Lógica Proposicional Tableaux semânticos. Sistema de Tableaux Semânticos Alfabeto da Lógica...

Lógica Proposicional

Tableaux semânticos

Sistema de Tableaux Semânticos

Alfabeto da Lógica Proposicional Conjunto de fórmulas da Lógica

Proposicional Conjunto de regras de dedução (ou

regras de inferência)

R1=H^G R2=HvG R3=HG H

G H G H G

R4=HG R5=H R6=(H^G)

HH^G H^G H G

R7=(HvG) R8=(HG)R9=(HG)

H HG G H^G

H^G

Características do Método de Tableau Semântico

Baseado em árvores Ramos são decomposições de H em

subfórmulas ou seja, possibilidades de

interpretações da fórmula Cada ramo representa uma ou mais

interpretações Adequado para implementação!

Idéia Básica de Tableaux Semânticos Concebido por E. Beth (1954) e

Jaako Hintikka (1955) Cada interpretação representa um

mundo possível Interpretação – caminho da raiz da

árvore a uma folha “Semântica dos Mundos Possíveis” Buscam admissões de

interpretações

Características do Método de Tableau Semântico (cont.)

Sistema de refutação Prova por negação ou absurdo Para provar H supõe-se

inicialmente, por absurdo, H As deduções desta fórmula levam a

um fato contraditório (ou absurdo) Então H é verdade!!

Construção de um Tableau

Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)}

1. AvB 2.A^ B

3. A B R2, 1. 4. A A R1, 2. 5. B B R1, 2.

Construção do mesmo Tableau mais curto

Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)}

1. AvB 2.A^ B 3. A R1, 2. 4. B R1, 2.

5. A B R2, 1.

Heurística para aplicação de regras para tableau Advindas do sistema de tableau

analítico “First Order Logic”, R. Smullyan

(1970) Adiar a bifurcação Aplicar primeiro as regras que não

bifurquem Árvore menor => menos

interpretações a serem analisadas

Construção de um Tableau Semântico – Definição (recursiva)

Dado o conjunto de fórmulas {A1,A2,...,An}

A seguinte árvore, com um ramo, é um tableau associado a {A1,A2,...,An} 1. A1 2. A2, ... n. An

Se Tree é um tableau associado a {A1,A2,...,An}, então Tree* (Tree submetida a alguma das regras R1 a R9) também é

Exemplo de Construção de um Tableau Semântico

{(AB)(AvB), (CA)} Tree1:

1. AB 2. (AvB) 3. (CA)

Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont.)

{(AB)(AvB), (CA)} Tree2 (=R7 aplicada a Tree1):

1. AB 2. (AvB) 3. (CA) 4. A R7, 2. 5. B R7, 2.

Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont.) {(AB)(AvB), (CA)} Tree3 (=R3 aplicada a Tree2):

1. AB 2. (AvB) 3. (CA) 4. A R7, 2. 5. B R7, 2.

6. A B R3, 1.

Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont.) {(AB)(AvB),

(CA)} Tree4

R8 aplicada a Tree3 O ramo da

esquerda contém B e B Como essa

informação pode ser útil?

1. AB 2. (AvB) 3. (CA) 4. A R7, 2. 5. B R7, 2.

6. A B R3, 1 7. C C R8, 3. 8. A A R8, 3.

Ramo aberto e fechado

Ramo fechado – contém uma fórmula B e sua negação B, ou o símbolo de verdade false

Tableau fechado – não contém ramos abertos

Prova e Teorema em Tableaux Semânticos

Uma prova de H usando tableaux semânticos é ... Um tableau fechado associado a... H! Neste caso, H é um teorema do

sistema de tableaux semânticos

Exemplo de Prova em Tableaux Semânticos

Como provar H=((PQ)^¬(PQ)^(P))??

Gerar um tableau fechado para H: (((PQ)^¬(PQ)^(P)))

1. (((PQ)^¬(PQ)^(P))) 2. (PQ)^¬(PQ)^(P) R5, 1. 3. PQ R1, 2. 4. ¬(PQ) R1, 2. 5. P R1, 2. 6. P R5, 5.

7. PQ R3, 3.fechado 8. P^Q P^Q R9, 4. 9. P P R1, 8. 10. Q Q R1, 8.

fechado fechado

1. ((PQ)vP)) 2. (PQ) 3. P

4. P^Q P^Q 5. P P 6. Q Q

aberto fechado

Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses

={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica em

tableaux semânticos de se existe uma prova, usando

tableaux semânticos de (H1^H2^...^Hn) H

Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos

Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses ={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que: ├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H

Exemplo de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos

Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um

perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente

“Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??

Solução

Provar H=(P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1)) P1

Mostrando que H é absurdo (P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1))

P1) gera um tableau fechado?

Conjunto insatisfatível

Como provar que um conjunto de fórmulas é insatisfatível?

Por exemplo: ={AvB, (BvC), CD, (AvD)}

Conjunto insatisfatível (cont.)

é insatisfatível sse não existe I tal que I[AvB]=I[(BvC)]=I[CD]=I[(AvD)]=T

I,I[(AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)]=F I,I[((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD))]=T

Portanto para provar que é insatisfatível Provar que ((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)) é

tautologia

Conjunto insatisfatível (cont.) ={AvB, (BvC), CD, (AvD)} é

insatisfatível? Provar que

((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)) é tautologia

Vimos na parte de semântica (Validade e factibilidade)

H é válida H é contraditória

Em tableaux semânticos Gerar um tableau fechado para

(((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)))

Exemplo de conjunto insatisfatível Olhando o tableau de {AvB,

(BvC), CD, (AvD)}, quais outros conjuntos de fórmulas são insatisfatíveis?

{AvB, (BvC), CD} {AvB, (BvC), (AvD)} {AvB, CD, (AvD)} {(BvC), CD, (AvD)}

Tableaux Completamente Abertos

Como provar que H é tautologia? E se eu construir um tableau direto

a partir de H (e não de H)? Ex: H=(AvA)^(AB) Construir os tableaux de H e de H

O que um tableau completamente aberto nos diz??

Tableaux Completamente Abertos (cont.)

Nada!! Ex: G=(AvA)^(BB) Construir os tableaux de G e de G Conclusões?

Conclusões

Dada uma fórmula da lógica proposicional H H é tautologia Tableau associado a H é

fechado H é contraditória (insatisfatível) H é

tautologia Tableau associado a H é fechado H é refutável Tableau associado a H é

aberto (não necessariamente aberto completamente)

Exercícios de Formalização

A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. (C, S, A)

Solução A proposta de auxílio está no correio. Se

os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira.

C: A proposta de auxílio está no correio.S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira.A: Os árbitros analisarão a proposta.

{C, SA, CS} |-- A

Exercício

Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.

Exercício Se hoje é Quinta-feira, então

amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.