Lógica Proposicional Aula 5 - Cap. 7 Fundamentos da IA Mestrado – FEI

Lógica Proposicional

Aula 5 - Cap. 7

Fundamentos da IA

Mestrado – FEI

Resoluçao de problemas por busca Conhecimento sobre resultados e ações

permite a solução automática de problemas “complexos”– um agente reativo não conseguiria encontrar a

rota entre Arad e Bucareste Porém até agora este conhecimento é

muito específico e inflexível– peça de xadrez pode estar em 2 lugares ao

mesmo tempo ??

Agente baseado em conhecimento pode combinar o conhecimento geral

com percepções correntes para deduzir aspectos ocultos do estado atual antes de selecionar ações.

Agente baseado em conhecimento pode combinar o conhecimento geral

com percepções correntes para deduzir aspectos ocultos do estado atual antes de selecionar ações.

Grande parte das deduções humanas dependem do tratamento de incertezas– segunda parte do curso...

Agentes lógicos

Representam o mundo Utilizam inferência para tirar conclusões

sobre o mundo representado

Agentes lógicos

Conhecimento é representado como sentenças em uma linguagem de representação de conhecimento;

Um conjunto de sentenças forma a base de conhecimento (BC) do agente.

Informar e perguntar

Novas sentenças são adicionadas à base de conhecimento por meio da tarefa TELL;

Consultas à base de conhecimento são feitas pela tarefa ASK;– ambos processos podem envolver

inferências• INFERÊNCIA: derivação de novas sentenças a

partir de sentenças antigas.

Inferência clássica (dedução)

A resposta de uma pergunta (ASK) à base de conhecimento deve seguir o que foi informado anteriormente (TELL);

Nada é inventado à medida em que o processo de inferência se desenrola;– portanto, TELL é um processo não

clássico (abdução)!– E aprendizagem também (indução).

Mundo de Wumpus

Desempenho– ouro +1000, morte-1000– passo -1 , flecha -10

Ambiente – quadrados próximos ao

wumpus fedem– próximos ao poço: brisa– quadrado do ouro: brilho– uma flecha somente– atirar mata wumpus se em

frente– Pegar ouro no quad., deixa

ouro no quad. Sensores: [fedor, brisa, brilho, impacto, grito] Atuadores: esquerda, direita,

pegar, deixar, atirar

Explorando o mundo de wumpusPrimeira percepção: [nada, nada, nada, nada, nada]

Deduz: [1,2] e [2,1] são seguros...

Explorando o mundo de wumpus

Segunda percepção: [nada, brisa ,nada ,nada ,nada]

Explorando o mundo de wumpus

Dedução: poço em [1,3] ou [2,2]quadrado vazio em [2,1]

Explorando o mundo de wumpus

Nova percepção: [fedor , nada , nada , nada , nada]Nova dedução: wumpus em [3,1]

Explorando o mundo de wumpus

Nova dedução: wumpus em [3,1] e poço em [1,3] (pois não havia fedor em [1,2], nem brisa em [2,1])

Nova dedução: wumpus em [3,1] e poço em [1,3] (pois não havia fedor em [2,2] nem brisa em [2,1])

Esta é uma inferência difícil pois se baseia em informação obtida em diferentes instantes e lugares, e se baseia na falta de uma percepção...

Está além das habilidades da maioria dos animais, mas factível para um agente lógico

Propriedade do raciocínio lógico

As conclusões serão corretas se as informações disponíveis estiverem corretas!

Lógica -- sintaxe

...base de conhecimento consiste de sentenças...

Sentenças são escritas com uma sintaxe;

Sintaxe especifica sentenças bem formadas– ex. em aritmética: X + Y = 4

• x2y+= : não é bem formada

Lógica -- semântica

Define o significado das sentenças; em lógica: significado é a verdade de

cada sentença em relação à interpretações possíveis.– Ex. x + y = 4, verdade na interpretação x=2

e y=2, falso na interpretação x=1 e y =1.– Em lógica clássica, as sentenças só

podem ser verdadeiras ou falsas

Lógica -- semântica

– Dizemos que “m é um modelo de ”: se é verdade na interpretação m

Lógica -- semântica

Dada duas sentenças e , se em todos as interpretações em que é verdadeira, também o é dizemos que é consequência lógica de :

|=

“se é verdadeira também deve ser.”

Lógica -- semântica: wumpus

Situação após detectar nada em [1,1], mover à direita e brisa em [2,1]

Considerar as interpretações possíveis para poços

Lógica -- semântica: wumpus

Lógica -- semântica: wumpus

BC = regras do mundo de wumpus + observações

Lógica -- semântica: wumpus

BC = regras do mundo de wumpus + observações 1 = "[1,2] é seguro", BC |= 1

Lógica -- semântica: wumpus

BC = regras do mundo de wumpus + observações 2 = "[2,2] é seguro", BC |= 2

Lógica -- semântica: wumpus

Em alguns modelos em que BC é verdadeira, 2 é falsa, logo não há como deduzir se há um poço em [2,2] nem se não há...

Este algoritmo de inferência é denominado:

verificação de modelos

pois enumera todos os modelos possíveis para verificar se é verdadeira em todos os modelos em que BC é verdadeira

Derivação lógica Se um algoritmo de inferência i pode

derivar de BC:

BC |-i um algoritmo de inferência é “consistente

” (correto) se deriva apenas sentenças permitidas (pertencentes ao modelo).

e completo se puder derivar qualquer sentença permitida.

Sound and completeness(correção e completeza)

BC |-i

BC |=

completeness

soundness

Hipótese básica da IA “logiscista”

Se a BC representa fatos no mundo real, qualquer sentença derivada de BC por um procedimento de inferência consistente também será verdadeira no mundo real

Hipótese básica da IA “logiscista”

... portanto, embora a inferência opere sobre a sintaxe, o processo corresponde à conclusões verdadeiras no mundo real.

Como sabemos que a BC é verdadeira no mundo real?

Como sabemos que a BC é verdadeira no mundo real? Os sensores do agente criam a

conexão.– E se houver exceções?– E se a verdade for temporária?– E se houver regras gerais não previstas

pelo engenheiro de conhecimento??

Lógica proposicional - sintaxe

Sentenças atômicas (elementos sintáticos indivisíveis):– um único símbolo proposicional;– cada símbolo é uma proposição que pode

ser verdadeira ou falsa;

– nomes em maiúsculas: A, B, W1,3...

– Verdadeiro– Falso

LP- sintaxe- sentenças atômicas

– se S é sentença, S é sentença (negação)

– Um literal é uma sentença atômica negada ou não.

LP- sintaxe- sentenças complexas – se S1 e S2 são sentenças, tb o são:

• S1 S2 (conjunção -- e)• S1 S2 (disjunção -- ou)• S1 S2 (implicação-se, então)• S1 S2 é sentença (bicondicional - se e

somente se)

LP- sintaxe-- precedência Utilize parênteses:

– ((A B) C)) Ou se apoie na ordem de precedência:

, , , e P Q R S equivale a:

(( P) (Q R)) S

Lógica proposicional: semântica

Um modelo proposicional simplesmente fixa o valor verdade para todo símbolo proposicional de uma BC:

E.g. P1,2 P2,2 P3,1

false true false Verdadeiro é verdadeiro em todo modelo e

Falso é falso em todo modelo;– O valor verdade de todos os outros símbolos

proposicionais deve ser especificado diretamente no modelo.

Lógica proposicional: semântica Regras para avaliar o valor verdade com

respeito a um modelo m: S é verdade sse S é falso – S1 S2 é verdade sse S1 é verdade e S2 é

verdade– S1 S2 é verdade sse S1é verdade ou S2 é

verdade– S1 S2 é verdade sse S1 é falso ou S2 é verdade– i.e., é falso sse S1 é verdade e S2 é falso– S1 S2 é verdade sse S1S2 é verdade e S2S1 é

verdade

Tabela verdade

Assim reduz-se a verdade de sentenças complexas à verdade de sentenças mais simples em um processo recursivo.E.g.:P1,2 (P2,2 P3,1) = true (true false) = true true = true

Obs. Cada linha da tabela é uma interpretação possível.

Tabela verdade

Enumere todas os modelos e verifique se é verdadeira em todo modelo em que BC é verdadeira.

Inferência por enumeração de modelos

A busca em profundidade para enumerar todos as interpretações para encontrar modelos é correta e completa.

Para n simbolos, complexidade temporal é O(2n), e espacial é O(n)

Equivalência lógica Duas sentenças são logicamente equivalentes sse verdadeiras

nos mesmos modelos: sse |= e |= :

Validade e satisfatibilidade

Uma sentença é válida se verdadeira em todos os modelos,e.g., True, A A, A A, (A (A B)) B

» TautologiasValidade é ligada à inferência via o Teorema da Dedução :

KB |= se e somente se (KB ) é valida

Uma sentença é satisfatível se verdadeira em algum modeloe.g., A B, C

Uma sentença é insatisfatível se verdadeira em nenhum modeloe.g., AA

Satisfatibilidade é ligada à inferência via o seguinte:KB |= se e somente se (KB ) é insatisfatível

Raciocinando por contraposição

Teorema da Dedução

Validade é ligada à inferência via o Teorema da Dedução :

BC |= se e somente se (BC ) é valida

• Podemos imaginar o algoritmo anterior como a verificação da validade de BC

• Reciprocamente, toda sentença de implicação válida descreve uma inferência legítima.

Inferência como prova Regras de inferência:

– Modus ponens

,

– Eliminação-de-e

,

– Todas as equivalências anteriores podem ser usadas como regras de inferência.

Exemplo: BC mundo de wumpus

Seja Pij verdade se existe um poço em [i, j].

Seja Bij verdade se há brisa em [i, j].R1: P11

R2: B11

R3: B21

"Poços causam brisas em quadrados adjacentes "R4: B11 (P12 P21)

R5: B21 (P11 P22 P31)

Exemplo: Wumpus Seja a base de conhecimento R1 -- R5,

vamos provar P12:

– Eliminação de bicondicional a R4:

R6: (B11(P12 P21))((P12 P21)B11)

– Eliminação-e em R6:

R7:(B11(P12P21)) e R7`:((P12P21)B11)

– Contraposição em R7`:

R8: ( B11 (P12 P21))

– Modus ponens com R2 e R8:

R9: (P12 P21))

Exemplo: Wumpus

– Regra de de Morgan em R9:

R10: P12 P21

i.e. nem [1,2], nem [2,1] possui um poço!

[obs. Erro no livro!]

Métodos de prova Há duas categorias principais de métodos de provas:

– Aplicação das regras de inferência• Geração correta (sound) de novas sentenças a partir de

antigas; • Prova = uma sequência de aplicações de regras de inferência

– Regras de inferência podem ser usadas como ações em um algoritmo de busca

• Tipicamente requer transformar as sentenças em uma forma normal (def. a seguir)

– Model checking• enumeração de modelos em tabelas verdade• retrocesso melhorado, e.g., Davis--Putnam-Logemann-

Loveland (DPLL)• busca heurística em um espaço de modelos WALKSAT

(correto, porém incompleto)

Resolução

Satisfatibilidade é ligada à inferência via o seguinte:BC |= se e somente se (BC ) é insatisfatível

Raciocinando por contraposição

ResoluçãoForma Normal Conjuntiva -- Conjunctive Normal Form (CNF)

conjunção de disjunções de literaisE.g., (A B) (B C D)

Regra de inferência resolução (para CNF):l1 … lk, m1 … mn

l1 … li-1 li+1 … lk m1 … mj-1 mj+1 ... mn

onde li e mj são literais complementares. l1 l2 l2 l3

l1 l3

E.g., P1,3 P2,2, P2,2

P1,3

correta e completa para lógica proposicional

Resolução

Qualquer algoritmo de busca completo, aplicando apenas a regra de resolução, pode derivar qualquer conclusão permitida por qualquer base de conhecimento em lógica proposicional!

Conversão para CNFB1,1 (P1,2 P2,1)

Eliminar , trocando por ( )( ).(B1,1 (P1,2 P2,1)) ((P1,2 P2,1) B1,1)

2. Eliminar , trocando por .(B1,1 P1,2 P2,1) ((P1,2 P2,1) B1,1)

3. Mover para dentro usando as leis de de Morgan e negação dupla:(B1,1 P1,2 P2,1) ((P1,2 P2,1) B1,1)

4. Aplicar a lei distributiva ( sobre ) e eliminar ‘(‘ ’)’:(B1,1 P1,2 P2,1) (P1,2 B1,1) (P2,1 B1,1)

Algoritmo de Resolução

Primeiro a entrada é convertida em CNF. Em seguida a regra de resolução é aplicada às cláusulas restantes. Cada par que contém literais complementares é resolvido para gerar uma nova cláusula, que é adicionada ao conjunto..

Algoritmo de Resolução

O processo continua até que:– não exista nenhuma cláusula nova a ser

adicionada; nesse caso, não há consequência lógica

– a cláusula vazia é derivada; assim, a consequência lógica é verificada.

Raciocinando por contraposição

Algoritmo da resolução Prova por contradição, i.e., para provar em BC,

mostrar que KB é insatisfatível

PL-Resolve retorna o conj. de todas as cláusulas possíveisobtidas pela resolução de duas entradas

Exemplo de resolução

BC = (B1,1 (P1,2 P2,1)) B1,1

= P1,2

2,1

Encadeamento pra frente e pra trás

(Forward and backward chaining) Cláusula de Horn (resolução restrita)

BC = conjunção de cláusulas de Horn– cláusula de Horn =

• símbolo proposicional; ou• (conjunção de símbolos) símbolo

(CORPO) CABEÇA(I.e., disjunção de literais nos quais no máximo um é positivo)

– E.g., C (B A) (C D B) Modus Ponens (para Horn): completo para BC Horn

1, … , n, 1 … n

Podem ser usadas com forward chaining ou backward chaining. Algoritmos simples e de complexidade linear (em rel. ao tamanho da

base de conhecimento) !

Forward chaining

Começa a partir de fatos conhecidos (literais positivos) na base de conhecimento. Se todas as premissas de uma implicação forem verdade, sua conclusão será acrescentada ao conjunto de fatos conhecidos.

Forward chaining example

Forward chaining example

Forward chaining example

Forward chaining example

Forward chaining example

Forward chaining example

Forward chaining example

Forward chaining example

Backward chaining

Funciona da pergunta q à base de conhecimento:

– para provar q na BC,• verifique se q já faz parte de BC, ou• prove pela BC todas as premissas de alguma regra

que conclua q

Evitar laços: verifique se os novos subgoals já foram provados ou já falharam!

Exemplo de Backward chaining

Backward chaining example

Backward chaining example

Backward chaining example

Backward chaining example

Backward chaining example

Backward chaining example

Backward chaining example

Backward chaining example

Backward chaining example

Forward vs. backward chaining

ForwC é baseado no dados, – Pode ser usado para derivar conclusões a partir de

percepções de entrada, sem uma consulta específica em mente;

– Pode executar muito trabalho irrelevante para o objetivo;– Executa um trabalho extensivo;

BackC é baseado no objetivo, – Apropriado para resolução de problemas;– Funciona em tempo linear– Complexidade de BackC pode ser muito menor do que

linear em relação ao tamanho da base de conhecimento por que o processo só toca fatos relevantes para provar um objetivo.

CONCLUSÃO

CONCLUSÃO

VOCÊS PRECISAM ESTUDAR!! Leiam o cap. 7 até a p. 214 Próxima aula tem mais!!