LEIS DE KEPLER Os primeiros a descreverem sistemas planetários explicando os movimentos de corpos...

LEISDE

KEPLER

Os primeiros a descreverem sistemas planetários explicando os movimentos de corpos celestes foram os gregos.

O mais famoso sistema planetário grego foi o de Cláudio Ptolomeu (100-170), que

considerava a Terra como o centro do Universo (sistema geocêntrico).

Segundo esse sistema, cada planeta descrevia uma órbita circular cujo centro

descreveria outra órbita circular em torno da Terra.

Nicolau Copérnico (1473-1543), astrônomo polonês, criou uma nova concepção de Universo, considerando o Sol como seu centro (sistema heliocêntrico).

Entretanto, o modelo de Copérnico não foi aceito pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601), segundo o qual o Sol giraria em torno da Terra e os planetas em torno do Sol.

Segundo esse sistema, cada planeta, inclusive a Terra, descrevia uma órbita circular em torno do Sol.

Ao morrer, Brahe cedeu suas observações a seu discípulo Johannes Kepler (1571-1630), que tentou, em vão, explicar o movimento dos astros por meio das mais variadas figuras geométricas.Baseado no heliocentrismo, em sua intuição e após inúmeras tentativas, ele chegou à conclusão de que os planetas seguiam uma órbita elíptica em torno do Sol e, após anos de estudo, enunciou três leis.

1.ª LEI DE KEPLER

(LEI DAS ÓRBITAS)

“As órbitas dos planetas em torno do Sol são elipses nas quais ele ocupa um dos

focos.”

Numa elipse existem dois focos e a soma das distâncias aos focos é constante.

Foco

Focoa b

cd

a + b = c + d

ELIPSE

2.ª LEI DE KEPLER

(LEI DAS ÁREAS)

“A área descrita pelo raio vetor de um planeta (linha imaginária que liga o planeta ao Sol) é diretamente proporcional ao tempo gasto para descrevê-la.”A reta que une um planeta ao Sol vare áreas iguais em tempos iguais

Velocidade Areolar velocidade com que as áreas são descritas.

A1

A1

A1

A1

A1

A1

A1A2

Velocidade Areolar = A t

A1A2

Cada planeta mantém sua velocidade areolar constante ao longo de sua órbita elíptica. Logo:

A1 = A2 t1 t2

planeta

Sol

Afélio

Afélio ponto de maior afastamento entre o planeta e o Sol

Periélio

Periélio ponto de maior proximidade entre o planeta e o Sol

A1A2

Com isso, tem-se que a velocidade no periélio é maior que no afélio.

Afélio = 29,3 km/sPeriélio = 30,2 km/s

3.ª LEI DE KEPLER

(LEI DOS PERÍODOS)

“O quadrado do período da revolução de um planeta em torno do Sol é

diretamente proporcional ao cubo do raio médio de sua elipse orbital.”

Raio Médio média aritmética entre as distâncias máxima e mínima do planeta ao Sol.

T2 = K R3

Planeta T(dias

terrestres)

R(km) T2/R3

Mercúrio

88 5,8 x 107

4,0 x 10-20

Vênus 224,7 1,08 x 108

Terra 365,3 1,5 x 108

Marte 687 2,3 x 108

Júpiter 4343,5 7,8 x 108

Saturno 10767,5 1,44 x 109

Urano 30660 2,9 x 109

Netuno 60152 4,5 x 109

Plutão 90666 6,0 x 109

As Leis de Kepler dão uma visão cinemática do sistema planetário.

Do ponto de vista dinâmico, que tipo de que tipo de força o Sol exerce sobre os planetas, força o Sol exerce sobre os planetas,

obrigando-os a se moverem de acordo obrigando-os a se moverem de acordo com as leis que Kepler descobriracom as leis que Kepler descobrira?

A resposta foi dada por Isaac Newton (1642-1727):

FORÇA GRAVITACIONAL!!!!FORÇA GRAVITACIONAL!!!!

LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

“Dois pontos materiais se atraem mutuamente com forças que têm a direção da reta que os une e cujas

intensidades são diretamente proporcionais ao produto de suas

massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que os separa.”

F = G . m1 . m2

d2

d

m1

m2F F

G = constante de gravitação universal = 6,67 x 10-11 (SI)

Ainda de acordo com as Leis da Gravitação Universal:

Devido a sua enorme massa, o Sol tende a atrair os planetas em sua direção

Quanto mais próximo do Sol, maior a velocidade do planeta para que possa escapar

do campo de atração gravitacional do Sol

A densidade de um planeta influencia na sua velocidade de rotação

(quanto mais denso, mais lento)

Dedução da Terceira Lei de KeplerDedução da Terceira Lei de Kepler• Supondo a órbita circular:

2

2

2cp

2G

rM.m.Grm

rmFr

M.m.GF

3

2

32

rM.G

T2

rM.G

KrT

rT

M.G4

3

2

3

22

Note que o período de revolução depende da Note que o período de revolução depende da massa M do corpo central e da distância do corpo massa M do corpo central e da distância do corpo

em órbita em relação ao corpo centralem órbita em relação ao corpo central

Intensidade do campo gravitacional g na Intensidade do campo gravitacional g na superfíciesuperfície

2s2s2G

s

RM.GgR

M.m.Gg.mR

M.m.GF

g.mP

Intensidade do campo gravitacional gIntensidade do campo gravitacional g• Em uma altitude hEm uma altitude h

222G hR

M.GgrM.m.Gg.m

rM.m.GF

g.mP

2

2s

2

2s2s

hRR.gg

hRM.Gg

R.gM.GRM.Gg

Intensidade da aceleração da gravidade g em Intensidade da aceleração da gravidade g em função da latitudefunção da latitude

• De acordo com a Primeira Lei de Newton, a Lei da Inércia, todo corpo tende a manter seu estado de movimento. Ou seja, se está em repouso tende a ficar em repouso, se em movimento, tende a manter seu vetor velocidade.

• Um corpo, na superfície terrestre encontra-se em movimento devido a rotação planetária. Se em repouso sobre a Linha do Equador, sua velocidade devido a rotação terrestre é:

h/km 7,1667v6370.24.2vR.T

.2vRv

m/s 2,463v

Órbitas CircularesÓrbitas Circulares

g.rvg.mrv.mPF

2

cp

22 hR

M.G.hRvhRM.Gg

hRr

hRM.Gv

2

2s

2

2s hR

R.g.hRvhRR.gg

hRr

hRg.Rv s

Velocidade de um Velocidade de um satélite em órbita satélite em órbita circular em uma circular em uma

altitude haltitude h

Velocidade de um satélite Velocidade de um satélite em órbita circular em uma em órbita circular em uma

altitude h em função da altitude h em função da intensidade da aceleração intensidade da aceleração

da gravidade g da da gravidade g da superfíciesuperfície

Órbita Circular RasanteÓrbita Circular Rasante

s

s

s

s2

cp

gR..2T

Rg

T.2

Rg

g.mR..mPF

s 25,7 min 84s 7,50658,96370000..2T

Órbita GeoestacionáriaÓrbita Geoestacionária

2

2S2

Gcp hRR.g.mhR..mFF

2

2S32

S32

T.2R.ghRR.ghR.

R.4T.R.gh

T.2R.ghR 3

2

22S

3 2

2S

6370000.460.60.24.6370000.8,9h 3

2

22

km 36000m 35837623h TERRAR6,5h

Energia Potencial Gravitacional

U (r) = -G . m1 . m2

r

drrGMmdrrfW

r

2

r

)(U

f(r)dr0)drF(r)(cos18rd(r)F