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Cálculo Vetorial
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SUMÁRIO
Aula 1: Integrais Duplas 11
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Integral Dupla: Domínios Retangulares . . . . . . . . 12
1.3 Integral Dupla: Domínios Não Retangulares Limitados 14
1.4 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Propriedades das Integrais Duplas . . . . . . . . . . 19
1.7 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 30
Aula 2: Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 33
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas . . . . . 34
2.3 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 46
Aula 3: Algumas Aplicações da Integral Dupla 47
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Algumas Aplicações da Integral Dupla . . . . . . . . 52
3.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 60
Aula 4: Integrais triplas 63
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Integração Tripla: Domínios Paralelepípedais . . . . 64
4.3 Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Li-
mitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6 Propriedades das Integrais Triplas . . . . . . . . . . 68
4.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 81
Aula 5: Mudança de Variáveis em Integrais tríplas 83
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas . . . . . . 84
5.3 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 104
Aula 6: Algumas Aplicações das Integrais tríplas 105
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3 Algumas Aplicações da Integral Tripla . . . . . . . . 110
6.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 120
Aula 7: Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3R3R3
123
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2 Curvas em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3 Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia de
Curvas em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.4 Campos Vetoriais: Trabalho, Circulação e Fluxo . . . 128
7.5 Independência do Caminho . . . . . . . . . . . . . . 130
7.6 Algumas Aplicações das Integrais de Linha . . . . . 133
7.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 143
Aula 8: Integrais de Superfícies 145
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.2 Superfícies em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.3 Área de Superfícies em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . 147
8.4 Momento de massa e Momento de Inércia de Super-
fícies de Casca Fina em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . 151
8.5 Superfícies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . 155
8.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 165
Aula 9: Teorema de Green e Teorema de Stokes 167
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.3 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.4 Estendendo o Teorema de Green para Outras Regiões 175
9.5 Verificação do Teorema de Green . . . . . . . . . . 178
9.6 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.7 Aplicação do Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . 183
9.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 188
Aula 10: Teorema de Divergência 189
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.3 Teorema da Divergência . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.4 Estendendo o Teorema da Divergência . . . . . . . . 194
10.5 Algumas Aplicações do Teorema da Divergência . . 196
10.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 203
AULA
1Integrais Duplas
META:
Apresentar integrais duplas de funções de valores reais e domínio
em R2.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Definir a integral dupla de funções de valores reais e domínio em
R2.
Calcular algumas integrais duplas de funções de valores reais e do-
mínio em R2.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-
mínio em R, da disciplina Cálculo I.
Integrais Duplas
1.1 Introdução
Caros alunos iniciamos aqui nosso curso de Cálculo III com o
tema “Integrais Dupla”. A integração dupla, em essência, é uma
extensão natural da integral simples vista em Cálculo I e definida
como limite de somas de Riemann. Na prática, a integração dupla
é dada por duas integrações simples, cada uma efetuada sobre uma
variável e considerando as demais como constantes. É o que de-
nominamos de integrais interadas. Suas características e detalhes
próprios serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas duas
aulas.
1.2 Integral Dupla: Domínios Retangulares
Começamos por considerar uma função f definida em um do-
mínio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b∧c ≤ y ≤ d}. Formal-
mente f : [a, b]× [c, d] 7→ R. Usando a imaginação, pensemos em R
coberta por uma rede de retas paralelas aos eixos coordenados e que
dividem R em pequenos retângulos (Fig. 1.1) . Oficialmente, con-
sideraremos duas partições P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . ,
xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d} onde
como visto em Cálculo I temos: x0 < x1 < · · · < xj < xj+1 <
· · · < xm e y0 < y1 < · · · < yk < yk+1 < · · · < yn.
Desta forma cada um dos Ij = [xj−1, xj ] e Jk = [yk−1, yk] pe-
quenos subintervalos têm comprimentos ∆xj = xj −xj−1 e ∆yk =
yk−yk−1, respectivamente. Definimos, agora, a uma partição para
o retângulo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto carte-
siano das partições P [a, b] e P [c, d]. As retas retalham a região
R em uma série de retângulos Ajk = [xj−1, xj ] × [yk−1, yk], 1 ≤
12
Cálculo III AULA
1
Figura 1.1: Partição de R = [a, b]× [c, d]
j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. A area de cada pequeno retângulo é dada
por ∆Ajk = ∆xj∆yk. Como tanto ∆xj quanto ∆yk são dife-
rentes de zero, a área de cada pequeno retângulo é também di-
ferente de zero. Podemos então definir a norma da partição por:
|P | = max1≤j≤m1≤k≤n
(∆Ajk), que corresponde a maior área entre todos os
pequeno retângulo.
Pausa para respirar que já vamos definir a integral dupla sobre
domínios retangulares. Para isto tomamos um ponto (ξj , ζk) ∈BIOGRAFIA
Georg FriedrichBernhard Riemannnasceu em Breselenz,Reino de Hanôver,17 de Setembro de1826 e morreu emSelasca, Itália, 20 deJunho de 1866, foi ummatemático alemão,com contribuiçõesfundamentais para aanálise e a geometriadiferencial. Wikipedia
[xj−1, xj ]× [yk−1, yk] em cada pequeno retângulo e definimos a se-
guinte soma de Riemann:
Smn =m∑j=1
n∑k=1
f(ξj , ζk)∆Ajk
A integral dupla da função f(x, y) sobre o retângulo R, denotada∫ ∫Rf(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:
∫ ∫Rf(x, y)dxdy def= lim
|P |→0Smn
13
Integrais Duplas
Figura 1.2: Soma de Riemann para f(x, y) em R = [a, b]× [c, d]
1.3 Integral Dupla: Domínios Não Retangula-
res Limitados
Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 7→ R
onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, co-
meçamos por considerar uma função F definida em um domí-
nio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal
que D ⊂ R e F (x, y) =
f(x, y) , (x, y) ∈ D
0 , (x, y) /∈ D. Formalmente
F : [a, b] × [c, d] 7→ R é uma extensão da função f(x, y). Usando
a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de retas pa-
ralelas aos eixos coordenados e que dividem R em pequenos re-
tângulos e procedemos como na integral dupla sobre domínios re-
tangulares, considerando a uma partição para o retângulo R por
14
Cálculo III AULA
1P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições
P [a, b] e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . , xm =
b} e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d}. Do mesmo
modo definimos a norma da partição por: |P | = max1≤j≤m1≤k≤n
(∆Ajk)
onde ∆Ajk = ∆xj∆yk, ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk − yk−1. To-
mamos um ponto (ξj , ζk) ∈ [xj−1, xj ]× [yk−1, yk] em cada pequeno
retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann para a função
estendida F (x, y):
Smn =m∑j=1
n∑k=1
F (ξj , ζk)∆Ajk
A integral dupla da função f(x, y) sobre o domínio D ⊂ R2, deno-
tada∫ ∫
Df(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:
∫ ∫Df(x, y)dxdy def= lim
|P |→0Smn
Observem na partição (Fig. 1.3) que apenas os pequenos retân-
gulos cinza claro contribuem para a soma de Riemann os demais
têm contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes
estão fora de D ⊂ R2 e portanto F (ξj , ζk) = 0.
1.4 Interpretação Geométrica
Quando a função f(x, y) é positiva na região R, como a da
(Fig. 1.2), vemos que a soma de Riemann aproxima o volume do
prisma sólido reto limitado inferiormente por R e superiormente
pela superfície z = f(x, y) e quanto maior for o refinamento da par-
tição de R melhor será a aproximação. Podemos então, interpretar
a integral dupla∫ ∫
Rf(x, y)dxdy como o volume do prisma sólido
15
Integrais Duplas
Figura 1.3: Partição para F (x, y) em R = [a, b]× [c, d]
reto limitado inferiormente por R e superiormente pela superfície
z = f(x, y).
1.5 Integrais Iteradas
Do mesmo modo que para a integral simples, na integral dupla
a soma de Riemann não é um modo prático de se calcular uma
integral dupla. Vejamos agora um procedimento que facilitará o
cálculo de integrais duplas. Vamos exemplificar calculando o vo-
lume de um prisma reto de base retangular, limitado inferiormente
por [a, b] × [c, d] e superiormente pela função de valores positivos
f(x, y). para cada valor fixo de x no intervalo [a, b] consideremos
o perfil A(x) (área da seção transversal em x) (Fig. 1.4) fazemos
o produto por dx e integramos no intervalo [a, b]. Isto resulta no
16
Cálculo III AULA
1
Figura 1.4: A(x), x fixo, integramos em relação a y
volume do citado prisma.
V =∫ b
aA(x)dx
Por outro lado o perfil A(x) é dada pela área abaixo da curva
f(x, y), fixado o x, entre os valores de y no intervalo [c, d]. E como
vimos em Cálculo I A(x) =∫ d
cf(x, y)dy.
O volume do prisma pode ser então escrito como:
V =∫ b
a
[∫ d
cf(x, y)dy
]dx
.
Podemos alternativamente calcular o mesmo volume considerando
os perfis A(y) (área da seção transversal em y) (Fig. 1.5) fazemos
o produto por dy e integramos no intervalo [c, d]. Isto resulta no
volume do citado prisma.
17
Integrais Duplas
Figura 1.5: A(y), y fixo, integramos em relação a x
V =∫ d
cA(y)dy
Da mesma forma como vimos em Cálculo I A(y) =∫ b
af(x, y)dx.
O volume do prisma pode ser então escrito como:
V =∫ d
c
[∫ b
af(x, y)dx
]dy
.
Como o volume dado pelas duas expressões é o mesmo temos que:
∫ d
c
[∫ b
af(x, y)dx
]dy =
∫ b
a
[∫ d
cf(x, y)dy
]dx
ou seja a ordem em que as integrais simples são executadas não
altera o resultado final da integração dupla em domínios retangu-
lares. Este procedimento e conhecido como integrais iteradas.
18
Cálculo III AULA
11.6 Propriedades das Integrais Duplas
Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem de-
monstração, alguma das propriedades das integrais duplas. Caso
desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades,
recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na biblio-
grafia abaixo.
Propriedade 1.1. Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores
reais integrável em D e c ∈ R, então vale:
∫ ∫Dcf(x, y)dxdy = c
∫ ∫Df(x, y)dxdy
Propriedade 1.2. Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de
valores reais integráveis em D, então vale:
∫ ∫D
(f + g)(x, y)dxdy =∫ ∫
Df(x, y)dxdy +
∫ ∫Dg(x, y)dxdy
Propriedade 1.3. Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores
reais integrável em D tal que f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale:
∫ ∫Df(x, y)dxdy ≥ 0
Propriedade 1.4. Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de va-
lores reais integráveis em D tais que f(x, y) ≥ g(x, y),∀(x, y) ∈ D,
então vale:
∫ ∫Df(x, y)dxdy ≥
∫ ∫Dg(x, y)dxdy
Propriedade 1.5. Seja f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores
reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um
19
Integrais Duplas
número finito de curvas em R2, então vale:
∫ ∫Df(x, y)dxdy =
∫ ∫Af(x, y)dxdy +
∫ ∫Bf(x, y)dxdy
OBS 1.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “line-
aridade” do operador integral dupla. As terceira e quarta pro-
priedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta
propriedade é denominada “aditividade”.
1.7 Alguns Exemplos
Nada mais natural que ilustrar um novo conceito com exem-
plos e, vamos aqui fazer exatamente isto, ilustrar o conceito de
integral dupla com dois exemplos. Antes porém, vale observar que
a na prática uma integral dupla equivale a duas integrais simples e
neste caso uma pergunta fica no ar e não deixaremos sem resposta.
Qual das duas variáveis x ou y integraremos primeiro? Muito bem,
a resposta é dada pela propria expressão da integral dupla. Isto
é, na integral∫ ∫
Rf(x, y)dxdy primeiramente integramos na va-
riável x e depois na variável y. Já na integral∫ ∫
Rf(x, y)dydx
primeiramente integramos na variável y e depois na variável x.
Vamos diretamente para o primeiro exemplo de integral dupla so-
bre domínios retangulares. A saber:
Exemplo 1.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R (Fig.
1.6) dada por f(x, y) = exp(−x− y) e determine a integral dupla
I =∫ ∫
Rf(x, y)dxdy sobre a região R = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤
1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1}.
20
Cálculo III AULA
1
Figura 1.6: Função f : [0, 1]× [0, 1] 7→ R: f(x, y) = exp(−x− y)
SOLUÇÃO:
Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a
região R dada, segundo a ordem de integração:
I =∫ 1
0
∫ 1
0exp(−x− y)dxdy
Lembrando que: exp(−x− y) = exp(−x) exp(−y) temos:
I =∫ 1
0
∫ 1
0exp(−x) exp(−y)dxdy
Passo 2 integraremos na variável x considerando a variável y
como uma constante:
I =∫ 1
0
(− exp(−x)
∣∣∣10
)exp(−y)dy
Substituindo os limites de integração temos:
I =∫ 1
0(− exp(−1)− (− exp(−0))) exp(−y)dy
Efetuando os cálculos temos:
I =∫ 1
0(1− exp(−1)) exp(−y)dy
Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável:
I = (1− exp(−1))(− exp(−y)
∣∣∣10
)Substituindo os limites de integração temos:
I = (1− exp(−1)) (− exp(−1)− (− exp(−0)))
Efetuando os cálculos temos:
21
Integrais Duplas
I = (1− exp(−1))2 �
OBS 1.2. Daremos aqui um método prático para determinar os
limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não re-
tangular da forma: D.
Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando
as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D.
Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento
de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento
AB na Fig. 1.7)
Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na
Figura 1.7: Determinação prática dos limites para D
direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D
marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7).
Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na
direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D
marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7).
Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o seg-
22
Cálculo III AULA
1mento de reta AB através da região D. O limite inferior para a
variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento
entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x),
ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D.
Nossa integral será efetuada assim:
∫ ∫Df(x, y)dxdy =
∫ b
a
∫ b(x)
a(x)f(x, y)dydx
Exemplo 1.2. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R (Fig.
1.8) dada por f(x, y) = y(3x− x2 − y) e determine a integral du-
pla I =∫ ∫
Rf(x, y)dxdy sobre a região D ∈ R2 interseção das
curvas y = 0 e y = 3x− x2.
Figura 1.8: Função f : [0, 1]× [0, 1] 7→ R: f(x, y) = x.y
SOLUÇÃO:
Passo 1 faremos o desenho das duas curvas que determinam os
limites para a região D. A saber y = 0 e y = 3x− x2 (Fig. 1.9).
Passo 2 usando o processo prático exposto acima determinamos
os limites de integração. A saber: a = 0, b = 3, a(x) = 0 e
b(x) = 3x− x2.
23
Integrais Duplas
Figura 1.9: Limites para o domínio D
A integral passa a ser escrita como:
I =∫ ∫
f(x, y)dxdy =∫ 3
0
∫ 3x−x2
0y(3x− x2 − y)dydx
Operando no integrando fazendo o produto por y temos:
I =∫ 3
0
∫ 3x−x2
0(y(3x− x2)− y2)dydx
Passo 3 efetuando a integração em y temos:
I =∫ 3
0(y2
2(3x− x2)− y3
3)∣∣∣3x−x2
0dx
Substituindo os limit3es de integração temos:
I =∫ 3
0((3x− x2)2
2(3x− x2)− (3x− x2)3
3)dx
Efetuando as simplificações teremos:
I =∫ 3
0
(3x− x2)3
6dx
Expandindo o binômio de Newton temos:
I =16
∫ 3
0(27x3 − 27x4 + 9x5 − x6)dx
Passo 4 efetuando a integração em x temos:
I =16
(27x4
4− 27
x5
5+ 9
x6
6− x7
7)∣∣∣30
Substituindo os limit3es de integração temos:
I =16
(2734
4− 27
35
5+ 9
36
6− 37
7)
Efetuando os cálculos, garantido muito trabalho, temos:
24
Cálculo III AULA
1I =
729280
�
1.8 Conclusão
Na aula de hoje, vimos que a integral dupla é uma extensão
natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I. E se
por um lado a integral simples pode ser interpretada como a área
sob a curva descrita pela função a ser integrada, a integral dupla
pode ser vista como o volume sob a superfície descrita pela função
a ser duplamente integrada.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 01 constam os seguintes tópicos:
Integração Dupla: Domínios retangulares
Considerando uma função f : R 7→ R onde R = {(x, y) ∈ R2|a ≤
x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} é um retângulo em R2. Podemos cobri-lo com
uma malha de retas formada pela partição: P = P [R] = P [a, b]×
P [c, d] onde cada P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . , xn = b}
e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , ym = d} são partições
dos intervalos [a, b] em x e [c, d] em y respectivamente. A ma-
lha divide R nos retângulos Ajk = [xj−1, xj ] × [yk−1, yk], 1 ≤ j ≤
n, 1 ≤ k ≤ m de área ∆Ajk = ∆xj∆yk onde ∆xj = xj − xj−1
e ∆yk = yk − yk−1 são os comprimentos dos subintervalos Ij =
[xj−1, xj ] e Jk = [yk−1, yk] respectivamente. Defini-se a norma da
partição por: |P | = max1≤j≤n1≤k≤m
(∆Ajk). Toma-se um ponto (ξj , ζk) ∈
25
Integrais Duplas
[xj−1, xj ]× [yk−1, yk] em cada retângulo Ajk e definimos a seguinte
soma de Riemann:
Snm =n∑j=1
m∑k=1
f(ξj , ζk)∆Ajk
A integral dupla da função f(x, ) sobre o retângulo R, denotada∫ ∫Rf(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:∫ ∫
Rf(x, y)dxdy def= lim
|P |→0Snm
Integração Dupla: Domínios não Retangulares
Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 7→ R
onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, co-
meçamos por considerar uma função F definida em um domí-
nio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal
que D ⊂ R e F (x, y) =
f(x, y) , (x, y) ∈ D
0 , (x, y) /∈ D. Formalmente
F : [a, b] × [c, d] 7→ R é uma extensão da função f(x, y). A partir
daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição da inte-
gral dupla em domínios retangulares. Podemos definir a integral
dupla de uma função f(x, y) em um domínio não retangular D por:
∫ ∫Df(x, y)dxdy def= lim
|P |→0Smn
onde: Smn =∑m
j=1
∑nk=1 F (ξj , ζk)∆Ajk. é a soma de Riemann
para F (x, y)
Integrais Iteradas
As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R =
26
Cálculo III AULA
1[a, b]× [c, d] a ordem de execução das integrais simples não alteram
o valor da integral dupla, que pode ser representada por:
∫ d
c
[∫ b
af(x, y)dx
]dy =
∫ b
a
[∫ d
cf(x, y)dy
]dx
.
Propriedades das Integrais Duplas
As integrais duplas são de certo modo semelhantes às propriedades
das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase que uma
extensão natural destas. As integrais duplas têm, entre outras, as
seguintes propriedades:
Propriedade 1 Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores
reais integrável em D e c ∈ R, então vale:
∫ ∫Dcf(x, y)dxdy = c
∫ ∫Df(x, y)dxdy
Propriedade 2 Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valores
reais integráveis em D, então vale:
∫ ∫D
(f + g)(x, y)dxdy =∫ ∫
Df(x, y)dxdy +
∫ ∫Dg(x, y)dxdy
Propriedade 3 Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores
reais integrável em D tal que f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale:
∫ ∫Df(x, y)dxdy ≥ 0
27
Integrais Duplas
Propriedade 4 Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valo-
res reais integráveis em D tais que f(x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D,
então vale:
∫ ∫Df(x, y)dxdy ≥
∫ ∫Dg(x, y)dxdy
Propriedade 5 Seja f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores
reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um
número finito de curvas em R2, então vale:
∫ ∫Df(x, y)dxdy =
∫ ∫Af(x, y)dxdy +
∫ ∫Bf(x, y)dxdy
Determinação dos Limites de Integração
Para determinar os limites de integração em uma integral dupla
sobre domínio não retangular da forma: D seguimos os seguintes
passos:
Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando
as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D.
Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento
de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento
AB na Fig. 1.7)
Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na
direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D
marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7).
28
Cálculo III AULA
1Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na
direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D
marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7).
Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o seg-
mento de reta AB através da região D. O limite inferior para a
variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento
entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x),
ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D.
Nossa integral será efetuada assim:
∫ ∫Df(x, y)dxdy =
∫ b
a
∫ b(x)
a(x)f(x, y)dydx
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos mudança de variáveis na in-
tegração dupla. O objetivo da mudança de variáveis em uma in-
tegral dupla será a de facilitar esta integração de uma de duas
formas. A primeira será tornando o integrando mais simples. A
segunda transformando o domínioD do integrando em um domínio
de forma geométrica mais simples.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais du-
plas.
ATIV. 1.1. Seja f : [−1,+1]× [−1,+1] 7→ R dada por f(x, y) =
29
Integrais Duplas
x2 + y2. Determine a integral dupla∫ ∫
Rf(x, y)dxdy.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão
de guia.
ATIV. 1.2. Seja f : D ⊂ R2 7→ R dada por f(x, y) = x2 + y2,
onde D = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 1− x2}.
• Determine os limites da integral dupla∫ ∫
Df(x, y)dxdy,
• esboce a região de integração e
• calcule a integral dupla∫ ∫
Df(x, y)dxdy.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão
de guia.
LEITURA COMPLEMENTAR
ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros
Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982.
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume
2, Editora Harbra, 1994.
STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN-
GAGE Learning, 2009.
SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume
2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.
THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,
30
Cálculo III AULA
12003.
KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard
Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora
McGraw-Hill do Brasil, 1971.
BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.
31
AULA
2Mudança de Variáveis emIntegrais Duplas
META:
Introduzir mudança de variáveis em integrais duplas de funções de
valores reais e domínio em R2.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Calcular o jacobiano de aplicações de R2 em R2.
Calcular integrais duplas de funções de valores reais e domínio em
R2 utilizando mudança de variáveis.
Calcular integrais duplas de funções de valores reais e domínio em
R2 em coordenadas polares.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-
mínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R2 e coordenadas
polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 01.
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
2.1 Introdução
Caros alunos a segunda aula do nosso curso de Cálculo III
tem com o tema “Mudança de Variáveis em Integrais Duplas”. As
vezes, na integral dupla∫ ∫
Df(x, y)dxdy, dada a natureza ou de
HISTÓRIA
O teorema de mu-dança de variáveisem integrais duplasfoi primeiro propostopor Euler quando eledesenvolveu a noçãode integral dupla em1769. Usado porLegendre, Laplace eGauss, foi primeira-mente generalizadopara n variáveis porMikhail Ostrogradskiem 1836, resistiu auma demonstraçãomais rigorosa por longotempo (cerca de 125anos). E foi satisfató-riamente demonstradopor Elie Cartan emuma série de artigosnos anos 1890.
f(x, y) ao do seu domínio D, fica mais fácil integrar se fizermos
uma mudança nas variáveis de integração, como quando D é uma
disco, um semi-disco, um setor circular ou mesmo uma faixa de
disco, usando-se o sistema de coordenadas polares de modo geral
a integral dupla é mais fácil de se determinar que em coordenadas
cartesianas.
2.2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Caros alunos começaremos revendo mudança de variáveis em
integrais simples. Considere uma função f : [a, b] 7→ R. A idéia
é mudar a variável inicial x para uma nova variável ξ relaciona-
das por x = g(ξ), onde g(ξ) é uma função biunívoca estritamente
crescente ou estritamente decrescente em [a, b]. Isto garante que
podemos inverter a mudança de variáveis.
Seja F (x) uma anti-derivada de f(x) tal que F ′(x) = f(x). Então,
da regra da cadeia temos:d
dξF (g(ξ)) = F ′(g(ξ))g′(ξ) = f(g(ξ))g′(ξ).
Integrando com respeito a ξ temos:∫d
dξF (g(ξ))dξ =
∫f(g(ξ))g′(ξ)dξ
Das propriedades da integral temos:
F (g(ξ)) + C =∫f(g(ξ))g′(ξ)dξ
Como x = g(ξ) temos:
F (x) + C =∫f(g(ξ))g′(ξ)dξ
34
Cálculo III AULA
2Como F (x) é uma primitiva de f(x) a primeira expressão é a in-
tegral indefinida de f(x) com respeito a x e temos:∫f(x)dx =
∫f(g(ξ))g′(ξ)dξ
Que representa a mudança de variáveis em uma integral simples.
Para integrais definidas, se c = g(a) e d = g(b) então:∫ b
af(x)dx =
∫ d
cf(g(ξ))g′(ξ)dξ
A expressão acima funciona bem quando g(ξ) é crescente neste
caso a < b e c < d. Porém, no caso de g(ξ) decrescente (g′(ξ) < 0)
pois neste caso a < b e d < c e portanto o limite inferior da se-
gunda integral não conhecide com o limite inferior do intervalo da
imagem de g(ξ) o mesmo acontecendo com o limite superior. Neste
caso, usando as propriedades da integral simples temos:∫ b
af(x)dx = −
∫ c
df(g(ξ))g′(ξ)dξ
De outra forma escrevemos:∫ b
af(x)dx =
∫ c
df(g(ξ))|g′(ξ)|dξ.
e operaremos os limites inferiores e superiors das integrais como os
limites inferiores e superiores dos domínios (intervalos) e a expres-
são acima vale tanto pra g(ξ) crescente quanto decrescente. VamosOBSERVAÇÃO
heurística heu.rís.ti.casf (gr heuristiké) 1Ciência ou arte do pro-cedimento heurístico.2 Método de ensinoque consiste em queo educando chegue àverdade por seus pró-prios meios. 3 Ramoda ciência histórica queconsiste na pesquisados documentos dopassado.
agora diretamente ao assunto dando uma argumentação heurística
para a expressão da mudança de variáveis em integrais duplas.
Para isto, consideremos a integral dupla∫ ∫
Df(x, y)dxdy sobre
uma região D ∈ R2 do plano (x, y) e a transformação (x, y) =
T (u, v) tal que o domínio D do plano (x, y) seja a imagem do
domínio D′ do plano (u, v) (podemos expressar este fato como
D = T (D′)). Mais especificamente podemos escrever: x = x(u, v)
e y = y(u, v) tomando uma partição para o domínio D′ no plano
(u, v) cobrindo-o com pequenos retângulos e usando a transforma-
ção T podemos levar o pequeno retângulo A′jk na pequena figura
35
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
plana Ajk = T (A′jk) (ver Fig 2.1 e Fig 2.2). A área do pequeno
retângulo no plano (u, v) é ∆A′jk a área da pequena figura Ajk no
plano (x, j), e ai é que reside a argumentação heurística, será apro-
ximada pela área do paralelogramo formado pelos vetores∂T
∂v∆vk
e∂T
∂u∆uj e pelas linhas tracejadas (paralelas aos respectivos veto-
res). Do calculo vetorial temos:∂T
∂u∆uj =
∂x
∂u∆uj~i+
∂y
∂u∆uj~j + 0~k.
∂T
∂v∆vk =
∂x
∂v∆vk~i+
∂y
∂v∆vk~j + 0~k
Vistos como vetores de R3 e a área do paralelogramo (ver Vetores
e Geometria Analítica) dada pelo módulo do seguinte produto ve-
torial:
∆Ajk =∣∣∣∂T∂u
∆uj ×∂T
∂v∆vk
∣∣∣.Fazendo o cálculo do produto vetorial temos:
∂T
∂u∆uj ×
∂T
∂v∆vk = det
~i ~j ~k
∂x
∂u∆uj
∂y
∂u∆uj 0
∂x
∂v∆vk
∂y
∂v∆vk 0
Fazendo os cálculos temos:∂T
∂u∆uj ×
∂T
∂v∆vk =
(∂x∂u
∂y
∂v− ∂x
∂v
∂y
∂u
)∆uj∆vk~k.
Tomando o módulo da expressão acima, para a área de Ajk, temos:
∆Ajk ≈∣∣∣∂x∂u
∂y
∂v− ∂x
∂v
∂y
∂u
∣∣∣∆uj∆vk.A expressão dentro do módulo é o determinante de uma matrix
2 × 2 conhecida como jacobiano da transformação x = x(u, v) e
y = y(u, v) e denotado:
∂(x, y)∂(u, v)
= det
∂x
∂u
∂y
∂u∂x
∂v
∂y
∂v
=∂x
∂u
∂y
∂v− ∂x
∂v
∂y
∂u.
Como a área do pequeno retânguloA′jk é dada por ∆A′jk = ∆uj∆vk
temos:
∆Ajk ≈∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∆A′jk.
36
Cálculo III AULA
2
Figura 2.1: Plano (u, v) Figura 2.2: Plano (x, y)
O que nos leva a considerar a seguinte fórmula para a mudança de
variáveis em integrais duplas:∫ ∫Df(x, y)dxdy =
∫ ∫D′f(x(u, v), y(u, v))
∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣dudv.Que representa a mudança de variáveis na integral dupla pela
transformação (x, y) = T (u, v).
OBS 2.1. Para o caso particular da mudança de variáveis do sis-
tema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas
polares (x, y) = T (r, ϑ) = (r cos(ϑ), r sin(ϑ)) onde x = x(r, ϑ) =
r cos(ϑ) e y = y(r, ϑ) = r sin(ϑ), o jacobiano é dado por:
∂(x, y)∂(r, ϑ)
= det
∂x
∂r
∂y
∂r∂x
∂ϑ
∂y
∂ϑ
= det
cos(ϑ) sin(ϑ)
−r sin(ϑ) r cos(ϑ)
= r.
Portanto o jacobiano da transformação∂(x, y)∂(r, ϑ)
= r a mudança de
variáveis na integral dupla toma a forma:∫ ∫Df(x, y)dxdy =
∫ ∫D′f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ.
OBS 2.2. Daremos aqui um método prático para determinar os
limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não re-
tangular da forma: D em coordenadas polares.
37
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Passo 1 Fazer um desenho da região D (Fig. 2.3), identificando
as curvas que limitam a região D.
Passo 2 Atravessar toda a região D com um raio ~rrr(ϑ) orientado
na direção positiva (Fig. 2.3)
Passo 3 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção negativa do ângulo ϑ (di-NOTA
Por convenção amedida de ângulo temsinal positivo quando odeslocamento é feito nadireção anti-horária,direção contrária aomovimento dos pon-teiros do relógio e temsinal negativo quandoo deslocamento é feitona direção horária,direção do movimentodos ponteiros dorelógio.
reção horária) até tocar o ponto mais à negativa de D marcando
Figura 2.3: Determinação prática dos limites para D
o limite inferior de ϑ (ângulo α na Fig. 2.3).
Passo 4 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção positiva do ângulo ϑ
(direção anti-horária) até tocar o ponto mais à positiva de D mar-
cando o limite inferior de ϑ (ângulo β na Fig. 2.3).
Passo 5 Tomando um ponto qualquer ϑ ∈ (α, β) passamos o raio
~rrr(ϑ) através de D o limite inferior para a variável r será a função
α(ϑ), ponto da curva onde o raio ~rrr(ϑ) entra na região D e o limite
superior para a variável r será β(ϑ), ponto da curva onde o raio
~rrr(ϑ) sai da região D.
Nossa integral será efetuada assim:
∫ ∫Df(x, y)dxdy =
∫ β
α
∫ β(ϑ)
α(ϑ)f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ
38
Cálculo III AULA
22.3 Alguns Exemplos
Caros alunos, nesta seção ilustraremos, com dois exemplos, a
mudança de variáveis em integrais duplas. A rigor, trataremos
apenas de exemplos em coordenadas polares.
Exemplo 2.1. Determinar a integral dupla∫ ∫
Df(x, y)dxdy onde
D = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x2 + y2 ≤ 1} e f(x, y) =
exp(−x2 − y2). O domínio da função representa um quarto de
disco (Fig 2.4).
Figura 2.4: Gráfico do exemplo 1
SOLUÇÃO:
Passo 1 Como o domínio D é um quarto de disco, o mais ade-
quado é utilizar o sistema de coordenadas polares. Podemos usar
o método prático de determinação dos limites da integral dupla
em coordenadas polares (Fig 2.5) e verificar que: α = 0, β =π
2,
α(ϑ) = 0 e β(ϑ) = 1.
Neste caso podemos descrever o domínio como: D′ = {(r, ϑ) ∈
R2|0 ≤ r ≤ 1∧0 ≤ ϑ ≤ π/2}. E como x = r cos(ϑ) e y = r sin(ϑ) e
39
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Figura 2.5: Gráfico do exemplo 1
o módulo do jacobiano da transformação é dado por:∣∣∣∣∂(x, y)∂(r, ϑ)
∣∣∣∣ = r.
Quanto a variável r varia no intervalo [0, 1] independentemente de
ϑ e a variável ϑ varia no intervalo [0, π/2] ( a variação de ângulo no
primeiro quadrante). Podemos reescrever a integral dupla como:
I =∫ ∫
Df(x, y)dxdy =
∫ 1
0
∫ π/2
0f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdϑdr Subs-
tituindo f(x, y) temos:
I =∫ 1
0
∫ π/2
0exp(−(r cos(ϑ))2 − (r sin(ϑ))2)rdϑdr
Efetuando as simplificações temos:
I =∫ 1
0
∫ π/2
0exp(−r2)rdϑdr
Passo 2 Integrando primeiramente na variável ϑ e como o inte-
grando não depende de ϑ temos:
I =∫ 1
0exp(−r2)ϑ
∣∣∣π/20rdr
Substituindo os limites de integração temos:
I = π/2∫ 1
0exp(−r2)rdr
Passo 3 A última integral (variável r) podemos efetuar por mu-
dança de variáveis pondo ξ = r2 deste modo temos: dξ = 2rdr
ou seja rdr = −12dξ e os limites r
1
0e ξ
1
0. Daí, a integral
40
Cálculo III AULA
2passará a forma:
I = π/4∫ 1
0exp(−ξ)dξ
Cuja integração é fácil e da forma:
I = π/4− exp(−ξ)∣∣∣10
Efetuando os cálculo temos:
I =π
4(1− exp(−1)) �
Vamos agora, diretamente ao nosso segundo exemplo. Trata-se de
uma curva já conhecida de vocês (Cálculo II) a lemniscata.
Exemplo 2.2. Determinar a área da região D, a parte da lemnis-
cata, r =√
cos(2ϑ), que situa-se no primeiro quadrante. ver parte
cinza da (Fig 2.6).
Figura 2.6: Gráfico do exemplo 2
SOLUÇÃO:
Passo 1 Como o domínio D é um quarto de uma lemniscata, o
mais adequado é utilizar o sistema de coordenadas polares. Pode-
mos usar o método prático de determinação dos limites da integral
dupla em coordenadas polares (Fig 2.7) e verificar que: α = 0,
41
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
β =π
4, α(ϑ) = 0 e β(ϑ) =
√cos(2ϑ).
Figura 2.7: Gráfico do exemplo 2
Neste caso podemos descrever o domínio como: D′ = {(r, ϑ) ∈
R2|0 ≤ ϑ ≤ π/4 ∧ 0 ≤ r ≤√
cos(2ϑ)}. E como, neste exemplo,
queremos calcular área temos que f(x, y) = 1 e em coordenadas
polares podemos escrever na forma da seguinte integral dupla:
A =∫ ∫
Ddxdy =
∫ π/4
0
∫ √cos(2ϑ)
0rdrdϑ
Integrando em r temos:
A =∫ π/4
0
r2
2
∣∣∣√cos(2ϑ)
0dϑ
Substituindo os limites de integração temos:
A =∫ π/4
0
(√cos(2ϑ)
)22
dϑ
Simplificando o integrando temos:
A =∫ π/4
0
cos(2ϑ)2
dϑ
Integrando na variável ϑ temos:
A =sin(2ϑ)
4
∣∣∣π/40
Substituindo os limites de integração temos:
A =sin(π/2)− sin(0)
4Portanto:
A =14
�
42
Cálculo III AULA
2OBS 2.3. Caros alunos, é muito importante neste ponto uma revi-
são cuidadosa e detalhada dos dois exemplos dados acima. Efetuar
uma mudança de varáveis em integrais duplas não é tão simples
quanto efetuar uma mudança de variáveis em integrais simples.
2.4 Conclusão
Na aula de hoje, vimos que a mudança de variáveis em integrais
dupla, nos permite, facilitar o cálculo das ditas integrais quando
trabalhamos com domínios de integração de geometrias específicas,
como a induzida pelas coordenadas polares.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 02 constam os seguintes tópicos:
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Consideramos a transformação (x, y) = T (u, v) tal que o domínio
D do plano (x, y) seja transformado no domínio D′ do plano (u, v)
(D = T (D′)) e mais especificamente x = x(u, v) e y = y(u, v).
Definindo o jacobiano da transformação, denotado∂(x, y)∂(u, v)
, por:
∂(x, y)∂(u, v)
= det
∂x
∂u
∂y
∂u∂x
∂v
∂y
∂v
=∂x
∂u
∂y
∂v− ∂x
∂v
∂y
∂u.
Vale então,a seguinte fórmula para a mudança de variáveis en in-
tegrais duplas:
43
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
∫ ∫Df(x, y)dxdy =
∫ ∫D′f(x(u, v), y(u, v))
∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣dudv.Sistema de Coordenadas Polares
Para o caso particular da mudança de variáveis do sistema de co-
ordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas polares no
cálculo de integrais duplas temos:
(x, y) = T (r, ϑ) = (r cos(ϑ), r sin(ϑ)) onde x = x(r, ϑ) = r cos(ϑ) e
y = y(r, ϑ) = r sin(ϑ).
Vale a seguinte transformação de variáveis:
∫ ∫Df(x, y)dxdy =
∫ ∫D′f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ.
Determinação dos Limites de Integração em Coordena-
das Polares
Daremos aqui um método prático para determinar os limites de
integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular
da forma: D em coordenadas polares.
Passo 1 Fazer um desenho da região D (Fig. 2.3), identificando
as curvas que limitam a região D.
Passo 2 Atravessar toda a região D com um raio ~rrr(ϑ) orientado
na direção positiva (Fig. 2.3)
Passo 3 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção negativa do ângulo ϑ (di-
reção horária) até tocar o ponto mais à negativa de D marcando
o limite inferior de ϑ (ângulo α na Fig. 2.3).
Passo 4 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção positiva do ângulo ϑ
(direção anti-horária) até tocar o ponto mais à positiva de D mar-
cando o limite inferior de ϑ (ângulo β na Fig. 2.3).
Passo 5 Tomando um ponto qualquer ϑ ∈ (α, β) passamos o raio
44
Cálculo III AULA
2~rrr(ϑ) através de D o limite inferior para a variável r será a função
α(ϑ), ponto da curva onde o raio ~rrr(ϑ) entra na região D e o limite
superior para a variável r será β(ϑ), ponto da curva onde o raio
~rrr(ϑ) sai da região D.
Nossa integral será efetuada assim:
∫ ∫Df(x, y)dxdy =
∫ β
α
∫ β(ϑ)
α(ϑ)f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos algumas das inúmeras aplica-
ções da integral dupla. Nossa atenção estará voltada para o cálculo
do centro de massa de perfis planos bem como no cálculo de seus
momentos de inércia.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões.
ATIV. 2.1. Determine a área da parte da cardióide r(ϑ) = 1 +
cos(ϑ) que fica acima do eixo dos x (Fig 2.8) que está em cinza.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os
exemplos acima, eles lhe servirão de guia.
ATIV. 2.2. Determine a área entre a cardióide r(ϑ) = 1+cos(ϑ) e
o círculo r(ϑ) = 1 acima do eixo do x (Fig 2.9) que está em cinza.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os
exemplos acima, eles lhe servirão de guia.
45
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Figura 2.8: Atividade 1 Figura 2.9: Atividade 2
LEITURA COMPLEMENTAR
ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros
Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982.
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume
2, Editora Harbra, 1994.
STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN-
GAGE Learning, 2009.
SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume
2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.
THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,
2003.
KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard
Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora
McGraw-Hill do Brasil, 1971.
BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.
46
AULA
3Algumas Aplicações daIntegral Dupla
META:
Apresentar algumas aplicações das integrais duplas de funções de
valores reais e domínio em R2.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Determinar área, massa, centro de massa, momento de massa e
momento de inércia de figuras planas usando integrais duplas de
funções de valores reais e domínio em R2.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-
mínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R2 e coordenadas
polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 01 e aula 02.
Algumas Aplicações da Integral Dupla
3.1 Introdução
Caros alunos nesta terceira aula do nosso curso de Cálculo III
com o tema “Algumas Aplicações das Integrais Duplas”. Dentre as
inúmeras aplicações da integral dupla, veremos apenas duas pelo
pouco tempo que dispomos. Veremos apenas como usar as inte-
grais duplas para calcular a massa de uma região plana dada sua
distribuição de densidade e como calcular seu centro de gravidade.
Para outras aplicações recomendo uma busca na INTERNET
3.2 Preliminares
Consideraremos uma região D ⊂ R2 finita, com uma distri-
buição de densidade mássica superficial (massa por unidade de
superfície) %(x, y),∀(x, y) ∈ D.
Determinação da massa
Para determinar a massa consideremos uma função Φ definida
em um domínio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤
y ≤ d} tal que D ⊂ R e Φ(x, y) =
%(x, y) , (x, y) ∈ D
0 , (x, y) /∈ D.
Considerando a uma partição para o retângulo R dada por P =
P [R] = P [a, b]×P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b]
e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . , xm = b}
e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d}. Tomamos um
ponto (ξj , ζk) ∈ [xj−1, xj ] × [yk−1, yk] em cada pequeno retângulo
e definimos a seguinte soma de Riemann:
Smn =m∑j=1
n∑k=1
Φ(ξj , ζk)∆Ajk.
48
Cálculo III AULA
3A massa da regiãoD, denotadam(D), será a integral dupla da fun-
ção %(x, y) sobre o domínio D ⊂ R2, denotada∫ ∫
D%(x, y)dxdy
será então definida como o seguinte limite:
m(D) =∫ ∫
D%(x, y)dxdy def= lim
|P |→0Smn
.
OBS 3.1. Para a determinação do peso da região D toma-se a
seguinte soma de Riemann:
Smn =m∑j=1
n∑k=1
g(ξj , ζk)Φ(ξj , ζk)∆Ajk
onde g(ξj , ζk) é a aceleração da gravidade no ponto (ξj , ζk). E o
peso da região D, denotado p(D), será dado pela integral dupla:
p(D) =∫ ∫
Dg(x, y)%(x, y)dxdy def= lim
|P |→0Smn
.
Determinação do Momento de Massa
Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa
de uma região D limitada com distribuição de densidade %(x, y).
Para calcular o momento de massa de um pequeno retângulo com
relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξjΦ(ξj , ζk)∆Ajk. O
momento de massa total em relação ao eixo y para a região D será
aproximado pelo limite da soma de Riemann:
Smn =m∑j=1
n∑k=1
ξjΦ(ξj , ζk)∆Ajk
.
O momento de massa da região D em relação ao eixo y será dada
49
Algumas Aplicações da Integral Dupla
pelo limite:
My(D) =∫ ∫
Dx%(x, y)dxdy def= lim
|P |→0Smn
.
De forma semelhante chega-se ao momento de massa da região D
em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann:
Smn =m∑j=1
n∑k=1
ζkΦ(ξj , ζk)∆Ajk
.
O momento de massa da região D em relação ao eixo x será dada
pelo limite:
Mx(D) =∫ ∫
Dy%(x, y)dxdy def= lim
|P |→0Smn
.
Determinação do Centro de Massa
O centro de massa de uma região plana D ⊂ R2 finita, com uma
distribuição de densidade mássica superficial %(x, y), ∀(x, y) ∈ D,
é o ponto (x, y) definido por:
x =My(D)m(d)
=
∫ ∫Dx%(x, y)dxdy∫ ∫
D%(x, y)dxdy
y =Mx(D)m(d)
=
∫ ∫Dy%(x, y)dxdy∫ ∫
D%(x, y)dxdy
Determinação do Momento de Inércia
Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa
50
Cálculo III AULA
3de uma região D limitada com distribuição de densidade %(x, y).
Para calcular o momento de inércia de um pequeno retângulo com
relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξ2jΦ(ξj , ζk)∆Ajk. O
momento de inércia total em relação ao eixo y para a região D será
aproximado pelo limite da soma de Riemann:
Smn =m∑j=1
n∑k=1
ξ2jΦ(ξj , ζk)∆Ajk
.
O momento de inércia da região D em relação ao eixo y será dada
pelo limite:
Iy(D) =∫ ∫
Dx2%(x, y)dxdy def= lim
|P |→0Smn
.
De forma semelhante chega-se ao momento de inércia da região D
em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann:
Smn =m∑j=1
n∑k=1
ζ2kΦ(ξj , ζk)∆Ajk
.
O momento da região D em relação ao eixo x será dada pelo limite:
Ix(D) =∫ ∫
Dy2%(x, y)dxdy def= lim
|P |→0Smn
.
O momento de inércia em relação a origem é dado pela seguinte
integral dupla:
51
Algumas Aplicações da Integral Dupla
I0(D) =∫ ∫
D(x2 + y2)%(x, y)dxdy
.
3.3 Algumas Aplicações da Integral Dupla
Faremos duas aplicações da integral dupla ao cálculo do centro
de massa de duas figuras planas. Na primeira usaremos o sistema
de coordenadas cartesiano. Na segunda usaremos uma mudança
de variáveis para o sistema de coordenadas polares.
Vamos aos nossos exemplos.
Exemplo 3.1. Para o primeiro exemplo desejamos determinar o
centro de massa de uma região triangular D dada pela interseção
das retas x = 0, y = 0 e a reta que passa pelos pontos (0, a) e
(b, 0) com a, b > 0 (Fig 3.1), cuja densidade superficial de massa
é constante %(x, y) = %.
Figura 3.1: Gráfico do exemplo 1
52
Cálculo III AULA
3SOLUÇÃO:
Começaremos por determinar os limites de integração inspecio-
nando a (Fig 3.1) e verificando que 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ b(1− x
a
).
Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respec-
tivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo y Mx(D)
e My(D) respectivamente.
Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral dupla:
m(D) =∫ ∫
D%(x, y)dxdy =
∫ a
0
∫ b(1−x/a)
0%dydx
Integrando em y temos:
m(D) = %
∫ a
0y∣∣∣b(1−x/a)0
dx
Substituindo os limites de integração temos:
m(D) = %
∫ a
0b(1− x
a
)dx
Integrando em x temos:
m(D) = %b(x− x2
2a)∣∣∣a
0
Substituindo os limites de integração temos:
m(D) = %b(a− a2
2a)
Simplificando temos:
m(D) = %ab
2Passo 2 calcular o momento de massa Mx(D) dado pela integral
dupla:
Mx(D) =∫ ∫
D%(x, y)ydxdy
Substituindo os limites temos:
Mx(D) =∫ ∫
D%(x, y)ydxdy =
∫ a
0
∫ b(1−x/a)
0%ydydx
Integrando em y teremos:
Mx(D) =∫ a
0%y2
2
∣∣∣b(1−x/a)0
dx
Substituindo os limites de integração temos:
Mx(D) =∫ a
0
(b(1− x/a))2
2dx
Simplificando o integrando temos:
53
Algumas Aplicações da Integral Dupla
Mx(D) = %
∫ a
0
(b22− b2x
a+b2x2
2a2
)dx
Integrando em x teremos:
Mx(D) = %(b2x
2− b2x2
2a+b2x3
6a2
)∣∣∣a0
Substituindo os limites de integração temos:
Mx(D) = %(b2a
2− b2a2
2a+b2a3
6a2
)Simplificando as frações temos:
Mx(D) = %b2a
6Passo 3 calcular o momento de massa My(D) dado pela integral
dupla:
My(D) =∫ ∫
D%(x, y)xdxdy
My(D) =∫ ∫
D%(x, y)xdxdy
Substituindo os limites temos:
My(D) =∫ ∫
D%(x, y)xdxdy =
∫ a
0
∫ b(1−x/a)
0%xdydx
Integrando em y teremos:
My(D) =∫ a
0%xy
∣∣∣b(1−x/a)0
dx
Substituindo os limites de integração temos:
My(D) =∫ a
0%bx(1− x
a
)dx
Integrando em x teremos:
My(D) = %b(x2
2− x3
3a)∣∣∣a
0
Substituindo os limites de integração temos:
My(D) = %b(a2
2− a3
3a)
Simplificando as frações temos:
My(D) = %ba2
6Passo 4 Determinar o centro de massa de D pelas fórmulas:
x =My(D)m(D)
e y =Mx(D)m(D)
.
Usando os resultados anteriores temos:
54
Cálculo III AULA
3x =
%ba2
6
%ab
2
e y =%b2a
6
%ab
2Simplificando temos:
x =a
3e y =
b
3�
Como segundo exemplo usaremos uma região em que o sistema de
coordenadas polares facilita os cálculos.
Exemplo 3.2. Para o segundo exemplo desejamos determinar o
centro de massa de uma região D dada pelo quarto da coroa cir-
cular de raio interno a e raio externo b que situa-se no primeiro
quadrante (Fig 3.2), cuja densidade superficial de massa é cons-
tante %(x, y) = %.
Figura 3.2: Gráfico do exemplo 2
SOLUÇÃO:
Começaremos por determinar os limites de integração inspecio-
nando a (Fig 3.2) e verificando que 0 ≤ ϑ ≤ π/2 e a ≤ r ≤ b.
Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respec-
tivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo y Mx(D)
e My(D) respectivamente.
55
Algumas Aplicações da Integral Dupla
Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral dupla:
m(D) =∫ ∫
D%(x, y)dxdy =
∫ π/2
0
∫ b
a%rdrdϑ
Integrando em r temos:
m(D) =∫ π/2
0%r2
2
∣∣∣badϑ
Substituindo os limites de integração temos:
m(D) = %
∫ π/2
0
(b22− a2
2)dϑ
Integrando em ϑ temos:
m(D) = %(b2
2− a2
2)ϑ∣∣∣π/20
Substituindo os limites de integração temos:
m(D) =14%π(b2 − a2)
Passo 2 calcular o momento de massa Mx(D) dado pela integral
dupla:
Mx(D) =∫ ∫
D%(x, y)ydxdy
Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que
y = r sin(ϑ) temos:
Mx(D) =∫ ∫
D%(x, y)ydxdy =
∫ π/2
0
∫ b
a%r sin(ϑ)rdrdϑ
Integrando em r temos:
Mx(D) = %
∫ π/2
0sin(ϑ)
r3
3
∣∣∣badϑ
Substituindo os limites de integração temos:
Mx(D) = %
∫ π/2
0sin(ϑ)
(b33− a3
3)dϑ
Integrando em ϑ temos:
Mx(D) = %(b3
3− a3
3)(− cos(ϑ))
∣∣∣π/20
Substituindo os limites de integração temos:
Mx(D) = %(b3
3− a3
3)(− cos(π/2)−− cos(0))
Simplificando temos:
Mx(D) =13%(b3 − a3)
Passo 3 calcular o momento de massa My(D) dado pela integral
dupla:
56
Cálculo III AULA
3My(D) =
∫ ∫D%(x, y)xdxdy
My(D) =∫ ∫
D%(x, y)xdxdy
Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que
x = r cos(ϑ) temos:
Mx(D) =∫ ∫
D%(x, y)ydxdy =
∫ π/2
0
∫ b
a%r cos(ϑ)rdrdϑ
Integrando em r temos:
Mx(D) = %
∫ π/2
0cos(ϑ)
r3
3
∣∣∣badϑ
Substituindo os limites de integração temos:
Mx(D) = %
∫ π/2
0cos(ϑ)
(b33− a3
3)dϑ
Integrando em ϑ temos:
Mx(D) = %(b3
3− a3
3)(sin(ϑ))
∣∣∣π/20
Substituindo os limites de integração temos:
Mx(D) = %(b3
3− a3
3)(sin(π/2)− sin(0))
Simplificando temos:
Mx(D) =13%(b3 − a3)
Passo 4 Determinar o centro de massa de D pelas fórmulas:
x =My(D)m(D)
e y =Mx(D)m(D)
.
Usando os resultados anteriores temos:
x = y =
13%(b3 − a3)
14%π(b2 − a2)
Levando em conta que b3 − a3 = (b− a)(b2 + ba+ a2) e b2 − a2 =
(b− a)(b+ a) temos:
x = y =
13%(b− a)(b2 + ba+ a2)
14%π(b− a)(b+ a)
Simplificando temos:
x = y =4
3π.b2 + ba+ a2
b+ a�
57
Algumas Aplicações da Integral Dupla
3.4 Conclusão
Na aula de hoje, vimos que dentre as inúmeras aplicações da
integral dupla, dentro da área da física destacamos, entre outras,
algumas das mais importantes que são: a determinação da massa
de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de
densidade, o cálculo do momento de massa de uma região plana
limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade, o mo-
mento de inércia de uma região plana limitada por curvas, dada
sua distribuição de densidade e o cálculo do centro de massa de
uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de
densidade.
RESUMO
Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia
Dada uma regiãoD ∈ R2 plana limitada com distribuição de densi-
dade superficial %(x, y) podemos calcular a massa deD, o momento
de massa em relação ao eixo x, o momento de massa relativo ao
eixo y, o momento de inércia em relação ao eixo x, o momento de
inércia relativo ao eixo y e momento de inércia relativo a origem,
denotados respectivamente m(D), Mx(D), My(D), Ix(D), Iy(D)
e I0(D), pelas integrais duplas:
m(D) =∫ ∫
D%(x, y)dxdy
Mx(D) =∫ ∫
D%(x, y)ydxdy
My(D) =∫ ∫
D%(x, y)xdxdy
Ix(D) =∫ ∫
D%(x, y)y2dxdy
58
Cálculo III AULA
3Iy(D) =
∫ ∫D%(x, y)x2dxdy e
I0(D) =∫ ∫
D%(x, y)(x2 + y2)dxdy
Centro de Massa
Podemos também calcular o centro de massa, denotado (x, y) usando
as seguintes fórmulas:
x =My(D)m(d)
=
∫ ∫Dx%(x, y)dxdy∫ ∫
D%(x, y)dxdy
y =Mx(D)m(d)
=
∫ ∫Dy%(x, y)dxdy∫ ∫
D%(x, y)dxdy
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos as integrais triplas. Primeira-
mente definindo-as para funções de domínios retangulares através
do limite de somas de riemann estendendo a definição para funções
definidas em domínios não retangulares porém limitados.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades dois problemas de determinação do
centro de massa.
ATIV. 3.1. Determine o centro de massa da região D dada pela
interseção das retas y = 0, x = 1 e y = ax2 (Fig 3.3) região em
cinza.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as
59
Algumas Aplicações da Integral Dupla
Figura 3.3: Atividade 1 Figura 3.4: Atividade 2
demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. Use para este caso
coordenadas cartesianas.
ATIV. 3.2. Determine o centro de massa da região D dada pelo
semi-círculo superior x2 + y2 = a2 (Fig 3.4) região em cinza.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as
demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. Use para este caso
coordenadas polares.
LEITURA COMPLEMENTAR
ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros
Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982.
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume
2, Editora Harbra, 1994.
STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN-
GAGE Learning, 2009.
SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume
2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.
60
Cálculo III AULA
3THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,
2003.
KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard
Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora
McGraw-Hill do Brasil, 1971.
BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.
61
AULA
4Integrais triplas
META:
Apresentar integrais triplas de funções de valores reais e domínio
em R3.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Definir integral tripla e calcular algumas integrais triplas de fun-
ções de valores reais e domínio em R3.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-
mínio em R, da disciplina Cálculo I.
Integrais triplas
4.1 Introdução
Caros alunos a quarta aula do nosso curso de Cálculo III com o
tema “Integrais Triplas”. Bem como a integral dupla, vista na nossa
primeira aula, a integração tripla, em essência, é uma extensão
natural da integral simples vista em Cálculo I e definida como
limite de somas de Riemann. Na prática, a integração tripla é dadaHISTÓRIA
A primeira técnicasistemática documen-tada para o cálculode integrais triplas nocálculo de volume foio método da exaustãode Eudoxus cercade 370AC. O maioravanço no cálculode integrais triplasveio do Iraque, noséculo 11, na figurade Ibn AL-Haythan(conhecido na Europapor Alhazen ). En-quanto resolvia o queficou conhecido como“Problema de Alhazen”(um problema de ótica)ele calculou o volumede um parabolsóideusando um método deindução. Wikipédia.
por três integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável
e considerando as demais como constantes. É o que denominamos
de integrais interadas. As características e detalhes próprios das
integrais triplas serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas
três aulas.
4.2 Integração Tripla: Domínios Paralelepípe-
dais
Começamos por considerar uma função φ definida em um do-
mínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤
d ∧ e ≤ z ≤ f}. Formalmente φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] 7→ R.
Usando a imaginação, pensemos em R retalhada por uma rede
de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem R em
pequenos paralelepípedos. Oficialmente, consideraremos três par-
tições P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xi, xi+1, . . . , xl = b}, P [c, d] =
{y0 = c, y1, . . . , yj , yj+1, . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1,
. . . , zk, zk+1, . . . , zn = f} onde como visto em Cálculo I temos:
x0 < x1 < · · · < xi < xi+1 < · · · < xl, y0 < y1 < · · · < yj <
yj+1 < · · · < ym e z0 < z1 < · · · < zk < zk+1 < · · · < zn. Desta
forma cada um dos pequenos subintervalos Ii = [xi−1, xi], Jj =
64
Cálculo III AULA
4[yj−1, yj ] e Kk = [zk−1, zk] têm comprimentos ∆xi = xi − xi−1,
∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk − zk−1, respectivamente. Definimos,
agora, a uma partição para o paralelepípedo R por P = P [R] =
P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b],
P [c, d] e P [e, f ]. Os planos retalham a região R em uma série de pe-
quenos paralelepípedos Vijk = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]× [zk−1, zk], 1 ≤
i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume de cada pequeno paralele-
pípedo é dado por ∆Vijk = ∆xi∆yj∆zk. Como tanto ∆xi quanto
∆yj quanto ∆zk são diferentes de zero, o volume de cada pequeno
paralelepípedo é também diferente de zero. Podemos então definir
a norma da partição por: |P | = max1≤i≤l1≤j≤m1≤k≤n
(∆Vijk), que corresponde
ao maior volume entre todos os pequenos paralelepípedos.
Pausa para respirar que já vamos definir a integral tripla sobre do-
mínios paralelepípedais. Para isto tomemos um ponto (ξi, ζj , ηk) ∈
[xi−1, xi] × [yj−1, yj ] × [zk−1, zk] em cada pequeno paralelepípedo
e definimos a seguinte soma de Riemann:
Slmn =l∑
i=1
m∑j=1
n∑k=1
φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk
A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R,
denotada∫ ∫ ∫
Rφ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se-
guinte limite:
∫ ∫ ∫Rφ(x, y, z)dxdydz def= lim
|P |→0Slmn
65
Integrais triplas
4.3 Integração Tripla: Domínios Não Paralele-
pípedais Limitados
Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 7→
R onde D é limitado não paralelepipedal, começamos por con-
siderar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal
R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f} tal
que D ⊂ R e Φ(x, y, z) =
φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D
0 , (x, y, z) /∈ D. Formal-
mente Φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] 7→ R é uma extensão da função
φ(x, y, z). Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma
rede de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem
R em pequenos paralelepípedos e procedemos como na integral
tripla sobre domínios paralelepípedais, considerando a uma parti-
ção para o paralelepípedo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] ×
P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ]
onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xi, xi+1, . . . , xl = b}, P [c, d] =
{y0 = c, y1, . . . , yj , yj+1, . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1,
. . . , zk, zk+1, . . . , zn = f}. Do mesmo modo definimos a norma
da partição por: |P | = max1≤i≤l1≤j≤m1≤k≤n
(∆Vijk) onde ∆Vijk = ∆xi∆yj∆zk,
∆xi = xi − xi−1, ∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk − zk−1. Tomamos
um ponto (ξi, ζj , ηk) ∈ [xi−1, xi] × [yj−1, yj ] × [zk−1, zk] em cada
pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann
para a função estendida Φ(x, y, z):
Slmn =l∑
i=1
m∑j=1
n∑k=1
Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk
66
Cálculo III AULA
4A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o domínio D ⊂ R3,
denotada∫ ∫ ∫
Dφ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se-
guinte limite:∫ ∫ ∫Dφ(x, y, z)dxdydz def= lim
|P |→0Slmn.
Observem que, semelhante ao caso das integrais duplas, apenas os
pequenos paralelepípedos cujo ponto escolhido pertence ao domínio
D ⊂ R3, contribuem para a soma de Riemann os demais têm
contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes estão
fora de D ⊂ R2 e portanto Φ(ξi, ζj , ηk) = 0.
4.4 Interpretação Geométrica
Quando a função φ : D ⊂ R3 7→ R é constante e igual a um
(φ(x, y, z) = 1,∀(x, y, z) ∈ D) e a região domínio D é limitada,
vemos que a soma de Riemann aproxima o volume da região D e
quanto maior for o refinamento da partição de R3 ⊃ R ⊃ D melhor
será a aproximação. Podemos então, interpretar a integral tripla∫ ∫ ∫Ddxdydz como o volume da região D ⊂ R3.
4.5 Integrais Iteradas
Dada uma função φ : R 7→ R onde R = [a, b]× [c, d]× [e, f ], do
mesmo modo que na integral dupla, valem as integrais interadas:
1.∫ ∫ ∫
Rφ(x, y, z)dxdydz =
∫ b
a
[ ∫ d
c
[ ∫ f
eφ(x, y, z)dz
]dy]dx
2.∫ ∫ ∫
Rφ(x, y, z)dxdydz =
∫ b
a
[ ∫ f
e
[ ∫ d
cφ(x, y, z)dy
]dz]dx
67
Integrais triplas
3.∫ ∫ ∫
Rφ(x, y, z)dxdydz =
∫ d
c
[ ∫ b
a
[ ∫ f
eφ(x, y, z)dz
]dx]dy
4.∫ ∫ ∫
Rφ(x, y, z)dxdydz =
∫ d
c
[ ∫ f
e
[ ∫ b
aφ(x, y, z)dx
]dz]dy
5.∫ ∫ ∫
Rφ(x, y, z)dxdydz =
∫ f
e
[ ∫ d
c
[ ∫ b
aφ(x, y, z)dx
]dy]dz
6.∫ ∫ ∫
Rφ(x, y, z)dxdydz =
∫ f
e
[ ∫ b
a
[ ∫ d
cφ(x, y, z)dy
]dx]dz
Em outras palavras, quando o domínio da integral tripla é parale-
lepipedal a ordem de integração não importa.
4.6 Propriedades das Integrais Triplas
Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem de-
monstração, alguma das propriedades das integrais triplas. Caso
desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades,
recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na biblio-
grafia abaixo.
Propriedade 4.1. Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores
reais integrável em D e c ∈ R, então vale:
∫ ∫ ∫Dcf(x, y, z)dxdydz = c
∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz
Propriedade 4.2. Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de
valores reais integráveis em D, então vale:
∫ ∫ ∫D
(f + g)(x, y, z)dxdydz =∫ ∫ ∫
Df(x, y, z)dxdydz
+∫ ∫ ∫
Dg(x, y, z)dxdydz
68
Cálculo III AULA
4Propriedade 4.3. Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores
reais integrável em D tal que f(x, y, z) ≥ 0, ∀(x, y, z) ∈ D, então
vale:
∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz ≥ 0
Propriedade 4.4. Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valo-
res reais integráveis em D tais que f(x, y, z) ≥ g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈
D, então vale:
∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz ≥
∫ ∫ ∫Dg(x, y, z)dxdydz
Propriedade 4.5. Seja f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores
reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um
número finito de superfícies em R3, então vale:
∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫ ∫Af(x, y, z)dxdydz
+∫ ∫ ∫
Bf(x, y, z)dxdydz
OBS 4.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “line-
aridade” do operador integral tripla. As terceira e quarta pro-
priedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta
propriedade é denominada “aditividade”.
4.7 Exemplos
Nada mais natural que ilustrar um novo conceito com exem-
plos e, vamos aqui fazer exatamente isto. Ilustrar o conceito de
integral tripla com dois exemplos. Antes porém, vale observar
69
Integrais triplas
que a na prática uma integral tripla equivale a três integrais sim-
ples e neste caso uma pergunta fica no ar. Qual das duas variá-
veis x, y ou z integraremos primeiro? Muito bem, a resposta é
dada pela propria expressão da integral tripla. Isto é, na integral∫ ∫ ∫Rf(x, y, z)dxdydz primeiramente integramos na variável x,
depois na variável y e por último na variável z. Já na integral∫ ∫ ∫Rf(x, y, z)dzdydx primeiramente integramos na variável z,
depois na variável y e por último na variável x.
Exemplo 4.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] 7→ R
dada por f(x, y) = x2 + y2 + z2 e determine a integral tripla
I =∫ ∫
Rf(x, y, z)dxdydz sobre a região R = {(x, y, z) ∈ R3|0 ≤
x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}.
SOLUÇÃO:
Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a
região R dada, segundo a ordem de integração:
I =∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0(x2 + y2 + z2)dxdydz
Passo 2 integraremos na variável x considerando as variáveis y e
z como constantes:
I =∫ 1
0
∫ 1
0
(x3
3+ y2x+ z2x
)dydz
Substituindo os limites de integração temos:
I =∫ 1
0
∫ 1
0
(13
3− 03
3+ y2(1− 0) + z2(1− 0)
)dydz
Efetuando os cálculos temos:
I =∫ 1
0
∫ 1
0
(13
+ y2 + z2
)dy
Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável x
como constante:
70
Cálculo III AULA
4I =
∫ 1
0
(13y +
y3
3+ z2y
) ∣∣∣10dz
Substituindo os limites de integração temos:
I =∫ 1
0
(13
(1− 0) +13
3− 03
3+ z2(1− 0)
)dz
Efetuando os cálculos temos:
I =∫ 1
0
(13
+13
+ z2
)dz
Passo 4 último passo, integraremos na variável z:
I =(
13z +
13z +
z3
3
) ∣∣∣10
Substituindo os limites de integração temos:
I =(
13
(1− 0) +13
(1− 0) +13
3− 03
3
)Efetuando os cálculos temos:
I =13
+13
+13
= 1 �
Figura 4.1: Determinação prática dos limites para D
OBS 4.2. Daremos aqui um método prático para determinar os
limites de integração em uma integral tripla sobre domínio não re-
tangular da forma: D.
Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 4.1) identificando
as superfícies inferior a(x, y) e superior b(x, y) que limitam a região
71
Integrais triplas
D, bem como a sombra projetada no plano xy por D, denotada
D∗ e identificar as curvas limites da região D∗ a(x) curva inferior
e b(x) curva superior, como na AULA01.
Passo 2 Atravessar toda a região D∗ e o eixo x com um segmento
de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento
r na Fig. 4.1)
Passo 3 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na di-
reção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D∗
marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 4.1).
Passo 4 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na di-
reção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D∗
marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 4.1).
Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o seg-
mento de reta r através da região D∗ paralelo ao eixo y na direção
positiva do eixo x. O limite inferior para a variável y será a fun-
ção a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D∗ e o
limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o
segmento de reta sai da região D∗.
Passo 6 Tomando um ponto qualquer (x, y) ∈ D∗ passamos o
segmento de reta s através da região D, paralelo ao eixo z orien-
tado na direção positiva de z. O limite inferior para a variável z
será a função a(x, y), ponto da superfície onde o segmento entra
na região D e o limite superior para a variável z será b(x, y), ponto
da superfície onde o segmento de reta sai da região D.
Nossa integral será efetuada assim:
∫ ∫ ∫Df(x, y)dxdy =
∫ b
a
∫ b(x)
a(x)
∫ b(x,y)
a(x,y)f(x, y, z)dzdydx
72
Cálculo III AULA
4Vamos diretamente para um segundo exemplo de integral dupla
sobre domínios não retangulares. A saber:
Exemplo 4.2. Considere a função f : D ⊂ R3 7→ R dada por
f(x, y) = xyz e determine a integral dupla∫ ∫
Df(x, y, z)dxdydz
sobre a região D = {(x, y, z) ∈ R3|0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x2 ∧ 0 ≤
z ≤ 1}, (Fig. 4.2).
Figura 4.2: Domínio D para o exemplo 2
SOLUÇÃO:
Passo 1 faremos o desenho das superfícies que determinam os
limites para a região D. A saber x = 0, x = 1, y = x2, x = 0 e
z = 1 (Fig. 4.2).
Usando o processo prático exposto acima determinamos os limi-
tes de integração. A saber: a = 0, b = 1, a(x) = 0, b(x) = x2,
a(x, y) = 0 e b(x, y) = 1.
I =∫ 1
0
∫ x2
0
∫ 1
0xyzdzdydx
Passo 2 integraremos na variável z considerando a variável y
73
Integrais triplas
e x como uma constante:
I =∫ 1
0
∫ x2
0
(xyz2
2
∣∣∣10
)dydx
Substituindo os limites de integração temos:
I =∫ 1
0
∫ x2
0
(xy
12
2− xy02
2))dydx
Efetuando os cálculos temos:
I =12
∫ 1
0
∫ x2
0xydydx
Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável x
constante temos:
I =∫ 1
0xy2
2
∣∣∣x2
0dx
Substituindo os limites de integração temos:
I =12
∫ 1
0
(x
(x2)2
2− x02
2
)dx
Efetuando os cálculos temos:
I =14
∫ 1
0x5dx
Integrando , finalmente , na variável x temos:
I =14
(x6
6
∣∣∣10
)Substituindo os limites de integração temos:
I =14
(16
6− 06
6
)Efetuando os cálculos temos: I =
124
�
4.8 Conclusão
Na aula de hoje, vimos que a integral tripla é uma extensão
natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I e também
uma extensão natural do conceito de integral dupla, vista em nossa
primeira aula do curso de Cálculo III. E se por um lado a integral
simples pode ser interpretada como a área sob a curva descrita por
74
Cálculo III AULA
4função positiva f(x) em um domínio [a, b] e a integral dupla pode
ser vista como o volume de um prisma reto limitado superiormente
pela a superfície descrita por uma função positiva f(x, y) e limitado
inferiormente pelo domínio [a, b] × [c, d], a integral tripla só tem
interpretação geométrica no caso simples em que f(x, y, z) = 1.
Neste caso a integral tripla representa o volume da região limitada
D ⊂ R3.
RESUMO
Integração Tripla: Domínios Paralelepipedais
Considerando uma função φ definida em um domínio paralelepi-
pedal R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f}.
Podemos dividir R em pequenos paralelepípedos considerando os
planos paralelos ao planos cartesianos gerados pela partição P =
P [R] = P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições
P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xi, xi+1, . . . ,
xl = b}, P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yj , yj+1, . . . , ym = d} e P [e, f ] =
{z0 = e, z1, . . . , zk, zk+1, . . . , zn = f}. Os planos retalham a região
R em uma série de pequenos paralelepípedos Vijk = [xi−1, xi] ×
[yj−1, yj ] × [zk−1, zk], 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume
de cada pequeno paralelepípedo é dado por ∆Vijk = ∆xi∆yj∆zk.
A norma da partição fica estabelecida como: |P | = max1≤i≤l1≤j≤m1≤k≤n
(∆Vijk).
Toma-se um ponto (ξi, ζj , ηk) ∈ [xi−1, xi] × [yj−1, yj ] × [zk−1, zk]
em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de
Riemann:
75
Integrais triplas
Slmn =l∑
i=1
m∑j=1
n∑k=1
φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk
A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R,
denotada∫ ∫ ∫
Rφ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se-
guinte limite:∫ ∫ ∫Rφ(x, y, z)dxdydz def= lim
|P |→0Slmn
Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Limi-
tados
Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 7→ R
onde D é não paralelepipedal limitado, começamos por conside-
rar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal R =
{(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f} tal que
D ⊂ R e Φ(x, y, z) =
φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D
0 , (x, y, z) /∈ D. Formalmente
Φ : [a, b]× [c, d]× [e, f ] 7→ R é uma extensão da função φ(x, y, z).
A partir daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição
da integral tripla em domínios paralelepipedais. Podemos definir
a integral tripla de uma função φ(x, y, z) em um domínio não re-
tangular D por:
∫ ∫ ∫Dφ(x, y, z)dxdydz def= lim
|P |→0Slmn
onde Slmn =∑l
i=1
∑mj=1
∑nk=1 Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk é a soma de Rie-
mann para Φ(x, y, z.
Integrais Iteradas
As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R =
[a, b]× [c, d]× [e, f ] a ordem de execução das integrais simples não
76
Cálculo III AULA
4alteram o valor da integral tripla, que pode ser representada por:
1.∫ ∫ ∫
Rφ(x, y, z)dxdydz =
∫ b
a
[ ∫ d
c
[ ∫ f
eφ(x, y, z)dz
]dy]dx
2.∫ ∫ ∫
Rφ(x, y, z)dxdydz =
∫ b
a
[ ∫ f
e
[ ∫ d
cφ(x, y, z)dy
]dz]dx
3.∫ ∫ ∫
Rφ(x, y, z)dxdydz =
∫ d
c
[ ∫ b
a
[ ∫ f
eφ(x, y, z)dz
]dx]dy
4.∫ ∫ ∫
Rφ(x, y, z)dxdydz =
∫ d
c
[ ∫ f
e
[ ∫ b
aφ(x, y, z)dx
]dz]dy
5.∫ ∫ ∫
Rφ(x, y, z)dxdydz =
∫ f
e
[ ∫ d
c
[ ∫ b
aφ(x, y, z)dx
]dy]dz
6.∫ ∫ ∫
Rφ(x, y, z)dxdydz =
∫ f
e
[ ∫ b
a
[ ∫ d
cφ(x, y, z)dy
]dx]dz
Propriedades das Integrais triplas
As integrais triplas são, de certo modo, semelhantes às proprie-
dades das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase
que uma extensão natural destas. As integrais triplas têm, entre
outras, as seguintes propriedades:
Propriedade 1 Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores
reais integrável em D e c ∈ R, então vale:
∫ ∫ ∫Dcf(x, y, z)dxdydz = c
∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz
Propriedade 2 Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valores
reais integráveis em D, então vale:
∫ ∫ ∫D
(f + g)(x, y, z)dxdydz =∫ ∫ ∫
Df(x, y, z)dxdydz
+∫ ∫ ∫
Dg(x, y, z)dxdydz
77
Integrais triplas
Propriedade 3 Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores
reais integrável em D tal que f(x, y, z) ≥ 0,∀(x, y, z) ∈ D, então
vale:
∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz ≥ 0
Propriedade 4 Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valores
reais integráveis em D tais que f(x, y, z) ≥ g(x, y, z),∀(x, y, z) ∈
D, então vale:
∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz ≥
∫ ∫ ∫Dg(x, y, z)dxdydz
Propriedade 5 Seja f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores
reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um
número finito de superfícies em R3, então vale:
∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫ ∫Af(x, y, z)dxdydz
+∫ ∫ ∫
Bf(x, y, z)dxdydz
Determinação dos Limites de Integração para Integrais
Triplas
Daremos aqui um método prático para determinar os limites de
integração em uma integral tripla sobre domínio não retangular da
forma: D.
Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 4.1) identificando
as superfícies inferior a(x, y) e superior b(x, y) que limitam a região
D, bem como a sombra projetada no plano xy por D, denotada
78
Cálculo III AULA
4D∗ e identificar as curvas limites da região D∗ a(x) curva inferior
e b(x) curva superior, como na AULA01.
Passo 2 Atravessar toda a região D∗ e o eixo x com um seg-
mento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y
(segmento r na Fig. 4.1)
Passo 3 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na
direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de
D∗ marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 4.1).
Passo 4 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na
direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D∗
marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 4.1).
Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o
segmento de reta r através da região D∗ paralelo ao eixo y na di-
reção positiva do eixo x. O limite inferior para a variável y será a
função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D∗ e
o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde
o segmento de reta sai da região D∗.
Passo 6 Tomando um ponto qualquer (x, y) ∈ D∗ passamos o
segmento de reta s através da região D, paralelo ao eixo z orien-
tado na direção positiva de z. O limite inferior para a variável z
será a função a(x, y), ponto da superfície onde o segmento entra
na região D e o limite superior para a variável z será b(x, y), ponto
da superfície onde o segmento de reta sai da região D.
79
Integrais triplas
Nossa integral será efetuada assim:
∫ ∫ ∫Df(x, y)dxdy =
∫ b
a
∫ b(x)
a(x)
∫ b(x,y)
a(x,y)f(x, y, z)dzdydx
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos mudança de variáveis na in-
tegração tripla. O objetivo da mudança de variáveis em uma in-
tegral tripla será a de facilitar esta integração de uma de duas
formas. A primeira será tornando o integrando mais simples. A
segunda transformando o domínioD do integrando em um domínio
de forma geométrica mais simples.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais trí-
plas.
ATIV. 4.1. Seja f : [−1,+1]× [−1,+1]× [−1,+1] 7→ R dada por
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Determine a integral tripla:∫ ∫ ∫Rf(x, y, z)dxdydz.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão
de guia.
ATIV. 4.2. Seja f : D ⊂ R3 7→ R dada por f(x, y, z) = 1, onde
D = {(x, y, z) ∈ R3|x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 1− x2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1− x2}.
80
Cálculo III AULA
4• Esboce a região de integração
• Determine os limites da integral tripla:∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz
• Calcule a integral tripla∫ ∫ ∫
Df(x, y, z)dxdydz.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão
de guia.
LEITURA COMPLEMENTAR
ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros
Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982.
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume
2, Editora Harbra, 1994.
STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN-
GAGE Learning, 2009.
SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume
2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.
THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,
2003.
KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard
Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora
McGraw-Hill do Brasil, 1971.
BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.
81
AULA
5Mudança de Variáveisem Integrais tríplas
META:
Introduzir mudança de variáveis em integrais triplas de funções de
valores reais e domínio em R3.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Calcular integrais triplas de funções de valores reais e domínio em
R3 utilizando mudança de variáveis.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-
mínio em R, da disciplina Cálculo I, superfícies em R3, de coorde-
nadas polares da disciplina Cálculo II e integrais triplas aula 04.
Mudança de Variáveis em Integrais tríplas
5.1 Introdução
Caros alunos o problema da mudança de variáveis em integrais
triplas é inteiramente análogo ao problema de mudança de variá-
veis em integrais duplas. Analogias a parte, o fato de do espaço R3
ter uma dimensão a mais que o R2, traz um esforço algébrico adi-
cional ao tratamento geral da mudança de variáveis em integraisHISTÓRIA
O teorema de mu-dança de variáveis emintegrais tríplas foiprimeiro proposto porLagrange em 1773 eusado por Legendre,Laplace e Gauss, eprimeiramente ge-neralizado para nvariáveis por MikhailOstrogradski em 1836,resistiu a uma demons-tração mais rigorosapor longo tempo (cercade 125 anos). Efoi satisfatóriamentedemonstrado por ElieCartan em uma sériede artigos nos anos1890.
triplas. Veremos dois casos particulares de mudança de variáveis
em integrais tripla que correspondem aos: sistemas de coordenadas
cilíndricos e sistema de coordenadas esféricos.
5.2 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas
Vamos considerar a integração de uma função f : D ⊂ R3 7→
R onde (x, y, z) ∈ D e conseqüentemente, ∀(x, y, z) ∈ D temos
f(x, y, z) ∈ R. Consideraremos também, uma transformação T :
D ⊂ R3 7→ D′ ⊂ R3, biunívoca de modo que D = T−1(D′),
∀(u, v, w) ∈ D′, (x, y, z) = T−1(u, v, w) ∈ D. Trocando em miú-
dos: x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) e z = z(u, v, w). E suponhamos
as funções contínuas e deriváveis e seu jacobiano, denotado J , de-
finido por: J(x, y, z
u, v, w
)ou
∂(x, y, z)∂(u, v, w)
:
J
(x, y, z
u, v, w
)=∂(x, y, z)∂(u, v, w)
= det
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
∂w
.
Suponhamos uma partição de D′ feita partindo de planos para-
lelos aos planos coordenados vw (u constante), uw (v constante) e
uv (w constante). Denotando ui+1 = ui + ∆ui, vj+1 = vj + ∆vj e
84
Cálculo III AULA
5wk+1 = wk+∆wk, destacamos o pequeno paralelepípedo indexado
por ijk, (Fig 5.1). Suponhamos que
Figura 5.1: Elemento de vo-
lume em D′
Figura 5.2: Elemento de vo-
lume em D
este pequeno paralelepípedo de volume ∆V ′ijk = ∆ui∆vj∆wk seja
mapeado por T−1 em um subdomínio em D de volume ∆Vijk (Fig
5.2). Seja: P = P (u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)).
Os segmentos de reta (u, vj , wk), (ui, v, wk) e (ui, vj , w) come-
çando no ponto (ui, vj , wk) são mapeados por T−1 em P (u, vj , wk)
P (ui, v, wk) P (ui, vj , w) ver (Fig 5.2).
No subdomínio Vijk ⊂ D traçamos os vetores tangentes∂P
∂u∆ui,
∂P
∂v∆vj e
∂P
∂w∆wk, ver (Fig 5.3). Em seguida traçamos segmentos
de reta paralelos aos vetores tangentes completando um paralele-
pípedo em D, ver (Fig 5.4), cujo volume admitiremos aproxima-
damente igual ao ∆Vijk (esta é a argumentação heurística). Este
volume é dado por:
∆Vijk ≈∣∣∣∣∂P∂u∆ui ×
∂P
∂v∆vj •
∂P
∂w∆wk
∣∣∣∣ .
85
Mudança de Variáveis em Integrais tríplas
Levando em conta que:
∂P
∂u=∂x
∂u~i~i~i+
∂y
∂u~j~j~j +
∂z
∂u~k~k~k
∂P
∂v=∂x
∂v~i~i~i+
∂y
∂v~j~j~j +
∂z
∂v~k~k~k
∂P
∂w=∂x
∂w~i~i~i+
∂y
∂w~j~j~j +
∂z
∂w~k~k~k
e calculando o produto vetorial mixto teremos:
Figura 5.3: Elemento de vo-
lume em D′
Figura 5.4: Elemento de vo-
lume em D
∂P
∂u∆ui×
∂P
∂v∆vj•
∂P
∂w∆wk = det
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
∂w
∆ui∆vj∆wk
Daí, levando em conta a expressão do jacobiano em R3, dada
acima, temos:
∆Vijk ≈∣∣∣∣ ∂(x, y, z)∂(u, v, w)
∣∣∣∣∆ui∆vj∆wkO que nos leva à seguinte expressão para a mudança de variáveis
em integrais triplas:∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫ ∫D′F (u, v, w) |J | dudvdw
86
Cálculo III AULA
5onde: F (u, v, w) = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) e J é o jaco-
biano J = J
(x, y, z
u, v, w
).
5.3 Alguns Exemplos
Nesta seção veremos dois exemplos de integrais triplas com
mudança de variáveis. No primeiro aplicaremos a mudança de va-
riáveis dada pelo sistema de coordenadas cilíndricas e no segundo
o sistema de coordenadas esféricas
Primeiramente veremos um exemplo em coordenadas cilíndricas.
Antes porém, veremos como determinar os limites de integração
em coordenadas cilíndricas.
Figura 5.5: Coordenadas ci-
líndricas 1
Figura 5.6: Coordenadas ci-
líndricas 2
Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no
plano xy (ver Fig. 5.5).
Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗. Atravessar
a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig. 5.6).
87
Mudança de Variáveis em Integrais tríplas
À medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ que ela
forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o limite
inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior da
variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β].
Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar a
região D∗ com a reta r (ver Fig. 5.7). O ponto onde a reta r
entra na região D∗ é o limite inferior α(ϑ) para a variável r e o
ponto onde a reta r sai da região D∗ é o limite inferior β(ϑ) para
a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)].
Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da variável
r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] tomar o ponto (r, ϑ) ∈ D∗ em coordenadas pola-
res e levantar a reta s atravessando a região D (ver Fig. 5.8). O
ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(r, ϑ)
para a variável z e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite
superior β(r, ϑ) para a variável z. Daí, z ∈ [α(r, ϑ), β(r, ϑ)].
Figura 5.7: Coordenadas ci-
líndricas 3
Figura 5.8: Coordenadas ci-
líndricas 4
Podemos agora encarar o nosso primeiro exemplo onde colocaremos
88
Cálculo III AULA
5em prática a determinação dos limites de integração em coordena-
das cilíndricas.
Exemplo 5.1. Considere o sólido gerado pela intersecção das su-
perfícies: z = y + a, (plano) x2 + y2 − 2ay = 0, (cilindro) e z = 0,
(plano) (Fig 5.9) e determine seu volume.
Figura 5.9: Superfícies do
exemplo 1
Figura 5.10: Interseção das
superfícies do exemplo 1
SOLUÇÃO: Para uma melhor compreensão mostramos na (Fig
5.10) o sólido gerado pela interseção das superfícies dadas e na
(Fig 5.11) as superfícies que compõem o sólido separadas no es-
paço.
Usaremos para o caso o sistema de coordenadas cilíndricas, dada
pela transformação: (x, y, z) 7→ (r, ϑ, z) onde x = r cos(ϑ), y =
r sin(ϑ) e z = z. O jacobiano da transformação é dado por:
89
Mudança de Variáveis em Integrais tríplas
Figura 5.11: Domínio D para o exemplo 2
J = J
(x, y, z
r, ϑ, z
)= det
∂x
∂r
∂y
∂r
∂z
∂r∂x
∂ϑ
∂y
∂ϑ
∂z
∂ϑ∂x
∂z
∂y
∂z
∂z
∂z
Efetuando as derivadas parciais temos:
J = det
cos(ϑ) sin(ϑ) 0
−r sin(ϑ) r cos(ϑ) 0
0 0 1
Fazendo as contas do determinante temos:
J = r
Aproveitaremos o exemplo para aplicar os passos, vistos acima,
para determinação dos limites de integração de uma integral tripla
no sistema de coordenadas cilíndricas.
Passo 1: Esboçar a interseção das superfícies (sólido D), bem
como sua projeção sobre o plano xy (superfícieD∗), (ver Fig 5.10).
A projeção sobre o plano xy (superfície D∗), conhecide com a su-
perfície inferior do sólido, sendo o disco dado por x2+y2−2ay ≤ 0.
90
Cálculo III AULA
5Passo 2: Os limites para r e ϑ são determinados emD∗ do mesmo
modo que para coordenadas polares em R2. Neste caso 0 ≤ ϑ ≤ 2π
e para r temos: que r vai de zero até a borda de D∗ que é dada
por x2 + y2 − 2ay = (r cos(ϑ))2 + (r sin(ϑ))2 − 2ar sin(ϑ) = 0.
Daí, r2 − 2ar sin(ϑ) = r(r − 2a sin(ϑ)) = 0 Simplificando temos:
0 ≤ r ≤ 2a sin(ϑ).
Passo 3: Para determinar os limites para z. Por cada par
(r, ϑ) ∈ D∗, traçamos uma reta paralela ao eixo z orientada no
sentido positivo do eixo z atravessando o sólido. O limite inferior
de z é o ponto onde a reta entra no sólido e o limite superior o
ponto onde a reta sai do sólido. Neste caso: 0 ≤ z ≤ a + x ou
como x = r cos(ϑ) temos: 0 ≤ z ≤ a+ r cos(ϑ).
Daí, o cálculo do volume de D será dado pela integral:
V ol(D) =∫ 2π
0
∫ 2a sin(ϑ)
0
∫ a+r sin(ϑ)
0rdzdrdϑ
Integrando na variável z temos:
V ol(D) =∫ 2π
0
∫ 2a sin(ϑ)
0rz∣∣∣a+r sin(ϑ)
0drdϑ
Substituindo os limites de integração temos:
V ol(D) =∫ 2π
0
∫ 2a sin(ϑ)
0r(a+ r sin(ϑ)− 0)drdϑ
Fazendo as contas temos:
V ol(D) =∫ 2π
0
∫ 2a sin(ϑ)
0(ar + r2 sin(ϑ))drdϑ
Integrando em na variável r temos:
V ol(D) =∫ 2π
0(ar2
2+r3
3sin(ϑ))
∣∣∣2a sin(ϑ)
0dϑ
91
Mudança de Variáveis em Integrais tríplas
Substituindo o limite superior pois, o limite inferior por ser r = 0
não contribui, temos:
V ol(D) =∫ 2π
0(a
(2a sin(ϑ))2
2+
(2a sin(ϑ))3
3sin(ϑ))dϑ
Simplificando temos:
V ol(D) =∫ 2π
0(2a3 sin2(ϑ) +
8a3 sin4(ϑ)3
)dϑ
Reescrevendo temos:
V ol(D) = 2a3
∫ 2π
0sin2(ϑ)dϑ+
8a3
3
∫ 2π
0sin4(ϑ)dϑ
Das tabelas de integrais temos:∫sinn(αu)du = −α sinn−1(αu) cos(αu)
an
+(n− 1n
)∫sinn−2(αu)du∫
sin2(αu)du =u
2− sin(2αu)
4α
Dai, temos:∫sin2(ϑ)dϑ =
ϑ
2− sin(2ϑ)
4∫sin4(ϑ)dϑ = −sin3(ϑ) cos(ϑ)
4+
34
∫sin2(ϑ)dϑ
= −sin3(ϑ) cos(ϑ)4
+34
(ϑ
2− sin(2ϑ)
4
)Podemos agora calcular as integrais. Para a integral de sin2(ϑ)
temos: ∫ 2π
0sin2(ϑ)dϑ =
ϑ
2− sin(2ϑ)
4
∣∣∣2π0
= +2π2− sin(4π)
4
−02
+sin(0)
4= π
92
Cálculo III AULA
5Para a integral de sin4(ϑ) temos:∫ 2π
0sin4(ϑ)dϑ =
(−sin3(ϑ) cos(ϑ)
4+
34
(ϑ
2− sin(2ϑ)
4
)) ∣∣∣2π0
= +(−sin3(2π) cos(2π)
4+
34
(2π2− sin(4π)
4
))−(−sin3(0) cos(0)
4+
34
(02− sin(0)
4
))=
3π4
Substituindo no cálculo de V ol(D) temos:
V ol(D) = 2πa3 +8a3
33π4
= 4πa3 �
Em nosso segundo exemplo utilizaremos coordenadas esféricas, An-
tes porém, veremos como determinar os limites de integração em
coordenadas esféricas.
Figura 5.12: Coordenadas es-
féricas 1
Figura 5.13: Coordenadas es-
féricas 2
Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no
plano xy (ver Fig. 5.12).
93
Mudança de Variáveis em Integrais tríplas
Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗. Atravessar
a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig. 5.13).
Á medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ que ela
forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o limite
inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior da
variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β].
Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar
Figura 5.14: Coordenadas es-
féricas 3
Figura 5.15: Coordenadas es-
féricas 4
a região D com o plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ
com o eixo x positivo (ver Fig. 5.14). Traçamos uma reta r que
começa na origem e está contida no plano que corta D. À medida
em que a reta r percorre a região D o ângulo ϕ que ela forma com
o eixo z positivo varia do mínimo α(ϑ) que será o limite inferior da
variável ϕ ao máximo β(ϑ) que será o limite superior da variável
ϕ. Daí, a variável ϕ ∈ [α(ϑ), β(ϑ)].
Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da variável
r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ com
o eixo x positivo. No plano P traçar a reta s que forma ângulo ϕ
94
Cálculo III AULA
5com o eixo z positivo atravessando a região D (ver Fig. 5.15). O
ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(ϑ, ϕ)
para a variável r e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite
superior β(ϑ, ϕ) para a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ, ϕ), β(ϑ, ϕ)].
Podemos agora encarar o nosso segundo exemplo onde colocaremos
em prática a determinação dos limites de integração em coordena-
das esféricas.
Exemplo 5.2. Considere o sólido gerado pela interseção das su-
perfícies: z =√x2 + y2 (cone), z =
√a2 − x2 − y2 (esfera)(Fig
5.16) e determine seu volume.
Figura 5.16: Superfícies de
exemplo 2
Figura 5.17: Interseção das
superfícies de exemplo 2
SOLUÇÃO: Para uma melhor compreensão mostramos na (Fig
5.17) o sólido gerado pela interseção das superfícies dadas e na
(Fig 5.18) as superfícies que compõem o sólido separadas no es-
paço.
95
Mudança de Variáveis em Integrais tríplas
Figura 5.18: Domínio D para o exemplo 2
Usaremos para o caso o sistema de coordenadas esféricas, dada
pela transformação: (x, y, z) 7→ (r, ϑ, ϕ) onde x = r cos(ϑ) cos(ϕ),
y = r sin(ϑ) cos(ϕ) e z = r sin(ϕ). O jacobiano da transformação
é dado por:
J = J
(x, y, z
r, ϑ, z
)= det
∂x
∂r
∂y
∂r
∂z
∂r∂x
∂ϑ
∂y
∂ϑ
∂z
∂ϑ∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
∂ϕ
Efetuando as derivadas parciais temos:
J = det
cos(ϑ) cos(ϕ) sin(ϑ) cos(ϕ) sin(ϕ)
−r sin(ϑ) cos(ϕ) r cos(ϑ) cos(ϕ) 0
−r cos(ϑ) sin(ϕ) −r sin(ϑ) sin(ϕ) r cos(ϕ)
Fazendo as contas do determinante temos:
J = r2 sin(ϕ)
Aproveitaremos o exemplo para aplicar os passos na determina-
ção dos limites de integração de uma integral tripla no sistema de
96
Cálculo III AULA
5
Figura 5.19: Domínio D para o exemplo 2
coordenadas esféricas expostos acima.
Passo 1: Esboçar a interseção das superfícies (sólido D), bem
como sua projeção sobre o plano xy (superfície D∗), ver (Fig
5.19). A projeção sobre o plano xy (superfície D∗), é dada por
x2 + y2 ≤ a2.
Passo 2: Os limites para a variável ϑ são determinados em D∗
como em um sistema de coordenadas polares. No caso como D∗ é
um disco de raio√a
2temos que: 0 ≤ ϑ ≤ 2π.
Passo 3: Os limites para a variável ϕ são determinados em D
do seguinte modo: para cada valor fixo de ϑ, em D∗, cortamos o
domínio D por um plano que passa no eixo z e forma ângulo ϑ com
o eixo x. Traçamos uma reta M que passa na origem, pertence ao
plano ϑ e atravessa o domínio D. O ângulo ϕ é o ângulo formado
por M e o eixo z positivo. Para o caso o menor valor é ϕ = 0,
quando M conhecide com o eixo Z e o maior valor de ϕ em D
é quando M conhecide com a geratriz do cone z =√x2 + y2 e
ϕ =π
4.
Passo 4: Os limites para a variável r são determinados em D
97
Mudança de Variáveis em Integrais tríplas
do seguinte modo: para cada par fixo ϑ, ϕ) percorremos a reta
M partindo da origem. O limite inferior de r é o ponto onde a
reta entra em D e o limite superior o ponto onde M sai de D.
Para o nosso caso: 0 ≤ r ≤ a (a reta sai na superfície da esfera
z =√a2 − x2 − y2.
Podemos determinar o volume de D pela integral tripla:
V ol(D) =∫ 2π
0
∫ π/4
0
∫ a
0r2 sin(ϕ)drdϕdϑ
Integrando primeiramente na variável r temos:
V ol(D) =∫ 2π
0
∫ π/4
0
r3
3
∣∣∣a0
sin(ϕ)dϕdϑ
Substituindo os limites de integração temos:
V ol(D) =∫ 2π
0
∫ π/4
0
(a3
3− 03
3
)sin(ϕ)dϕdϑ
Simplificando temos:
V ol(D) =a3
3
∫ 2π
0
∫ π/4
0sin(ϕ)dϕdϑ
Integrando na variável ϕ temos:
V ol(D) =a3
3
∫ 2π
0− cos(ϕ)
∣∣∣π/40dϑ
Substituindo os limites de integração temos:
V ol(D) =a3
3
∫ 2π
0(− cos(π/4) + cos(0)) dϑ
Simplificando temos:
V ol(D) =a3
32−√
22
∫ 2π
0dϑ
Integrando na variável ϑ temos:
V ol(D) =a3
32−√
22
ϑ∣∣∣2π0
98
Cálculo III AULA
5Substituindo os limites de integração temos:
V ol(D) =a3
32−√
22
(2π − 0)
Finalmente, simplificando temos:
V ol(D) =πa3(2−
√2)
3�
5.4 Conclusão
Na aula de hoje, vimos que algumas vezes é conveniente fazer
uma mudança nas variáveis de integração em uma integral tripla,
para facilitar o cálculo da mesma. Vimos em particularmente duas
mudanças de variáveis são muito importantes e correspondem aos:
sistema de coordenadas cilíndricas e sistema de coordenadas esfé-
ricas.
RESUMO
Para o nosso resumo da aula 05 necessitamos algumas consi-
derações iniciais para tratar da mudança de variáveis em integrais
triplas. A saber:
Consideramos a transformação (x, y, z) = T (u, v, w) tal que o do-
mínio um ponto do domínio D ⊂ R3, (x, y, z) seja transformado
no ponto (u, v, w) do domínio D′ ⊂ R3, (D = T (D′)) e mais
especificamente x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) e z = z(u, v, w). De-
finindo o jacobiano da transformação, denotado J , J(x, y, z
u, v, w
)ou
∂(x, y, z)∂(u, v, w)
, por:
99
Mudança de Variáveis em Integrais tríplas
J
(x, y, z
u, v, w
)=∂(x, y, z)∂(u, v, w)
= det
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
∂w
Mudança de Variáveis em Integrais Triplas
Vale então,a seguinte fórmula para a mudança de variáveis en in-
tegrais duplas:∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫ ∫D′F (u, v, w) |J | dudvdw
onde: F (u, v, w) = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) e J é o jaco-
biano J = J
(x, y, z
u, v, w
).
Sistema de Coordenadas Cilíndricas
O sistema de coordenadas cilíndricas, dado pela transformação:
(x, y, z) 7→ (r, ϑ, z) onde x = r cos(ϑ), y = r sin(ϑ) e z = z. O
jacobiano da transformação é dado por: J = r e a integral tripla
pela expressão:∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫ ∫D′F (r, ϑ, z)rdzdrdϑ
onde: F (r, ϑ, z) = f(r cos(ϑ), r sin(ϑ)z)
Sistema de Coordenadas esféricas
O sistema de coordenadas esféricas, que é dado pela transformação:
(x, y, z) 7→ (r, ϑ, ϕ) onde x = r cos(ϑ) cos(ϕ), y = r sin(ϑ) cos(ϕ)
e z = r sin(ϕ). O jacobiano da transformação é dado por: J =
r2 sin(ϕ) e a integral tripla pela expressão:∫ ∫ ∫Df(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫ ∫D′F (r, ϑ, ϕ)r2 sin(ϕ)drdϕdϑ
onde: F (r, ϑ, ϕ) = f(r cos(ϑ) cos(ϕ), r sin(ϑ) cos(ϕ), r sin(ϕ))
100
Cálculo III AULA
5Determinação dos Limites para Integração em Coorde-
nadas Cilíndricas
Para determinação dos limites de integração tripla em coordenadas
cilíndricas utiliza-se os seguintes passos:
Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no
plano xy (ver Fig. 5.5).
Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗. Atra-
vessar a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig.
5.6). Á medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ
que ela forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o
limite inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior
da variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β].
Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar
a região D∗ com a reta r (ver Fig. 5.7). O ponto onde a reta r
entra na região D∗ é o limite inferior α(ϑ) para a variável r e o
ponto onde a reta r sai da região D∗ é o limite inferior β(ϑ) para
a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)].
Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da va-
riável r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] tomar o ponto (r, ϑ) ∈ D∗ em coordenadas
polares e levantar a reta s atravessando a região D (ver Fig. 5.8).
O ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(r, ϑ)
para a variável z e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite
superior β(r, ϑ) para a variável z. Daí, z ∈ [α(r, ϑ), β(r, ϑ)].
101
Mudança de Variáveis em Integrais tríplas
Determinação dos Limites para Integração em Coordena-
das Esféricas
Para determinação dos limites de integração tripla em coordenadas
esféricas utiliza-se os seguintes passos:
Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no
plano xy (ver Fig. 5.12).
Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗. Atra-
vessar a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig.
5.13). Á medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ
que ela forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o
limite inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior
da variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β].
Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar
a região D com o plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ
com o eixo x positivo (ver Fig. 5.14). Traçamos uma reta r que
começa na origem e está contida no plano que corta D. À medida
em que a reta r percorre a região D o ângulo ϕ que ela forma com
o eixo z positivo varia do mínimo α(ϑ) que será o limite inferior da
variável ϕ ao máximo β(ϑ) que será o limite superior da variável
ϕ. Daí, a variável ϕ ∈ [α(ϑ), β(ϑ)].
Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da va-
102
Cálculo III AULA
5riável r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] plano P que contem o eixo z e forma ângulo
ϑ com o eixo x positivo. No plano P traçar a reta s que forma
ângulo ϕ com o eixo z positivo atravessando a região D (ver Fig.
5.15). O ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior
α(ϑ, ϕ) para a variável r e o ponto onde a reta s sai da região D é o
limite superior β(ϑ, ϕ) para a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ, ϕ), β(ϑ, ϕ)].
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos algumas das inúmeras aplica-
ções da integral tripla. Nossa atenção estará voltada para o cálculo
do centro de massa e momentos de inércia de sólidos gerados por
intersecções de superfícies em R3.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades dois problemas envolvendo mudança
de variáveis em integrais triplas.
ATIV. 5.1. Determine o volume do sólido formado pela intersec-
ção das superfícies z = 0, z = 1 + x2 + 3y2 e x2 + y2 = 1.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
primeiro exemplo e use o sistema de coordenadas cilíndricas.
ATIV. 5.2. Seja D ⊂ R3 a região formada pela intersecção das
superfícies z = 0 e x2 + yh2 + z2 = 1 e f : R3 7→ R dada por
103
Mudança de Variáveis em Integrais tríplas
f(x, y, z) = z. Determine a integral tripla∫ ∫ ∫
Df(x, y, z)dxdydz.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o se-
gundo exemplo e use o sistema de coordenadas esféricas.
LEITURA COMPLEMENTAR
ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros
Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982.
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume
2, Editora Harbra, 1994.
STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN-
GAGE Learning, 2009.
SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume
2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.
THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,
2003.
KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard
Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora
McGraw-Hill do Brasil, 1971.
BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.
104
AULA
6Algumas Aplicaçõesdas Integrais tríplas
META:
Apresentar algumas aplicações das integrais triplas de funções de
valores reais e domínio em R3.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Determinar o volume, o centro de massa momento de massa e o
momento de inércia de alguns sólidos em R3.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-
mínio em R, da disciplina Cálculo I, superfícies em R3, coordenadas
polares da disciplina Cálculo II, coordenadas cilíndricas, coordena-
das esféricas e integrais duplas aula 04 e aula 05.
Algumas Aplicações das Integrais tríplas
6.1 Introdução
Caros alunos, nossa sexta aula tem como objetivo introduzir
algumas aplicações da integral tripla. Em particular veremos como
calcular a massa de uma região D ⊂ R3 dada sua distribuição
de densidade, bem como calcular, para a mesma, seu centro de
gravidade e momentos de massa. É um bocado de cálculo, mais
chegaremos lá.
6.2 Preliminares
Consideraremos uma região D ⊂ R3 finita, com uma distribui-
ção de densidade (massa por unidade de volume) % : D 7→ R+ i.e.
%(x, y, z) > 0,∀(x, y, z) ∈ D.
Determinação da massa
Para determinar a massa consideremos uma função Φ definida
em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤
b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f} tal que D ⊂ R e Φ(x, y, z) = %(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D
0 , (x, y, z) /∈ D. Considerando a uma partição para
o retângulo R dada por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] × P [e, f ],
o produto cartesiano de partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde
P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xi, xi+1, . . . , xl = b},x0 < x1 < · · · <
xi < xi+1 < · · · < xl, P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yj , yj+1, . . . , ym =
d}, y0 < y1 < · · · < yj < yj+1 < · · · < ym e P [e, f ] = {z0 =
e, z1, . . . , zk, zk+1, . . . , zn = f}, z0 < z1 < · · · < zk < zk+1 <
· · · < zn. Tomamos um ponto (ξi, ζj , ηk) ∈ [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]×
[zk−1, zk] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte
106
Cálculo III AULA
6soma de Riemann:
Slmn =l∑
i=1
m∑j=1
n∑k=1
Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk.
A massa da região D, denotada m(D), será a integral integral
tripla da função %(x, y, z) sobre o domínio D ⊂ R3, dada por∫ ∫ ∫D%(x, y, z)dxdydz e definida como o seguinte limite:
m(D) =∫ ∫ ∫
D%(x, y, z)dxdydz def= lim
|P |→0Slmn.
OBS 6.1. Para a determinação do peso da região D toma-se a
seguinte soma de Riemann:
Slmn =l∑
i=1
m∑j=1
n∑k=1
g(ξi, ζj , ηk)Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk,
onde g(ξi, ζj , ηk) é a aceleração da gravidade no ponto (ξi, ζj , ηk).
E o peso da região D, denotado p(D), será dado pela integral tri-
pla:
p(D) =∫ ∫ ∫
Dg(x, y, z)%(x, y, z)dxdydz def= lim
|P |→0Slmn.
Determinação dos Momentos de Massa
Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa
de uma região D ⊂ R3 limitada com distribuição de densidade
%(x, y, z),∀(x, y, z) ∈ D. Para calcular o momento de massa de
um pequeno paralelepípedo com relação ao plano coordenado yz
tomamos o seguinte produto ξiΦ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk. Aqui ξi repre-
senta uma aproximação da distância do pequeno paralelepípedo
∆ξi∆ζj∆ηk ao plano coordenado yz. O momento total em relação
ao plano yz para a região D será aproximado pelo limite da soma
de Riemann:
107
Algumas Aplicações das Integrais tríplas
Slmn =l∑
i=1
m∑j=1
n∑k=1
ξiΦ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk.
O momento de massa da regiãoD em relação ao plano yz, denotado
Myz(D), será dado pela integral tripla∫ ∫ ∫
Dx%(x, y, z)dxdydz
definida pelo limite:
Myz(D) =∫ ∫ ∫
Dx%(x, y, z)dxdydz def= lim
|P |→0Slmn.
De forma semelhante chega-se ao momento de massa da região D
em relação ao plano xz tomando-se a seguinte soma de Riemann:
Slmn =l∑
i=1
m∑j=1
n∑k=1
ζjΦ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk.
O momento de massa da regiãoD em relação ao plano xz, denotado
Mxz(D), será dado pela integral tripla∫ ∫ ∫
Dy%(x, y, z)dxdydz
definida pelo limite:
Mxz(D) =∫ ∫ ∫
Dy%(x, y, z)dxdydz def= lim
|P |→0Slmn.
E o momento de massa da regiãoD em relação ao plano xy tomando-
se a seguinte soma de Riemann:
Slmn =l∑
i=1
m∑j=1
n∑k=1
ηkΦ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk.
O momento de massa da região D em relação ao plano xy, deno-
tadoMxy(D), será dado pela integral tripla∫ ∫ ∫
Dz%(x, y, z)dxdydz
definida pelo limite:
Mxy(D) =∫ ∫ ∫
Dz%(x, y, z)dxdydz def= lim
|P |→0Slmn.
Determinação dos Momentos de Inércia
Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa
de uma região D ⊂ R3 limitada com distribuição de densidade
%(x, y, z),∀(x, y, z) ∈ D. Para calcular, aproximadamente, o mo-
mento de inércia de um pequeno paralelepípedo com relação a uma
108
Cálculo III AULA
6reta r, tomamos o seguinte produto d2(ξi, ζj , ηk)Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk,
onde d(ξi, ζj , ηk) representa a distância do ponto (ξi, ζj , ηk) à reta
r. Em particular a distância do ponto (ξi, ζj , ηk) ao eixo x é
dada por: d(ξi, ζj , ηk) =√ζ2j + η2
k e o momento de inércia do
pequeno paralelepípedo em relação ao eixo x será aproximado por:
(ζ2j +η2
k)Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk. O momento de inércia total em relação
ao eixo x para a região D será aproximado pelo limite da soma de
Riemann:
Slmn =l∑
i=1
m∑j=1
n∑k=1
(ζ2j + η2
k)Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk.
O momento de inércia da região D em relação ao eixo x, denotado
Ix é dado pela integral∫ ∫ ∫
D(y2 +z2)%(x, y, z)dxdydz calculada
pelo limite:
Ix(D) =∫ ∫ ∫
D(y2 + z2)%(x, y, z)dxdydz def= lim
|P |→0Slmn.
De forma semelhante chega-se ao momento de inércia da região D
em relação ao eixo y tomando-se a seguinte soma de Riemann:
Slmn =l∑
i=1
m∑j=1
n∑k=1
(ξ2i + η2k)Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk.
O momento de inércia da região D em relação ao eixo y, denotado
Iy é dado pela integral∫ ∫ ∫
D(x2 +z2)%(x, y, z)dxdydz calculada
pelo limite:
Iy(D) =∫ ∫ ∫
D(x2 + z2)%(x, y, z)dxdydz def= lim
|P |→0Slmn.
Também chega-se ao momento de inércia da região D em rela-
ção ao eixo z tomando-se a seguinte soma de Riemann: Slmn =l∑
i=1
m∑j=1
n∑k=1
(ξ2i + ζ2j )Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk.
O momento de inércia da região D em relação ao eixo z é dada pela
integral∫ ∫ ∫
D(x2 + y2)%(x, y, z)dxdydz calculada pelo limite:
109
Algumas Aplicações das Integrais tríplas
Iz(D) =∫ ∫ ∫
D(x2 + y2)%(x, y, z)dxdydz def= lim
|P |→0Slmn.
Determinação do Centro de Massa
O centro de massa de uma região D ⊂ R3 finita, com uma dis-
tribuição de densidade mássica %(x, y, z),∀(x, y, z) ∈ D, é o ponto
(x, y, z) definido por:
x =Myz(D)m(d)
=
∫ ∫ ∫Dx%(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫
D%(x, y, z)dxdydz
,
y =Mxz(D)m(d)
=
∫ ∫ ∫Dy%(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫
D%(x, y, z)dxdydz
e
z =Mxy(D)m(d)
=
∫ ∫ ∫Dz%(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫
D%(x, y, z)dxdydz
.
6.3 Algumas Aplicações da Integral Tripla
Faremos duas aplicações da integral tripla. A primeira refere-se
ao cálculo do centro de massa de de um sólido gerado pela intersec-
ção de superfícies, usando o sistema de coordenadas cartesiano. A
segunda trata-se da determinação da massa e do momento de inér-
cia Iz de um sólido gerado pela intersecção de superfícies, usando
o sistema de coordenadas cilíndricas. Vamos aos nossos exemplos.
Exemplo 6.1. Considerando a intersecção das superfícies: x = 0,
x = a, y = 0, y = x2, z = 0 e z = x2, (Fig 6.1), determinar sua
massa e seu centro de massa levando en conta uma distribuição de
densidade constante %(x, y, z) = %.
110
Cálculo III AULA
6
Figura 6.1: Gráfico do exemplo 1
SOLUÇÃO:
Começaremos por determinar os limites de integração inspecio-
nando a (Fig 6.1) e verificando que 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ x2 e
0 ≤ z ≤ x2.
Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os res-
pectivos momentos de massa com relação ao planos yz, xz e xy,
respectivamente.
Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral tripla:
m(D) =∫ ∫ ∫
D%(x, y, z)dxdydz =
∫ a
0
∫ x2
0
∫ x2
0%dzdydx
Integrando em z temos:
m(D) =∫ a
0
∫ x2
0%z∣∣∣x2
0dydx
Substituindo os limites de integração temos:
m(D) =∫ a
0
∫ x2
0%(x2 − 0)dydx
Simplificando temos:
m(D) = %
∫ a
0
∫ x2
0x2dydx
Integrando em y temos:
m(D) = %
∫ a
0x2y∣∣∣x2
0dx
111
Algumas Aplicações das Integrais tríplas
Substituindo os limites de integração temos:
m(D) = %
∫ a
0x2(x2 − 0)dx
Simplificando temos:
m(D) = %
∫ a
0x4dx
Finalmente, integrando em x temos:
m(D) = %x5
5
∣∣∣a0
Substituindo os limites de integração temos:
m(D) = %(a5
5− 05
5)
Simplificando temos:
m(D) = %a5
5
Passo 2 determinar o momento de massa relativo ao plano yz
Myz(D), dada pela integral tripla:
Myz(D) =∫ ∫ ∫
D%(x, y, z)xdxdydz =
∫ a
0
∫ x2
0
∫ x2
0%xdzdydx
Integrando em z temos:
Myz(D) =∫ a
0
∫ x2
0%xz
∣∣∣x2
0dydx
Substituindo os limites de integração temos:
Myz(D) =∫ a
0
∫ x2
0%x(x2 − 0)dydx
Simplificando temos:
Myz(D) = %
∫ a
0
∫ x2
0x3dydx
Integrando em y temos:
Myz(D) = %
∫ a
0x3y∣∣∣x2
0dx
Substituindo os limites de integração temos:
Myz(D) = %
∫ a
0x3(x2 − 0)dx
Simplificando temos:
Myz(D) = %
∫ a
0x5dx
Finalmente, integrando em x temos:
112
Cálculo III AULA
6Myz(D) = %
x6
6
∣∣∣a0
Substituindo os limites de integração temos:
Myz(D) = %(a6
6− 06
6)
Simplificando temos:
Myz(D) = %a6
6
Passo 3 determinar o momento de massa relativo ao plano xz
Mxz(D), dada pela integral tripla:
Mxz(D) =∫ ∫ ∫
D%(x, y, z)ydxdydz =
∫ a
0
∫ x2
0
∫ x2
0%ydzdydx
Integrando em z temos:
Mxz(D) =∫ a
0
∫ x2
0%yz∣∣∣x2
0dydx
Substituindo os limites de integração temos:
Mxz(D) =∫ a
0
∫ x2
0%y(x2 − 0)dydx
Simplificando temos:
Mxz(D) = %
∫ a
0
∫ x2
0x2ydydx
Integrando em y temos:
Mxz(D) = %
∫ a
0x2 y
2
2
∣∣∣x2
0dx
Substituindo os limites de integração temos:
Mxz(D) = %
∫ a
0x2((x2)2
2− 02
2)dx
Simplificando temos:
Mxz(D) = %
∫ a
0
x6
2dx
Finalmente, integrando em x temos:
Mxz(D) = %x7
14
∣∣∣a0
Substituindo os limites de integração temos:
Mxz(D) = %(a7
14− 07
14)
Simplificando temos:
Mxz(D) = %a7
14
113
Algumas Aplicações das Integrais tríplas
Passo 4 determinar o momento de massa relativo ao plano xy.
Como a região D tem simetria com relação às variáveis y e z, e a
distribuição de densidade também (por ser constante) temos que
Mxz(D) = Mxy(D). De qualquer forma vamos verificar:
Mxy(D) =∫ ∫ ∫
D%(x, y, z)zdxdydz =
∫ a
0
∫ x2
0
∫ x2
0%zdzdydx
Integrando em z temos:
Mxy(D) =∫ a
0
∫ x2
0%z2
2
∣∣∣x2
0dydx
Substituindo os limites de integração temos:
Mxz(D) =∫ a
0
∫ x2
0%((x2)2
2− 02
2)dydx
Simplificando temos:
Mxz(D) = %
∫ a
0
∫ x2
0
x4
2dydx
Integrando em y temos:
Mxz(D) = %
∫ a
0
x4
2y∣∣∣x2
0dx
Substituindo os limites de integração temos:
Mxz(D) = %
∫ a
0
x4
2(x2 − 0)dx
Simplificando temos:
Mxz(D) = %
∫ a
0
x6
2dx
Finalmente, integrando em x temos:
Mxz(D) = %x7
14
∣∣∣a0
Substituindo os limites de integração temos:
Mxz(D) = %(a7
14− 07
14)
Simplificando temos:
Mxz(D) = %a7
14
Passo 5 determinar o centro de massa (x, y, z) da região D, A
saber:
114
Cálculo III AULA
6x =
Myz(D)m(d)
=%a6
6
%a5
5
=5a6,
y =Mxz(D)m(d)
=%a7
14
%a5
5
=5a2
14e
z =Mxy(D)m(d)
=%a7
14
%a5
5
=5a2
14.
Vamos rapidinho ao nosso segundo exemplo.
Exemplo 6.2. Considerando a interseção das superfícies: x = 0,
x2 + y2 = b2, z = 0 e z = a, (Fig 6.2), determinar sua massa e
seu momento de inércia Iz(D), relativo ao eixo z, levando en conta
uma distribuição de densidade constante %(x, y, z) = %.
Figura 6.2: Gráfico do exemplo 2
SOLUÇÃO:
Começaremos por determinar os limites de integração inspecio-
nando a (Fig 6.2) e verificando que −b ≤ x ≤ +b, 0 ≤ y ≤
+√b2 − x2 e 0 ≤ z ≤ a. Observemos que para este caso é mais ade-
115
Algumas Aplicações das Integrais tríplas
quado usar o sistema de coordenadas cilíndrico, dado pela trans-
formação (x, y, z) 7→ (r, ϑ, z) onde: x = r cos(ϑ), y = r sin(ϑ),
z = z e os limites de integração passam a: 0 ≤ r ≤ b, 0 ≤ ϑ ≤ π e
0 ≤ z ≤ a.
Em segundo, calcularemos a massa da região D, m(D) e o mo-
mento de inércia Iz(D), relativo ao eixo z, respectivamente.
Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral tripla:
m(D) =∫ ∫ ∫
D%(x, y, z)dxdydz =
∫ π
0
∫ b
0
∫ a
0%rdzdrdϑ
Integrando em z temos:
m(D) =∫ π
0
∫ b
0%z∣∣∣a0rdrdϑ
Substituindo os limites de integração temos:
m(D) =∫ a
0
∫ x2
0%(a− 0)rdrdϑ
Simplificando temos:
m(D) = %a
∫ π
0
∫ b
0rdrdϑ
Integrando em r temos:
m(D) = %a
∫ π
0
r2
2
∣∣∣b0dϑ
Substituindo os limites de integração temos:
m(D) = %a
∫ π
0
(b22− 02
2)dϑ
Simplificando temos:
m(D) = %ab2
2
∫ π
0dϑ
Finalmente, integrando em ϑ temos:
m(D) = %ab2
2ϑ∣∣∣π0
Substituindo os limites de integração temos:
m(D) = %ab2
2(π − 0)
Simplificando temos:
m(D) = %πab2
2
116
Cálculo III AULA
6Passo 2 Levando em conta que: x2+y2 = (r cos(ϑ))2+(r sin(ϑ))2 =
r2, determinar o momento de inércia Iz(D), relativo ao eixo z, dada
pela integral tripla:
Iz(D) =∫ ∫ ∫
D%(x, y, z)(x2+y2)dxdydz =
∫ π
0
∫ b
0
∫ a
0%r2rdzdrdϑ
Integrando em z temos:
Iz(D) =∫ π
0
∫ b
0%z∣∣∣a0r3drdϑ
Substituindo os limites de integração temos:
Iz(D) =∫ a
0
∫ x2
0%(a− 0)r3drdϑ
Simplificando temos:
Iz(D) = %a
∫ π
0
∫ b
0r3drdϑ
Integrando em r temos:
Iz(D) = %a
∫ π
0
r4
4
∣∣∣b0dϑ
Substituindo os limites de integração temos:
Iz(D) = %a
∫ π
0
(b44− 04
4)dϑ
Simplificando temos:
Iz(D) = %ab4
4
∫ π
0dϑ
Finalmente, integrando em ϑ temos:
Iz(D) = %ab4
4ϑ∣∣∣π0
Substituindo os limites de integração temos:
Iz(D) = %ab4
4(π − 0)
Simplificando temos:
Iz(D) = %πab4
4
6.4 Conclusão
Na aula de hoje, vimos que dentre as inúmeras aplicações da
integral tripla, algumas das mais importantes são: dada uma região
117
Algumas Aplicações das Integrais tríplas
D ⊂ R3 e sua distribuição de densidade volumétrica de massa
%(x, y, z),∀(x, y, z) ∈ D, as determinação da massa m(d), dos seus
momentos de massa Myz relativo ao plano yz, Mxz relativo ao
plano xz e Mxy relativo ao plano xy, dos momentos de inércia Ix
relativo ao eixo x, Iy relativo ao eixo y e Iz relativo ao eixo z.
RESUMO
O nosso resumo de hoje constará de uma série de fórmulas
para os cálculo da massa, momento de massa, momento de inér-
cia e centro de gravidade de regiões D ∈ R3 limitadas no es-
paço dada sua distribuição de densidade volumétrica de massa
%(x, y, z),∀(x, y, z) ∈ D. No corpo do texto temos umas pequenas
argumentações heurísticas de como chegar a tais fórmulas, usando
partições e somas de Riemman.
Dada uma região D ∈ R3 limitada com distribuição de densi-
dade volumétrica de massa %(x, y, z) podemos calcular:
A Massa da região DDD
m(D) =∫ ∫ ∫
D%(x, y, z)dxdydz.
O Momento de Massa de DDD em Relação ao Plano yzyzyz
Myz(D) =∫ ∫ ∫
Dx%(x, y, z)dxdydz.
O Momento de Massa de DDD em Relação ao Plano xzxzxz
Mxz(D) =∫ ∫ ∫
Dy%(x, y, z)dxdydz.
118
Cálculo III AULA
6O Momento de Massa em Relação ao Plano xyxyxy
Mxy(D) =∫ ∫ ∫
Dz%(x, y, z)dxdydz.
O Momento de inércia de DDD em Relação ao eixo xxx
Ix(D) =∫ ∫ ∫
D(y2 + z2)%(x, y, z)dxdydz.
O Momento de inércia de DDD em Relação ao eixo yyy
Iy(D) =∫ ∫ ∫
D(x2 + z2)%(x, y, z)dxdydz.
O Momento de inércia de DDD em Relação ao eixo zzz
Iz(D) =∫ ∫ ∫
D(x2 + y2)%(x, y, z)dxdydz.
O Centro de Massa (x, y, z)(x, y, z)(x, y, z) de DDD
x =Myz(D)m(d)
=
∫ ∫ ∫Dx%(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫
D%(x, y, z)dxdydz
,
y =Mxz(D)m(d)
=
∫ ∫ ∫Dy%(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫
D%(x, y, z)dxdydz
e
z =Mxy(D)m(d)
=
∫ ∫ ∫Dz%(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫
D%(x, y, z)dxdydz
.
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula passaremos a estudar funções vetoriais
fff : C ⊂ R3 7→ R3 onde C é uma curva no espaço R3, dada para-
metricamente por: x = x(t), y = y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b]. Não
estaremos, como no Cálculo II, interessados na geometria intrín-
119
Algumas Aplicações das Integrais tríplas
seca das curvas e sim na contribuição de sua geometria no cálculo
de integrais de campos de vetores definidos sobre tais curvas.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades os seguintes problemas:
ATIV. 6.1. Considerando a interseção das superfícies: x = 0,
x = a, y = 0, y = x2, z = 0 e z = x2, (Fig 6.1), determinar seu
momento de inércia Iz relativo ao eixo z, levando em conta uma
distribuição de densidade constante %(x, y, z) = %.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
primeiro exemplo, ele lhe servirá de guia.
ATIV. 6.2. Considerando a intersecção das superfícies: x = 0,
x2 +y2 = b2, z = 0 e z = a, (Fig 6.2), determinar seu momento de
massaMyz relativo ao plano yz, levando em conta uma distribuição
de densidade constante %(x, y, z) = %.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
segundo exemplo, ele lhe servirá de guia.
LEITURA COMPLEMENTAR
ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros
Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982.
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume
2, Editora Harbra, 1994.
STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN-
GAGE Learning, 2009.
120
Cálculo III AULA
6SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume
2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.
THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,
2003.
KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard
Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora
McGraw-Hill do Brasil, 1971.
BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.
121
AULA
7Integrais de FunçõesVetoriais sobre Curvas em R3R3R3
META:
Apresentar integrais de funções vetoriais definidas sobre curvas em
R3.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Definir integrais de funções vetoriais definidas sobre curvas em R3
e calcular integrais de algumas funções vetoriais definidas sobre
curvas em R3.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-
mínio em R, da disciplina Cálculo I, vetores da disciplina Vetores
e Geometria analítica e curvas em R3 da disciplina Cálculo II.
Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3R3R3
7.1 Introdução
Caros alunos nossa aula de hoje “Integrais de Funções Vetori-
ais sobre Curvas” tem um forte sabor de física pois, veremos coisas
como: calculo do trabalho de uma força (função vetorial) ao longo
de uma trajetória (curva) ou fluxo de um campo de vetores atra-
vés de uma curva (o termo fluxo é tipicamente da física). Isto,
não quer dizer que vocês tenham que se empenhar nos aspectos
físicos, devendo apenas ater-se aos aspectos matemáticos que são
os objetivos de nossa aula.
7.2 Curvas em R3R3R3
Nesta seção faremos uma pequena recapitulação sobre curvas
em R3, que vocês já viram em Cálculo II. Será um breve resumo
onde estaremos recapitulando as definições e principais resultados.
Consideremos uma curva C ⊂ R3 dada parametricamente por:
x = x(t), y = y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b] ou em sua forma vetorial
~r~r~r(t) = x(t)~i~i~i+ y(t)~j~j~j + z(t)~k~k~k.
O vetor tangente unitário à C é dado por:
~T~T~T (t) =∣∣∣∣d~r~r~r(t)dt
∣∣∣∣−1 d~r~r~r(t)dt
A velocidade e a aceleração de uma partícula seguindo a curva C,
com movimento dado por ~r~r~r(t), no instante t são dadas por:
124
Cálculo III AULA
7~v~v~v(t) =
d~r~r~r(t)dt
=dx(t)dt
~i~i~i+dy(t)dt
~j~j~j +z(t)dt~k~k~k
~a~a~a(t) =d2~r~r~r(t)dt2
=d2x(t)dt2
~i~i~i+d2y(t)dt2
~j~j~j +d2z(t)dt2
~k~k~k
O comprimento de arco da curva C ⊂ R3 parametrizada por x =
x(t), y = y(t) e z = z(t), no intervalo [a, t] é dado por:
s(t) =∫ t
a
√(dx(t)dt
)2
+(dy(t)dt
)2
+(dz(t)dt
)2
dt
Podemos inverter s = s(t) como t = t(s) e descrever a curva
C ⊂ R3 parametrizada por comprimento de arco x = x(t(s)),
y = y(t(s)) e z = z(t(s)).
A curvatura de C é definida por:
k(s) =
∣∣∣∣∣d~T~T~T (s)ds
∣∣∣∣∣e pode ser calculada usando-se a fórmula:
k(t) =1|~v~v~v(t)|
∣∣∣∣∣d~T~T~T (t)dt
∣∣∣∣∣O vetor normal unitário é definido por:
~N~N~N(t) =
∣∣∣∣∣d~T~T~T (t)dt
∣∣∣∣∣−1
d~T~T~T (t)dt
O vetor binormal à curva C ⊂ R3 é definido por:
~B~B~B(t) = ~T~T~T (t)× ~N~N~N(t)
Finalmente a torção da curva C ⊂ R3 é definida por:
125
Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3R3R3
τ(s) = −d~B~B~B(s)ds
• ~N~N~N
7.3 Massa, Momento de Massa e Momento de
Inércia de Curvas em R3R3R3
Muito embora o cálculo da massa, momento de massa e centro
de massa de uma curva C ⊂ R3 não envolva integração de funções
vetoriais, começaremos por aqui.
Seja C ⊂ R3, uma curva contínua e lisa, parametrizada por com-
primento de arco e % : C ⊂ R3 7→ R+, a densidade linear de massa
de C onde: ∀(x, y, z) ∈ C, %(x, y, z) > 0.
Definição 7.1. A massa de C ⊂ R3, denotada m(C), é definida
por:
m(C) =∫C%(x, y, z)ds
Definição 7.2. O momento de massa de C ⊂ R3 relativo ao plano
yz, denotada Myz(C), é definido por:
Myz(C) =∫C%(x, y, z)xds
Definição 7.3. O momento de massa de C ⊂ R3 relativo ao plano
xz, denotada Mxz(C), é definido por:
Mxz(C) =∫C%(x, y, z)yds
Definição 7.4. O momento de massa de C ⊂ R3 relativo ao plano
xy, denotada Mxy(C), é definido por:
Mxy(C) =∫C%(x, y, z)zds
126
Cálculo III AULA
7Definição 7.5. O centro de Massa de C ⊂ R3 é dado por (x, y, z),
onde:
x =Myz(C)m(C)
=
∫C%(x, y, z)xds∫
C%(x, y, z)ds
y =Mxz(C)m(C)
=
∫C%(x, y, z)yds∫
C%(x, y, z)ds
z =Mxy(C)m(C)
=
∫C%(x, y, z)zds∫
C%(x, y, z)ds
Definição 7.6. O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixo
x, denotada Ix(C), é definido por:
Ix(C) =∫C%(x, y, z)(y2 + z2)ds
Definição 7.7. O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixo
y, denotada Iy(C), é definido por:
Iy(C) =∫C%(x, y, z)(x2 + z2)ds
Definição 7.8. O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixo
z, denotada Iz(C), é definido por:
Iz(C) =∫C%(x, y, z)(x2 + y2)ds
OBS 7.1. Se a curva C ⊂ R3 é dada parametricamente por: x =
x(t), y = y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b], a massa, momento de massa
relativo aos planos yz, xz e xy, momento de inércia relativo aos
eixos x, y e z respectivamente pode ser calculados por:
127
Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3R3R3
m(C) =∫ b
a%(x(t), y(t), z(t))|~v~v~v(t)|dt
Myz(C) =∫ b
a%(x(t), y(t), z(t))x(t)|~v~v~v(t)|dt
Mxz(C) =∫ b
a%(x(t), y(t), z(t))y(t)|~v~v~v(t)|dt
Mxy(C) =∫ b
a%(x(t), y(t), z(t))z(t)|~v~v~v(t)|dt
Ix(C) =∫ b
a%(x(t), y(t), z(t))(y2(t) + z2(t))|~v~v~v(t)|dt
Iy(C) =∫ b
a%(x(t), y(t), z(t))(x2(t) + z2(t))|~v~v~v(t)|dt
Iz(C) =∫ b
a%(x(t), y(t), z(t))(x2(t) + y2(t))|~v~v~v(t)|dt
7.4 Campos Vetoriais: Trabalho, Circulação e
Fluxo
Consideremos um campo de vetores ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 e uma
curva C ⊂ D contínua e suave.
Definição 7.9. Definimos o fluxo integral de escoamento do campo
vetorial ~F~F~F ao longo da curva C ⊂ R3 por:
Φ(F,C) =∫C
~F~F~F • ~T~T~Tds
OBS 7.2. Quando a curva é simples e fechada, o fluxo integral de
escoamento é denominado de circulação e escrevemos:
Φ(F,C) =∮C
~F~F~F • ~T~T~Tds
OBS 7.3. Se a curva C ⊂ D ⊂ R3 é parametrizada por: x = x(t),
y = y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b]. Podemos interpretar o campo
128
Cálculo III AULA
7vetorial ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 como um campo de força no espaço,
a curva C ⊂ D ⊂ R3 como uma trajetória, a parametrização da
curva C ⊂ D ⊂ R3 dada por x = x(t), y = y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b]
como o movimento de uma partícula seguindo a trajetória C e o
fluxo integral de escoamento como o trabalho executado pela força
~F~F~F ao longo de C e dado por:
T (F,C) =∫ b
a
~F~F~F (x(t), y(t), z(t)) • ~T~T~T (t)dt
OBS 7.4. Se a curva C ⊂ R3 é representada vetorialmente por:
~r~r~r = x(t)~i~i~i+y(t)~j~j~j+z(t)~k~k~k, t ∈ [a, b], e o campo vetorial ~F~F~F : D ⊂ R3 7→
R3 representado por: ~F~F~F = f1(x, y, z)~i~i~i + f2(x, y, z)~j~j~j + f3(x, y, z)~k~k~k,
onde f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R são funções de valores reais, o fluxo
integral de escoamento pode ser escrito como uma das três formas:
T (F,C) =∫C
~F~F~F • d~r~r~r
T (F,C) =∫C
(f1dx+ f2dy + f3dz)
T (F,C) =∫ b
a
(f1dx(t)dt
+ f2dy(t)dt
+ f3dz(t)dt
)dt
Consideraremos, agora o caso particular de uma curva plana C ⊂
D ⊂ R2 simples e fechada e de um campo vetorial ~F~F~F : D ⊂ R2 7→
R2. Interpretaremos o campo vetorial ~F~F~F como o campo de veloci-
dade de um fluido que atravessa a região D ⊂ R2.
Definição 7.10. Definimos o fluxo de F através de C por:
φ(F,C) def=∮C
~F~F~F • ~N~N~Nds
onde: ~N~N~N é a normal unitária exterior a C.
129
Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3R3R3
7.5 Independência do Caminho
Consideremos um campo vetorial ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3, dois
pontos A,B ∈ D e um caminho C ⊂ D ligando o ponto A ao ponto
B. O trabalho realizado para mover uma partícula do ponto A ao
ponto B ao longo da trajetória C, dado por∫ B
A
~F~F~F • ~dr~dr~dr de modo
geral depende do caminho C que liga os dois pontos. Porém, para
alguns campos vetoriais este trabalho depende apenas dos pontos
A e B.
Definição 7.11. Sejam ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial e
dois pontos A,B ∈ D. Se∫ B
A
~F~F~F • ~dr~dr~dr é a mesma ∀C ⊂ D para-
metrizada por: x = x(t), y = y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b] tal que
A = C(a) e B = C(b) dizemos que ~F~F~F é um campo conservativo
em D.
Vamos em seguida definir um operador diferencial vetorial muito
importante denominado gradiente, A saber:
Definição 7.12. Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função derivável de
valores reais. Definimos o gradiente de f , denotado ∇f , como o
campo vetorial ∇f : D ⊂ R3 7→ R3 dado por:
∇f def=∂f
∂x~i~i~i+
∂f
∂y~j~j~j +
∂f
∂z~k~k~k
Quando um campo vetorial pode ser dado pelo gradiente de um
campo escalar, dizemos que o campo escalar é uma função poten-
cial para o campo vetorial. A saber:
Definição 7.13. Sejam ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial e
f : D ⊂ R3 7→ R uma função derivável de valores reais tais que
130
Cálculo III AULA
7~F~F~F = ∇f então f é dita uma função potencial para o campo vetorial
~F~F~F em D
Daqui por diante consideraremos C uma curva lisa i.e. constituída
por um número finito de curvas simples unidas pelas extremidades
e D um conjunto aberto e conexo i.e. dado qualquer ponto de D
existe uma bola de centro no ponto inteiramente contida em D e
dado dois pontos quaisquer deD o segmento de reta que os une está
inteiramente contido em D. Consideraremos o campo vetorial ~F~F~F :
D ⊂ R3 7→ R3 dado por ~F~F~F = f1(x, y, z)~i~i~i+f2(x, y, z)~j~j~j+f3(x, y, z)~k~k~k
onde f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R são funções de valores reais contínuas
e com derivadas de primeira ordem contínuas.
Teorema 7.1. Sejam ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 dado por ~F~F~F = f1(x, y, z)~i~i~i+
f2(x, y, z)~j~j~j+ f3(x, y, z)~k~k~k onde f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R são funções
de valores reais contínuas e com derivadas de primeira ordem con-
tínuas em uma região D ⊂ R3 aberta e conexa do espaço. Então
existe uma função f : D ⊂ R3 7→ R contínua e diferenciável em
D ⊂ R3 tal que ~F~F~F = ∇f =∂f
∂x~i~i~i+
∂f
∂y~j~j~j +
∂f
∂z~k~k~k se somente se ~F~F~F for
um campo conservativo.
PROVA: Provaremos aqui a suficiência do teorema i.e. Se existe
uma função f : D ⊂ R3 7→ R contínua e diferenciável em D ⊂ R3
tal que ~F~F~F = ∇f =∂f
∂x~i~i~i+
∂f
∂y~j~j~j+
∂f
∂z~k~k~k então ~F~F~F é um campo conser-
vativo.
Suponha dois pontos A,B ∈ D e uma curva C ⊂ D parametrizada
por ~r~r~r(t) = x(t)~i~i~i + y(t)~j~j~j + z(t)~k~k~k, t ∈ [a, b] tal que A = C(a) e
B = C(b). Ao longo da curva C f é uma função f(x(t), y(t), z(t))
derivável com relação a t e levando em conta a regra da cadeia
temos:
131
Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3R3R3
df
dt=∂f
∂x
dx
dt+∂f
∂y
dy
dt+∂f
∂z
dz
dtPor outro lado o gradiente de f e a derivada do vetor posição ~r~r~r
com relação a t são dados por:
∇f =∂f
∂x~i~i~i+
∂f
∂y~j~j~j +
∂f
∂z~k~k~k
d~r~r~r
dt=dx
dt~i~i~i+
dy
dt~j~j~j +
dz
dt~k~k~k
Fazendo o produto escalar de ∇f pord~r~r~r
dtao longo de C temos:
∇f • d~r~r~r
dt=∂f
∂x
dx
dt+∂f
∂y
dy
dt+∂f
∂z
dz
dt
Como ~F~F~F = ∇f ao longo de C temos:
~F~F~F • d~r~r~r
dt=∂f
∂x
dx
dt+∂f
∂y
dy
dt+∂f
∂z
dz
dt
O trabalho realizado por ~F~F~F ao longo da curva C do ponto A até o
ponto B é dado por:∫C
~F~F~F • d~r~r~r =∫C
~F~F~F • d~r~r~r
dtdt
Aproveitando as equações acima podemos escrever:∫C
~F~F~F • d~r~r~r =∫C
(∂f
∂x
dx
dt+∂f
∂y
dy
dt+∂f
∂z
dz
dt
)dt∫
C
~F~F~F • d~r~r~r =∫ b
a
df
dtdt∫
C
~F~F~F • d~r~r~r = f(x(b), y(b), z(b))− f(x(a), y(a), z(a))
Portanto∫C
~F~F~F • d~r~r~r é independente do caminho C pois, depende
apenas dos valores de f nos pontos A e B, provando assim que ~F~F~F
é um campo conservativo. Caros alunos deixamos como desafio a
prova da necessidade. Novamente vocês podem recorrer aos livros
de Cálculo Avançado.
Temos outro teorema que caracteriza campos vetoriais conservati-
vos. A saber:
Teorema 7.2. Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial dado
por: ~F~F~F = f1~i~i~i + f2
~j~j~j + f3~k~k~k, cujas funções componentes f1, f2, f3 :
132
Cálculo III AULA
7D ⊂ R3 7→ R tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas.
Então ~F~F~F é conservativo se, somente se∂f1
∂y=∂f2
∂x,∂f1
∂z=∂f3
∂xe
∂f2
∂z=∂f3
∂y
PROVA: Novamente vamos provar a suficiência. Se ~F~F~F é conser-
vativo, existe f : D ⊂ R3 7→ R tal que:
~F~F~F =∂f
∂x~i~i~i+
∂f
∂y~j~j~j +
∂f
∂z~k~k~k.
Em outras palavras: f1 =∂f
∂x, f2 =
∂f
∂ye f3 =
∂f
∂z.
Daí temos:∂f1
∂y=
∂2f
∂y∂xe∂f2
∂x=
∂2f
∂x∂y.
Da continuidade das derivadas parciais de f1 e f2 temos:∂f1
∂y=∂f2
∂x. De forma semelhante temos:
∂f1
∂z=
∂2f
∂z∂xe∂f3
∂x=
∂2f
∂x∂z.
Da continuidade das derivadas parciais de f1 e f3 temos:∂f1
∂z=∂f3
∂x.
E finalmente:∂f2
∂z=
∂2f
∂z∂ye∂f3
∂y=
∂2f
∂y∂z.
Da continuidade das derivadas parciais de f2 e f3 temos:∂f2
∂z=∂f3
∂y.
Deixamos a demonstração da necessidade para vocês. Novamente
consultem livros de Cálculo Avançado.
Na proxima seção, veremos como determinar o campo potencial
quando ele existe, utilizando um exemplo.
7.6 Algumas Aplicações das Integrais de Linha
Veremos agora três aplicações das integrais de linha de campos
vetoriais sobre curvas no espaço.
133
Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3R3R3
Exemplo 7.1. Calcular o trabalho realizado pelo campo de força
F : R3 7→ R3 dado por ~F~F~F (t) = z~i~i~i + 0~j~j~j + xy~k~k~k ao longo da hélice
Figura 7.1: Gráfico do exemplo 1
C ⊂ R3 dada por ~r~r~r = a cos(t)~i~i~i + a sin(t)~j~j~j + bt~k~k~k, t ∈ [0, 4π] (ver
Fig. 7.1 ).
SOLUÇÃO: Derivando o vetor posição ~r~r~r(t) com relação a t te-
mos:
d~r~r~r(t)dt
= −a sin(t)~i~i~i+ a cos(t)~j~j~j + b~k~k~k
O campo de força ~F~F~F ao longo da curva C ⊂ R3 é dado por:
~F~F~F (t) = bt~i~i~i+ 0~j~j~j + a2 sin(t) cos(t)~k~k~k
Fazendo o produto escalar de ~F~F~F (t) pord~r~r~r(t)dt
temos:
~F~F~F (t) • d~r~r~r(t)dt
= −bat sin(t) + ba2 sin(t) cos(t)
Calculando o trabalho realizado pela força ~F~F~F (t) ao longo da curva
134
Cálculo III AULA
7C temos:
T (~F~F~F ,C) =∫C
~F~F~F (t) • d~r~r~r(t)
=∫C
~F~F~F (t) • d~r~r~r(t)dt
dt
=∫ 4π
0(−bat sin(t) + ba2 sin(t) cos(t))dt
= ba(− sin(t) + t cos(t)) +ba2
2sin2(t)
∣∣∣4π0
= ba(− sin(4π) + 4π cos(4π)) +ba2
2sin2(4π)−
−(ba(− sin(0) + 0 cos(0)) +ba2
2sin2(0))
= 4πba
E agora sem demora o segundo exemplo.
Exemplo 7.2. Calcular o trabalho realizado pelo campo de força
constante F : R3 7→ R3 dado por ~F~F~F = K~i~i~i+Ky~j~j~j+K~k~k~k ao longo da
Figura 7.2: Gráfico do exemplo 2
curva C ⊂ R3 da intersecção da esfera (x−a)2+(y−a)2+(z−a)2 =
a2 e do plano x− z = 0 (ver Fig. 7.2 ).
SOLUÇÃO: Primeira coisa a fazer é obter uma parametriza-
ção para a curva
(x− a)2 + (y − a)2 + (z − a)2 = a2
x− z = 0. Como a
135
Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3R3R3
curva C ⊂ R3 pertence a reta podemos eliminar z = y na equação
da esfera e temos:
2(x−a)2+(y−a)2 = a2, podemos propor como parametrização sa-
tisfazendo a equação acima: y = a+ a sin(t) e x = a+√
22a cos(t).
Como z = x temos:
z = a+√
22a cos(t).
Resumindo temos a seguinte parametrização para a intersecção da
esfera como plano dados:x = a+
√2
2a cos(t)
y = a+ a sin(t) ∀t ∈ [−π,+π]
z = a+√
22a cos(t)
.
Podemos escrever o vetor posição ~r~r~r como:
~r~r~r = (a+√
22a cos(t))~i~i~i+ (a+ a sin(t))~j~j~j + (a+
√2
2a cos(t))~k~k~k. Deri-
vando o vetor posição ~r~r~r(t) com relação a t temos:
d~r~r~r(t)dt
= −√
22a sin(t)~i~i~i+ a cos(t)~j~j~j −
√2
2a sin(t)~k~k~k
Ao longo da curva C ⊂ R3 o campo de força é dado por:
~F~F~F (t) = K~i~i~i+Ka(1 + sin(t))~j~j~j +K~k~k~k.
Fazendo o produto escalar de ~F~F~F (t) pord~r~r~r(t)dt
temos:
~F~F~F (t) • d~r~r~r(t)dt
= −√
22Ka sin(t) +Ka2(1 + sin(t)) cos(t)−
−√
22Ka sin(t)
= −√
2Ka sin(t) +Ka2(1 + sin(t)) cos(t)
Calculando o trabalho realizado pela força ~F~F~F (t) ao longo da curva
136
Cálculo III AULA
7C temos:
T (~F~F~F ,C) =∫C
~F~F~F (t) • d~r~r~r(t)
=∫C
~F~F~F (t) • d~r~r~r(t)dt
dt
=∫ +π
−π(−√
2Ka sin(t) +Ka2(1 + sin(t)) cos(t))dt
= (√
2Ka cos(t)−√
22Ka2(1 + sin(t))2)
∣∣∣+π−π
= 0
Vejamos mais um exemplo. Desta vez veremos como determinar a
função potencial para um campo conservativo.
Exemplo 7.3. Seja ~F~F~F : R3 7→ R3 um campo vetorial conservativo
dado por: ~F~F~F = yz~i~i~i + (xz + 1)~j~j~j + xy~k~k~k. Determine sua função po-
tencial.
SOLUÇÃO: Primeiramente testaremos se o campo vetorial ~F~F~F é
um campo conservativo, usando a condição necessária e suficiente
dada por:∂f1
∂y=∂f2
∂x,∂f1
∂z=∂f3
∂xe∂f2
∂z=∂f3
∂y.
Como para o ~F~F~F dado f1 = yz, f2 = xz + 1 e f3 = xy temos:∂f1
∂y= z =
∂f2
∂x,∂f1
∂z= y =
∂f3
∂xe∂f2
∂z= x =
∂f3
∂y.
A condição está satisfeita e ~F~F~F é um campo vetorial conservativo e
podemos procurar o f : R3 7→ R tal que:
~F~F~F = ∇f =∂f
∂x~i~i~i+
∂f
∂y~j~j~j +
∂f
∂z~k~k~k.
De onde tiramos:
∂f
∂x= f1 = yz
∂f
∂y= f2 = xz + 1
∂f
∂z= f3 = xy
137
Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3R3R3
Integrando a primeira equação∂f
∂x= yz com relação a x temos:
f = xyz + g(y, z) pois daí tiramos∂f
∂x= yz.
Temos agora que determinar o g(y, z) de modo que a segunda equa-
ção sejam satisfeita.
Derivando f = xyz + g(y, z) com relação a y temos:∂f
∂y= xz +
∂g
∂y.
Comparando com a segunda equação∂f
∂y= xz + 1 temos:
∂g
∂y= 1.
Integrando com relação a y temos:
g(y, z) = y + h(z) pois daí tiramos∂g
∂y= 1.
Podemos reescrever f comos:
f = xyz + y + h(z).
Temos agora que determinar o h(z) de modo que a terceira equa-
ção sejam satisfeita.
Derivando f = xyz + y + h(z) com relação a z temos:∂f
∂y= xy +
dh
dz.
Comparando com a terceira equação∂f
∂z= xy temos:
dh
dz= 0.
Logo h(z) = K é uma constante que podemos sem perda de gene-
ralidade fazer igual a zero e f passa a ter a forma final:
f(x, y, z) = xyz + y
7.7 Conclusão
Na aula de hoje, vimos como integrar campos vetoriais (funções
vetoriais) ao longo de curvas no espaço e no plano. Que, essenci-
almente, os conceitos por trás da integração de campos vetoriais
138
Cálculo III AULA
7como circulação e fluxo sobre curvas estão intimamente ligados à
Física.
RESUMO
Seja C ⊂ R3, uma curva contínua e lisa, parametrizada por
comprimento de arco e % : C ⊂ R3 7→ R+, a densidade linear de
massa de C onde: ∀(x, y, z) ∈ C, %(x, y, z) > 0.
Massa
A massa de C ⊂ R3, denotada m(C), é definida por:
m(C) =∫C%(x, y, z)ds
Momento de Massa relativo aos planos yzyzyz, xzxzxz e xyxyxy.
O momento de massa de C ⊂ R3 relativo ao plano yz, xz e xy de-
notados Myz(C), Mxz(C) e Mxy(C) são definidos respectivamente
por:
Myz(C) =∫C%(x, y, z)xds
Mxz(C) =∫C%(x, y, z)yds
Mxy(C) =∫C%(x, y, z)zds
Se a curva C ⊂ R3 é dada parametricamente por: x = x(t), y =
y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b], a massa, momento de massa relativo aos
planos yz, xz e xy, respectivamente pode ser calculados por:
139
Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3R3R3
m(C) =∫ b
a%(x(t), y(t), z(t))|~v~v~v(t)|dt
Myz(C) =∫ b
a%(x(t), y(t), z(t))x(t)|~v~v~v(t)|dt
Mxz(C) =∫ b
a%(x(t), y(t), z(t))y(t)|~v~v~v(t)|dt
Mxy(C) =∫ b
a%(x(t), y(t), z(t))z(t)|~v~v~v(t)|dt
Centro de Massa.
O centro de Massa de C ⊂ R3 é dado por (x, y, z), onde:
x =Myz(C)m(C)
=
∫C%(x, y, z)xds∫
C%(x, y, z)ds
y =Mxz(C)m(C)
=
∫C%(x, y, z)yds∫
C%(x, y, z)ds
z =Mxy(C)m(C)
=
∫C%(x, y, z)zds∫
C%(x, y, z)ds
Momento de Inércia relativo aos eixos xxx, yyy e zzz.
O momento de inércia de C ⊂ R3 relativo ao eixos x, y e z deno-
tados Ix(C), Iy(C) e Iz(C) são definidos respectivamente por:
Ix(C) =∫C%(x, y, z)(y2 + z2)ds
Iy(C) =∫C%(x, y, z)(x2 + z2)ds
Iz(C) =∫C%(x, y, z)(x2 + y2)ds
140
Cálculo III AULA
7Se a curva C ⊂ R3 é dada parametricamente por: x = x(t), y =
y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b], o momento de inércia relativo aos eixos
x, y e z, respectivamente pode ser calculados por:
Ix(C) =∫ b
a%(x(t), y(t), z(t))(y2(t) + z2(t))|~v~v~v(t)|dt
Iy(C) =∫ b
a%(x(t), y(t), z(t))(x2(t) + z2(t))|~v~v~v(t)|dt
Iz(C) =∫ b
a%(x(t), y(t), z(t))(x2(t) + y2(t))|~v~v~v(t)|dt
Fluxo Integral de Escoamento.
Seja um campo de vetores ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 e uma curva C ⊂ D
contínua e suave. Definimos o fluxo integral de escoamento do
campo vetorial ~F~F~F ao longo da curva C ⊂ R3 por:
Φ(F,C) =∫C
~F~F~F • ~T~T~Tds
Alternativamente se a curva C ⊂ R3 é representada vetorialmente
por: ~r~r~r = x(t)~i~i~i + y(t)~j~j~j + z(t)~k~k~k, t ∈ [a, b] e o campo vetorial ~F~F~F :
D ⊂ R3 7→ R3 por: ~F~F~F = f1(x, y, z)~i~i~i + f2(x, y, z)~j~j~j + f3(x, y, z)~k~k~k,
com f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R são funções de valores reais, o fluxo
integral de escoamento pode ser escrito como:
T (F,C) =∫C
~F~F~F • d~r~r~r
T (F,C) =∫C
(f1dx+ f2dy + f3dz)
T (F,C) =∫ b
a
(f1dx(t)dt
+ f2dy(t)dt
+ f3dz(t)dt
)dt
Campo Conservativo.
Sejam ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial, dois pontosA,B ∈ D.
141
Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3R3R3
Se∫ B
A
~(~(~(F ) • ~dr~dr~dr é constante ∀C ⊂ D parametrizada por: x = x(t),
y = y(t) e z = z(t), t ∈ [a, b] tal que A = C(a) e B = C(b) dizemos
que ~F~F~F é um campo conservativo em D.
Gradiente.
Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função derivável de valores reais.
Definimos o gradiente de f , denotado ∇f , como o campo vetorial
∇f : D ⊂ R3 7→ R3 dado por:
∇f def=∂f
∂x~i~i~i+
∂f
∂y~j~j~j +
∂f
∂z~k~k~k
Função Potencial.
Sejam ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial e f : D ⊂ R3 7→ R
uma função derivável de valores reais tais que ~F~F~F = ∇f então, f é
dita uma função potencial para o campo vetorial ~F~F~F em D
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos, essencialmente, integração
de funções reais e campos vetoriais (funções vetoriais) sobre su-
perfícies S ⊂ R3. Veremos também como calcular área, massa,
momento de massa e centro de massa de superfícies.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades os seguintes problemas envolvendo
integração de campos vetoriais sobre curvas no espaço.
142
Cálculo III AULA
7ATIV. 7.1. Seja ~F~F~F : R3 7→ R3 o campo vetorial dado por: ~F~F~F (x, y, z) =
y(2xyz2 + exy)~i~i~i+ x(2xyz2 + exy)~j~j~j + 2x2y2z~k~k~k:
• Mostre que campo vetorial ~F~F~F é conservativo.
• Determine uma função potencial f : R3 7→ R tal que ~F~F~F =
∇f .
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os
problemas resolvidos acima, eles lhe servirão de guia.
ATIV. 7.2. Sejam ~F~F~F : R3 7→ R3 o campo vetorial dado por:
~F~F~F (x, y, z) = y~i~i~i+ z~j~j~j + b~k~k~k, b 6= 0 e C ⊂ R3 a curva no espaço dada
por ~r~r~r(t) = a cos(t)~i~i~i + a sin(t)~j~j~j + c~k~k~k, ∀t ∈ [0, 2π], a, c > 0. Deter-
mine o trabalho realizado por ~F~F~F ao longo da curva C.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os
problemas resolvidos acima, eles lhe servirão de guia.
LEITURA COMPLEMENTAR
ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros
Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982.
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume
2, Editora Harbra, 1994.
STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN-
GAGE Learning, 2009.
SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume
2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.
143
Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3R3R3
THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,
2003.
KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard
Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora
McGraw-Hill do Brasil, 1971.
BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.
144
AULA
8Integrais de Superfícies
META:
Apresentar integrais de funções definidas sobre superfícies em R3.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Definir integrais de funções definidas sobre superfícies em R3 e
calcular algumas integrais de funções vetoriais definidas sobre su-
perfícies em R3.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-
mínio em R, da disciplina Cálculo I, vetores da disciplina Vetores
e Geometria analítica e superfícies em R3.
Integrais de Superfícies
8.1 Introdução
Caros alunos nossa aula de hoje “Integrais de Superfícies” tem,
como a nossa aula anterior “Integrais de Funções Vetoriais sobre
Curvas em R3”, um sabor de física. Desde a determinação da
massa, momento de massa e centro de massa de uma superfície
até a determinação do fluxo de um campo vetorial através de uma
superfície. Da mesma forma que na aula anterior, vocês devem
ater-se apenas aos aspectos matemáticos da matéria abordada.
8.2 Superfícies em R3R3R3
Bom, vamos começar, bem do começo, com algumas formas de
representação de superfícies. A primeira forma de representação
de uma superfície é considerar uma função f : D ⊂ R3 7→ R e
tomar um ponto c ∈ Img(f) da imagem de f . Desta forma, de
modo geral, f(x, y, z) = c representa uma superfície S ⊂ R3.
Exemplo 8.1. Sejam a, b, c > 0 e f : R3 7→ R dada por: f(x, y, z) =x2
a2+y2
b2+z2
c2. Desta forma f(x, y, z) = d representa elipsóides para
valores positivos de d.
Outra forma de representação de uma superfície é através de uma
parametrização. Representar S ⊂ R3 por: x = x(u, v), y = y(u, v)
e z = z(u, v), ∀(u, v) ∈ [a, b]× [c, d].
Exemplo 8.2. Tomando o exemplo anterior podemos parametri-
zar os elipsóides por: x = a√d cos(u) cos(v), y = b
√d sin(u) cos(v)
e z = c√d sin(v), ∀(u, v) ∈ [−π,+π]× [−π,+π].
146
Cálculo III AULA
88.3 Área de Superfícies em R3R3R3
Vamos usar nesta seção uma argumentação heurística objeti-
vando encontrar uma fórmula para determinação da área de uma
superfície S ⊂ R3. A argumentação baseia-se na possibilidade
(ver, Fig. 8.1 ) de determinar a área de uma superfície através
de uma integração dupla sobre sua projeção (sombra) no plano
D ⊂ xy. Suponhamos que a projeção da superfície S ⊂ R3 dada
Figura 8.1: Superfície S ⊂ R3 e sua projeção D
por: z = f(x, y) sobre o plano xy seja a região D ⊂ xy e seja
D ⊂ R ⊂ xy um retângulo do plano xy paralelo aos eixos coor-
denados e que contenha a região D (ver, Fig. 8.2 ). Podemos
subdividir R em pequenos retângulos (através de partições como
vimos em nossa primeira aula) ∆ij de área ∆xi∆yj . Podemos
aproximar (ai está a argumentação heurística) a pequena área da
superfície S, denotada ∆σij cuja projeção é o pequeno retângulo
∆ij pela parte do plano tangente a S no ponto (xi, yj , f(xi, yj)),
denotada ∆Pij , que tem a forma de um paralelogramo, (ver, Fig.
8.2 ) cuja projeção no plano xy é também o pequeno retângulo
∆ij . A área de ∆Pij é, de modo geral, maior que a área de ∆ij
147
Integrais de Superfícies
Figura 8.2: Detalhe do elemento de área ∆σij
(a área da sombra é sempre menor ou igual à área do objeto). Da
geometria vetorial |~u~u~ui × ~v~v~vj • ~p~p~p| é a área da projeção do paralelo-
gramo ∆Pij onde ~p~p~p é a normal a ∆ij (no caso para projeções no
plano xy ~p~p~p = ~k~k~k mas, deixaremos ~p~p~p nas fórmulas caso seja escolhido
outro plano de projeção).
|~u~u~ui ×~v~v~vj • ~p~p~p| = ∆ij
Também da geometria vetorial temos:
|~u~u~ui ×~v~v~vj • ~p~p~p| = |~u~u~ui ×~v~v~vj |.|~p~p~p|.| cos(ϕij)| = ∆ij
onde ϕij é o ângulo formado pelo vetor normal ~p~p~p(xi, yj) e o vetor
~u~u~ui ×~v~v~vj .
Como, da geometria vetorial, (ver em livros de Cálculo Avançado)
|~u~u~ui ×~v~v~vj | = ∆Pij e |~p~p~p| = 1, temos:
∆Pij =∆ij
| cos(ϕ)|
Como cada pedaço ∆Pij aproxima o pedaço da superfície ∆σij
então a soma:n−1∑i=0
m−1∑j=0
∆Pij =n−1∑i=0
m−1∑j=0
∆ij
| cos(ϕij)|
148
Cálculo III AULA
8aproxima a área de S. Um refinamento da partição de D ⊂ xy me-
lhora a aproximação e podemos então (argumentação heurística)
escrever:
Are(S) =∫ ∫
D
1| cos(ϕ)|
dxdy
Para uma superfície dada por f(x, y, z) = c, temos |∇f • ~p~p~p| =
|∇f |.|~p~p~p|.| cos(ϕ)| e como |~p~p~p| = 1 portanto:
Are(S) =∫ ∫
Sdσ =
∫ ∫D
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Por outro lado podemos estender a argumentação e determinar a
integral de uma função g : D ⊂ R3 7→ R definida sobre a superfície
S ⊂ R3 na forma:∫ ∫Sg(x, y, z)dσ =
∫ ∫Dg(x, y, z))
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Vamos a um exemplo para ilustrar os conceitos acima expostos.
Exemplo 8.3. Considere a superfície S ⊂ R3 do espaço dada por
z = a+x2 +y2, cuja projeção no plano xy é a região D ⊂ xy dada
por x2 + y2 ≤ b2 e determine sua área (ver Fig. 8.3).
SOLUÇÃO: Deixamos como a primeira atividade mostrar que:
Figura 8.3: Parabolóide z = a+ x2 + y2
149
Integrais de Superfícies
se a superfície é dada por z = f(x, y) projetada no plano xy em
D ⊂ xy sua área é dada por:
Are(S) =∫ ∫
D
√(∂f
∂x
)2
+(∂f
∂y
)2
+ 1dxdy
Como z = f(x, y) = a+ x2 + y2 temos:
∂f
∂x= 2x
∂f
∂y= 2y
Daí, substituindo na expressão da área temos:
Are(S) =∫ ∫
D
√(∂f
∂x
)2
+(∂f
∂y
)2
+ 1dxdy
=∫ ∫
x2+y2≤b2
√(2x)2 + (2y)2 + 1dxdy
Usando so sistema de coordenadas polares, x = r cos(ϑ) e r sin(ϑ),
para o cálculo da integral dupla temos para a projeção x2+y2 ≤ b2
os seguintes limites r =
b
0e ϑ =
2π
0e podemos reescrever
a integral dupla como:
Are(S) =∫ 2π
0
∫ b
0
√(2r cos(ϑ))2 + (2r sin(ϑ))2 + 1rdrdϑ
=∫ 2π
0
∫ b
0
√4r2 cos2(ϑ) + 4r2 sin2(ϑ) + 1rdrdϑ
=∫ 2π
0
∫ b
0
√4r2 + 1rdrdϑ
Fazendo a mudança de variáveis z = 4r2 + 1 temos:dz
dr= 8r e os
limites de integração r =
b
0passa a z =
4b2 + 1
1e podemos
150
Cálculo III AULA
8reescrever a integral dupla como:
Are(D) =∫ 2π
0
∫ 4b2+1
1
√zdzdϑ
Integrando primeiro em z depois em ϑ temos:
Are(D) =∫ 2π
0
∫ 4b2+1
1
√zdzdϑ
=∫ 2π
0
√z3∣∣∣4b2+1
1dϑ
=23
∫ 2π
0(√
(4b2 + 1)3 − 1)dϑ
=23
(√
(4b2 + 1)3 − 1)ϑ∣∣∣2π0
=4π3
(√
(4b2 + 1)3 − 1)
8.4 Momento de massa e Momento de Inércia
de Superfícies de Casca Fina em R3R3R3
Seja uma superfície S ⊂ R3 de casca fina dada por f(x, y, z) = c
e com densidade superficial % : S ⊂ R3 7→ R, a massa, o momento
de massa em relação aos planos yz, xz e xy são dados, respectiva-
mente, por:
m(S) =∫ ∫
S%(x, y, z)dσ =
∫ ∫D%(x, y, z)
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Myz(S) =∫ ∫
S%(x, y, z)xdσ =
∫ ∫D%(x, y, z)x
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Mxz(S) =∫ ∫
S%(x, y, z)ydσ =
∫ ∫D%(x, y, z)y
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Mxy(S) =∫ ∫
S%(x, y, z)zdσ =
∫ ∫D%(x, y, z)z
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
151
Integrais de Superfícies
O centro de massa, denotado (x, y, z), é dado por:
x =Myz(S)m(S)
=
∫ ∫D%(x, y, z)x
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA∫ ∫D%(x, y, z)
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
y =Mxz(S)m(S)
=
∫ ∫D%(x, y, z)y
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA∫ ∫D%(x, y, z)
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
z =Mxy(S)m(S)
=
∫ ∫D%(x, y, z)z
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA∫ ∫D%(x, y, z)
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Os momentos de inércia com relação aos eixos x, y e z são dados,
respectivamente, por:
Ix(S) =∫ ∫
D%(x, y, z)(y2 + z2)
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Iy(S) =∫ ∫
D%(x, y, z)(x2 + z2)
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Iz(S) =∫ ∫
D%(x, y, z)(x2 + y2)
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Vamos ilustrar com um exemplo.
Exemplo 8.4. Considere a casca fina descrita pela superfície S ⊂
R3 dada pela parte do cone x2 + y2− z2 = 0 que situa-se acima do
plano z = 0 e e abaixo do plano z = a, cuja densidade é constante
e igual a % e determine seu centro de massa (ver Fig. 8.4).
SOLUÇÃO: Em primeiro lugar determinaremos a massa da casca
fina, levando em conta que a projeção de S ⊂ R3 no plano xy é a
região circular D ⊂ xy dada por: x2 + y2 ≤ a2.
Para o caso f(x, y, z) = x2+y2−z2 = 0 e ~p~p~p = ~k~k~k. daí, seu gradiente
será:
152
Cálculo III AULA
8
Figura 8.4: Cone x2 + y2 − z2 = 0
∇f = −2x~i~i~i− 2y~j~j~j − 2z~k~k~k
E temos:
|∇f • ~p~p~p| = 2z
|∇f | =√x2 + y2 + z2 =
√2x2 + 2y2
A massa da casca fina será:
m(S) =∫ ∫
D%|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
=∫ ∫
x2+y2≤a2
%
√2x2 + 2y2
2zdxdy
= %
√2
2
∫ ∫x2+y2≤a2
√z2
zdxdy
= %
√2
2
∫ ∫x2+y2≤a2
dxdy
Usando so sistema de coordenadas polares, x = r cos(ϑ) e r sin(ϑ),
para o cálculo da integral dupla temos para a projeção x2+y2 ≤ a2
os seguintes limites r =
a
0e ϑ =
2π
0e podemos reescrever
153
Integrais de Superfícies
a integral dupla como:
m66(S) = %
√2
2
∫ 2π
0
∫ a
0rdrdϑ
= %
√2
2
∫ 2π
0
r2
2
∣∣∣a0dϑ
= %a2√
24
∫ 2π
0dϑ
= %
√2
4ϑ∣∣∣2π0
= π%a2√
22
Para determinar o centro de massa temos que determinar apenas
Mxy pois, pela simetria da superfície e como % é constante temos
que x = y = 0.
O momento de massa Mxy da casca fina será:
Mxy(S) =∫ ∫
D%z|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
=∫ ∫
x2+y2≤a2
%z
√2x2 + 2y2
2zdxdy
= %
√2
2
∫ ∫x2+y2≤a2
zdxdy
= %
√2
2
∫ ∫x2+y2≤a2
√x2 + y2dxdy
Usando so sistema de coordenadas polares, x = r cos(ϑ) e r sin(ϑ),
para o cálculo da integral dupla temos para a projeção x2+y2 ≤ a2
os seguintes limites r =
a
0e ϑ =
2π
0e podemos reescrever
154
Cálculo III AULA
8a integral dupla como:
Mxy(S) = %
√2
2
∫ 2π
0
∫ a
0
√(r cos(ϑ))2 + (r sin(ϑ))2rdrdϑ
= %
√2
2
∫ 2π
0
∫ a
0
√r2 cos2(ϑ) + r2 sin2(ϑ)rdrdϑ
= %
√2
2
∫ 2π
0
∫ a
0
√r2rdrdϑ
= %
√2
2
∫ 2π
0
∫ a
0r2drdϑ
= %
√2
2
∫ 2π
0
r3
3
∣∣∣a0dϑ
= %a2√
26
∫ 2π
0dϑ
= %
√2
6ϑ∣∣∣2π0
= π%a3√
23
O valor de z será dado por:
z =Mxy(S)m(S)
=π%a3√
23
π%a2√
22
=2a3
8.5 Superfícies Parametrizadas
Nesta seção veremos como calcular integrais de superfícies para
superfícies parametrizadas.
Seja uma superfície lisa S ⊂ R3 parametrizada por: x = x(u, v),
y = y(u, v) e z = z(u, v), ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] onde x, y e z
possuem derivadas contínuas com relação a u e a v. Podemos
representar a superfície pelo vetor posição ~r~r~r(u, v) = x(u, v)~i~i~i +
y(u, v)~j~j~j + z(u, v)~k~k~k. Representaremos as derivadas do vetor r com
relação a u e a v respectivamente por ~r~r~ru , ~r~r~rv. Consideraremos em
R = [a, b] × [c, d] as quatro retas u = u0, u = u0 + ∆u, v = v0 e
155
Integrais de Superfícies
v = v0 + ∆v u = u0 + ∆u e denotamos ∆uv o pequeno retângulo
formado pela intersecção das quatro retas (ver Fig. 8.5). O pe-
Figura 8.5: Domínio da parametrização
queno retângulo ∆uv é mapeado pela parametrização no pequeno
elemento de área ∆σuv sobre a superfície S. O paralelogramo for-
mado pelos vetores ∆u~r~r~ru e ∆v~r~r~rv aproximam (por falta) o elemento
de área ∆σuv (ver Fig. 8.6). A área do paralelogramo é dada por:
Figura 8.6: Elemento de área ∆σuv em S.
|∆u~r~r~ru ×∆v~r~r~rv| = |~r~r~ru ×~r~r~rv|∆u∆v.
A suposição de que S é uma superfície lisa garante que o produto
vetorial ~r~r~ru × ~r~r~rv não é o vetor nulo e portanto a área do pequeno
156
Cálculo III AULA
8paralelogramo também não é nula. Podemos então fazer um par-
tição da região R do plano uv e mapeando-a pela parametrização
sobre a superfície S. Aproximando cada ∆σuv pela área do para-
lelogramo associado podemos aproximar a área de S pela soma de
Riemann: ∑u
∑v
|~r~r~ru ×~r~r~rv|∆u∆v.
Fazendo ∆u e ∆v tenderem a zero independentemente, a conti-
nuidade das derivadas ~r~r~rv do vetor posição garante que a soma de
Riemann aproxime-se da integral dupla que dá a área Are(S) da
superfície S i.e.
Are(S) =∫ b
a
∫ d
c|~r~r~ru ×~r~r~rv|dudv.
Esta argumentação heurística nos permite estender os conceitos
acima desenvolvidos para definir a integral de uma função f : S ⊂
R3 7→ R definida sobre a superfície S da seguinte forma:
Definição 8.1. Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa definida para-
metricamente por ~r~r~r(u, v) = x(u, v)~i~i~i+ y(u, v)~j~j~j+ z(u, v)~k~k~k, ∀(u, v) ∈
[a, b]× [c, d] e f : S ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais definida
sobre S então, a integral de f sobre S será:∫ ∫Sf(x, y, z)dσ def=
∫ b
a
∫ d
cf(x(u, v), y(u, v), z(u, v))|~r~r~ru×~r~r~rv|dudv.
Um conceito, vindo da Física, muito importante é o do fluxo de
um campo vetorial através de uma superfície no espaço. Como
exemplo temos o fluxo de massa (massa por unidade de tempo por
unidade de área) de um fluido que é calculado através do seu campo
de velocidade e da sua densidade de massa. Vamos à definição:
Definição 8.2. Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa no espaço e
~F~F~F : S ⊂ R3 7→ R3 uma função de valores vetoriais. Definimos o
157
Integrais de Superfícies
fluxo de ~F~F~F através de S, denotado φ(~F~F~F ), por:
φ(~F~F~F ) def=∫ ∫
S
~F~F~F (x, y, z) • ~n~n~ndσ.
Onde n é a normal unitária em S.
OBS 8.1. Alternativamente, se S ⊂ R3 é lisa e definida parame-
tricamente por ~r~r~r(u, v) = x(u, v)~i~i~i + y(u, v)~j~j~j + z(u, v)~k~k~k, ∀(u, v) ∈
[a, b] × [c, d] e ~F~F~F : S ⊂ R3 7→ R3 uma função de valores vetoriais.
O fluxo de ~F~F~F através de S, é dado por:
φ(~F~F~F ) =∫ b
a
∫ d
c
~F~F~F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) • ~n~n~n|~r~r~ru ×~r~r~rv|dudv.
Como podemos calcular o vetor normal por ~n~n~n =1
|~r~r~ru ×~r~r~rv|·(~r~r~ru×~r~r~rv)
a integral para o fluxo do campo vetorial ~F~F~F através da superfície
S pode ser reescrita como:
φ(~F~F~F ) =∫ b
a
∫ d
c
~F~F~F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) • (~r~r~ru ×~r~r~rv)dudv.
Vejamos um exemplo envolvendo a determinação do fluxo de um
campo vetorial através de uma superfície no espaço.
Exemplo 8.5. Determine o fluxo do campo vetorial ~F~F~F : R3 7→ R3
dado por ~F~F~F (x, y, z) = z~i~i~i+ z~j~j~j + xy~k~k~k através da superfície do para-
bolóide z = a2 − x2 − y2, que fica acima do plano z = 0 (ver Fig.
8.7).
SOLUÇÃO: Começaremos por parametrizar a superfície do pa-
rabolóide fazendo x = v cos(u), y = v sin(u) e z = a2 − v2. Desta
forma o vetor posição para a superfície fica expresso por:
~r~r~r(u, v) = v cos(u)~i~i~i+ v sin(u)~j~j~j + (a2 − v2)~k~k~k.
158
Cálculo III AULA
8
Figura 8.7: Parabolóide z = a2 − x2 − y2.
As derivadas parciais do vetor posição ~r~r~r com relação a u e a v são:
~r~r~ru = −v sin(u)~i~i~i+ v cos(u)~j~j~j + 0k
~r~r~rv = cos(u)~i~i~i+ sin(u)~j~j~j − 2v~k~k~k
Podemos calcular ~r~r~ru ×~r~r~rv operacionalmente por:
~r~r~ru ×~r~r~rvop= det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i~i~i ~j~j~j ~k~k~k
−v sin(u) v cos(u) 0
cos(u) sin(u) −2v
∣∣∣∣∣∣∣∣∣Calculando o determinante temos:
~r~r~ru ×~r~r~rv = −2v2 sin(u)~i~i~i+ 2v2 sin(u)~j~j~j − v~k~k~k
O campo vetorial ~F~F~F sobre a superfície pode ser escrito como:
~F~F~F (u, v) = (a2 − v2)~i~i~i+ (a2 − v2)~j~j~j + v2 sin(u) cos(u)~k~k~k.
Fazendo o produto escalar do campo vetorial ~F~F~F por ~r~r~ru×~r~r~rv temos:
~F~F~F•(~r~r~ru×~r~r~rv) = −2v2(a2−v2) sin(u)+2v2(a2−v2) sin(u)−v3 sin(u) cos(u)
159
Integrais de Superfícies
Simplificando e calculando o fluxo do campo vetorial ~F~F~F sobre a
superfície S temos:
φ(~F~F~F ) =∫ a
0
∫ +π
−π−v3 sin(u) cos(u)dudv
=∫ a
0−v3 sin2(u)
2
∣∣∣+π−πdv
=12
∫ a
0−v3(sin2(+π)− sin2(−π))dv
= 0
8.6 Conclusão
Na aula de hoje, vimos como integrar funções definidas so-
bre uma superfície no espaço. Funções escalares de valores reais
ao longo de superfícies no espaço com as quais podemos determi-
nar área, massa, momento de massa, centro de massa momento
de inércia de uma superfície representando uma casca fina. Vi-
mos também como calcular integrais de campos vetoriais (funções
vetoriais) definidos sobre uma superfície no espaço, que essenci-
almente, os conceitos por trás da integração de campos vetoriais
como o fluxo através de superfícies estão intimamente ligados à
Física.
RESUMO
Caros alunos, em nossa aula de hoje, sobre integrais de fun-
ções definidas sobre superfícies no espaço, tanto funções escalares
quanto campos vetoriais o conteúdo visto pode ser resumido como:
160
Cálculo III AULA
8Área de uma Superfície S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3
Sejam S ⊂ R3 uma superfície dada por f(x, y, z) = c cuja projeção
em um dos planos coordenados seja D e ~p~p~p a normal a D. A área
da superfície S é dada por:
Are(S) =∫ ∫
Sdσ =
∫ ∫D
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Integral de Superfície S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3
Sejam S ⊂ R3 uma superfície dada por f(x, y, z) = c cuja projeção
em um dos planos coordenados seja D e ~p~p~p a normal a D e g : D ⊂
R3 7→ R uma função de valores reais cujo domínio é a superfície S.
A a integral de g sobre a superfície S é dada por:∫ ∫Sg(x, y, z)dσ =
∫ ∫Dg(x, y, z)
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Massa e Momento de Massa de uma Superfície S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3
Se a superfície S ⊂ R3 representa uma casca fina de densidade
superficial % : S ⊂ R3 7→ R+ então, a massa, momento de massa
relativo aos planos coordenados yz, xz e xy, são dados respectiva-
mente por:
m(S) =∫ ∫
S%(x, y, z)dσ =
∫ ∫D%(x, y, z)
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Myz(S) =∫ ∫
S%(x, y, z)xdσ =
∫ ∫D%(x, y, z)x
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Mxz(S) =∫ ∫
S%(x, y, z)ydσ =
∫ ∫D%(x, y, z)y
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Mxy(S) =∫ ∫
S%(x, y, z)zdσ =
∫ ∫D%(x, y, z)z
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Centro de Massa de uma Superfície S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3
Se a superfície S ⊂ R3 representa uma casca fina de densidade
161
Integrais de Superfícies
superficial % : S ⊂ R3 7→ R+ então, O centro de massa da casca
fina, denotado (x, y, z), é dado por:
x =Myz(S)m(S)
=
∫ ∫D%(x, y, z)x
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA∫ ∫D%(x, y, z)
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
y =Mxz(S)m(S)
=
∫ ∫D%(x, y, z)y
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA∫ ∫D%(x, y, z)
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
z =Mxy(S)m(S)
=
∫ ∫D%(x, y, z)z
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA∫ ∫D%(x, y, z)
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Momento de Inércia de uma Superfície S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3
Se a superfície S ⊂ R3 representa uma casca fina de densidade
superficial % : S ⊂ R3 7→ R+ então, os momentos de inércia com
relação aos eixos x, y e z são dados, respectivamente, por:
Ix(S) =∫ ∫
D%(x, y, z)(y2 + z2)
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Iy(S) =∫ ∫
D%(x, y, z)(x2 + z2)
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Iz(S) =∫ ∫
D%(x, y, z)(x2 + y2)
|∇f ||∇f • ~p~p~p|
dA
Fluxo de um Campo Vetorial Através de uma Superfície
S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3
Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa no espaço e ~F~F~F : S ⊂ R3 7→ R3
uma função de valores vetoriais. Definimos o fluxo de ~F~F~F através
de S, denotado φ(~F~F~F ), por:
φ(~F~F~F ) def=∫ ∫
S
~F~F~F (x, y, z) • ~n~n~ndσ.
162
Cálculo III AULA
8Onde n é a normal unitária em S.
Área de uma Superfície S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3 Parametrizada
Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa definida parametricamente por
~r~r~r(u, v) = x(u, v)~i~i~i+ y(u, v)~j~j~j+ z(u, v)~k~k~k, ∀(u, v) ∈ [a, b]× [c, d] então,
a área de S será:
Are(S) =∫ b
a
∫ d
c|~r~r~ru ×~r~r~rv|dudv.
Integral de Superfície S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3 Parametrizada
Sejam S ⊂ R3 uma superfície lisa definida parametricamente por
~r~r~r(u, v) = x(u, v)~i~i~i + y(u, v)~j~j~j + z(u, v)~k~k~k, ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] e
f : S ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais definida sobre S
então, a integral de f sobre S será:∫ ∫Sf(x, y, z)dσ def=
∫ b
a
∫ d
cf(x(u, v), y(u, v), z(u, v))|~r~r~ru×~r~r~rv|dudv.
Fluxo de um Campo Vetorial Através de uma Superfície
S ⊂ R3S ⊂ R3S ⊂ R3 Parametrizada
Se S ⊂ R3 é lisa e definida parametricamente por~r~r~r(u, v) = x(u, v)~i~i~i+
y(u, v)~j~j~j + z(u, v)~k~k~k, ∀(u, v) ∈ [a, b]× [c, d] e ~F~F~F : S ⊂ R3 7→ R3 uma
função de valores vetoriais. O fluxo de ~F~F~F através de S, é dado por:
φ(~F~F~F ) =∫ b
a
∫ d
c
~F~F~F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) • ~n~n~n|~r~r~ru ×~r~r~rv|dudv.
Como podemos calcular o vetor normal por ~n~n~n =1
|~r~r~ru ×~r~r~rv|·(~r~r~ru×~r~r~rv)
a integral para o fluxo do campo vetorial ~F~F~F através da superfície
163
Integrais de Superfícies
S pode ser reescrita como:
φ(~F~F~F ) =∫ b
a
∫ d
c
~F~F~F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) • (~r~r~ru ×~r~r~rv)dudv.
PRÓXIMA AULA
Em nossa próxima aula veremos dois importantíssimos teore-
mas do Cálculo. São eles o “Teorema de Green” e “Teorema de
Stokes”. Dizem respeito a integração de campos vetoriais ao longo
de curvas fechadas no plano (caso do teorema de Green) e de curvas
fechadas no espaço (caso do teorema de Stokes).
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões:
ATIV. 8.1. Seja S ⊂ R3 uma superfície dada por z = f(x, y)
cuja projeção no plano xy é D ⊂ xy. Mostre que sua área pode
ser dada por:
∫ ∫D
√(∂f
∂x
)2
+(∂f
∂y
)2
+ 1dxdy
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as
demonstrações acima, elas lhe servirão de guia.
ATIV. 8.2. Seja uma casca fina dada pela superfície S ⊂ R3 des-
crita por f(x, y, z) = a2 − x2 − y2 − z2 = 0, y < 0 e z > 0 (ver
Fig. 8.8) e determine seu centro de gravidade.
164
Cálculo III AULA
8
Figura 8.8: 1/4 da esfera x2 + y2 + z2 = a2
Comentário: Observe que a superfície tem simetria e como a
densidade é constante temos: x = 0 e y = −z.
LEITURA COMPLEMENTAR
ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros
Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982.
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume
2, Editora Harbra, 1994.
STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN-
GAGE Learning, 2009.
SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume
2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.
THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,
2003.
KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard
Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora
McGraw-Hill do Brasil, 1971.
165
Integrais de Superfícies
BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.
166
AULA
9Teorema de Greene Teorema de Stokes
META:
Apresentar o teorema de Green e o teorema de Stokes e algumas
de suas aplicações.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Enunciar o teorema de Green e o teorema de Stokes e determinar
o fluxo rotacional de um dado campo vetorial.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-
mínio em R, da disciplina Cálculo I, aula 07 e aula 08.
Teorema de Green e Teorema de Stokes
9.1 Introdução
Caros alunos, nosso tema de hoje: “Teorema de Green e Te-
orema de Stokes", visa apresentar dois dos mais importantes te-
oremas do Cálculo, envolvendo integrais de linha. O teorema de
Green, converte integrais de linha de curvas fechadas no plano em
integrais duplas e o teorema de Stokes, que é uma generalização do
teorema de Green, converte integrais d linha de campos vetoriais
sobre curvas fechadas no espaço em integrais de superfície.
9.2 Preliminares
Antes de partirmos para a demonstração do teorema de Green
é necessária a introdução de alguns conceitos, que estabelecerãoBIOGRAFIA
George Green nasceuem Sneinton, condadode Nottinghamshire 14de Julho de 1793 e mo-erreu em Nottingham,31 de Maio de 1841,foi um matemático efísico inglês. Na suaobra Essay on theApplication of Mathe-matical Analysis to theTheory of Electricityand Magnetism (1828)introduziu a noção defunção potencial noestudo dos camposmagnéticos. O teoremade Green, que demons-trou em 1828 facilitoubastante o estudo dasfunções. Wikipedia
a definição de dois novos operadores diferenciais vetoriais. O pri-
meiro deles é o conceito de “densidade de fluxo em um ponto”.
Seja ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial (velocidade de es-
coamento de um fluido) onde: ~F~F~F (x, y) = f1(x, y)~i~i~i + f2(x, y)~j~j~j,
Figura 9.1: Fluxo de ~F~F~F através do Retângulo
f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e deriváveis em D. Consi-
deremos um pequeno retângulo contido em D com vértices em:
168
Cálculo III AULA
9(x, y), (x + ∆x, y), (x, y + ∆y) e (x + ∆x, y + ∆y) (ver Fig. 9.1
). A taxa com que ~F~F~F atravessa as arestas do retângulo são:
em cima : ~F~F~F (x, y + ∆y) •∆x~j~j~j = f2(x, y + ∆y)∆x
em baixo : ~F~F~F (x, y) • (−∆x)~j~j~j = −f2(x, y)∆x
à direita : ~F~F~F (x+ ∆x, y) •∆y~i~i~i = f1(x+ ∆x, y)∆y
à esquerda : ~F~F~F (x, y) • (−∆y)~i~i~i = −f1(x, y)∆y
O fluxo total através das arestas do retângulo é:
(f1(x+ ∆x, y)− f1(x, y))∆y + (f2(x, y + ∆y)− f2(x, y))∆x
Como podemos escrever as seguintes aproximações: f1(x+∆x, y)−
f1(x, y) ≈ ∂f1
∂x∆x e f2(x, y + ∆y) − f1(x, y) ≈ ∂f2
∂x∆y temos a
seguinte aproximação para o fluxo de ~F~F~F através das arestas do
retângulo:∂f1
∂x∆x∆y +
∂f2
∂y∆y∆x
Dividindo pela área do retângulo, que é dada por: ∆x∆y teremos
uma aproximação para a densidade de fluxo de ~F~F~F no retângulo.
∂f1
∂x+∂f2
∂y
Agora vamos à argumentação heurística em que fazemos ∆x e ∆y
tenderem a zero e podemos definir a densidade de fluxo do campo
vetorial ~F~F~F no ponto (x, y).
Definição 9.1. Seja ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial onde:
~F~F~F (x, y) = f1(x, y)~i~i~i+f2(x, y)~j~j~j, f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e
deriváveis emD. Definimos a densidade de fluxo do campo vetorial
169
Teorema de Green e Teorema de Stokes
~F~F~F no ponto (x, y), denominado divergente de ~F~F~F , denotado Div~F~F~F
ou ∇ • ~F~F~F por:
∇ • ~F~F~F def=∂f1
∂x+∂f2
∂y
Completaremos com “densidade de circulação em um ponto” os
dois novos conceitos necessários ao estabelecimento do teorema de
Green. Seja ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial (velocidade
de escoamento de um fluido) onde: ~F~F~F (x, y) = f1(x, y)~i~i~i+ f2(x, y)~j~j~j,
Figura 9.2: Circulação de ~F~F~F ao longo do Retângulo
f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e deriváveis em D. Considere-
mos um pequeno retângulo contido em D com vértices em: (x, y),
(x + ∆x, y), (x, y + ∆y) e (x + ∆x, y + ∆y) (ver Fig. 9.2 ). A
soma das taxas de escoamento dos quatro lados do retângulo mede
a circulação de ~F~F~F no sentido anti-horário. As taxas de escoamento
ao longo de cada lado do retângulo são dadas por:
em cima : ~F~F~F (x, y + ∆y) • (−∆x~i~i~i) = −f1(x, y + ∆y)∆x
em baixo : ~F~F~F (x, y) •∆x~i~i~i = f1(x, y)∆x
à direita : ~F~F~F (x+ ∆x, y) •∆y~j~j~j = f2(x+ ∆x, y)∆y
à esquerda : ~F~F~F (x, y) • (−∆y)~j~j~j = −f2(x, y)∆y
170
Cálculo III AULA
9O escoamento total ao longo das arestas do retângulo é:
(f2(x+ ∆x, y)− f2(x, y))∆y + (−f2(x, y + ∆y) + f2(x, y))∆x
Como podemos escrever as seguintes aproximações: f1(x+∆x, y)−
f1(x, y) ≈ ∂f1
∂x∆x e f2(x, y + ∆y) − f1(x, y) ≈ ∂f2
∂x∆y temos a
seguinte aproximação para o escoamento de ~F~F~F ao longo das arestas
do retângulo:∂f2
∂x∆x∆y − ∂f1
∂y∆y∆x
Dividindo pela área do retângulo, que é dada por: ∆x∆y teremos
uma aproximação para a densidade da circulação de ~F~F~F no retân-
gulo.∂f2
∂x− ∂f1
∂y
Fazendo ∆x e ∆y tenderem independentemente a zero podemos
definir a densidade de circulação no ponto (x, y) por:
Definição 9.2. Seja ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial onde:
~F~F~F (x, y) = f1(x, y)~i~i~i + f2(x, y)~j~j~j, f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são contí-
nuas e deriváveis em D. Definimos a componente ~k~k~k da densidade
de circulação do campo vetorial ~F~F~F no ponto (x, y), denominado
rotacional de ~F~F~F , denotado Rot~F~F~F ou ∇× ~F~F~F por:
(∇× ~F~F~F ) •~k~k~k def=∂f2
∂x− ∂f1
∂y
9.3 Teorema de Green
O teorema de Green pode ser exposto de duas formas na pri-
meira diz que o fluxo exterior de um campo vetorial através de
171
Teorema de Green e Teorema de Stokes
uma curva fechada simples no plano é igual a integral dupla do di-
vergente do campo vetorial sobre a região D limitada pela curva,
i.e.
∮C
~F~F~F • ~n~n~nds =∫ ∫
D
(∂f1
∂x+∂f2
∂y
)dxdy
Na outra forma diz que a circulação no sentido anti-horário de um
campo de força ao longo de uma curva simples e fechada no plano
é igual a integral dupla da componente ~k~k~k do rotacional do campo
vetorial sobre a região D limitada pela curva.
∮C
~F~F~F •~t~t~tds =∫ ∫
D
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y
)dxdy
Vamos agora e sem muita demora à demonstração do teorema de
Green.
Teorema 9.1. Sejam ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial dado
por: ~F~F~F (x, y) = f1(x, y)~i~i~i + f2(x, y)~j~j~j, f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são
contínuas e deriváveis em D e C ⊂ D ⊂ R2 uma curva simple,
fechada tal que retas paralelas aos eixos coordenados não a cortem
Figura 9.3: Teorema de Green
172
Cálculo III AULA
9em mais que dois pontos e Seja R a região limitada por C então:
∮Cf1dx+ f2dy =
∫ ∫R
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y))dxdy
PROVA: Observando a Fig. 9.3 vemos C formada por duas
parte orientadas dadas por:
C1 : y = g1(x) a ≤ x ≤ b
C2 : y = g2(x) b ≥ x ≥ a
Tomando um ponto arbitrário x ∈ (a, b) podemos integrar∂f1
∂yem
relação a y nos limites y = g1(x) até y = g2(x). A saber:
∫ g2(x)
g1(x)
∂f1
∂ydy = f1(x, y)
∣∣∣g2(x)
g1(x)= f1(x, g2(x))− f1(x, g1(x))
Podemos então integrar este resultado na variável x nos limites
x = a até x = b e temos:
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
∂f1
∂ydydx =
∫ b
a(f1(x, g2(x))− f1(x, g1(x)))dx
= −∫ a
b(f1(x, g2(x))dx−
∫ b
af1(x, g1(x)))dx
= −∫C2
f1dx−∫C1
f1dx
= −∮Cf1dx
Que podemos reescrever como:
∮Cf1dx =
∫ ∫R−∂f1
∂ydxdy
Por outro lado, observando a Fig. 9.4 a curva C pode ser dada
por:
173
Teorema de Green e Teorema de Stokes
C1 : x = h1(y) c ≤ y ≤ d
C2 : x = h2(y) d ≥ y ≥ c
Figura 9.4: Teorema de Green
Tomando um ponto arbitrário y ∈ (c, d) podemos integrar∂f2
∂xem
relação a x nos limites x = h1(y) até x = h2(y). A saber:
∫ h2(y)
h1(y)
∂f2
∂xdx = f2(x, y)
∣∣∣h2(y)
h1(y)= f2(h2(y), y)− f2(h1(y), y)
Podemos então integrar este resultado na variável y nos limites
y = c até y = d e temos:
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)
∂f2
∂xdxdy =
∫ d
c(f2(h2(y), y)− f2(h1(y), y))dy
=∫ d
cf2(h2(y), y)dy +
∫ c
df2(h1(y), y)dy
= −∫C2
f2dy −∫C1
f2dy
=∮Cf2dy
Que podemos reescrever como:
174
Cálculo III AULA
9∮Cf2dy =
∫ ∫R
∂f2
∂xdxdy
Adicionando os dois resultados temos:
∮Cf1dx+ f2dy =
∫ ∫R
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y))dxdy �
9.4 Estendendo o Teorema de Green para Ou-
tras Regiões
Caros alunos, muito embora a demonstração acima do teorema
de Green comportem um grande número de curvas, muitas outras
não se enquadram na categoria que goza da propriedade de que
toda reta
Figura 9.5: Curva Figura 9.6: Partição
paralela aos eixos coordenados a cortem em no máximo dois pon-
tos É o caso da curva dada na Fig. 9.5 visto que retas paralelas
ao eixo x podem corta-la em até 4 pontos na parte de cima da
curva. Nestes casos podemos estender o teorema de Green com o
seguinte procedimento: Traçamos retas unindo pontos específicos
da curva C como na Fig. 9.6 os pontos A, B e D de modo que
175
Teorema de Green e Teorema de Stokes
as curvas formadas pela união de C1 com a reta AB bem como
a união da curva C2 com a reta BD e a curva C3 com as retas
DB e BA orientadas todas no sentido anti-horário contornando as
regiões R1 R2 e R3, respectivamente. As curvas acima descritas
todas satisfazem a condição da demonstração do teorema de Green
acima i.e. toda reta paralela aos eixos coordenados as cortam em
apenas dois pontos. Desta forma aplicando o teorema de Green a
cada uma das curvas temos:
∮C1
f1dx+ f2dy +∫AB
f1dx+ f2dy =∫ ∫
R1
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y))dxdy∮
C2
f1dx+ f2dy +∫BD
f1dx+ f2dy =∫ ∫
R2
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y))dxdy∮
C3
f1dx+ f2dy +∫BA
f1dx+ f2dy +∫DB
f1dx+ f2dy =∫ ∫R3
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y))dxdy
Adicionando todas as equações e levando em conta que:
∫AB
f1dx+ f2dy = −∫BA
f1dx+ f2dy∫BD
f1dx+ f2dy = −∫DB
f1dx+ f2dy,
temos:∫C1∪C2∪C3
f1dx+ f2dy =∫ ∫
R1∪R2∪R3
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y))dxdy
E como C = C1∪C2∪C3 e R = R1∪R2∪R3 podemos finalmente
escrever que para a curva C da Fig. 9.5 vale o teorema de Green:
∫Cf1dx+ f2dy =
∫ ∫R
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y))dxdy.
176
Cálculo III AULA
9Uma outra categoria de regiões que não satisfaz a exigência da
demonstração do teorema de Green são regiões R com buracos
Figura 9.7: Curva Figura 9.8: Partição
como a da Fig. 9.7 onde a curva C∗ que define a região do buraco
está orientada no sentido horário. Uma solução está na partição
dada na Fig. 9.8 onde repartimos R em oito sub-regiões R1 a
R8 da seguinte forma: R1 limitada pelas curvas C1, A2A3 e A3A1,
R2 limitada pelas curvas C2, A4A6, C9 e A3A2, R3 limitada pelas
curvas C3, A5A6 e A6A4, R4 limitada pelas curvas C4, A7A9, C10
e A6A5, R5 limitada pelas curvas C5, A8A9 e A9A7, R6 limitada
pelas curvas C6, A10A12, C11 e A9A8, R7 limitada pelas curvas
C7, A11A12 e A12A10, R8 limitada pelas curvas C8, A1A3, C12 e
A12A11. Em cada uma das oito regiões o teorema de Green pode
ser aplicado individualmente e levando em conta que as integrais
ao longo dos segmentos de reta se anulam mutuamente podemos
escrever para a região R que:
∫Cf1dx+ f2dy +
∫C∗f1dx+ f2dy =
∫ ∫R
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y))dxdy
Podemos então relaxar um pouco as exigências do teorema de
177
Teorema de Green e Teorema de Stokes
Green e reformula-lo como:
Teorema 9.2. Sejam ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial dado
por: ~F~F~F (x, y) = f1(x, y)~i~i~i + f2(x, y)~j~j~j, f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são
contínuas e deriváveis em D e C ⊂ D ⊂ R2 uma curva simple,
fechada e Seja R a região limitada por C então:
∮Cf1dx+ f2dy =
∫ ∫R
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y))dxdy
9.5 Verificação do Teorema de Green
Caros alunos, nesta seção faremos uma verificação do teorema
de Green. A saber:
Exemplo 9.1. Considere a campo vetorial ~F~F~F : R2 7→ R2 dado por
~F~F~F (x, y) = − y
x2 + y2~i~i~i +
x
x2 + y2~j~j~j e a região com buraco limitadas
pelos círculos (ver Fig. 9.9):
Figura 9.9: Verificação do teorema de Green
178
Cálculo III AULA
9C1 : x = b cos(t) y = b sin(t) t ∈ [0, 2π]
C2 : x = a cos(t) y = −a sin(t) t ∈ [0, 2π]
onde a < b, C1 é percorrida no sentido anti-horário e C2 no sen-
tido horário. Verificar o teorema de Green para os dados campo
vetorial e região.
SOLUÇÃO: Como o campo vetorial ~F~F~F (x, y) = −x2y~i~i~i+ xy2~j~j~j te-
mos suas componentes dadas por f1(x, y) = −x2y e f2(x, y) = xy2
e temos as derivadas∂f1
∂ye∂f2
∂xdadas por:
∂f1
∂y=
(x2 + y2)(−1)− (−y)(2y)(x2 + y2)2
=x2 − y2
(x2 + y2)2
e
∂f2
∂x=
(x2 + y2)(+1)− (−x)(2x)(x2 + y2)2
=x2 − y2
(x2 + y2)2
Portanto∂f1
∂y=∂f2
∂xe temos:
∫ ∫R
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y
)dxdy = 0
Calculando a integral de linha em C1 temos:
179
Teorema de Green e Teorema de Stokes
∮C1
f1dx+ f2dy =∮C1
1x2 + y2
(xdx− ydy)
=∫ 2π
0
b2 cos2(t) + b2 sin2(t)b2 cos2(t) + b2 sin2(t)
dt+
=∫ 2π
0dt
= t∣∣∣2π0
= 2π
E calculando a integral de linha em C2 temos:
∮C2
f1dx+ f2dy =∮C1
1x2 + y2
(xdx− ydy)
= −∫ 2π
0
a2 cos2(t) + a2 sin2(t)a2 cos2(t) + a2 sin2(t)
dt+
= −∫ 2π
0dt
= −t∣∣∣2π0
= −2π
Temos então que:
∮C1
f1dx+ f2dy +∮C2
f1dx+ f2dy = 0
E o teorema de Green é verificado:
∮C1
f1dx+ f2dy +∮C2
f1dx+ f2dy =∫ ∫
R
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y
)dxdy �
180
Cálculo III AULA
99.6 Teorema de Stokes
Caros alunos, nesta seção trataremos do Teorema de Stokes,
que é uma generalização do Teorema de Green. Porém, devido a
dificuldade das técnicas usada em sua demonstração e que escapam
ao escopo deste curso, nos limitaremos a apresenta-lo e fazer umaBIOGRAFIA
Sir George GabrielStokes nasceu emSkreen, Condando deSligo, 13 de Agostode 1819 e morreuem Cambridge, 1 deFevereiro de 1903,foi um matemático efísico irlandês que sedistinguiu pelas suascontribuições na dinâ-mica de fluidos (porexemplo, as equaçõesde Navier-Stokes),na óptica e físicamatemática (Teoremade Stokes). Wikipedia
aplicação do mesmo.
Começamos por estender o conceito de densidade de circulação
(rotacional). Como vimos anteriormente a componente ~k~k~k da densi-
dade de circulação de um campo vetorial bi-dimensional ~F~F~F (x, y) =
f1(x, y)~i~i~i+ f2(x, y)~j~j~j é dada por:∂f2
∂x− ∂f1
∂y. Em dimensão três, a
densidade de circulação (rotacional) é um vetor normal ao plano
de circulação cuja direção satisfaz a regra da mão direita. A taxa
de rotação do fluido é medida pelo módulo do vetor rotacional.
Vamos à definição:
Definição 9.3. Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 uma campo vetorial
tridimensional dado por: ~F~F~F (x, y, z) = f1(x, y, z)~i~i~i + f2(x, y, z)~j~j~j +
f3(x, y, z)~k~k~k onde f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R são funções contínuas e
com derivadas parciais de primeira ordem contínuas. O rotacional
de ~F~F~F , denotado Rot~F~F~F ou ∇× ~F~F~F , é definido por:
∇× ~F~F~Fdef=(∂f3
∂y− ∂f2
∂z
)~i~i~i+
(∂f1
∂z− ∂f3
∂x
)~j~j~j +
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y
)~k~k~k
Vamos agora enunciar o Teorema de Stokes que nos diz que sob
certas condições a circulação de um campo vetorial ao longo da
borda de uma superfície S ⊂ R3 no sentido anti-horário com rela-
ção ao campo de vetores normais a S é igual a integral de superfície
do componente normal do rotacional.
181
Teorema de Green e Teorema de Stokes
Teorema 9.3. Sejam ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial tridi-
mensional cujas componentes são contínuas e têm derivadas parci-
ais de primeira ordem contínuas e S ⊂ D ⊂ R3 uma superfície lisa
com borda C ⊂ D ⊂ R3 lisa então, a circulação do campo vetorial
~F~F~F ao longo da borda C de S, no sentido anti-horário em relação
aos vetores normais unitários de S é igual a integral de superfície
da componente normal do rotacional i.e.:
∮C
~F~F~F • d~r~r~r =∫S
(∇× ~f~f~f) • ~n~n~ndσ
OBS 9.1. Se duas superfícies orientadas diferentes S1 e S2 tem a
mesma borda C as integrais de superfície da componente normal
do rotacional de um campo vetorial que atravessa ambas são iguais:
∫S1
(∇× ~f~f~f) • ~n~n~ndσ =∫S2
(∇× ~f~f~f) • ~n~n~ndσ
OBS 9.2. Se C é uma curva lisa do plano xy, orientada no sentido
anti-horário e R a região de xy delimitada por C o vetor normal a
R é ~n~n~n = ~k~k~k. Daí, temos:
∇× ~F~F~F • ~n~n~n = ∇× ~F~F~F •~k~k~k =∂f2
∂x− ∂f1
∂y
E o teorema de Stokes pode ser escrito como:
∮C
~F~F~F • d~r~r~r =∫ ∫
R
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y
)dxdy
Que é o teorema de Green. Daí, se diz que o teorema de Green é
um caso particular do teorema de Stokes.
182
Cálculo III AULA
99.7 Aplicação do Teorema de Stokes
Caros alunos, nesta seção faremos uma aplicação do teorema
de Stokes. A saber:
Figura 9.10: Verificação do teorema de Stokes
Exemplo 9.2. Considere a campo vetorial ~F~F~F : R3 7→ R3 dado por
~F~F~F (x, y) = (yz + xz)~i~i~i + (xz + x)~j~j~j + (xy − y2/2)~k~k~k e a Curva C na
qual o plano z = a > 0 corta o cone z =√x2 + y2 (ver Fig. 9.10)
e determine a circulação de ~F~F~F ao longo de C.
SOLUÇÃO: Para determinação da circulação de ~F~F~F ao longo de C
usaremos o teorema de Stokes. Percorrer C no sentido anti-horário
visto de cima corresponde a tomar a normal ~n~n~n ao cone apontando
para dentro.
O cone pode ser parametrizado por:
~r~r~r(r, ϑ) = ar cos(ϑ)~i~i~i+ ar sin(ϑ)~j~j~j + ar~k~k~k,∀r ∈ [0, 1], ∀ϑ ∈ [0, 2π]
As derivadas parciais ~r~r~rr e ~r~r~rϑ são dadas por:
183
Teorema de Green e Teorema de Stokes
~r~r~rr = a cos(ϑ)~i~i~i+ a sin(ϑ)~j~j~j + a~k~k~k
~r~r~rϑ = −ar sin(ϑ)~i~i~i+ ar cos(ϑ)~j~j~j + 0~k~k~k
Daí, o produto vetorial ~r~r~rr ×~r~r~rϑ pode ser calculado como:
~r~r~rr ×~r~r~rϑ = det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i~i~i ~j~j~j ~k~k~k
a cos(ϑ) a sin(ϑ) a
−ar sin(ϑ) ar cos(ϑ) 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣Daí, temos:
~r~r~rr ×~r~r~rϑ = −ar cos(ϑ)~i~i~i− ar sin(ϑ)~j~j~j + ar~k~k~k
Como, para uma superfície parametrizada temos:
∫ ∫S
~F~F~F • ~n~n~ndσ =∫ b
a
∫ d
c(∇× ~F~F~F ) • (~r~r~ru ×~r~r~rv)dudv
Calculando o rotacional de ~F~F~F temos:
∇× ~F~F~F = det
∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i~i~i ~j~j~j ~k~k~k
∂
∂x
∂
∂t
∂
∂z
yz + xz xz + x xy − y2/2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣Daí, temos:
∇× ~F~F~F = −y~i~i~i+ x~j~j~j +~k~k~k
E como ∇× ~F~F~F (x, y, z) = −y~i~i~i+ x~j~j~j +~k~k~k temos:
184
Cálculo III AULA
9∇× ~F~F~F • (~r~r~ru ×~r~r~rv) = +a2r2 cos(ϑ) sin(ϑ)− a2r2 cos(ϑ) sin(ϑ) + ar
= ar
E podemos calcular a integral de superfície como:
∫ ∫S
~F~F~F • ~n~n~ndσ =∫ 2π
0
∫ 1
0ardrdϑ = aπ
Usando o teorema de Stokes para calcular a circulação temos:
∮C
~F~F~F • d~r~r~r =∫ ∫
S(∇× ~F~F~F ) • ~n~n~ndσ = aπ �
9.8 Conclusão
Na aula de hoje, vimos dois grandes teoremas do Cálculo. O
teorema de Green que relaciona o fluxo exterior através de uma
curva lisa do plano de um campo vetorial com a integral dupla
do divergente do campo vetorial sobre a região delimitada pela
curva. O teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um
campo de vetores tridimensional ao longo da borda de uma super-
fície no espaço com a integral de superfície da componente normal
do rotacional do campo vetorial.
RESUMO
No nosso resumo de hoje constam as seguintes definições e te-
oremas:
185
Teorema de Green e Teorema de Stokes
Densidade de Fluxo de um Campo Vetorial Bi-dimensional
Seja ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial onde: ~F~F~F (x, y) =
f1(x, y)~i~i~i+f2(x, y)~j~j~j, f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e deriváveis
em D. Definimos a densidade de fluxo do campo vetorial ~F~F~F no
ponto (x, y), denominado divergente de ~F~F~F , denotadoDiv~F~F~F ou∇•~F~F~F
por:
∇ • ~F~F~F def=∂f1
∂x+∂f2
∂y
Densidade de Circulação de um Campo Vetorial Bi-di-
mensional
Seja ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial onde: ~F~F~F (x, y) =
f1(x, y)~i~i~i+f2(x, y)~j~j~j, f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e deriváveis
em D. Definimos a componente ~k~k~k da densidade de circulação do
campo vetorial ~F~F~F no ponto (x, y), denominado rotacional de ~F~F~F ,
denotado Rot~F~F~F ou ∇× ~F~F~F por:
∇× ~F~F~Fdef=
∂f2
∂x− ∂f1
∂y
Teorema de Green
Sejam ~F~F~F : D ⊂ R2 7→ R2 um campo vetorial dado por: ~F~F~F (x, y) =
f1(x, y)~i~i~i + f2(x, y)~j~j~j, f1, f2 : D ⊂ R2 7→ R são contínuas e derivá-
veis em D e C ⊂ D ⊂ R2 uma curva simple, fechada e Seja R a
região limitada por C então:
∮Cf1dx+ f2dy =
∫ ∫R
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y))dxdy
Rotacional
Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 uma campo vetorial tridimensional dado
por: ~F~F~F (x, y, z) = f1(x, y, z)~i~i~i+f2(x, y, z)~j~j~j+f3(x, y, z)~k~k~k onde f1, f2, f3 :
186
Cálculo III AULA
9D ⊂ R3 7→ R são funções contínuas e com derivadas parciais de
primeira ordem contínuas. O rotacional de ~F~F~F , denotado Rot~F~F~F ou
∇× ~F~F~F , é definido por:
∇× ~F~F~Fdef=(∂f3
∂y− ∂f2
∂z
)~i~i~i+
(∂f1
∂z− ∂f3
∂x
)~j~j~j +
(∂f2
∂x− ∂f1
∂y
)~k~k~k
Teorema de Stokes
Sejam ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial tridimensional cujas
componentes são contínuas e têm derivadas parciais de primeira
ordem contínuas e S ⊂ D ⊂ R3 uma superfície lisa com borda
C ⊂ D ⊂ R3 lisa então, a circulação do campo vetorial ~F~F~F ao
l.ongo da borda C de S, no sentido anti-horário em relação aos
vetores normais unitários de S é igual a integral de superfície da
componente normal do rotacional i.e.:
∮C
~F~F~F • d~r~r~r =∫S
(∇× ~f~f~f) • ~n~n~ndσ
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula estudaremos outro importante teorema do
Cálculo atribuído ao Matemático alemão Johann Carl Friedrich
Gauss resumidamente denominado de “Teorema da Divergência”.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões:
ATIV. 9.1. Sejam ~F~F~F : R2 7→ R2 o campo vetorial bi-dimensional
dado por: ~F~F~F (x, y) = y~i~i~i+0~j~j~j e R ⊂ R2 a região limitada pelo círculo
187
Teorema de Green e Teorema de Stokes
C ⊂ R2 dado por: x2 + y2 = a2. Verifique o teorema de Green
para este campo vetorial e esta região.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
texto e as verificações acima, elas lhe servirão de guia.
ATIV. 9.2. Sejam ~F~F~F : R3 7→ R3 o campo vetorial tridimensional
dado por: ~F~F~F (x, y) = x2~i~i~i + x~j~j~j + z~k~k~k e R ⊂ R2 a região limitada
pela elipse C ⊂ R2 dado por: a2x2 + y2 = a2. Use o teorema de
Stokes e determine a circulação do campo ~F~F~F ao longo da curva C
no sentido anti-horário quando vista de cima.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
texto e as verificações acima, elas lhe servirão de guia.
LEITURA COMPLEMENTAR
ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros
Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982.
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume
2, Editora Harbra, 1994.
STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN-
GAGE Learning, 2009.
SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume
2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.
THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,
2003.
KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard
Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora
McGraw-Hill do Brasil, 1971.
BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.
188
AULA
10Teorema de Divergência
META:
Apresentar o teorema de Gauss e algumas de suas aplicações.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Enunciar o teorema de Gauss.
Determinar o divergente de um campo vetorial e determinar o fluxo
de um campo vetorial através de uma superfície fechada em R3.
PRÉ-REQUISITOS
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-
mínio em R, da disciplina Cálculo I e aula 08.
Teorema de Divergência
10.1 Introdução
Caros alunos terminamos aqui nosso curso de Cálculo III com o
tema “Teorema da Divergência”, atribuído ao Matemático alemãoBIOGRAFIA
Johann Carl Frie-drich Gauss nasceu emBraunschweig, 30 deAbril de 1777 e morreuem Göttingen, 23 deFevereiro de 1855,foi um matemático,astrônomo e físicoalemão. Conhecidocomo o príncipe dosmatemáticos. Muitosconsideram Gauss omaior gênio da históriada matemática. Seu QIfoi estimado em cercade 240. Wikipedia
Johann Carl Friedrich Gauss e mais tarde atribuido também ao
Matemático russo Mikhail Vasilievich Ostrogradsky. O teorema
de Gauss, ou teorema da divergência, relaciona uma integral tripla
num sólido D ⊂ R3 com a integral sobre a superfície S ⊂ R3 que
é fronteira deste sólido.
10.2 Preliminares
Como preliminares precisaremos apenas estender a definição
de divergente de um campo vetorial bi-dimensional, visto na aula
anterior, para o divergente de um campo vetorial tridimensional.
Vamos logo à tarefa.
Definição 10.1. Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial
tridimensional dado por ~F~F~F (x, y, z) = f1(x, y, z)~i~i~i + f2(x, y, z)~j~j~j +
f3(x, y, z)~k~k~k tal que suas componentes f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R
sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem
contínuas em D. Definimos o divergente de ~F~F~F , denotado Div~F~F~F ou
∇ • ~F~F~F , por:
∇ • ~F~F~F def=∂f1
∂x+∂f2
∂y+∂f3
∂z
Exemplo 10.1. Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 o campo vetorial tridi-
mensional dado por ~F~F~F (x, y, z) = x2yz~i~i~i + xy2z~j~j~j + xyz2~k~k~k. O seu
divergente será:
190
Cálculo III AULA
10∇ • ~F~F~F =
∂
∂x(x2yz) +
∂
∂y(xy2z) +
∂
∂z(xyz2)
= 2xyz + 2xyz + 2xyz
= 6xyz
10.3 Teorema da Divergência
Caros alunos, nesta seção vamos estudar a transformação de
certas integrais de volume em integrais de superfícies que é o aná-
logo no espaço do teorema de Green (em sua forma divergente)
estudado na aula anterior. Como condições impostas primeira-
mente ao campo vetorial ~F~F~F é que ele tenha componentes contínuas
e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas o que já
basta para o nosso propósito. Quanto a região D ⊂ R3, deseja-
mos que ela seja regular e suave, tenha fronteira S ⊂ R3 regular
e suave, que suas projeções Sxy no plano xy, Syz no plano yz e
Sxz no plano xz sejam regiões fechadas de R2 com fronteira suave
e que retas paralelas aos eixos coordenados que atravessem suas
projeções cortem S em no máximo dois pontos Uma tal região
será aqui chamada de região simples. Um exemplo de tal região é
a limitada pela esfera x2 + y2 + z2 = a2. Vamos ao enunciado e a
demonstração do teorema da divergência.
Teorema 10.1. Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial
tridimensional dado por ~F~F~F (x, y, z) = f1(x, y, z)~i~i~i + f2(x, y, z)~j~j~j +
f3(x, y, z)~k~k~k tal que suas componentes f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R
sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem
191
Teorema de Divergência
contínuas em D e D ⊂ R3 uma região do espaço regular e suave
tal que sua fronteira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave, que
suas projeções Sxy no plano xy, Syz no plano yz e Sxz no plano
xz sejam regiões fechadas de R2 com fronteira suave e que retas
paralelas aos eixos coordenados que atravessem suas projeções cor-
tem S em no máximo dois pontos (ver Fig. 10.1) então:
Figura 10.1: Teorema da divergência
∫ ∫ ∫D∇ • ~F~F~Fdxdydz =
∫ ∫S
~F~F~F • ~n~n~ndσ
PROVA: Quando projetamos uma região regular e simples D no
plano xy, sua fronteira S consiste de duas partes S1 e S2 dadas
pelas funções: z1(x, y) e z2(x, y) respectivamente (ver Fig. 10.1).
Seja f3(x, y, z) uma função contínua com derivadas parciais de pri-
meira ordem contínuas em D. Então:
∫ ∫ ∫D
∂f3
∂zdV ol =
∫ ∫Sxy
dxdy
∫ z2(x,y)
z1(x,y)
∂f3
∂zdz
192
Cálculo III AULA
10Integrando e substituindo os limites temos:
∫ ∫ ∫D
∂f3
∂zdV ol =
∫ ∫Sxy
f3(x, y, z2(x, y))dxdy −
−∫ ∫
Sxy
f3(x, y, z1(x, y))dxdy
Seja ~n~n~n = nx~i~i~i+ny~j~j~j+nz~k~k~k a normal a S em cada ponto (x, y, z) ∈ S
apontando para fora de D e seja γ o ângulo entre ~n~n~n e ~k~k~k desta
forma temos: ~n~n~n •~k~k~k = nz = cos(γ).|~n~n~n|.|~k~k~k| i.e. cos(γ) = nz em S2 e
cos(γ) = −nz em S1. Daí, e do fato de que dxdy = cos(γ)dσ onde
dσ é o elemento de área em S, temos:
∫ ∫Sxy
f3(x, y, z2(x, y))dxdy =∫ ∫
S2
f3nzdσ
e também:∫ ∫Sxy
f3(x, y, z1(x, y))dxdy = −∫ ∫
S1
f3nzdσ
Daí, e da expressão anterior temos:
∫ ∫ ∫D
∂f3
∂zdV ol =
∫ ∫S2
f3nzdσ +∫ ∫
S1
f3nzdσ
=∫ ∫
S2∪S1
f3nzdσ
Como S = S2 ∪ S1 temos:
∫ ∫ ∫D
∂f3
∂zdV ol =
∫ ∫Sf3nzdσ
De forma análoga, usando as projeções de D sobre os planos coor-
denados yz e xz podemos deduzir que:
193
Teorema de Divergência
∫ ∫ ∫D
∂f1
∂xdV ol =
∫ ∫Sf1nxdσ
e também:
∫ ∫ ∫D
∂f2
∂ydV ol =
∫ ∫Sf2nydσ
Somando as três equações acima temos:
∫ ∫ ∫D
(∂f1
∂x+∂f2
∂y+∂f3
∂z
)dV ol =
∫ ∫S
(f1nx+f2ny+f3nz)dσ
Como ~F~F~F = f1~i~i~i+ f2
~j~j~j + f3~k~k~k temos:
~F~F~F • ~n~n~n = f1nx + f2ny + f3nz
∇ • ~F~F~F =∂f1
∂x+∂f2
∂y+∂f3
∂z
E temos então:
∫ ∫ ∫D∇ • ~F~F~FdV ol =
∫ ∫S
~F~F~F • ~n~n~ndσ �
10.4 Estendendo o Teorema da Divergência
Caros alunos, muito embora a demonstração acima do teorema
da divergência comportem um grande número de regiões D, muitas
outras não se enquadram na categoria que goza da propriedade de
ser uma região do espaço regular e suave tal que sua fronteira fron-
teira S ⊂ R3 seja regular e suave, que suas projeções Sxy no plano
xy, Syz no plano yz e Sxz no plano xz sejam regiões fechadas de
R2 com fronteira suave e que retas paralelas aos eixos coordenados
194
Cálculo III AULA
10
Figura 10.2: Teorema da divergência
que atravessem suas projeções cortem S em no máximo dois pon-
tos. È o caso da região dada pela Fig. 10.2. Observando porém,
que se a região D puder ser decomposta em um número finito de
sub-regiões simples, podemos escrever o teorema da divergência
em cada uma das sub-regiões e somar o resultado, de forma que
para a região D o teorema continue válido. Desta forma podemos
enunciar uma forma mais ampla do teorema da divergência. A
saber:
Teorema 10.2. Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial
tridimensional dado por ~F~F~F (x, y, z) = f1(x, y, z)~i~i~i + f2(x, y, z)~j~j~j +
f3(x, y, z)~k~k~k tal que suas componentes f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R
sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem
contínuas em D e D ⊂ R3 uma região do espaço regular e suave
tal que possa ser subdividida em um número finito de regiões sim-
ples e sua fronteira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave, então:
∫ ∫ ∫D∇ • ~F~F~Fdxdydz =
∫ ∫S
~F~F~F • ~n~n~ndσ
195
Teorema de Divergência
10.5 Algumas Aplicações do Teorema da Di-
vergência
Caros alunos, nesta seção faremos algumas aplicações do teo-
rema da divergência. A primeira é no calculo do fluxo exterior de
um campo vetorial tridimensional, a segunda no cálculo do fluxo
exterior do campo elétrico gerado por uma carga pontual através
de uma superfície fechada em cujo interior encontra-se a carga elé-
trica e a terceira na redução da forma integral da lei de balanço de
massa à sua forma diferencial pontual.
Exemplo 10.2. Sejam ~F~F~F : R3 7→ R3 o campo vetorial tridimensi-
onal dado por: ~F~F~F (x, y) = x~i~i~i+y~j~j~j+z~k~k~k e D a região delimitada pela
esfera x2 +y2 +z2 ≤ a2. Determine o fluxo exterior de ~F~F~F dado por∫ ∫S
~F~F~F • ~n~n~ndσ através da superfície da esfera.
Vamos ao calculo do fluxo exterior de um campo vetorial tridimen-
sional.
SOLUÇÃO: Do teorema da divergência temos:
∫ ∫S
~F~F~F • ~n~n~ndσ =∫ ∫ ∫
D∇ • ~F~F~FdV ol
Portanto basta calcular a integral tripla sobre a região da esfera
do divergente de ~F~F~F .
Como ~F~F~F (x, y) = x~i~i~i+ y~j~j~j + z~k~k~k seu divergente será:
∇ • ~F~F~F =∂
∂x(x) +
∂
∂y(y) +
∂
∂z(z)
= 3
196
Cálculo III AULA
10Daí, temos:
∫ ∫S
~F~F~F • ~n~n~ndσ =∫ ∫ ∫
D3dV ol
= 3∫ ∫ ∫
DdV ol
= 4πa3 �
Vamos ao cálculo do fluxo exterior do campo elétrico gerado por
uma carga pontual através de uma superfície S ⊂ R3 em cujo in-
terior encontra-se a carga elétrica.
Exemplo 10.3. O campo elétrico gerado por uma carga elétrica
pontual q localizada na origem é dado por:
~E~E~E =q
4πε0|~r~r~r|3~r~r~r
Como ~r~r~r = x~i~i~i+y~j~j~j+z~k~k~k, colocando φ = |~r~r~r| =√x2 + y2 + z2 temos:
~E~E~E =q
4πε0~F~F~F
onde ~F~F~F =1φ3~r~r~r.
Podemos escrever o vetor ~F~F~F em suas componentes como:
~F~F~F =x
φ3~i~i~i+
y
φ3~j~j~j +
z
φ3~k~k~k
Calculando as derivadas parciais das componentes de ~F~F~F temos:
∂
∂x
(x
φ3
)=φ3 − 3xφ2∂φ
∂xφ6
197
Teorema de Divergência
Como φ = |~r~r~r| =√x2 + y2 + z2 temos:
∂φ
∂x=
x√x2 + y2 + z2
=x
φ
Logo:
∂
∂x
(x
φ3
)=φ3 − 3x2φ
φ6
De modo análogo temos:
∂
∂y
(y
φ3
)=φ3 − 3y2φ
φ6
e também:
∂
∂z
(z
φ3
)=φ3 − 3z2φ
φ6
Somando as três equações temos:
∂
∂x
(x
φ3
)+
∂
∂y
(y
φ3
)+
∂
∂z
(z
φ3
)=
3φ3 − 3(x2 + y2 + z2)φφ6
=3φ3 − 3φ2φ
φ6
= 0
Logo como:
∇ • ~F~F~F =∂
∂x
(x
φ3
)+
∂
∂y
(y
φ3
)+
∂
∂z
(z
φ3
)= 0
E também como ∇ • ~E~E~E =q
4πε0∇ • ~F~F~F temos:
∇ • ~E~E~E = 0
198
Cálculo III AULA
10Tomando D∗ como a região entre S e uma esfera centrada na
origem Sa e cujo raio a seja suficiente para que S permaneça no
interior da esfera eaplicando o teorema da divergência temos:∫ ∫S∪Sa
~E~E~E • ~n~n~ndσ =∫ ∫ ∫
D∗∇ • ~E~E~EdV ol = 0
Logo o fluxo de ~E~E~E através de S no sentido que se afasta da origem
é o mesmo que o fluxo de ~E~E~E através de Sa no sentido que se afasta
da origem.
Como fluxo de ~E~E~E através de Sa no sentido que se afasta da origem
éq
ε0temos:
∫ ∫S
~E~E~E • ~n~n~ndσ =q
ε0�
Como última aplicação veremos como reduzir da forma integral
para a forma diferencial pontual a equação de balanço de massa
conhecida como Lei de Lavoisier.
Sejam D ⊂ R3 uma região regular e suave do espaço e ~v~v~v : D ⊂
R3 7→ R3 um campo de velocidade de um fluido cuja densidade de
massa é dada por % : D ⊂ R3 7→ R+ e que preenche D. Em sua
forma integral o balanço de massa estabelece que ∀D∗ ⊂ D ⊂ R3
regular e suave com fronteira S∗ regular e suave vale:
d
dt
∫ ∫ ∫D∗%dV ol +
∫ ∫S∗%~v~v~v • ~n~n~ndσ = 0
onde a primeira integral representa a variação total da massa den-
tro da região D∗ e a segunda representa a variação de massa que
penetra em D∗ pela superfície S∗.
Usando o teorema da divergência temos:
d
dt
∫ ∫ ∫D∗%dV ol +
∫ ∫ ∫D∗∇ • (%~v~v~v)dV ol = 0
199
Teorema de Divergência
Daí, tomando regiões D∗ que não variem com o tempo
d
dt
∫ ∫ ∫D∗%dV ol =
∫ ∫ ∫D∗
∂%
∂tdV ol
E podemos reformular a equação de balanço de massa para a forma:
∫ ∫ ∫D∗
(∂%
∂t+∇ • (%~v~v~v)
)dV ol = 0
Como a integral acima vale ∀D∗ ⊂ D ⊂ R3 podemos dividi-la
por V ol(D∗), usar o teorema do valor médio para integrais, fazer
V ol(D∗) tender a zero e concluir que:
∂%
∂t+∇ • (%~v~v~v) = 0
Que a forma diferencial pontual da equação de balanço de massa.
10.6 Conclusão
Na aula de hoje, vimos um importante teorema do Cálculo
denominado “Teorema da Divergência” atribuído aos Matemáticos
Gauss e Ostrogradsky. Tem forte conotação física e é utilizado para
reduzir as leis de conservação de sua forma integral para forma
diferencial pontual.
RESUMO
No nosso resumo de hoje constam as seguintes definições e te-
oremas:
200
Cálculo III AULA
10Divergente de um Campo Vetorial Tridimensional
Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial tridimensional dado
por ~F~F~F (x, y, z) = f1(x, y, z)~i~i~i+f2(x, y, z)~j~j~j+f3(x, y, z)~k~k~k tal que suas
componentes f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R sejam contínuas e tenham
derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D. Definimos
o divergente de ~F~F~F , denotado Div~F~F~F ou ∇ • ~F~F~F , por:
Div~F~F~Fdef=
∂f1
∂x+∂f2
∂y+∂f3
∂z
Teorema da Divergência: Forma Restritiva
Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial tridimensional dado
por ~F~F~F (x, y, z) = f1(x, y, z)~i~i~i+f2(x, y, z)~j~j~j+f3(x, y, z)~k~k~k tal que suas
componentes f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R sejam contínuas e tenham
derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D e D ⊂ R3
uma região do espaço regular e suave tal que sua fronteira fronteira
S ⊂ R3 seja regular e suave, que suas projeções Sxy no plano xy,
Syz no plano yz e Sxz no plano xz sejam regiões fechadas de R2
com fronteira suave e que retas paralelas aos eixos coordenados
que atravessem suas projeções cortem S em no máximo dois pon-
tos então:
∫ ∫ ∫D∇ • ~F~F~Fdxdydz =
∫ ∫S
~F~F~F • ~n~n~ndσ
Teorema da Divergência: Forma mais Ampla
Seja ~F~F~F : D ⊂ R3 7→ R3 um campo vetorial tridimensional dado
por ~F~F~F (x, y, z) = f1(x, y, z)~i~i~i+f2(x, y, z)~j~j~j+f3(x, y, z)~k~k~k tal que suas
201
Teorema de Divergência
componentes f1, f2, f3 : D ⊂ R3 7→ R sejam contínuas e tenham
derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D e D ⊂ R3
uma região do espaço regular e suave tal que possa ser subdividida
em um número finito de regiões simples e sua fronteira fronteira
S ⊂ R3 seja regular e suave, então:
∫ ∫ ∫D∇ • ~F~F~Fdxdydz =
∫ ∫S
~F~F~F • ~n~n~ndσ
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questões:
ATIV. 10.1. Sejam ~F~F~F : R3 7→ R3 o campo vetorial tridimensional
dado por: ~F~F~F (x, y) = x2~i~i~i−2xy~j~j~j+ 3xz~k~k~k e D ⊂ R3 a região limitada
pela esfera x2 + y2 + z2 ≤ a2 e z ≥ 0 (acima do plano z = 0). Use
o teorema da divergência e determine o fluxo exterior através da
fronteira da região D.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
texto e as aplicações acima, elas lhe servirão de guia.
ATIV. 10.2. Sejam ~F~F~F : R3 7→ R3 o campo vetorial tridimensi-
onal dado por: ~F~F~F (x, y) = x~i~i~i + y~j~j~j + z~k~k~k e suponha que a região
D ⊂ R3 seja uma região do espaço regular e suave tal que possa
ser subdividida em um número finito de regiões simples e sua fron-
teira fronteira S ⊂ R3 seja regular e suave,. Mostre que o volume
V ol(D) da região D é dado pela fórmula:
V ol(D) =13
∫ ∫S
~F~F~F • ~n~n~ndσ
202
Cálculo III AULA
10.
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o
texto e as aplicações acima, elas lhe servirão de guia.
LEITURA COMPLEMENTAR
ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros
Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982.
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume
2, Editora Harbra, 1994.
STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN-
GAGE Learning, 2009.
SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume
2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994.
THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley,
2003.
KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard
Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora
McGraw-Hill do Brasil, 1971.
BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006.
203
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