje fica sujeita a uma flexão cilíndrica. Obviamente que
nas zonas junto aos apoios transversais (apoios paralelos ao vão teórico) há um efeito do
apoio (ver Figuras 49 e 50).
As lajes em flexão cilíndrica têm um momento flector na direcção perpendicular ao vão
teórico (admite-se que o vão teórico é na direcção xx). Assim, My = ν.Mx, ν é o coeficiente de
Poisson e assume valores compreendidos entre 0 (fendilhação extensa, valor razoável para
a análise aos Estados Limites Últimos) e 0,2 (fendilhação incipiente, valor razoável para a
análise aos Estados Limites Utilização).
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 55
Figura 51 – Flexão cilíndrica (A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida)
Figura 52 – Analogia do comportamento de uma laje com uma grelha (A. Gomes, Júlio
Appleton e João Almeida). O comportamento de uma laje em termos qualitativos pode ser compreendido pela analogia
com uma grelha. A viga na direcção do menor vão tem maior rigidez vertical e,
consequentemente, absorve maiores esforços. Observando a curvatura das duas vigas
perpendiculares, verifica-se que a curvatura da viga com menor comprimento é muito maior,
logo o momento aplicado nessa viga também vai ser maior (M = EI.1/r). Tendo em
consideração este raciocínio, compreende-se a razão que justifica que as lajes apoiadas nos
4 bordos e com uma relação entre vãos superior a 2 é armada apenas numa direcção.
Departamento de Engenharia Civil
56 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
3.6.3. Esforços nos casos mais correntes de lajes armadas numa direcção
Figura 53 – Esforços de estruturas correntes.
Os esforços numa laje armada numa só direcção podem ser determinados como os de uma
viga com o mesmo vão teórico. Normalmente, a análise realiza-se para uma secção
transversal com a largura igual a um metro e a altura igual à altura da laje, obviamente.
Assim, a área da armadura longitudinal resultante dos cálculos corresponde à área de aço
necessária para um metro de laje (em largura).
p kN/m
M
+
p.L /8 2
L
p.L/2
+
-
V
-p.L/2
p kN/m
M
-
- p.L /22
L
p.L
+
V
p kN/m
L
V
M
5p.L/8
-3p.L/8
-
2 - p.L /8
-
+
+
p kN/m
M
+
L
V
- p.L /122
-
- p.L /122
p.L/2
+
-
-p.L/2
p.L /24 2
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 57
3.6.4. Interrupção de armaduras
Figura 54 – Interrupção da armadura principal.
REBAP EC2
REBAP (art.º 106) • No caso de lajes, sem armadura de
esforço transverso, a translação al do
diagrama de forças a absorver pela
armadura deve ser igual a 1,5.d.
• Como já referido anteriormente, a
armadura inferior a prolongar até aos
apoios (com liberdade de rotação, de
encastramento ou de continuidade) deve
ser pelo menos ½ da armadura máxima
existente no vão.
Secção 9.3.1.1 (4) e 9.3.1.2
• Nas lajes aplicam-se igualmente as
regras indicadas para as vigas em 9.2.1.3
(1) a (3), 9.2.1.4 (1) a (3) e 9.2.1.5 (1) a
(2), mas com al = d.
• Como já referido anteriormente, nas lajes
simplesmente apoiadas, metade da
armadura calculada para o vão deve ser
prolongada até ao apoio e aí ser
amarrada, de acordo com 8.4.4.
Para realizar uma interrupção da armadura longitudinal é necessário conhecer a equação do
diagrama de momentos. Por exemplo, admitindo que o projectista pretende interromper
metade dos varões, a secção a partir da qual pode fazer a interrupção física dos varões é
dada por:
As,máx+0,5.
p kN/m
M
+
-
Amarração da armadura L b,net
al = 1,5.d ou 1.dNas lajes sem armarmadura deesforço transverso a translação al dever ser igual a 1,5.d (REBAP).Segundo o EC2 al deve ser igual a d.
-
As,máx+>
net,bllcd2
rddc
sydsss laxaxxf.bd.M
f.d.bf'.A
2/A'A ±±→±→→μ=→μ→=ω→=
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58 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
A - Envolvente de MEd/z + NEd B - força de tracção actuante Fs C - força de tracção resistente FRs ΔFtd – força de tracção adicional lbd – comprimento de amarração de cálculo
Figura 55 – Representação da interrupção da armadura longitudinal, tendo em conta a
envolvente da força de tracção actuante (EC2).
Exercício 3
Defina a espessura da laje abaixo indicada e as armaduras de modo a verificar a segurança
em relação aos estados limites últimos de resistência à flexão e de resistência ao esforço
transverso. Adopte as condições e disposições necessárias de modo a garantir a segurança
em relação ao estado limite de largura de fendas e de deformação. Pormenorize as
armaduras.
Dados
Materiais: aço A400NR e betão da classe B25 (C20/25)
Acções: peso próprio da laje, revestimento 1,3 kN/m2 e sobrecarga 2,0 kN/m2
Ambiente moderadamente agressivo
alΔFtd
al
A
B
C
lbd
lbd
lbd
lbd
lbd lbd
lbd
lbdΔFtd
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 59
Exercício 4
Defina a espessura da laje abaixo indicada e as armaduras de modo a verificar a segurança
em relação aos estados limites últimos de resistência à flexão e de resistência ao esforço
transverso. Adopte as condições e disposições necessárias de modo a garantir a segurança
em relação ao estado limite de largura de fendas e de deformação. Pormenorize as
armaduras.
Dados
Materiais: aço A400NR e betão da classe B25 (C20/25)
Acções: peso próprio da laje, revestimento 1,5 kN/m2, sobrecarga 5,0 kN/m2 na faixa de 1 m
adjacente ao limite superior e 2,0 kN/m2 nos restantes 0,5 m da laje.
Ambiente moderadamente agressivo
Exercício 5
Considere a escada representada na figura seguinte. Defina armaduras de modo a verificar
a segurança em relação ao estado limite último de resistência à flexão. Verifique a
segurança em relação ao estado limite último de resistência ao esforço transverso. Adopte
disposições necessárias de modo a garantir a segurança em relação ao estado limite de
largura de fendas. Pormenorize as armaduras.
10 m
4,15
m
10 m
1,5
m
Departamento de Engenharia Civil
60 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Dados
Espessura da laje: 0,20m
Materiais: aço A400NR e betão da classe B25 (C20/25)
Acções: peso próprio da laje, revestimento 1,0 kN/m2, sobrecarga 3,0 kN/m2.
Ambiente moderadamente agressivo
1,5 m 3,5 m 1,0 m
0,22 m
0,175 m
2,80
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 61
3.7. LAJE ARMADA EM DUAS DIRECÇÕES
As lajes serão armadas em duas direcções quando as condições de apoio o permitirem e
quando a relação entre os vãos for inferior a 2 (Lmaior/Lmenor < 2).
Figura 56 – Laje apoiada apenas em 2 bordos e os respectivos momentos flectores.
Figura 57 – Laje apoiada nos 4 bordos e os respectivos momentos flectores.
Departamento de Engenharia Civil
62 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Figura 58 – Laje encastrada apenas em 2 bordos e os respectivos momentos flectores.
Figura 59 – Laje encastrada nos 4 bordos e os respectivos momentos flectores.
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 63
Como se pode observar nas figuras acima, nas lajes com apoios nas 2 direcções e com uma
relação entre os vãos for inferior a 2 (Lmaior/Lmenor < 2), verifica-se que há esforços
significativos nas 2 direcções. Portanto, nestas lajes é necessário colocar armadura principal
nas 2 direcções de modo a garantir a verificação da segurança não só aos estados limites
últimos mas também aos estados limites de utilização.
Nestes casos a curvatura é significativa nas 2 direcções, deformação bidireccional o que
implica uma flexão bidireccional. Os momentos flectores produzem tensões normais de
tracção e de compressão, como existem momentos flectores nas 2 direcções, haverá
também tensões normais nas 2 direcções.
Figura 60 – Tensões normais originadas pelo momento flector (neste caso unidireccional),
(A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida).
Resumindo, dependendo das condições de apoio e das dimensões das lajes há,
normalmente, um efeito bidimensional das lajes, ou seja, as cargas são transmitidas para os
apoios nas 2 direcções. A questão que agora se coloca é, como determinar os esforços
nestas lajes.
3.7.1 Teoria de comportamento elástico em lajes finas
Este modelo tem por base as seguintes hipóteses simplificativas:
• Laje de pequena espessura (h < 1/10 da dimensão do vão; h – espessura da laje),
material homogéneo, isotrópico e de comportamento linear elástico. Deformação por
corte desprezável;
• Os deslocamentos são pequenos comparados com as dimensões da laje (ω < h/10);
• Hipótese de Kirchoff: as deformações do plano médio da laje são nulas;
• As fibras perpendiculares ao plano médio permanecem rectas e perpendiculares a
este após a deformação;
• Tensões normais ao plano da laje são pequenas e desprezáveis quando
comparadas com as tensões de flexão
Departamento de Engenharia Civil
64 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Com base nas hipóteses admitidas podem-se estabelecer várias relações: relação entre o
deslocamento de qualquer ponto e o deslocamento do plano médio da laje, relação entre as
extensões e os deslocamentos, relação entre as extensões e as tensões, relação entre as
tensões normais e os momentos, relação entre momentos e as deformações associadas.
Com base nas relações anteriores foi possível deduzir a seguinte equação diferencial de
equilíbrio:
Equação de Lagrange das lajes (deduzida em 1811):
Figura 61 – Equilíbrio de um elemento de laje (A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida). Onde:
• q – é o valor do carregamento perpendicular ao plano da laje;
• D – é a rigidez à flexão das lajes
• ω - deslocamento do plano médio da laje;
• A resolução da equação diferencial de Lagrange dá o valor de ω(x,y), ou seja, a
deformada da laje;
Dq
yyx2
x 4
4
22
4
4
4
−=∂
ω∂+
∂∂ω∂
+∂
ω∂
qym
yxm
2xm
2y
2xy
2
2x
2
−=∂
∂+
∂∂∂
+∂
∂
)1.(12h.ED 2
3
ν−=
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 65
Conhecido o campo de deslocamentos pode-se calcular o valor dos momentos e do esforço
transverso.
Para a resolver a equação de Lagrange é necessário conhecer as condições fronteira, por
exemplo: simplesmente apoiado ⇒ deslocamento nulo e momento nulo; encastramento ⇒
deslocamento e rotação nulas (ω = 0 e ω’ = 0). A resolução da equação de Lagrange é muito
complexa e saí fora do âmbito desta disciplina. Normalmente utilizam-se métodos numéricos
para a sua resolução.
Existem várias tabelas para o cálculo de esforços em lajes vigadas, para diferentes
condições de apoio e carregamentos, e para diferentes relações entre vãos (Tabelas de
Timoshenko, Bares, Montoya).
3.7.2. Condições de apoio e tabelas
Figura 62 – Exemplos de lajes que se encontram nas tabelas.
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66 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Uma das variáveis a definir para determinar os momentos flectores utilizando as tabelas, é o
valor do coeficiente de Poisson. Para uma análise aos estados limites últimos será
adequado considerar um valor reduzido, ou nulo, para o valor do coeficiente de Poisson
(fendilhação extensa).
O valor dos momentos flectores depende da relação entre vãos, da carga e das dimensões
da laje.
Salienta-se ainda que há tabelas que utilizam simbologias diferentes. Nas tabelas
representadas na figura anterior, o símbolo → representa a direcção das tensões normais
originadas pelos momentos. Há, no entanto, outras tabelas que utilizam o simbolo
que representa o momento flector, o que significa que as tensões normais são
perpendiculares à direcção do vector.
Na análise estrutural de um piso com lajes apoiadas em vigas é usual decompor-se o
pavimento em lajes isoladas. Portanto, nesta análise é importante simular, o mais
correctamente possível, as condições de apoio da laje. As lajes podem ter apoios pontuais
ou apoios se desenvolvem ao longo do bordo. Os apoios pontuais podem corresponder,
num modelo estrutural, a um pilar. Neste apoio pontual pode-se considerar apenas a
restrição ao deslocamento vertical e admitir que a restrição à rotação não é relevante.
Quanto às condições de apoio nos bordos pode considerar-se, genericamente, os seguintes
tipos de apoios: bordo livre, bordo simplesmente apoiado e bordo encastrado.
Uma questão que agora se coloca é, escolher o apoio mais adequado para o modelo
estrutural quando uma laje está apoiada numa viga. Será simplesmente apoiado ou
encastrado? Quando não há viga de apoio, não há dúvidas em considerar que esse
contorno é um bordo livre.
Quando a laje apoia-se numa viga e não há outra laje adjacente considera-se, usualmente,
que esse bordo é apoiado. Assume-se que a viga não tem rigidez à torção e apresenta uma
rigidez à flexão infinita. Estas simplificações para além de facilitarem muito a análise/cálculo
dos esforços, assentam no facto de que a viga corresponde a uma zona do pavimento onde
a rigidez à flexão é maior (e será tanto maior quanto maior for o EI da viga e menor for a
distância entre apoios). Por outro lado, devido à fendilhação do betão, as vigas têm uma
rigidez à torção muito reduzida. No REBAP está referido o seguinte: “Mesmo em fase não
fendilhada, o CEB sugere, para atender à não linearidade do comportamento do betão, que
se considere uma rigidez de torção de apenas cerca de 70% da rigidez elástica inicial e que
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 67
este valor se reduza a cerca de 25%, no caso de existir forte fendilhação devida à flexão, e
mesmo a cerca de 10%, quando haja fendilhação devida a torção ou a esforço transverso.”
Salienta-se ainda que, ao considerar no modelo estrutural das lajes que as vigas são
simuladas como um bordo simplesmente apoiado então não é necessário verificar a
segurança das vigas em relação ao estado limite último de resistência à torção.
Quando a viga serve de apoio a 2 lajes, a viga funciona como um apoio de continuidade.
Nesta situação não há rotação relativa entre as 2 lajes mas a rotação global da laje sobre o
apoio não está restringida. Simplificadamente, considera-se na análise estrutural do painel
de laje que esse bordo está encastrado. Esta simplificação será correcta quando as lajes
adjacentes à viga têm as mesmas dimensões e as mesmas condições de apoio (estrutura
simétrica, a rigidez das lajes adjacentes é igual). Nestes casos a rotação sobre o apoio é
nula. Se as lajes adjacentes têm condições de apoio e vãos diferentes, então a rotação da
laje sobre a viga é diferente de zero. Nestes casos os momentos no encastramento são
diferentes e será necessário realizar uma análise da distribuição de esforços de modo a
garantir que os momentos em ambos os lados do apoio de continuidade sejam iguais. Este
assunto será analisado mais adiante.
Figura 63 – Exemplo de uma estrutura simétrica sujeita a um carregamento simétrico.
Quando as estruturas são simétricas e estão sujeitas a um carregamento simétrico pode-se analisar apenas metade da estrutura e extrapolar os resultados para toda a estrutura. Nesta análise é necessário dar uma atenção especial ao pontos de simetria. Nos pontos de simetria deve-sesimular o comportamento da estrutura simétrica sujeita a um carregamento simétrico.
p kN/m
L L
p kN/m
L
p kN/m
L
Estrutura simétrica sujeita a um carregamento simétrico
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68 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Note-se que, ao considerar no modelo estrutural das lajes que as vigas são apoios de
continuidade (estes apoios não restringem a rotação da laje sobre o apoio) não há, também,
necessidade de verificar a segurança das vigas em relação ao estado limite último de
resistência à torção.
Figura 64 – Exemplo de um piso de um estrutura e as condições de apoio a considerar para
a análise isolada das lajes.
3.7.3. Elementos finitos As armaduras longitudinais a aplicar numa laje de modo a verificar a segurança em relação
ao estado limite último de resistência à flexão podem determinadas, de forma simplificada,
com base nas seguintes expressões:
Armadura superior: mx,rd- ≤ mxsd - ⏐mxysd⏐ e my,rd
- ≤ mysd - ⏐mxysd⏐
Armadura inferior: mx,rd+ ≥ mxsd + ⏐mxysd⏐ e my,rd
+ ≥ mysd + ⏐mxysd⏐
Abaixo apresentam-se os diagramas de momentos da laje (estrutura apresentada na Figura
64) determinados com base num programa de elementos finitos. A partir destes diagramas é
possível dimensionar as armaduras longitudinais a aplicar na laje.
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 69
Figura 65 – Deformada e diagrama de momentos m11, m22 e m12 da laje.
3.7.4. Teoria da plasticidade
Os elementos de betão armado têm um comportamento não linear quando sujeito a cargas
elevadas. Tanto o betão como o aço têm uma relação σ-ε não linear. Num ensaio de um
elemento de betão armado até à rotura verifica-se que numa primeira fase é a fendilhação
do betão que origina o comportamento não linear. Numa fase posterior, para cargas mais
elevadas, as armaduras podem atingir a tensão de cedência e existe também a influência da
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70 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
não linearidade da relação σ-ε do aço. Quando as armaduras atingem este nível de tensões
considera-se que se formou uma rótula plástica.
Figura 66 – Vista geral de um ensaio até à rotura de uma viga contínua.
1
4
5
1 Viga de ensaio
2
Perfil metálico para 3
4
5
Deflectómetros6
distribuição da carga
6 6
7 7 7
7
5 5
Demecs
Pórtico metálico
Cilindro hidraúlico
6 6
3
Apoio e célula de carga
LEGENDA
2
Figura 67 – Esquema do pórtico e do equipamento de ensaio.
Viga V1-0.7 Viga V1-1.4 Figura 68 – Diagrama de momentos registado experimentalmente e o previsto pela análise
linear elástica.
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Mom
ento
flec
tor (
kN.m
)
P total = 15,1
P total = 34,8
P total = 56,2
P total = 76,4
P total = 116,5
P total = 116,5(A.L.E)
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Mom
ento
flec
tor (
kN.m
)
P total = 15,7
P total = 64,7
P total = 84,7
P total = 110,6
P total = 133,3
P total = 133,3(A.L.E)
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 71
Figura 69 – Evolução dos momentos nas secções a
meio vão e na secção do apoio intermédio com a
carga aplicada.
Figura 70 – Rótula plástica e tirante
de betão armado (viga V1-2.1).
Nas figuras anteriores apresentam-se alguns resultados de ensaios experimentais
realizados em vigas de betão armado onde se pode observar o seu comportamento não
linear.
As lajes de betão armado têm também um comportamento não linear e é possível adoptar
uma distribuição de esforços diferente da determinada pela análise linear elástica para a
verificação da segurança em relação aos estados limites últimos. Nas lajes este
procedimento é especialmente válido porque:
• A percentagem de armaduras nas lajes é, em geral, reduzida, sendo a rotura em
flexão condicionada pelo comportamento do aço ⇒ comportamento dúctil;
• As lajes, em geral, são bastante mais hiperestáticas do que as restantes estruturas
(as consolas são um exemplo de lajes isostáticas), permitindo a redistribuição de
esforços em várias direcções (A. P. Ramos).
Os regulamentos permitem que os projectistas tirem partido da ductilidade dos elementos de
betão armado permitindo, dentro de certos limites, a alteração do diagrama de momentos
previsto pela análise linear elástica. Essa alteração consiste numa redução dos momentos
negativos e num consequente aumento dos momentos positivos de modo a respeitar as
condições de equilíbrio estático com as acções aplicadas. Este atenuar dos picos é
favorável à estrutura em geral porque permite explorar o máximo de reserva de resistência
das estruturas hiperestáticas e porque possibilita um melhor aproveitamento dos materiais,
em particular das armaduras. A hipótese de considerar uma distribuição de esforços
diferente da prevista pela análise linear elástica dá ao projectista maior liberdade na
execução do dimensionamento das vigas e lajes, especialmente na distribuição das
armaduras longitudinais de tracção. A redução da área das armaduras nas secções mais
0
15
30
45
60
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
Momento (kN.m)
Ptotal/2 (kN)
Secção 3 exp.
Secção 1 exp.
Secção 2 exp.An. linear elástica
ΔM = 11.(Ptotal /2).L/32
Secção a 1/2 vãodo tramo (secção 1 e 2)
Secção do apoio intermédio (secção 3)
Rótula plástica
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72 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
esforçadas traz a vantagem de diminuir as tensões máximas no betão comprimido e de
melhorar as condições da betonagem (menos congestionamento de armaduras) resultando
num betão de melhor qualidade.
A utilização da análise plástica para o cálculo da distribuição de esforços que,
posteriormente, servirá de base para o dimensionamento das lajes ou, como método para
determinar a carga máxima que uma laje (já concebida) pode suportar, só é permitida se a
distribuição de esforços for estaticamente possível e se a capacidade de rotação plástica
das secções críticas for suficientemente grande para que se possa formar o mecanismo de
rotura assumido. Portanto, é necessário garantir que a rotação plástica necessária nas
rótulas é inferior à rotação plástica possível.
A teoria da plasticidade tem 2 métodos: o estático e o cinemático.
Teorema / método cinemático
Pode-se determinar a carga de colapso utilizando o método cinemático que consiste “na
análise directa de todos os mecanismos de colapso possíveis, determinando-se a carga
correspondente a cada um deles. A carga real de colapso é a menor destas cargas”. Este
método é vantajoso quando o número de configurações de colapso é pequeno. O teorema
cinemático garante que a carga associada a um mecanismo cinematicamente admissível é
superior ou igual à carga última da laje.
A aplicação prática deste método é difícil e não se aconselha a aplicação deste método para
o dimensionamento das armaduras longitudinais.
Quando não existe informação mais precisa utiliza-se o método das linhas rotura para
estimar o valor máximo do esforço transverso actuante nas lajes.
Tópicos a considerar:
• Forma-se uma linha de rotura (e consequentemente uma linha de rotação) nos
encastramentos;
• Existe uma linha de rotação nos bordos simplesmente apoiados;
• Existem linhas de rotura que passam pelo ponto de intersecção dos eixos de rotação
dos elementos da laje;
• As outras linhas de rotura dependem das condições de apoio.
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 73
Figura 71 – Linhas de rotura.
Teorema / método estático
O dimensionamento das lajes por este método está do lado da segurança porque o cálculo
para uma distribuição de esforços equilibrada com a carga q, garante que a carga de rotura
qúltima é igual ou superior à carga q. Aliás, é com base neste teorema que se justifica a
utilização da distribuição de esforços determinada pela análise linear elástica na verificação
da segurança aos estados limites últimos (A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida). Na
fase próxima da rotura, a laje não terá certamente um comportamento linear elástico.
Recorda-se que a distribuição de esforços linear elástica é uma das distribuições de
esforços possíveis equilibrada com a carga aplicada.
O método das bandas (ou das faixas) é uma aplicação prática do método estático e baseia-
se no facto de que a carga aplicada é equilibrada apenas por flexão (despreza-se a
resistência por torção). Portanto, a carga q é suportada por uma banda/“viga” na direcção x
e por uma banda/“viga” na direcção y.
-qx -qy
Portanto, qx + qy = q
45º
45º45º
45º
encastrado - encastrado simples/ apoiado - simples/ apoiado
30º
60º
encastrado - simples/ apoiado
90º
simples/ apoiado - bordo livreencastrado - bordo livre
5.0 m
Linhas de rotura
5.0 m
2.5q
2.5q
45º
45º
Carregamento no bordo lateral
qym
yxm
2xm
2y
2xy
2
2x
2
−=∂
∂+
∂∂∂
+∂
∂
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74 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Considerando que α é um coeficiente de repartição da carga em cada uma das direcções,
0 ≤ α ≤ 1, obtém-se que: qx = α.q e qy = (1- α).q. Há uma banda que suporta a carga α.q e
haverá outra banda, na direcção perpendicular, que suporta a carga (1- α).q e assim
garante-se um caminho de carga equilibrado. Sabendo o valor da carga em cada direcção
será relativamente fácil determinar os momentos flectores e a armadura longitudinal em
cada direcção.
Para evitar que as distribuições de esforços adoptadas sejam muito diferentes das
registadas nas condições de serviço (poderá originar problemas na verificação da segurança
em relação aos ELS estando, todavia, garantido a segurança em relação aos ELU)
aconselha-se bom senso para a escolha do “caminho da carga”.
Tópicos a considerar:
• Escolher um caminho de carga próximo do que se esperaria pela análise linear
elástica;
• Escolher os coeficientes de repartição com base na compatibilidade do
deslocamento máximo vertical na laje (igual nas 2 direcções);
• Aconselha-se experiência e sensibilidade por parte do engenheiro;
• Respeitar as regras regulamentares.
Na figura abaixo apresentam-se os elementos com uma carga uniformemente distribuída e
com as condições de apoio correntemente utilizadas na modelação estrutural. a é a flecha
elástica da estrutura.
Figura 72 – Flecha elástica para os casos correntes.
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 75
Figura 73 – Exemplo da compatibilidade do deslocamento máximo vertical numa laje,
a = ax = ay.
Pode-se determinar o coeficiente de repartição com base na compatibilidade do
deslocamento máximo vertical na laje (igual nas 2 direcções), ax = ay.
Considerando que px = α.p e py = (1-α).p
O valor de k1 e k2 depende das condições de apoio (ver Figura 72).
O método das bandas (ou das faixas) é particularmente prático para as lajes com aberturas
ou com condições de apoio variáveis ao longo do bordo, lajes onde a distribuição de
esforços linear elástica não está tabelada (A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida, A. P.
Ramos).
a = ax = ay
ax
px
ay
py
4y2
4x1
4y24
y24y2
4x1
4y2
4x1
4y2
4x1
4yy2
4xx1
yx
L.kL.kL.k
L.kL..kL..k
L).1.(kL..kEI
L.p)1.(kEI
L.p.kEI
L.p.kEI
L.p.kaaa
+=α⇒=α+α
⇒α−=α⇒α−
=α
⇒=⇒==
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76 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Figura 74 – Exemplo de uma laje não tabelada.
Figura 75 – Exemplo de um caminho de carga equilibrado.
q (kN/m)
q (kN/m)αR1+ R2*
2 3 4
1 1
2 3 4
R3
q α
q (1−α).
R5R4
R4
R3*
R5*
q
q (1−α).
R1 R2
* - deve-se adicionar a estes valores a carga q directamente aplicada na laje. Este depende da largura da faixa.
5
6
7
5
6
7
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 77
Figura 76 – Exemplo de uma laje com uma abertura significativa.
Para assegurar a ductilidade adequada dos elementos estruturais os vários regulamentos
condicionam a utilização da análise plástica a certo tipo de estruturas. No caso das lajes em
que se realiza uma análise plástica sem a verificação directa da capacidade de rotação
plástica das rótulas são definidas as condições apresentadas abaixo. Existem, também,
limitações à redistribuição de esforços (diferença entre a distribuição prevista pela análise
linear elástica e a distribuição considerada) para garantir o bom comportamento da laje nas
condições de serviço, ou seja, garantir a segurança em relação ao estado limite de
fendilhação e de deformação.
1
2
3
reac
ção
da fa
ixa
2
Faixa 3
Reacção da faixa 1
Carga directamente aplicada
R2
R2
R2R2
Faixa 2
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78 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
REBAP EC2
Art.º 48
• Em qualquer ponto e em qualquer
direcção, a percentagem de armadura de
tracção da laje não deve exceder a que
conduz a um valor de x/d igual a 0,25,
sendo x a profundidade da linha neutra e
d a altura útil da secção;
• Se a determinação for feita por um
método estático, a distribuição de
momentos considerada não deve diferir
sensivelmente da distribuição de
momentos elástica; os momentos nos
apoios devem ser, pelo menos, metade
dos valores dos momentos elásticos, não
podendo também ultrapassá-los em mais
de 25%;
• Se a determinação for feita por um
método cinemático, a relação entre os
momentos no apoio e no vão de lajes
encastradas ou contínuas deve
apresentar, em módulo, um valor
compreendido entre 0,5 e 2.
Secção 5.6.2 (2)
• A área da armadura de tracção é limitada
de tal forma que, em qualquer secção:
x/d ≤ 0,25 para betões de classe
inferior a C50/60;
x/d ≤ 0,15 para betões de classe
superior a C55/67.
• Utilizar armaduras dúcteis, da classe B ou
C;
• A razão entre os momentos no apoio e a
meio vão deve estar compreendida entre
0,5 e 2.
3.8. Lajes contínuas (painéis de lajes adjacentes)
Para o dimensionamento de lajes contínuas é necessário definir o carregamento que conduz
à situação mais desfavorável (verificação da segurança em relação aos Estados Limites
Últimos). Nas lajes estão aplicadas acções permanentes e acções variáveis (usualmente é a
sobrecarga de utilização), e poderá considerar-se que a acção variável está, ou não, a
actuar em simultâneo em toda a laje. Para as acções permanentes não se pode considerar,
obviamente, esta hipótese.
Para a análise do carregamento que conduz à situação mais gravosa pode-se utilizar as
linhas de influência. Nesta análise as secções críticas a considerar são, as secções a meio
vão da laje e as secções sobre os apoios.
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 79
Figura 77 – Linha de influência e carregamento para se obter o momento positivo máximo
na secção S.
Figura 78 – Linha de influência e carregamento para se obter o momento negativo máximo
na secção C.
Atendendo à configuração das linhas de influência de momentos nos apoios compreende-se
que a obtenção do momento máximo negativo num apoio de continuidade, obtém-se
aplicando a carga máxima nos painéis adjacentes (carga permanente e sobrecarga).
Figura 79 – Linha de influência e carregamento para se obter o momento negativo máximo
no apoio entre os painéis 4 e 5 (Carla Marchão, Júlio Appleton).
Atendendo à configuração da linha de influência de momentos a meio vão compreende-se
que os momentos positivos máximos obtêm-se aplicando a carga permanente e a
sobrecarga nesse vão (painel) e apenas a carga permanente nos vãos (painéis) adjacentes.
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80 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Figura 80 – Carregamento para se obter o momento positivo máximo no painel 5 (Carla
Marchão, Júlio Appleton).
3.8.1. Equilíbrio dos momentos negativos
Como se referiu atrás, na análise estrutural de um piso com lajes apoiadas em vigas é usual
decompor-se o pavimento em lajes isoladas. Também se referiu e justificou que, quando há
lajes adjacentes à viga de apoio considera-se que esse bordo é encastrado. Se lajes
adjacentes tiverem condições de apoio e vãos diferentes, então os momentos no
encastramento serão diferentes em ambos os lados. Como a viga é considerada como um
apoio de continuidade (a rigidez à torção da viga não é significativa) há necessidade de
proceder ao equilíbrio desses momentos (ver Figura 81).
O momento Mab estará compreendido entre os valores Ma e Mb e dependerá da rigidez dos
painéis adjacentes. Se os apoios dos painéis forem similares, então poder-se-á considerar a
rigidez dos painéis, de forma simplificada, como o inverso do vão.
Mab = ηa.Ma + ηb.Mb =
Se os painéis forem similares pode considerar-se, simplificadamente, que Mab = (Ma + Mb)/2.
Se os painéis adjacentes tiverem condições de apoio e vãos muito diferentes, os momentos
de encastramento, Ma e Mb, serão também muito diferentes. Nestes casos o valor do
momento no apoio de continuidade Mab determinado por (Ma + Mb)/2 poderá ser muito
bba
aa
ba
b M.L/1L/1
L/1M.L/1L/1
L/1+
++
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 81
diferente do determinado por uma análise linear elástica mais rigorosa. Uma forma de limitar
a redistribuição de esforços e assim evitar que a distribuição de momentos determinada
desta forma simplificada seja muito diferente da distribuição linear elástica, é condicionar o
momento Mab. Este momento deve ser maior ou igual a 0,8 do momento maior (Ma ou Mb).
Simplificadamente, Mab = máx (Ma + Mb)/2
0,8.máx (Ma, Mb)
Figura 81 – Equilíbrio dos momentos negativos num apoio de continuidade
Quando Mab é determinado pela condição 0,8.máx (Ma, Mb) é necessário analisar com
prudência a zona de momentos negativos no painel que teve o acréscimo de momentos (Mab
> M). Por outro lado, no painel que teve um decréscimo do momento negativo (Mab < M) é
necessário determinar o momento positivo resultante do ajuste necessário ao equilíbrio
estático (ver Secção 3.8.3). Este momento poderá ser o momento positivo dimensionante da
laje.
Ma
Mb
Corte AA´
A A'
MaCorte AA´ Mab
Corte AA´ Mab
Mb
Ma
MbCorte AA´
Departamento de Engenharia Civil
82 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Figura 82 – Equilíbrio dos momentos negativos numa situação em que os vãos adjacentes
são muito diferentes.
3.8.2. Análise da região da laje com momentos negativos Nas lajes com apoios nas 2 direcções e cuja relação Lx/Ly está entre 0,5 e 2, verifica-se a
evolução dos momentos mx não é constante na direcção y, e vice-versa. Este aspecto é
pertinente porque é necessário ter uma noção do desenvolvimento dos momentos principais
para dispor convenientemente as armaduras longitudinais principais. As tabelas referidas na
secção 3.7.2 não dão esta informação e indicam apenas o valor dos momentos máximos.
Quando não existir informação mais rigorosa pode-se usar os diagramas simplificados
(tabelas da autoria de F. Czerny).
Figura 83 – Diagramas simplificados, laje duplamente encastrada.
Ma
Mb
Mab = 0,8máx.Ma
Aumento do momento positivo
Aumento da região com momentos negativos
- 0,2.Lx
Lx
0,2.Lx
Ly
-
0,2.Lx
-
+
-+
0,2.Lx
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 83
Figura 84 – Diagramas simplificados, lajes com diferentes condições de apoio.
+
0,2.Lx
0,2.Lx
Ly
-
- 0,2.Lx
Lx
0,2.Lx
Ly
+
+
0,2.Lx
- 0,2.Lx
0,2.Lx0,2.Lx
Lx
0,2.Lx
0,2.Lx
Lx
0,2.Lx
LyLy
+
-
-
+
0,2.Lx
Lx
-+
Ly
0,2.Lx
Lx
+
+
-
+
0,2.Lx0,2.Lx
0,2.Lx
+
0,2.Lx
0,2.Lx
Ly
- 0,2.Lx 0,2.Lx
Lx
0,2.Lx
0,2.Lx
0,2.Lx
+-
+
-
-
-
Ly
0,25.Lx
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84 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Considerando apenas os diagramas simplificados constata-se que há momentos negativos
até uma distância 0,2Lx ou 0,25Lx do apoio (Lx é o menor dos vãos), dependendo das
condições de apoio da laje. Portanto, a armadura superior só pode ser interrompida a partir
da seguinte distância do apoio:
(0,2.L ou 0,25L) + al + lb,net
al é a translação do diagrama de forças a absorver pelas armaduras e assume o valor 1,5.d
(REBAP) ou d (EC2), e lb,net é o comprimento de amarração da armadura.
Como se referiu na secção anterior, por vezes, há necessidade de realizar o equilíbrio de
momentos nos apoios e, consequentemente, o momento de dimensionamento pode ser
superior ao determinado inicialmente pelas tabelas. Nestes casos aconselha-se a corrigir de
forma proporcional o comprimento da região com momentos negativos: (0,2L ou 0,25L))) .
Assim, o comprimento da armadura superior deve ser igual a:
(0,2.L ou 0,25L) + al + lb,net
Figura 85 – Correcção do comprimento da região com momentos negativos.
Lx1 e Lx2 é o menor dos vãos da laje armada em 2 direcções.
No painel de laje que tem o momento de dimensionamento Mab inferior ao determinado
inicialmente pelas tabelas, não há necessidade de corrigir o comprimento da região com
Aumento da região com momentos negativos
Ma
Mb
0,2.L x1 0,2.Lx2
M ab
0,2.L .(M /M )x2 ab b
b
ab
MM
b
ab
MM
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 85
momentos negativos. Há uma diminuição desse comprimento e, portanto, o valor inicial está
do lado da segurança.
De seguida apresentam-se alguns exemplos de lajes cujos esforços foram determinados
com base num programa de elementos finitos. Nestas figuras salienta-se o comprimento da
região com momentos negativos.
Caso 1:
Laje simplesmente apoiada nos bordos e com um apoio entre os painéis de laje a 5 m da
extremidade direita. Nesta modelação considerou-se que a rigidez à torção das vigas era
nula para se aproximar mais dos resultados das tabelas. Todavia, salienta-se que neste
caso a consideração, ou não, da rigidez à torção das vigas praticamente não altera o
diagrama de momentos. De acordo com os diagramas simplificados, sem efectuar a
correcção, o comprimento da região com momentos negativos seria 0,2L =1,0 m.
Este caso serve para ilustrar a importância da correcção do comprimento da região com
momentos negativos.
Figura 86 – Diagrama de momentos mx do caso 1.
Caso 2:
Laje exactamente igual ao caso anterior excepto a posição do apoio entre painéis, agora
está a 3 m da extremidade direita. De acordo com os diagramas simplificados, sem efectuar
a correcção, o comprimento da região com momentos negativos seria 0,2L = 0,6 m. Neste
caso a diferença entre o valor sem correcção e o determinado com base no programa é
ainda maior e a razão é porque numa análise considerando as lajes isoladas o momento à
≅ 1,20 m 8,0 m 5,0 m
5,0 m
Departamento de Engenharia Civil
86 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
direita e à esquerda do apoio seriam muito diferentes (e, portanto, maior seria a correcção).
Por isso, mais uma vez, realça-se a importância da corrigir do comprimento da região com
momentos negativos.
Figura 87 – Diagrama de momentos mx do caso 2.
Caso 3:
Laje simplesmente apoiada nos bordos superior e inferior, encastrada nos bordos à direita e
à esquerda e com um apoio entre os painéis a 6,5 m da extremidade direita. De acordo com
os diagramas simplificados, sem efectuar a correcção, o comprimento da região com
momentos negativos seria 0,2L = 1,0 m.
Figura 88 – Diagrama de momentos mx do caso 3.
≅ 1,05 m
10,0 m 3,0 m
5,0 m
≅ 1,10 m
6,5 m 6,5 m
5,0 m
≅ 1,10 m ≅ 1,10 m ≅ 1,10 m
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 87
Figura 89 – Diagrama de momentos my do caso 3.
3.8.3. Determinação dos momentos máximos positivos
Na Secção 3.8 justificou-se, com base nas linhas de influência, que os momentos positivos
máximos obtêm-se aplicando a carga permanente e a sobrecarga nesse vão (painel) e
apenas a carga permanente nos vãos (painéis) adjacentes (ver Figuras 80 e 90).
Figura 90 – Carregamento para se obter o momento positivo máximo no vão (Carla
Marchão, Júlio Appleton).
A técnica proposta por Marcus consiste em decompor a carga da seguinte forma (considere
o carregamento da Figura 90):
Figura 91 – Decomposição do carregamento (Carla Marchão, Júlio Appleton).
Departamento de Engenharia Civil
88 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Para a situação em que a carga é cp+sc/2 (carga permanente + sobrecarga a dividir por 2),
atendendo à deformada da laje, é admissível considerar que a rotação sobre os apoios de
continuidade é praticamente nula e, portanto, os bordos com continuidade podem ser
considerados encastrados.
Para a situação em que a carga é sc/2 (sobrecarga a dividir por 2), verifica-se que a rotação
sobre os apoios é significativa e será razoável considerar que os bordos com continuidade
sejam considerados simplesmente apoiados. Os restantes bordos mantêm as condições de
apoio iniciais.
Figura 92 – Modelos de cálculo para os momentos positivos.
Condições de apoio iniciais(como têm um efeito desfavorável x 1,5)
Determinar os momentos positivos
Cargas permanentes + sobrecarga/2 Sobrecarga/2
(como tem um efeito desfavorável x 1,5)
Condições de apoio iniciaisCargas permanentes + sobrecarga/2
(como têm um efeito desfavorável x 1,5)
Sobrecarga/2
(como tem um efeito desfavorável x 1,5)
Determinar os momentos positivos
Condições de apoio iniciaisCargas permanentes + sobrecarga/2
(como têm um efeito desfavorável x 1,5)
Sobrecarga/2
(como tem um efeito desfavorável x 1,5)
Determinar os momentos positivos
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 89
Resumindo, para dimensionar uma laje com painéis contínuos deve considerar-se 2
hipóteses de carga: uma para os momentos positivos e outra para os momentos negativos.
No entanto, na análise do momento máximo positivo deve considerar-se ainda os esforços
resultantes do equilíbrio dos momentos negativos (Secção 3.8.1). Chamou-se a atenção que
há um aumento do momento positivo resultante do ajuste necessário ao equilíbrio estático
no painel em que M (momento negativo no apoio antes do equilíbrio em valor absoluto) >
Mab (momento negativo no apoio após equilíbrio em valor absoluto), ver Figura 82. Este
momento poderá ser superior ao determinado pelo método apresentado atrás.
Nos casos em que Mab > 0,8.máx (Ma, Mb), ou seja, Mab é determinado pela expressão
(Ma + Mb)/2, é usual que o momento máximo positivo seja determinado pelo método de
Marcus. Quando Mab é determinado pela expressão 0,8.máx (Ma, Mb) deve determinar-se o
momento positivo resultante do equilíbrio dos momentos negativos, e verificar se este
momento é o momento dimensionante. Nos casos duvidosos deve-se sempre verificar se o
ajuste do diagrama de momentos é condicionante para o cálculo da armadura inferior.
Se a laje for armada numa só direcção o momento positivo máximo poderá ser determinado,
aproximadamente, da seguinte forma:
Figura 93 – Momento positivo após o equilíbrio de momentos no apoio.
M
M/2
Mb
Ma
Aumento do momento positivo
Mab
Mab
Ma
M
L/2
M/2
M'
M' M/2
Departamento de Engenharia Civil
90 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Esta forma de determinar o momento positivo máximo após o equilíbrio de momentos no
apoio é uma aproximação porque o M’ (momento positivo máximo antes do equilíbrio de
momentos) não é necessariamente na secção a meio vão (L/2).
Se existir equilíbrio de momentos nos 2 apoios da laje, o raciocínio é semelhante para
determinar o momento positivo máximo.
Figura 94 – Momento positivo após o equilíbrio de momentos nos 2 apoios.
Se a laje for armada nas 2 direcções o momento positivo máximo terá de ser determinado
de modo diferente porque a alteração do momento num dos apoios afecta os esforços da
laje nas 2 direcções. Quando não existir informação mais rigorosa será razoável realizar
uma interpolação usando os esforços dados pelas tabelas. Para a interpolação poderá usar-
se os momentos de uma laje com as mesmas condições de apoio, excepto no apoio onde
há o equilíbrio de momentos negativos que deverá considerado simplesmente apoiado (ou
seja, momento nulo no apoio) e os momentos da laje considerando as condições de apoio
inicialmente definidas, incluindo o encastramento no apoio em estudo.
Exemplo:
p = 1,5.cp +1,5sc= 1,5.(5+1,5+2)+1,5.2 = 15,75 kN/m2
Interpolação (ver Figura 95):
Mxvs = -42,9 ______________ Mxs = + 5,6
Mxvs = 0 ______________ Mxs = + 11,6
Mxvs = -34,3 ______________ Mxs = ?
Mxvs = -42,9 ______________ Mys = + 14,4
Mxvs = 0 ______________ Mys = + 24,1
Mxvs = -34,3 ______________ Mys = ?
Mxs = 6,8 kN.m
Mab2M2
Ma2
Mb2
M1 Ma1Mab1
Mb1
M'
M' + M1 + M2)/2(
m.kN8,66,11)03,34.()06,42()6,116,5(6,11)0x.(
)06,42()6,116,5(bx.my =+−
−−
=+−−
−=+=
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 91
Mys = 16,3 kN.m
Figura 95 – Exemplo duma interpolação para determinar os momentos positivos após o
ajuste do momento negativo.
Usando os coeficientes de transmissão indicados na tabela seguinte é também possível
calcular os momentos positivos após o equilíbrio dos momentos negativos. Esta tabela é da
autoria de F. Czerny (a informação foi traduzida e organizada pelo Eng. Paulo Maranha).
Este procedimento para o cálculo dos momentos positivos é eventualmente mais simples do
Condições de apoio iniciais1,5x(cargas permanentes + sobrecarga)
5 m
4 m
Mys = +14,4 kN.m
Mxvs=-42,9 kN.m
Mxs = +5,6 kN.m
Mxvs = 0
Mxvs=-34,3 kN.m
Mxs = ?
Mys = ?
Momento no apoio após o equilíbrio demomentos negativos
Admitir que M = 0,8x(-42,9) = -34,3 kN.m
Mxvs=-34,3 kN.m
Interpolando determina-se os valores dos momentos positivos
Mxs = +11,6 kN.m
Mys = +24,1 kN.m
Mxs =6,8 kN.m
Mys =16,3 kN.m
m.kN3,161,24)03,34.()06,42()1,244,14(1,24)0x.(
)06,42()1,244,14(bx.my =+−
−−
=+−−
−=+=
Departamento de Engenharia Civil
92 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
que o método indicado anteriormente e é bastante rigoroso, uma vez que considera o
momento sinusoidal ao longo do bordo.
Outro exemplo de aplicação considerando os 2 métodos: p = 1,5.cp +1,5sc = 15,75 kN/m2
1,5x(cargas permanentes + sobrecarga)
M = -30.32 kN.m
6 m
5 m
M = +14,06 kN.m
M = +6,4 kN.m
M = -24.26 kN.m
M = ?
M = ?
Momento no apoio após o equilíbrio demomentos negativos
Admitir que M = 0,8x(-30.32) = -24.26 kN.m
M = 0
M = +17.25 kN.m
M = +10.2 kN.m
M = -24.26 kN.m
M =14.7 kN.m
M =7.17 kN.m
Interpolando determina-se os valores dos momentos positivos
Condições de apoio iniciais
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 93
Usando o método dos coeficientes de transmissão recorrendo à tabela indicada acima:
• O momento x está aplicado no bordo maior e assume o valor 6,07 = ΔM = -24,26 –
(-30,32);
• A relação entre vãos é 6/5 = 1,2 e atendendo às condições de apoio o tipo de laje
corresponde ao Caso 2;
• Os coeficientes de transmissão são: γxm = 0,082 e γym = 0,106;
• O aumento dos momentos positivos quando há um momento sinusoidal no valor de
ΔM = + 6,07 kN.m aplicado no bordo é igual a: ΔM+x = 0,082 x 6,07 = 0,50 kN.m e
ΔM+y = 0,106 x 6,07 = 0,64 kN.m. Atendendo à simbologia usada no apoio, ver tabela
com os coeficientes de transmissão, depreende-se que as tensões normais são
perpendiculares à direcção da linha;
• Atendendo à configuração da laje em estudo e da laje na tabela verifica-se que é
necessário rodar a laje 90º;
• Assim, o momento positivo final na direcção x é 14,06 + 0,50 = 14,56 kN.m e o
momento positivo final na direcção y é 6,4 + 0,64 = 7,04 kN.m.
O valor dos momentos positivos determinado pelos 2 métodos é bastante semelhante.
3.8.4. Análise de uma laje com uma laje adjacente em consola A laje em consola é dimensionada com base na distribuição de esforços resultante do
modelo em consola e considerando a carga máxima nesse vão. Como este modelo
estrutural é uma estrutura isostática significa que existe apenas uma distribuição de esforços
em equilíbrio com as acções aplicadas e, portanto, o momento no encastramento não pode
ser diminuído.
Figura 96 – Modelo da laje em consola.
C.P + SOB
LI.M -
LI.M +
-
-
+
DMF
Departamento de Engenharia Civil
94 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
A laje em consola é uma laje armada numa só direcção. Chama-se atenção para a
consideração da armadura de distribuição nestas lajes, deve ser aplicada não só na face
onde existe a armadura principal (face superior) mas também na face oposta à da aplicação
das cargas (face inferior).
A laje adjacente à laje em consola analisa-se de modo semelhante ao indicado nas secções
anteriores. Poderá, no entanto, surgir a dúvida em relação ao tipo de apoio a considerar na
ligação à laje em consola. O procedimento mais simples e que conduz também aos
resultados mais desfavoráveis é considerar esse bordo da laje como simplesmente apoiado.
Com estas condições de apoio os esforços da laje serão maiores (situação mais
desfavorável) comparativamente com os esforços resultantes da consideração da
continuidade para a laje em consola (ver Figura 96, nomeadamente, a LI M+, linha de
influência do momento a meio vão da laje). Acrescenta-se ainda que, quando o painel
interior é armado nas 2 direcções e os esforços são determinados com recurso às tabelas,
pode surgir novamente a dúvida em como considerar o apoio de continuidade para laje em
consola, encastrado ou simplesmente apoiado. Neste caso as lajes adjacentes ao apoio de
continuidade são muito diferentes e, consequentemente, a rotação da laje sobre o apoio
será diferente de zero. Mais um aspecto que justifica, na análise do painel interior, a
consideração do apoio de ligação à laje em consola como simplesmente apoiado.
Figura 97 – Cálculo do momento positivo numa laje com uma laje adjacente em consola.
Se o momento negativo da consola devido apenas às cargas permanentes for significativo e
se a consola existir em toda a extensão da laje interior poder-se-á tirar vantagem desse
C.P DMF
DMF
M (C.P)
=
+M1
M=M1-Mcp/2
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 95
momento para diminuir ligeiramente o momento positivo na laje interior. Se a laje adjacente
à consola for armada numa só direcção a redistribuição de esforços é, aproximadamente, a
indicada na Figura 97. Mais uma vez realça-se que o momento máximo positivo M1 (antes
da redistribuição de esforços) não é necessariamente na secção a meio vão.
Se a laje adjacente à consola for armada em 2 direcções e se se pretender realizar uma
redistribuição de esforços de modo a aproveitar o momento negativo da consola (devido às
cargas permanentes), então deve fazer-se uma interpolação, à semelhança do
exemplificado na secção anterior. Se se utilizar os coeficientes de transmissão para
determinar os momentos positivos, chama-se a atenção que neste caso o momento no
bordo é uniforme e não sinusoidal (ou seja, deve usar-se o coeficiente de correcção indicado
na tabela).
Realça-se ainda que é importante analisar correctamente a região com momentos negativos
na zona adjacente à consola. Esta análise é importante para determinar a distância, com
origem no apoio, até onde as armaduras superiores devem ser aplicadas. Essa distância é
x0 + al + lb,net, onde x0 é a distância do apoio à secção onde os momentos se anulam, al é a
translação do diagrama de forças a absorver pelas armaduras e lb,net é o comprimento de
amarração da armadura.
3.8.5. Distribuição das armaduras, interrupção e dispensa das armaduras longitudinais
Os desenhos com a disposição das armaduras devem apresentar toda a informação
necessária à sua execução. Normalmente apresenta-se um desenho para as armaduras
superiores e outro para as armaduras inferiores. Se a informação continuar pouco
perceptível pode apresentar-se as armaduras superiores em 2 desenhos e as armaduras
inferiores noutros 2 desenhos (armaduras na direcção x e y). Adicionalmente deve-se ainda
apresentar um corte.
A vantagem ou desvantagem em realizar uma interrupção ou dispensa de armaduras está
relacionada com a economia da quantidade de aço e com a facilidade, ou não, em executar
a solução proposta. A distribuição das armaduras numa laje deve ser regular (deve haver,
tanto quanto possível, uma homogeneização das armaduras e espaçamentos a utilizar) para
evitar erros de interpretação e simplificar a execução em obra.
Departamento de Engenharia Civil
96 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Figura 98 – Exemplo de desenho com a distribuição das armaduras (laje simplemente
apoiada armada numa só direcção).
Nas lajes armadas em 2 direcções o procedimento para a realizar a interrupção das
longitudinais é igual ao definido para as lajes armadas numa só direcção (ver Secção 3.6.4).
Todavia, se o dimensionamento das lajes for realizado com base nos esforços determinados
pelas tabelas, não se conhece o diagrama de momentos e, portanto, é difícil determinar a
secção a partir da qual a armadura pode ser interrompida.
Observando os diagramas de esforços simplificados (ver Secção 3.8.2) e os diagramas de
momentos obtidos a partir de um programa de elementos finitos apresentados ao longo
deste documento, verifica-se que:
• os momentos positivos diminuem significativamente na zona junto aos apoios com
liberdade de rotação;
As,y+ = 0,20 As,x
+
A
s,y
+
As-
As- = 0,20 As,dist
-
A
s-
As- = 0,20 As,dist
-
A
s-
= 0,
20
As,
dist
-
A
s-
= 0,
20
As,
dist
-
As-
As- 0,
25.L
x0,
25.L
x
0,25.Lx0,25.Lx
Lb,net Lb,net
Lb,
net
Lb,
net
A
A'
A
A'
Armaduras inferiores
Armaduras superiores
Corte AA'
0,25.Lx
As,y+
As,y+ = 0,20 As,x
+
0,25.Lx As- As
- = 0,20 As,dist-
h
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 97
• os momentos negativos têm um decréscimo muito acentuado;
• os momentos negativos junto aos cantos são inferiores aos da zona central.
De acordo com os regulamentos (REBAP e EC2) a armadura nos apoios deve ser pelo
menos metade da armadura máxima existente no vão. Para os casos correntes, em que as
lajes adjacentes são semelhantes ao painel em estudo, é possível definir algumas regras
simplificadas para a distribuição de armaduras. Salienta-se que as soluções apresentadas
não são as únicas possíveis e que nos casos fora do comum deve realizar-se a uma análise
detalhada da distribuição das armaduras.
Considere-se, por exemplo, uma laje encastrada em todos os bordos. A armadura inferior
pode ser interrompida e dispensada na zona junto aos apoios. O comprimento dessa faixa
será L’ – al – lb,net. No entanto, o valor de L’ não está definido nos diagramas simplificados
apresentados na Figura 84, sabe-se apenas que será superior a 0,2.Lx. L’ é a distância do
apoio à secção a partir da qual a área de aço As+/2 é suficiente para resistir ao momento
aplicado. No limite o valor de L´ é 0,2.Lx e a armadura poderá ser interrompida e dispensada
a uma distância 0,2.Lx – al – lb,net. Neste casos o valor de lb,net poderá eventualmente assumir
valores mais pequenos que o usual porque área de aço requerida pelo cálculo é nula, M = 0
(determinar o valor mínimo a adoptar para o comprimento de amarração, lb,net não deve ser
inferior a 10∅, 100 mm, 0,3lb no caso de armaduras traccionadas).
Figura 99 – Armadura na face inferior da laje.
/2s,x A
A-
0,2.Lx
-
Ly
-
-
+
+
0,2.Lx
0,2.Lx
Lx
/
2s,
y
A
/
2 b,ne
t
- al
- L
x0,
2.L
/2
s,y
A
+s,x
- al - Lx0,2.L
0,2.Lxb,
net
-
al -
Lx
0,2.
L
b,net - al - Lx0,2.L
+
b,net
+
+
Departamento de Engenharia Civil
98 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Para a interrupção da armadura superior (ver Secção 3.8.2) chama-se, mais uma vez, a
atenção para o comprimento da zona com momentos negativos após o equilíbrio dos
momentos negativos: (0,2.L ou 0,25L) + al + lb,net
Figura 100 – Armadura principal superior (falta representar a armadura de distribuição).
Quando não existir informação mais rigorosa poderá utilizar-se as regras simplificadas
indicadas acima, tendo por base os diagramas simplificados representados na Figura 84.
Como informação complementar representa-se abaixo alguns desenhos com a disposição
das armaduras para painéis com diferentes condições de apoio.
Figura 101 – Desenho com uma distribuição das armaduras, laje com os 4 bordos encastrados
(A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida).
Lx
0,2.Lx
0,2.Lx
0,2.Lx
+-
+
-
-
0,2.Lx
-Ly
0,2.LxMab1Mb
+ al + Lb,net0,2.Lx Mab2Mb
+ al + Lb,net
As,x2-
A
- s,y3
0,2.
L xM M
+ a
l + L
b,ne
tab
3 a0,
2.L x
M Ma +
al +
Lb,
net
As,x1-
ab4
A
- s,y4
b
ab
MM
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 99
Figura 102 – Desenho com uma distribuição das armaduras, laje com os 3 bordos
encastrados e um simplesmente apoiado (A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida).
Figura 103 – Desenho com uma distribuição das armaduras, laje com os 2 bordos
encastrados e 2 bordos simplesmente apoiados (A. Gomes, Júlio Appleton e João Almeida).
Departamento de Engenharia Civil
100 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
3.9. Lajes com aberturas
Se as dimensões das aberturas forem inferiores a determinados limites, as lajes podem ser
dimensionadas admitindo que não existem aberturas. Nestes casos deve apenas haver um
cuidado especial com os detalhes construtivos nas zonas próximas das aberturas. Os limites
acima referidos são indicados abaixo (Carla Marchão e Júlio Appleton).
Laje armada numa direcção
• dimensão máxima da abertura: b < L1/5 e b < L2/4
Figura 104 – Laje armada numa direcção com uma abertura (Carla Marchão e Júlio
Appleton).
Cuidados a considerar na disposição das armaduras: armadura principal de reforço deve ser
prolongada até aos apoios e reforçar a armadura de distribuição junto aos bordos.
Figura 105 – Disposição das armaduras numa laje armada numa direcção com uma
abertura de pequenas dimensões (Carla Marchão e Júlio Appleton).
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 101
Laje armada em duas direcções
• dimensão máxima da abertura: máx (b1,b2) ≤
Figura 106 – Laje armada em 2 direcções com uma abertura (Carla Marchão e Júlio
Appleton).
Figura 107 – Disposição das armaduras numa laje armada em 2 direcções com uma
abertura de pequenas dimensões (Carla Marchão e Júlio Appleton).
Quando as aberturas tiverem dimensões superiores a 0,5 m é conveniente colocar uma
armadura suplementar junto aos cantos, segundo a diagonal, para controlar a fendilhação.
Figura 108 – Armadura suplementar junto aos cantos (Carla Marchão e Júlio Appleton).
5)L,Lmin( 21
Departamento de Engenharia Civil
102 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Quando as aberturas forem de dimensões significativas, com valores superiores aos
indicados anteriormente, a zona da laje adjacente à abertura pode ser analisada pelo
método das bandas (ver Figura 76 representada novamente abaixo).
Figura 109 – Diagrama de momentos myy numa laje com apoios apenas numa direcção.
Figura 110 – Diagrama de momentos myy e mxy numa laje com apoios apenas numa
direcção e com uma abertura de pequenas dimensões.
1
2
3
reac
ção
da fa
ixa
2
Faixa 3
Reacção da faixa 1
Carga directamente aplicada
R2
R2
R2R2
Faixa 2
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 103
Figura 111 – Diagrama de momentos myy e mxy numa laje com apoios apenas numa
direcção e com uma abertura de grandes dimensões.
Figura 112 – Diagrama de momentos myy e mxx numa laje com apoios nas duas direcções.
Figura 113 – Diagrama de momentos myy e mxx numa laje com apoios nas duas direcções e
com uma abertura de pequenas dimensões.
Departamento de Engenharia Civil
104 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Figura 114 – Diagrama de momentos mxx e mxy numa laje com apoios nas duas direcções e
com uma abertura de grandes dimensões.
3.10. Lajes sujeitas a forças concentradas As tabelas correntes permitem a determinação dos momentos máximos para cargas
uniformemente distribuídas pelas lajes ou então para cargas com uma distribuição triangular
(variação linear ao longo da laje).
Para se determinar os esforços em lajes sujeitas a forças concentradas ter-se-á de recorrer
a programas de elementos finitos, ou então, no caso de lajes armadas numa só direcção
usar a metodologia descrita no art.º 103 do REBAP. Ver também o art.º 111 referente à
disposição das armaduras em lajes armadas numa só direcção e sujeitas cargas
concentradas.
No EC2 há apenas referências genéricas ao modo como analisar as lajes sujeitas a cargas
concentradas: “O objectivo de uma análise estrutural é o de determinar a distribuição, quer
de esforços, quer de tensões, extensões e deslocamentos, em toda ou parte da estrutura.
Sempre que necessário deve ser efectuada uma análise local complementar.” “Poderá ser
necessário efectuar análises locais quando não seja válida a hipótese de distribuição linear
de extensões, por exemplo: em zonas sob a acção de cargas concentradas.” Na Secção 7
do EC2, Estados Limites de Utilização, é referido que “Deverá ter-se em atenção os riscos
particulares de formação de fendas de grande largura em secções onde ocorram variações
bruscas de tensão, por exemplo: na proximidade de cargas concentradas.” Finalmente, na
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 105
Secção 9 do EC2, disposições construtivas, é referido que “O espaçamento dos varões não
deverá ser superior a smax,slabs.” O valor de smax,slabs a utilizar num determinado país poderá
ser dado no respectivo Anexo Nacional. O valor recomendado para zonas com cargas
concentradas ou nas zonas de momento máximo é: 2h ≤ 250 mm para as armaduras
principais e 3h ≤ 400 mm para as armaduras de distribuição.
Resumidamente, no art.º 103 do REBAP (lajes armadas numa só direcção sujeitas a cargas
concentradas) é mencionado que a laje funciona como uma viga com o mesmo vão, com os
mesmos apoios e com uma largura igual a bm.
bm = by + b1
by = a + 2.h1 + d
Figura 115 – Largura by segundo o REBAP.
O valor b1 está definido no Quadro XVI do REBAP e depende das condições de apoio e do
esforço que se pretende determinar. Para determinar os esforços na “viga” convém calcular
o valor da carga ao longo da largura bm, ou seja, deve dividir-se o valor da carga
concentrada P por bm, flexão e por bm,trans. Depois usa-se o valor P1 = P/bm,flexão para a
verificação da segurança em relação ELU de resistência à flexão e P2 = P/bm,trans para a
verificação da segurança em relação ELU de resistência ao esforço transverso.
Figura 116 – Modelo para determinar os esforços numa laje armada numa só direcção e
sujeita a uma carga concentrada (de acordo com o REBAP).
by
45º
a
h1+d/2
bm
1
(zonas onde actuam as cargas distribuídas apenas)
1
2
(zona onde actuam as cargas distribuídas e a carga concentrada)
1 2
P1 ou P2
Departamento de Engenharia Civil
106 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Se o cálculo for realizado para uma laje com uma largura igual a 1 m então o resultado final
vem cm2/m. O valor total da área da armadura longitudinal obtém-se multiplicando o valor
anterior por bm,flexão. Esta armadura deve ser disposta numa largura igual a 0.5.bm,flexão mas
não deve ser inferior à largura by (ver art.º 111 do REBAP). Deve-se ainda colocar uma
armadura de distribuição na direcção perpendicular à armadura principal (na face oposta à
aplicação da carga) com a seguinte área, As,dist = 0.6.As. Esta armadura deve ser aplicada
numa largura igual a 0.5.bm mas não menor que a largura bx. Esta armadura deve ser
disposta num comprimento igual a bm mais o comprimento de amarração para cada lado.
Salienta-se que no caso de forças concentradas aplicadas directamente nas lajes é
necessário fazer a verificação da segurança em relação ao ELU de resistência ao
punçoamento.
Figura 117 – Diagrama de momentos myy numa laje com apoios apenas numa direcção e
sujeita a força concentrada.
Figura 118 – Diagrama de momentos myy e myy numa laje com apoios nas 2 direcções e
sujeita a 3 forças concentradas.
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 107
3.11. Lajes aligeiradas de betão armado
As lajes aligeiradas de betão armado são constituídas por nervuras numa direcção ou em
duas direcções ortogonais, solidarizadas por uma lâmina de compressão. Considerando os
condicionalismos indicados abaixo os esforços actuantes são determinados como se fosse
um laje maciça e os esforços resistentes como se se tratasse de um conjunto de vigas em T.
Quando existirem forças concentradas deve haver nervuras nas 2 direcções. Nestas lajes
devem dispor-se maciçamentos adequados junto dos apoios.
REBAP EC2
Art.º 112 até ao art.º 117
Largura e espaçamento das nervuras:
• Largura mínima da nervura, 5 cm;
• Distância máxima entre as faces da
nervura, 80 cm;
• No caso de lajes armadas numa
direcção devem dispor-se armaduras
transversais de solidarização cuja
distância entre eixos deve ser menor
ou igual a 10 vezes a espessura da
laje e a altura destas nervuras deve
ser maior ou igual a 0,8 vezes a
espessura da laje;
Espessura mínima da lajeta:
A espessura mínima da lajeta deve ser
maior ou igual a 5 cm (sem blocos de
cofragem incorporados). Este valor pode ser
reduzido para 3 ou 4 cm no caso de
existirem os tais blocos de cofragem
incorporados, e o valor limite a considerar
depende se a distância entre as faces de
nervuras consecutivas excede, ou não, 50
cm.
Secção 5.3.1 (6)
Para efeitos de análise, as lajes nervuradas
ou aligeiradas podem não ser tratadas como
elementos de barra, desde que a lajeta ou
lâmina de compressão e as nervuras
transversais tenham rigidez de torção
suficiente. Tal poderá admitir-se desde que:
• o afastamento das nervuras não
exceda 1500 mm;
• a altura da nervura abaixo da lajeta
não exceda 4 vezes a sua largura;
• a espessura da lajeta não seja
inferior a 1/10 da distância livre entre
nervuras ou a 50 mm;
• a distância livre entre nervuras
transversais não exceda 10 vezes a
espessura total da laje.
A espessura mínima das lajetas poderá ser
reduzida de 50 mm para 40 mm nos casos
em que se utilizem blocos incorporados
entre as nervuras.
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108 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Figura 119 – Valores limite a considerar numa laje aligeirada (segundo o REBAP).
Como se referiu acima os esforços resistentes nas aligeiradas são determinados como se
tratasse de um conjunto de vigas em T. A questão que agora se coloca é determinar qual a
largura do banzo comprimido a considerar nos cálculos.
REBAP EC2
Art.º 88
Largura do banzo comprimido b deve ser o
menor dos seguintes valores:
• bw + 2L0/10;
• bw + 0,5.b1 + 0,5.b2
bw é a largura da alma da secção
b1 e b2 é a distância entre as faces das
nervuras
L0 é a distância entre secções de momento
nulo:
• L0 = 0,7 x vão teórico – vigas
contínuas (caso geral);
• L0 = 0,6 x vão teórico – vigas
contínuas (tramos centrais);
• L0 = 0,8 x vão teórico – vigas
contínuas (tramos extremos –
encastrado/simplesmente apoiado).
Secção 5.3.2.1
Nas vigas em T, a largura efectiva do banzo
comprimido, ao longo da qual se podem
admitir condições de tensão uniforme,
depende das dimensões da alma e do banzo,
do tipo de acção, do vão, das condições de
apoio e das armaduras transversais.
A determinação da largura efectiva do banzo
depende do valor L0, distância entre pontos
de momento nulo (ver Figura 121).
Para a análise estrutural, nos casos em que
não seja necessária uma grande precisão,
poderá admitir-se uma largura constante ao
longo de todo o tramo. Deverá, então,
adoptar-se o valor aplicável à secção do vão.
A largura efectiva do banzo beff para uma
viga em T ou para uma viga em L poderá ser
considerada igual a:
• beff =Σ beff,i + bw
em que:
• beff,i = 0,2bi +0,1L0 ≤ 0,2 L0
• beff,i ≤ bi
> 5 cm
> 5cm
< 80 cm
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 109
Figura 120 – Largura efectiva do banzo das vigas em T (segundo o REBAP).
Figura 121 – Definição da distância L0 (segundo o EC2).
NOTA: O vão da consola, l3, deverá ser inferior a metade do vão adjacente e a relação entre
os vãos de dois tramos adjacentes deverá situar-se entre 2/3 e 1,5.
Figura 122 – Definição dos parâmetros para a determinação de beff (segundo o EC2).
Cálculo da área das armaduras longitudinais nas vigas em T (ver Figura 123).
Momentos negativos
• se x < (h – hf), pode-se usar as tabelas para secções rectangulares
• se x > (h – hf) – usar tabelas para as secções em T
x – profundidade do eixo neutro
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110 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Na expressão do momento reduzido, , salienta-se que b é a largura da área
comprimida da secção. Para momentos negativos b é igual a bw mas junto dos apoios
poderá haver maciçamentos que alteram o valor de b a considerar no cálculo. Para
momentos positivos b é igual à largura do banzo superior.
Momentos negativos
Momentos positivos
Figura 123 – Área comprimida numa secção em T.
Segundo o REBAP (art.º 117) a lajeta deve ser armada nas duas direcções. A armadura
mínima na direcção principal deve respeitar o art. 90 e o espaçamento dos varões não deve
exceder 25 cm ou em certas situações 35 cm. No caso de lajes armadas numa só direcção
deve colocar-se numa direcção a armadura principal e na direcção perpendicular a
armadura de distribuição ou a armadura resultante da “regra das costuras”, o maior destes 2
valores. No caso das lajes aligeiradas a armadura de distribuição só pode ser colocada na
parte superior da laje, por razões evidentes. O dimensionamento das armaduras pela
chamada “regra das costuras”, pode ser realizado com base na seguinte expressão:
Onde As é a armadura existente no comprimento s, neste caso é uma armadura
perpendicular à superfície considerada. s é o espaçamento das armaduras e νsd é a força
tangencial por unidade de comprimento da superfície considerada.
A “regra das costuras” está definida no art. 74 do REBAP. Neste artigo é referido que
nalguns casos deve haver armaduras secundárias para garantir o bom funcionamento dos
elementos, para assegurar a ligação entre partes que têm tendência a separar-se e para
controlar a fendilhação. Quando há partes do elemento que têm tendência a deslizar devido
a tensões tangenciais, deve colocar-se uma armadura que atravesse essas superfícies (ver
syd
sds
fsA ν
≥
cd2 f.d.bM
=μ
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 111
artigos 74 e 97 do REBAP). Nos casos correntes em que os banzos são betonados
conjuntamente com a alma, poderá dispensar-se o dimensionamento específico desta
armadura, desde que a área da sua secção seja maior ou igual a metade da área total da
secção dos estribos e tenha o mesmo espaçamento. Quando os banzos estão submetidos a
flexão num plano perpendicular ao plano de flexão da viga, as armaduras de flexão poderão
ser consideradas para efeitos de armaduras de ligação (art.º 97).
Ainda segundo o REBAP, art.º 116, a armadura nas nervuras deve respeitar as
recomendações definidas para as vigas: armadura longitudinal máxima e mínima; armadura
para resistir ao esforço transverso (para as nervuras na direcção principal). Segundo alguns
engenheiros a obrigatoriedade da armadura transversal ser superior à mínima é discutível,
porque o esforço transverso pode, eventualmente, ser absorvido sem recurso às armaduras
transversais (comportamento global da laje).
Para as nervuras transversais de solidarização das lajes armadas numa só direcção, deve
colocar-se armadura longitudinal, As ≥ 0,1.As,principal.(d1/d2)]. Nestas nervuras deve também
colocar-se uma armadura de esforço transverso: armadura mínima de esforço transverso.
d1 – distância entre eixos das nervuras secundárias
d2 - distância entre eixos das nervuras principais
O EC2, na Secção 9.2.1.2, refere que “nos apoios intermédios de vigas contínuas, a área
total da armadura de tracção As de uma secção em T deverá ser distribuída ao longo da
largura efectiva do banzo (ver 5.3.2). Parte da armadura poderá ser concentrada na largura
da alma” (ver figura abaixo).
Figura 124 – Disposição da armadura de tracção numa secção em T (segundo o EC2).
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112 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
4. LAJES FUNGIFORMES As lajes fungiformes são lajes apoiadas directamente em pilares, podem ser lajes maciças
ou aligeiradas (com moldes recuperáveis ou embebidos). Como nestas lajes não há vigas
salientam-se as seguintes vantagens e desvantagens:
• maior liberdade para o projectista definir uma estrutura sem interferir com o projecto
de arquitectura;
• maior facilidade em mudar as divisórias sem criar o problema das vigas ficarem mais
expostas à vista;
• maior facilidade em colocar condutas suspensas nas lajes (não há a obstrução das
vigas);
• maior facilidade na execução: colocação da cofragem e das armaduras;
• maior concentração de esforços junto dos pilares (flexão e punçoamanto). Nestas
lajes há a necessidade acrescida de verificar a segurança em relação ao estado
limite último de resistência ao punçomento. Poderá ser necessário colocar capiteis
(ou aumentar a espessura da laje junto dos pilares) para garantir a segurança.
• maiores deformações da laje junto dos pilares e maior deformabilidade em geral.
• maior flexibilidade às acções horizontais
Há um aspecto muito importante a considerar no dimensionamento das lajes fungiformes
que não se verifica nas lajes vigadas, as lajes fungiformes são calculadas para as acções
verticais e para as acções horizontais.
Para sobrecargas correntes em edifícios (5 kN/m2) a espessura da laje pode ser
determinada, para primeira iteração no processo de dimensionamento, a partir das
seguintes expressões (Carla Marchão e Júlio Appleton):
• Lajes maciças: h = Lmaior/(25 a 30) e o valor do momento reduzido deve ser:
o μ+ < 0,18 e μ- < 0,30
• Lajes aligeiradas: h = Lmaior/(20 a 25)
Valores correntes para a espessura da laje (Carla Marchão e Júlio Appleton)
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 113
A determinação de esforços neste tipo de lajes pode ser efectuada utilizado modelos de
grelhas, análise por elementos finitos de laje ou através do método simplificado de pórticos
equivalentes. Tanto o REBAP como o EC2 permitem a determinação dos esforços
actuantes, nos casos correntes, a partir deste método simplificado. Este método consiste
essencialmente em dividir a estrutura (constituída pela laje e pilares de apoio) em 2
conjuntos independentes de pórticos em direcções ortogonais.
REBAP EC2
Art.º 119
Cada pórtico é constituído por uma fila de
pilares e por travessas formadas pelos
troços de laje compreendidos entre meios
dos painéis de laje adjacentes a essa fila
de pilares; porém, para a determinação dos
esforços devidos a forças horizontais, a
rigidez a considerar para essas travessas
deve ser reduzida a metade do seu valor.
As cargas actuantes em cada pórtico são
as correspondentes à largura das suas
travessas, não se devendo considerar
portanto qualquer repartição das cargas
entre pórticos ortogonais.
Os momentos determinados nas travessas
devem ser distribuídos, nas suas faixas
central e lateral, de acordo com as regras
indicadas no Quadro XVII.
Anexo I
A rigidez dos elementos poderá ser calculada
a partir das secções transversais brutas.
Para cargas verticais, a rigidez poderá
basear-se na largura total dos painéis. Para
cargas horizontais, deverá ser utilizado 40 %
deste valor para traduzir a maior flexibilidade
das ligações entre os pilares e as lajes das
estruturas de lajes fungiformes quando
comparada com a das ligações pilares-vigas.
A carga total no painel deverá ser
considerada na análise em cada direcção.
Os momentos flectores totais obtidos na
análise deverão ser distribuídos por toda a
largura da laje. Na análise elástica, os
momentos negativos tendem a concentrar-se
na vizinhança dos eixos dos pilares.
Deverá considerar-se os painéis divididos em
faixas sobre pilares e em faixas centrais (ver
Figura 126), e distribuir-se os momentos
flectores conforme indicado no Quadro I.1
Resumo do Quadro XVII do REBAP e do Quadro I.1 do EC2.
Momentos negativos Momentos positivos
Faixa sobre pilares (central) 60 - 80% (REBAP 75%) 50 - 70% (REBAP 55%)
Faixa lateral 40 - 20% (REBAP 25%) 50 - 30% (REBAP 45%)
Nota: O total dos momentos negativos e positivos, ao qual devem resistir conjuntamente as faixas sobre pilares e as faixas laterais, deve ser sempre igual a100%.
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114 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Figura 125 – Faixas sobre pilares e faixas laterais.
Considere o seguinte exemplo:
Calcule os momentos flectores de dimensionamento da seguinte laje fungiforme (1º piso)
recorrendo ao método dos pórticos equivalentes. Considere apenas as acções verticais
(carga permanente total igual a 8,5 kN/m2 e sobrecarga igual a 2,0 kN/m2). Espessura da
laje 20 cm. Pilares 40 x 40 cm2. Materiais C20/30 e A400NR.
Figura 126 – Definição dos 2 conjuntos independentes de pórticos em direcções ortogonais.
lx (> ly)
ly
ly/4 ly/4
ly/4
ly/4
= lx - ly/2
= ly/2
= ly/2 A
B
B
Pórtico 1x
6,0 m
3,25 m
2,75 m
Pórtico 2x
Pórtico 3x
6 m 3 m3 m 6 mPórtico 1y Pórtico 2y Pórtico 3y Pórtico 4y
6 m 6 m 6 m
5,5 m
6,5 m
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 115
A carga vertical a considerar na análise aos estados limites últimos será 1,5.c.p + 1,5sc =
1,5x8,5 +1,5x2 = 15,75 kN/m2.
A carga a aplicar, por exemplo, no pórtico 1x será 2,75x15,75 = 43,3 kN/m.
Figura 127 – Pórtico 1x com o carregamento.
Figura 128 – Diagrama de momentos do pórtico 1x.
Quadro com os momentos flectores.
Pórtico Lpórtico (m) psd(kN/m)
Msd ext (+)(kN.m)
Msd inter (+)(kN.m)
Msd ext (-)(kN.m)
Msd inter(-) (kN.m)
Pórtico 1x 2,75 43,3 69,6 64,8 114,5 136,4
Pórtico 2x 6,00 94,5 163,3 139,1 219,1 307
Pórtico 3x 3,25 51,2 83,2 76,4 132,5 162,3
Pórtico Lpórtico (m) psd(kN/m)
Msd ext1 (+)(kN.m)
Msd ext2 (+)(kN.m)
Msd ext maior (-)(kN.m)
Msd inter(-) (kN.m)
Pórtico 1yPórtico 4y
3,00 47,3 90,7 62,7 146 172,6
Pórtico 2yPórtico 3y
6,00 94,5 194,5 130,8 258,4 353
43,3 kN/m
43,3 kN/m3 m
3,5
Secção do elemento na horizontal: 2,75x0,20 m2
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116 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Quadro com a distribuição dos momentos flectores (pórtico 1x).
Figura 129 – Distribuição dos momentos para determinar as armaduras na direcção xx.
Figura 130 – Distribuição dos momentos para determinar as armaduras na direcção yy.
A análise estrutural das lajes fungiformes utilizando os modelos de elementos finitos de laje
permite modelar de forma mais rigorosa a interação laje-pilar e é mais adequado quando
Pórtico 1x Msd(kN.m)
Lfaixa(m)
Faixa Distribuição(%)
Msd(kN.m)
Msd(kN.m/m)
M (+)extremo 69,6 1,375
Central 0,55 38,3 27,8
Lateral 0,45 31,3 22,8
M (+)intermédio 64,8 1,375
Central 0,55 35,6 25,9
Lateral 0,45 29,2 21,2
M (-)extremo 114,5 1,375
Central 0,75 85,9 62,5
Lateral 0,25 28,6 20,8
M (-)intermédio 136,4 1,375
Central 0,75 102,3 74,4
Lateral 0,25 34,1 24,8
+27,8 +27,8
+22,8 +22,8+21,2
+25,9-62,5
-20,8
-62,5
-20,8
-74,4
-24,8
-74,4
-24,8
+24,5 +24,5+20,9-25,6 -25,6-18,3
-54,8
-18,3
-54,8-76,8 -76,8
+24,5 +24,5+20,9-25,6 -25,6-18,3 -18,3
+29,9 +29,9+25,5
+28,2 +28,2+25,9-61,2 -61,2-74,9 -74,9
+23 +23+21,2-20,4 -20,4-25 -25
+23,3
-73
-73
-86,3
+33,3
+23,3
-73
-73
-86,3
+33,3
+18,8
-24,3
-24,3
-28,8
+27,2
+18,8
-24,3
-24,3
-28,8
+27,2
+19,6
-21,5
-21,5
-29,4
+29,2
+19,6
-21,5
-21,5
-29,4
+29,2
+19,6
-21,5
-21,5
-29,4
+29,2
+24
-64,6
-64,6
-88,3
+35,7
+24
-64,6
-64,6
-88,3
+35,7
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 117
não há um sistema regular de pilares. A rigidez da ligação laje-pilar real é menor do que a
simulada pelo método dos pórticos equivalentes, se for considerada toda a largura da
banda.
Figura 131 – Situação real e modelada usando o método dos pórticos equivalentes (A. P.
Ramos).
Já se referiu anteriormente que há momentos torsores na laje e, simplificadamente, as
armaduras de flexão são dimensionadas para os seguintes valores de momento:
m´sd,x = msd,x + | msd,xy⏐≥ 0 → A+sx
m´sd,y = msd,y + | msd,xy⏐≥ 0 → A+sy
m´sd,x = msd,x - | msd,xy⏐≤ 0 → A-sx
m´sd,y = msd,y - | msd,xy⏐≤ 0 → A-sy
O exemplo de lajes fungiformes descrito acima mas agora analisado usando um modelo de
elementos finitos:
Figura 132 – Distribuição dos momentos mxx usando os modelos de elementos finitos.
Departamento de Engenharia Civil
118 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Figura 133 – Distribuição dos momentos myy e mxy usando os modelos de elementos finitos.
O EC2 refere na Secção 5.3.2.2 que nos “casos em que a viga ou a laje é betonada
monoliticamente com os apoios, deverá considerar-se para momento de cálculo crítico no
apoio o valor à face do apoio. Em geral, deverá considerar-se para o momento de cálculo e
a reacção transmitidos ao apoio (por exemplo, pilar, parede, etc.) o maior dos valores
elásticos ou redistribuídos. O momento à face do apoio não deverá ser inferior a 0,65 do
momento de encastramento.”
Independentemente do método de análise utilizado, no caso de continuidade de uma viga ou
de uma laje sobre um apoio que se possa considerar como não impedindo a rotação (por
exemplo, sobre paredes), o valor de cálculo dos momentos de apoio, calculados com base
nos vãos iguais entre eixos dos apoios, poderá ser reduzido de uma quantidade ΔMed.
ΔMed = Fed,sup.t / 8
Onde Fed,sup é a reacção de apoio e t é a largura do apoio .
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 119
Figura 134 – Valor de ΔMed.
Portanto, na interpretação da distribuição dos momentos junto dos apoios usando os
modelos de elementos finitos deverá proceder-se a uma redução do momento de “pico”
sobre o apoio (A. P. Ramos).
Figura 135 – Redução do momento sobre o apoio (A. P. Ramos).
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS A. P. Ramos: Apontamentos de apoio às aulas de Estruturas de Betão Armado II,
Universidade Nova de Lisboa, Setembro 2006.
Appleton, Júlio: Execução de Estruturas, Instituto Superior Técnico.
D’Arga e Lima, J.: Betão Armado, Armaduras (REBAP -83), Volume I – Aspectos Gerais.
D’Arga e Lima, J.; Monteiro, Vitor; Mun, Mary: Betão Armado, Esforços Normais e de
Flexão (REBAP -83).
Fed, sup
edM
Departamento de Engenharia Civil
120 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
D’Arga e Lima, J.; Monteiro, Vitor; Mun, Mary: Betão Armado, Esforços Transversos, de
Torção e de Punçoamento (REBAP -83).
EC2, NP EN 1992-1-1 2008 – Eurocódigo 2: Projecto de Estruturas de Betão, Parte 1-1:
Regras gerais e regras para edifícios, CEN, Instituto Português da Qualidade. Gomes, A.; Appleton, Júlio; Almeida, João: Betão Armado e Pré-Esforçado II, Volume I –
Dimensionamento e Pormenorização de Lajes, Março de 1989, Instituto Superior Técnico.
Lajes de Vigotas Pré-esforçadas, Documento de Homologação do LNEC e Catálogo da
Novobra, Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado – IST.
Leonhardt, F.; Mönnig, E.: Construções de Concreto, Volume 2, Casos especiais de
dimensionamento de estruturas de concreto armado, Editora Interciência Ltda, 1978.
Leonhardt, F.; Mönnig, E.: Construções de Concreto, Volume 3, Princípios básicos sobre a
armação de estruturas de concreto armado, Editora Interciência Ltda, 1978.
Marchão, Carla; Appleton, Júlio: Betão Armado e Pré-Esforçado II, Folhas de Apoio às
Aulas, Módulo 2 – Lajes de Betão Armado, Instituto Superior Técnico. NP EN 206-1 2007: Betão, Parte 1: Especificação, desempenho, produção e conformidade,
CEN, Instituto Português da Qualidade.
NP ENV 13670-1 2007: Execução de estruturas em betão, Parte 1: regras gerais, CEN,
Instituto Português da Qualidade.
Placfort - Informação disponibilizada no programa de cálculo e dimensionamento de lajes
aligeiradas pré-esforçadas - Placfortcalc, empresa: Placfort-Empresa de Pre-Esforçados
S.A.
REBAP – Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado, 1983. Válter Lúcio: Apontamentos de apoio às aulas de Estruturas de Betão Armado I,
Universidade Nova de Lisboa, Fevereiro 2006.
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 121
6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 6
Nas lajes armadas numa só direcção indique que medidas são necessárias adoptar junto
dos apoios paralelos às armaduras principais (por exemplo, a viga 1). Justifique
devidamente a sua resposta.
Exercício 7
Justifique porque é que se utiliza a técnica proposta por Marcus para a determinação dos
momentos máximos positivos.
Exercício 8
Considere que a laje representada na figura abaixo tem a espessura de 0,15 m e foi
executada com os materiais B25 (C20/25) e aço A400NR. Na figura estão representadas
apenas as armaduras principais. Considere que os coeficientes de segurança para as
cargas permanentes e variáveis são γg = γg = 1,5 e que o recobrimento é 25 mm.
Determine a máxima carga p kN/m2 (uniformemente distribuída), incluindo o peso próprio da
laje, que pode actuar na laje de modo a garantir apenas a segurança em relação ao estado
limite último de resistência à flexão. Sugestão: Na resolução deste problema utilize o
q (kN/m)
Viga 1
Ø10
//0,1
0m
6 m
4 m
Ø10
//0,1
0m
Ø10//0,15m
Ø10
//0,1
5m
Armaduras inferioresArmaduras superiores
Departamento de Engenharia Civil
122 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
método das bandas (aplicação prática do método estático da teoria da plasticidade em
lajes).
Exercício 9
O método das bandas é uma aplicação prática do método estático da teoria da plasticidade
em lajes. Este método é particularmente útil para lajes com aberturas ou com condições de
apoio variáveis ao longo do bordo.
Usando o método das bandas defina um esquema de cálculo de esforços adequado para a
laje indicada abaixo. Na análise considere apenas a verificação da segurança em relação
aos Estados Limite Últimos. No esquema defina as dimensões e o carregamento.
Exercício 10
Descreva os principais factores que influenciam o valor médio da largura das fendas.
Indique como cada factor afecta o valor médio da largura das fendas.
Exercício 11
Justifique porque é necessário colocar nalgumas lajes armadura de canto.
Exercício 12
Dimensione as armaduras necessárias para o painel de laje assinalado (painel 1) de modo a
verificar a segurança em relação aos Estados Limite Últimos de resistência à flexão e de
resistência ao esforço transverso.
7.00
m
3.00 m 3.00 m2.50 m
Considere que a carga aplicada é q (kN/m2)
2.50
m
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Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 123
Defina num desenho o modo como as armaduras devem estar distribuídas no painel.
Materiais: aço A400NR e betão da classe B25 (C20/25)
Ambiente moderadamente agressivo
Acções: peso próprio da laje; revestimento 1,5 kN/m2, paredes divisórias 2,0 kN/m2,
sobrecarga 4,0 kN/m2.
Exercício 13
Dimensione as armaduras necessárias para os painéis de laje assinalados (painel 1 e 2) de
modo a verificar a segurança em relação aos Estados Limite Últimos de resistência à flexão
e de resistência ao esforço transverso. Defina num desenho o modo como as armaduras
devem estar distribuídas nos painéis.
Materiais: aço A400NR e betão da classe B25 (C20/25)
Ambiente moderadamente agressivo
Acções: peso próprio da laje, revestimento 1,5 kN/m2, paredes divisórias 1,75 kN/m2,
sobrecarga na consola 5,0 kN/m2, sobrecarga na restante laje 2,0 kN/m2.
Bordo livreBordo livre
6.40 m 6.00 m 5.00 m
4.00
m4.
00m
4.00
Laje em consola
Painel 1
1.00 m
Bordo livre
Departamento de Engenharia Civil
124 Lajes de betão armado Ricardo do Carmo
Exercício 14
Dimensione as armaduras necessárias para os painéis de laje assinalados (painel 1 e 2) de
modo a verificar a segurança em relação aos Estados Limite Últimos de resistência à flexão
e de resistência ao esforço transverso. Defina num desenho o modo como as armaduras
devem estar distribuídas nos painéis.
Materiais: aço A400NR e betão da classe B30
Ambiente moderadamente agressivo
Acções: peso próprio da laje; revestimento 1,5 kN/m2, paredes divisórias 2,0 kN/m2,
sobrecarga na consola 5,0 kN/m2 e sobrecarga na restante laje 4,0 kN/m2. Não considere a
acção das paredes divisórias na laje em consola.
Vazio(não há laje nesta área)
Laje em consola
Bordo livre
Bordo livre
6.40 m 5.00 m 6.40 m1.00 m
4.00
m4.
00m
4.00
Abertura
0.50m0.50
m
Painel 2
Pai
nel 1
6.00 m 6.80 m 6.80 m 5.45 m
Bordo livre
Laje em consola
Materiais: Betão da classe B30 e A400NRAcções: peso próprio da laje
revestimento: 1.0 kN/m2paredes divisórias: 2,0 kN/m2Sobrecarga: 4,0 kN/m2
Painel 2
6.00
m5.
45m
1.00
m
Painel 1
Sobrecarga na consola: 4,0 kN/m2
Departamento de Engenharia Civil
Ricardo do Carmo Lajes de betão armado 125
Exercício 15
Dimensione as armaduras necessárias para o painel de laje assinalado (painel 1) de modo a
verificar a segurança em relação aos Estados Limite Últimos de resistência à flexão e de
resistência ao esforço transverso. Defina num desenho o modo como as armaduras devem
estar distribuídas no painel.
Materiais: aço A400NR e betão da classe B30
Ambiente moderadamente agressivo
Acções: peso próprio da laje; revestimento 1,0 kN/m2, paredes divisórias 2,0 kN/m2,
sobrecarga 4,0 kN/m2.
6.00 m 6.80 m 6.80 m 5.45 m
Bordo livre
Laje em consola
Painel 1
4.00
m5.
45m
1.50
m
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