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MAT 2455 - Cálculo III
Roberto Mossa
Email: robertom@ime.usp.br
Sala: 111A
February 22, 2020
Universidade de São Paulo
Instituto de Matemática e Estatística
Departamento de Matemática
• H. Guidorizzi, "Um Curso de Cálculo", Vol. 3, LTC, 5a ed. 2002.
• J. Stewart, "Calculo", Ed. Pioneira-Thomson Learning, 2000.
• Tom M. Apostol, "Cálculo", Vol. 2, Ed. Reverté, 1981.
• J. Bouchara, V. Carrara, A.C. Hellmeister e R. Salvitti, "Cálculo Integral
Avançado", Ed. Edusp, 2a ed. revisada, 2006.
1
INTEGRAIS DUPLAS
SOMA DE RIEMANN
Sejam a < b e c < d numeros dados. Consideramos o seguinte retangulo
R ={
(x , y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
equivalentemente R = [a, b]× [c, d ]. Sejam
P1 : a = x0 < x1 < · · · < xn = b
e
P2 : c = y0 < y1 < · · · < yn = d
partições de [a, b] e [c, d ] respectivamente. Fica determinada uma partição P do
retangulo R
P ={(
xi , yj)|i = 0, 1, 2, . . . , n, j = 0, 1, 2, . . . ,m
}Uma partição P de R determina m · n retângulos
Rij ={
(x , y) ∈ R2|xi−1 ≤ x ≤ xi , yj−1 ≤ y ≤ yj}
2
SOMA DE RIEMANN
Figure 1: Partição P = {(xi , yj )} do retangulo [a, b]× [c, d ]
3
SOMA DE RIEMANN
Seja f : B ⊂ R2 → R, com B limitado, logo existe um retangulo R = [a, b]× [c, d ]
que contem B
B ⊂ R.
Seja P ={(
xi , yj)|i = 0, 1, 2, . . . , n, j = 0, 1, 2, . . . ,m
}uma partição de R. Para
cada Rij seja Xij ∈ Rij um ponto escolhido arbitrariamente.
Figure 2: B ⊂ R.
4
SOMA DE RIEMANN
De�nimos soma de Riemann de f relativa à partição P e aos pontos Xij o seguinte
numero
S =n∑
i=1
m∑j=1
f(Xij
)∆xi∆yj
onde f(Xij
)deve ser substituído por zero se Xij /∈ B. Observe que se f
(Xij
)> 0,
então f(Xij
)∆xi∆yj será o volume do paralelepipedo de altura f
(Xij
)e cuja base é o
retángulo Rij
Figure 3: f (Xij ). 5
DEFINIÇÃO DE INTEGRAL DUPLA
Seja
∆ = max {∆x1, . . . ,∆xn,∆y1, . . . ,∆ym} .
Dizemos que a soma de Riemann∑n
i=1
∑mj=1
f(Xij
)∆xi∆yj tende a L ∈ R, quando
∆ tende a zero, e escrevemos
lim∆→0
n∑i=1
m∑j=1
f(Xij
)∆xi∆yj = L
se para todo ε > 0 dado, existir δ > 0, que sé dependa de ε mas não da escolha de Xij ,
tal que ∣∣∣∣∣∣n∑
i=1
m∑j=1
f(Xij
)∆xi∆yj − L
∣∣∣∣∣∣ < ε
para toda partição P, com ∆ < δ. Tal número L, que quando existe é único,
denomina-se integral dupla (segundo Riemann) de f sobre B. Assim∫∫Bf (x , y)dxdy = lim
∆→0
n∑i=1
m∑j=1
f(Xij
)∆xi∆yj
Se∫∫
B f (x , y)dxdy existe, então diremos que f é integrável (segundo Riemann) em B.
6
CONJUNTO DE CONTEÚDO NULO
Seja B ⊂ R2, de�nimos área de B por
|B| := m(B) :=
∫∫Bdxdy
Conjunto de conteúdo nulo
Seja D um subconjunto de R2. Dizemos que D tem conteudo nulo |D| = 0, se para
todo ε > 0 dado, existir um número �nito de retângulos A1,A2, . . . ,An tais que
D ⊂ A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An∑ni=1
m (Ai ) < ε,
onde m (Ai ) é a área do retângulo Ai
7
CONJUNTO DE CONTEÚDO NULO
O grá�co de uma função continua f tem conteúdo nulo. Sendo f integrável em [a, b],
dado ε > 0 existe δ > 0 (com δ dependendo apenas de ε e não da escolha dos ci em
[xi−1, xi ]) tal que ∣∣∣∣∣n∑
i=1
f (ci ) ∆xi −∫ b
a(x)dx
∣∣∣∣∣ < ε
2
para toda partição de [a, b], com ∆ < δ.
Sejam si e ti , respectivamente, os pontos de
máximo e de minimo de f em [xi−1, xi ] . Segue que,∣∣∣∣∣n∑
i=1
f (si ) ∆xi −∫ b
af (x)dx
∣∣∣∣∣ < ε
2e
∣∣∣∣∣n∑
i=1
f (ti ) ∆xi −∫ b
af (x)dx
∣∣∣∣∣ < ε
2
Assimn∑
i=1
[f (si )− f (ti )]∆xi < ε.
Observamos que
m(Ai ) = [f (si )− f (ti )]∆xié a area do rettangulo
Ai = [xi−1, xi ]× [f (si ) , f (ti )].
8
CONJUNTO DE CONTEÚDO NULO
O grá�co de uma função continua f tem conteúdo nulo. Sendo f integrável em [a, b],
dado ε > 0 existe δ > 0 (com δ dependendo apenas de ε e não da escolha dos ci em
[xi−1, xi ]) tal que ∣∣∣∣∣n∑
i=1
f (ci ) ∆xi −∫ b
a(x)dx
∣∣∣∣∣ < ε
2
para toda partição de [a, b], com ∆ < δ.Sejam si e ti , respectivamente, os pontos de
máximo e de minimo de f em [xi−1, xi ] . Segue que,∣∣∣∣∣n∑
i=1
f (si ) ∆xi −∫ b
af (x)dx
∣∣∣∣∣ < ε
2e
∣∣∣∣∣n∑
i=1
f (ti ) ∆xi −∫ b
af (x)dx
∣∣∣∣∣ < ε
2
Assimn∑
i=1
[f (si )− f (ti )]∆xi < ε.
Observamos que
m(Ai ) = [f (si )− f (ti )]∆xié a area do rettangulo
Ai = [xi−1, xi ]× [f (si ) , f (ti )].
8
CONJUNTO DE CONTEÚDO NULO
EXEMPLOS:
• A imagem de uma curva γ : [a, b]→ R2 de classe C1([a, b]) tem conteúdo nulo.
(Lembre-se: γ é de classe C1([a, b]) se tem derivada continua em [a, b]).
• A imagem de uma curva γ : [a, b]→ R2 de classe C1([a, b]) por partes tem
conteúdo nulo.
Curva de classe C1 por partes
Dizemos que γ : [a, b]→ R2 é de classe C1 por partes se γ for continua e se existir
uma partição de [a, b], a = t0 < t1 < t2 < . . . < tn = b e curvas de classe C1
γi : [ti−1, ti ]→ R2(i = 1, 2, . . . , n)
tais que
γ(t) = γi (t) em (ti−1, ti )
Figure 4: γ é de classe C1 por partes.
9
CONJUNTO DE CONTEÚDO NULO
EXEMPLOS:
• A imagem de uma curva γ : [a, b]→ R2 de classe C1([a, b]) tem conteúdo nulo.
(Lembre-se: γ é de classe C1([a, b]) se tem derivada continua em [a, b]).
• A imagem de uma curva γ : [a, b]→ R2 de classe C1([a, b]) por partes tem
conteúdo nulo.
Curva de classe C1 por partes
Dizemos que γ : [a, b]→ R2 é de classe C1 por partes se γ for continua e se existir
uma partição de [a, b], a = t0 < t1 < t2 < . . . < tn = b e curvas de classe C1
γi : [ti−1, ti ]→ R2(i = 1, 2, . . . , n)
tais que
γ(t) = γi (t) em (ti−1, ti )
Figure 4: γ é de classe C1 por partes.
9
CONJUNTO DE CONTEÚDO NULO
EXEMPLOS:
• Sejam A ⊂ B ⊂ R2 então
|B| = 0⇒ |A| = 0
• O conjunto vazio tem conteudo nulo
• Todo subconjunto de R2 com um número �nito de pontos tem conteúdo nulo.
Isto é
A = {a1, . . . , am} ⇒ |A| = 0.
10
TOPOLOGIA DE R2
Ponto de fronteira
Seja B ⊂ R2 e seja (x0, y0) um ponto de R2 que pode pertencer ou não a B.
Dizemos que (x0, y0) é um ponto de fronteira de B se toda bola aberta de centro
(x0, y0) contiver pelo menos um ponto de B e pelo menos um ponto que não
pertence a B. O conjunto ∂B de todos os pontos de fronteira de B denomina-se
fronteira de B.
EXEMPLO 1.
Seja B ={
(x , y) ∈ R2|x2 + y2 < 1}. A fronteira de B /∈ o conjunto{
(x , y) ∈ R2|x2 + y2 = 1}
EXEMPLO 2.
Seja B ={
(x , y) ∈ R2|x2 ≤ y ≤ x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1}. A fronteira de B é o conjunto
Gε ∪ Gh ∪{
(0, y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ 1}∪{
(1, y) ∈ R2|1 ≤ y ≤ 2}.
Onde GzeGh são, respectivamente, os gra�cos das funções g(x) = x2 e h(x) = x2
com 0 ≤ x ≤ 1. Portanto
|∂B| = |Gε ∪ Gh| = 0
11
TOPOLOGIA DE R2
Ponto de fronteira
Seja B ⊂ R2 e seja (x0, y0) um ponto de R2 que pode pertencer ou não a B.
Dizemos que (x0, y0) é um ponto de fronteira de B se toda bola aberta de centro
(x0, y0) contiver pelo menos um ponto de B e pelo menos um ponto que não
pertence a B. O conjunto ∂B de todos os pontos de fronteira de B denomina-se
fronteira de B.
EXEMPLO 1.
Seja B ={
(x , y) ∈ R2|x2 + y2 < 1}. A fronteira de B /∈ o conjunto{
(x , y) ∈ R2|x2 + y2 = 1}
EXEMPLO 2.
Seja B ={
(x , y) ∈ R2|x2 ≤ y ≤ x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1}. A fronteira de B é o conjunto
Gε ∪ Gh ∪{
(0, y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ 1}∪{
(1, y) ∈ R2|1 ≤ y ≤ 2}.
Onde GzeGh são, respectivamente, os gra�cos das funções g(x) = x2 e h(x) = x2
com 0 ≤ x ≤ 1. Portanto
|∂B| = |Gε ∪ Gh| = 0
11
TOPOLOGIA DE R2
Ponto de fronteira
Seja B ⊂ R2 e seja (x0, y0) um ponto de R2 que pode pertencer ou não a B.
Dizemos que (x0, y0) é um ponto de fronteira de B se toda bola aberta de centro
(x0, y0) contiver pelo menos um ponto de B e pelo menos um ponto que não
pertence a B. O conjunto ∂B de todos os pontos de fronteira de B denomina-se
fronteira de B.
EXEMPLO 1.
Seja B ={
(x , y) ∈ R2|x2 + y2 < 1}. A fronteira de B /∈ o conjunto{
(x , y) ∈ R2|x2 + y2 = 1}
EXEMPLO 2.
Seja B ={
(x , y) ∈ R2|x2 ≤ y ≤ x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1}. A fronteira de B é o conjunto
Gε ∪ Gh ∪{
(0, y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ 1}∪{
(1, y) ∈ R2|1 ≤ y ≤ 2}.
Onde GzeGh são, respectivamente, os gra�cos das funções g(x) = x2 e h(x) = x2
com 0 ≤ x ≤ 1. Portanto
|∂B| = |Gε ∪ Gh| = 0
11
TOPOLOGIA DE R2
Seja B ⊂ R2. Denotamos o complementar de B por
Bc ={
(x , y) ∈ R2 | (x , y) /∈ B}
= R2 \ B.
Conjunto fechado
B fechado ⇔ Bc aberto⇔ ∂B ⊂ B,
onde ∂B é a fronteira de B.
Conjunto compacto
B compacto ⇔ Bc fechado e limitado
12
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
Teorema 1. (Condigão su�ciente para que uma função seja integrivel sobre um
conjuto limitado 1)
Seja B ⊂ R2 um conjunto limitado e seja f : B → R uma função continua e
limitada. Então
|∂B| = 0⇒ f integravel em B
A hipotese �f é continua� pode substituida por �f é continua em todos os pontos de
B, exceto nos pontos de un conjutto de conteúdo nulo".
Teorema 2. (Condigão su�ciente para que uma função seja integrivel sobre um
conjuto limitado 2)
Seja f : B → R uma função continua onde B ⊂ R2 um conjunto compacto (fechado
e limitado). Então
|∂B| = 0⇒ f integravel em B
Con efeito
B compacto + f : B → R continua ⇒ f limitada
13
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
Teorema 1. (Condigão su�ciente para que uma função seja integrivel sobre um
conjuto limitado 1)
Seja B ⊂ R2 um conjunto limitado e seja f : B → R uma função continua e
limitada. Então
|∂B| = 0⇒ f integravel em B
A hipotese �f é continua� pode substituida por �f é continua em todos os pontos de
B, exceto nos pontos de un conjutto de conteúdo nulo".
Teorema 2. (Condigão su�ciente para que uma função seja integrivel sobre um
conjuto limitado 2)
Seja f : B → R uma função continua onde B ⊂ R2 um conjunto compacto (fechado
e limitado). Então
|∂B| = 0⇒ f integravel em B
Con efeito
B compacto + f : B → R continua ⇒ f limitada
13
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
Teorema 1. (Condigão su�ciente para que uma função seja integrivel sobre um
conjuto limitado 1)
Seja B ⊂ R2 um conjunto limitado e seja f : B → R uma função continua e
limitada. Então
|∂B| = 0⇒ f integravel em B
A hipotese �f é continua� pode substituida por �f é continua em todos os pontos de
B, exceto nos pontos de un conjutto de conteúdo nulo".
Teorema 2. (Condigão su�ciente para que uma função seja integrivel sobre um
conjuto limitado 2)
Seja f : B → R uma função continua onde B ⊂ R2 um conjunto compacto (fechado
e limitado). Então
|∂B| = 0⇒ f integravel em B
Con efeito
B compacto + f : B → R continua ⇒ f limitada
13
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
EXEMPLO 1.
Sejam f (x , y) = x + y e B o conjunto de todos (x , y) tais que x2 + y2 ≤ 1. Então a
função f é integrável em B. Porque?
• f é continua e limitada em B;
• ∂B é a imagem da curva de classe C1 dada por x = cos t, y = sen t, t ∈ [0, 2π];
Como |∂B| = 0, segue que f é integrãvel em B, isto é a integral∫∫B
(x + y)dxdy
existe.
14
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
EXEMPLO 1.
Sejam f (x , y) = x + y e B o conjunto de todos (x , y) tais que x2 + y2 ≤ 1. Então a
função f é integrável em B. Porque?
• f é continua e limitada em B;
• ∂B é a imagem da curva de classe C1 dada por x = cos t, y = sen t, t ∈ [0, 2π];
Como |∂B| = 0, segue que f é integrãvel em B, isto é a integral∫∫B
(x + y)dxdy
existe.
14
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
EXEMPLO 2.
Sejam f (x , y) = x + y e B ={
(x , y) ∈ R2|x2 ≤ y ≤ 1 + x2,−1 ≤ x ≤ 1}.
A função f : B → R é integravel?
A fronteira ∂B tem conteúdo nulo, pois ∂B = D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ D4, onde
• D1 é o grá�co de y = x2,−1 ≤ x ≤ 1 ;
• D2 é o grá�co de y = 1 + x2,−1 ≤ x ≤ 1 ;
• D3 é a imagem da curva x = 1, y = t, 1 ≤ t ≤ 2 ;
• D4 é a imagem da curva x = −1, y = t, 1 ≤ t ≤ 2.
Observe que as funções y = x2 e y = 1 + x2 são continuas e as curvas mencionadas
são de classe C1. Segue que f é integrável em B.
15
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
EXEMPLO 2.
Sejam f (x , y) = x + y e B ={
(x , y) ∈ R2|x2 ≤ y ≤ 1 + x2,−1 ≤ x ≤ 1}.
A função f : B → R é integravel?
A fronteira ∂B tem conteúdo nulo, pois ∂B = D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ D4, onde
• D1 é o grá�co de y = x2,−1 ≤ x ≤ 1 ;
• D2 é o grá�co de y = 1 + x2,−1 ≤ x ≤ 1 ;
• D3 é a imagem da curva x = 1, y = t, 1 ≤ t ≤ 2 ;
• D4 é a imagem da curva x = −1, y = t, 1 ≤ t ≤ 2.
Observe que as funções y = x2 e y = 1 + x2 são continuas e as curvas mencionadas
são de classe C1. Segue que f é integrável em B.15
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
EXEMPLO 3.
Seja B o círulo x2 + y2 ≤ 1. Seja f : B → R dada por
f (x , y) =
{1 se y > 0
−1 se y < 0
f é integrável em B? Por quê?
Soluçao.
• A fronteira de B tem conteúdo nulo.
• A função f é limitada em B (−1 ≤ f (x , y) ≤ 1 )
• A função f é descontinua apenas nos pontos (x , 0),−1 ≤ x ≤ 1
Como o conjunto dos pontos de descontinuidade tem conteúdo nulo, segue que f é
integrável em B.
16
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
EXEMPLO 3.
Seja B o círulo x2 + y2 ≤ 1. Seja f : B → R dada por
f (x , y) =
{1 se y > 0
−1 se y < 0
f é integrável em B? Por quê?
Soluçao.
• A fronteira de B tem conteúdo nulo.
• A função f é limitada em B (−1 ≤ f (x , y) ≤ 1 )
• A função f é descontinua apenas nos pontos (x , 0),−1 ≤ x ≤ 1
Como o conjunto dos pontos de descontinuidade tem conteúdo nulo, segue que f é
integrável em B.
16
PROPRIEDADES DA INTEGRAL
Sejam f e g integraveis em B e seja k uma constante. Tem-se
1. f + g e kf são integráveis e
a)∫∫
B [f (x , y) + g(x , y)]dxdy =∫∫
B f (x , y)dxdy +∫∫
B g(x , y)dxdy
b)∫∫
B kf (x , y)dxdy = k∫∫
B f (x , y)dxdy
2. f (x , y) > 0 em B ⇒∫∫
B f (x , y)dxdy > 0.
3. f (x , y) 6 g(x , y) em B ⇒∫∫
B f (x , y)dxdy 6∫∫
B g(x , y)dxdy
4. Se B tiver conteúdo nulo (i.e. |B| =∫∫
B dxdy = 0), então∫∫Bf (x , y)dxdy = 0
5. se o conjunto E = {(x , y) ∈ B|f (x , y) 6= g(x , y)} tiver conteúdo nulo (i.e.
|E | = 0), então ∫∫Bf (x , y)dxdy =
∫∫Bg(x , y)dxdy
6. se f for integrável em B1 e B ∩ B1 tiver conteúdo nulo (i.e. |B ∩ B1| = 0), então∫∫B∪B1
f (x , y)dxdy =
∫∫Bf (x , y)dxdy +
∫∫B1
f (x , y)dxdy
17
PROPRIEDADES DA INTEGRAL
Conexidade por arcos
Um conjunto B ⊂ R2 é dito conexo por arcos (ou conexo por caminhos) se quaisquer
dois dos seus pontos estão ligados por curva continua contida em B.
18
PROPRIEDADES DA INTEGRAL
Propriedade do valor médio para integrais
Seja f continua em B ⊂ R2 compacto, conexo por arcos e com |∂B| = 0. Então,
existe pelo menos um ponto (x0, y0) ∈ B. Tal que∫∫Bf (x , y)dxdy = αf (x0, y0),
onde
α = Vol(B) =
∫∫Bdxdy .
19
Funçòes nào de�nidas num cojunto de conteudo nulo.
Integrabilidade de sunçòes nào de�nidas num cojunto de conteudo nulo.
Seja B um conjunto compacto com fronteira de conteudo nulo (i.e. |∂B| = 0). Seja
f : B \ D → R.
onde D ⊂ B é un conjunto de conteúdo nulo. Seja g : B → R ingravel e tal que
f (x , y) = g(x , y) para todo (x , y) ∈ B \ D.
De�nimos ∫∫Bf (x , y)dxdy =
∫∫Bg(x , y)dxdy .
Observe que a integral acima está bem de�nida, pois se h for outra função de B em Rtal que h(x , y) = f (x , y) em todo (x , y) /∈ D, com h integrável em B, então∫∫
Bh(x , y)dxdy =
∫∫Bg(x , y)dxdy
pela propriedade 5.
20
Funçòes nào de�nidas num cojunto de conteudo nulo.
EXEMPLO 1. Seja B o círulo x2 + y2 ≤ 1. Seja
f (x , y) =x2
x2 + y2,
por (x , y) ∈ B \ {(0, 0)} e seja g : B → R dada por
g(x , y) =
{x2
x2+y2se (x , y) 6= (0, 0)
0 se (x , y) = (0, 0)
Como g é integrável em B, segue que∫∫
Bx2
x2+y2dxdy existe e
∫∫B
x2
x2 + y2dxdy =
∫∫Bg(x , y)dxdy
21
Funçòes nào de�nidas num cojunto de conteudo nulo.
EXEMPLO 2. Seja B o círulo x2 + y2 ≤ 1 observamos que
∂B ={
(x , y) ∈ R2|x2 + y2 = 1}. Sejam
f (x , y) =sen(1− x2 − y2
)1− x2 − y2
, (x , y) ∈ B \ ∂B
e g : B → R dada por
g(x , y) =
{sen(1−x2−y2)
1−x2−y2se (x , y) ∈ B \ ∂B
1 se (x , y) ∈ ∂B
Sendo g continua em B, segue que g é integrável em B. Assim,∫∫B
sen(1− x2 − y2
)1− x2 − y2
dxdy =
∫∫Bg(x , y)dxdy .
22
TEOREMA DE FUBINI.
Seja o retângulo R ={
(x , y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}e seja f (x , y) integrável
em R.
Fixado y ∈ [c, d ] consideramos a função gy : [a, b]→ R dada por
gy (x) = f (x , y)
Se por cada y ∈ [c, d ] a função gy è integravel, podemos considerar a função dada por
α(y) =
∫ b
agy (x)dx =
∫ b
af (x , y)dxdy ∈ [c, d ].
No caso f (x , y) ≥ 0, α(y) è a area da região hachurada:
23
TEOREMA DE FUBINI.
Seja o retângulo R ={
(x , y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}e seja f (x , y) integrável
em R. Fixado y ∈ [c, d ] consideramos a função gy : [a, b]→ R dada por
gy (x) = f (x , y)
Se por cada y ∈ [c, d ] a função gy è integravel, podemos considerar a função dada por
α(y) =
∫ b
agy (x)dx =
∫ b
af (x , y)dxdy ∈ [c, d ].
No caso f (x , y) ≥ 0, α(y) è a area da região hachurada:
23
TEOREMA DE FUBINI.
Seja o retângulo R ={
(x , y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}e seja f (x , y) integrável
em R. Fixado y ∈ [c, d ] consideramos a função gy : [a, b]→ R dada por
gy (x) = f (x , y)
Se por cada y ∈ [c, d ] a função gy è integravel, podemos considerar a função dada por
α(y) =
∫ b
agy (x)dx =
∫ b
af (x , y)dxdy ∈ [c, d ].
No caso f (x , y) ≥ 0, α(y) è a area da região hachurada:
23
TEOREMA DE FUBINI.
Seja o retângulo R ={
(x , y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}e seja f (x , y) integrável
em R. Fixado y ∈ [c, d ] consideramos a função gy : [a, b]→ R dada por
gy (x) = f (x , y)
Se por cada y ∈ [c, d ] a função gy è integravel, podemos considerar a função dada por
α(y) =
∫ b
agy (x)dx =
∫ b
af (x , y)dxdy ∈ [c, d ].
No caso f (x , y) ≥ 0, α(y) è a area da região hachurada:
23
TEOREMA DE FUBINI.
Teorema (de Fubini) 1
Seja f (x , y) integrável no retângulo R = [a, b]× [c, d ].
Suponhamos que
•∫ ba f (x , y0)dx exista, para todo y0 ∈ [c, d ],
•∫ dc f (x0, y)dy exista, para todo x0 ∈ [a, b],
Então ∫∫Rf (x , y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b
af (x , y)dx
]dy =
∫ b
a
[∫ d
cf (x , y)dy
]dx
24
TEOREMA DE FUBINI.
Teorema (de Fubini) 1
Seja f (x , y) integrável no retângulo R = [a, b]× [c, d ]. Suponhamos que
•∫ ba f (x , y0)dx exista, para todo y0 ∈ [c, d ],
•∫ dc f (x0, y)dy exista, para todo x0 ∈ [a, b],
Então ∫∫Rf (x , y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b
af (x , y)dx
]dy =
∫ b
a
[∫ d
cf (x , y)dy
]dx
24
TEOREMA DE FUBINI.
Teorema (de Fubini) 1
Seja f (x , y) integrável no retângulo R = [a, b]× [c, d ]. Suponhamos que
•∫ ba f (x , y0)dx exista, para todo y0 ∈ [c, d ],
•∫ dc f (x0, y)dy exista, para todo x0 ∈ [a, b],
Então ∫∫Rf (x , y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b
af (x , y)dx
]dy =
∫ b
a
[∫ d
cf (x , y)dy
]dx
24
TEOREMA DE FUBINI.
Teorema (de Fubini) 1
Seja f (x , y) integrável no retângulo R = [a, b]× [c, d ]. Suponhamos que
•∫ ba f (x , y0)dx exista, para todo y0 ∈ [c, d ],
•∫ dc f (x0, y)dy exista, para todo x0 ∈ [a, b],
Então ∫∫Rf (x , y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b
af (x , y)dx
]dy =
∫ b
a
[∫ d
cf (x , y)dy
]dx
24
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 1. Calcule∫∫
R(x + y) dxdy , onde R é o retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.
Solução. Pelo teorema de Fubini∫∫R
(x + y)dxdy =
∫1
0
(∫2
1
(x + y)dx
)dy .
Temos: ∫2
1
(x + y)dx =
[x2
2+ xy
]21
=
(4
2+ 2y
)−(1
2+ y
)=
3
2+ y .
Então, ∫∫R
(x + y)dxdy =
∫1
0
(3
2+ y
)dy =
[3
2y +
y2
2
]10
= 2.
Invertendo a ordem de integração, obtemos∫∫R
(x+y)dxdy =
∫2
1
[∫1
0
(x + y)dy
]dx =
∫2
1
[xy +
y2
2
]10
dx =
∫2
1
(x +
1
2
)dx = 2.
25
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 1. Calcule∫∫
R(x + y) dxdy , onde R é o retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.
Solução. Pelo teorema de Fubini∫∫R
(x + y)dxdy =
∫1
0
(∫2
1
(x + y)dx
)dy .
Temos: ∫2
1
(x + y)dx =
[x2
2+ xy
]21
=
(4
2+ 2y
)−(1
2+ y
)=
3
2+ y .
Então, ∫∫R
(x + y)dxdy =
∫1
0
(3
2+ y
)dy =
[3
2y +
y2
2
]10
= 2.
Invertendo a ordem de integração, obtemos∫∫R
(x+y)dxdy =
∫2
1
[∫1
0
(x + y)dy
]dx =
∫2
1
[xy +
y2
2
]10
dx =
∫2
1
(x +
1
2
)dx = 2.
25
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 1. Calcule∫∫
R(x + y) dxdy , onde R é o retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.
Solução. Pelo teorema de Fubini∫∫R
(x + y)dxdy =
∫1
0
(∫2
1
(x + y)dx
)dy .
Temos: ∫2
1
(x + y)dx =
[x2
2+ xy
]21
=
(4
2+ 2y
)−(1
2+ y
)=
3
2+ y .
Então, ∫∫R
(x + y)dxdy =
∫1
0
(3
2+ y
)dy =
[3
2y +
y2
2
]10
= 2.
Invertendo a ordem de integração, obtemos∫∫R
(x+y)dxdy =
∫2
1
[∫1
0
(x + y)dy
]dx =
∫2
1
[xy +
y2
2
]10
dx =
∫2
1
(x +
1
2
)dx = 2.
25
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 2. Calcule
a)∫1
−1∫2
0xy2dxdy
∫1
−1
∫2
0
xy2dxdy =
∫1
−1
[∫2
0
xy2dx
]dy =
∫1
−1
[x2
2y2]20
dy =
∫1
−12y2dy =
4
3
b)∫2
0
∫1
−1 xy2dydx .
∫2
0
∫1
−1xy2dydx =
∫2
0
[∫1
−1xy2dy
]dx = 2
∫2
0
[∫1
0
xy2dy
]dx = 2
∫2
0
[xy3
3
]10
dx
=2
3
∫2
0
xdx =4
3
26
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 2. Calcule
a)∫1
−1∫2
0xy2dxdy
∫1
−1
∫2
0
xy2dxdy =
∫1
−1
[∫2
0
xy2dx
]dy =
∫1
−1
[x2
2y2]20
dy =
∫1
−12y2dy =
4
3
b)∫2
0
∫1
−1 xy2dydx .
∫2
0
∫1
−1xy2dydx =
∫2
0
[∫1
−1xy2dy
]dx = 2
∫2
0
[∫1
0
xy2dy
]dx = 2
∫2
0
[xy3
3
]10
dx
=2
3
∫2
0
xdx =4
3
26
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 2. Calcule
a)∫1
−1∫2
0xy2dxdy
∫1
−1
∫2
0
xy2dxdy =
∫1
−1
[∫2
0
xy2dx
]dy =
∫1
−1
[x2
2y2]20
dy =
∫1
−12y2dy =
4
3
b)∫2
0
∫1
−1 xy2dydx .
∫2
0
∫1
−1xy2dydx =
∫2
0
[∫1
−1xy2dy
]dx = 2
∫2
0
[∫1
0
xy2dy
]dx = 2
∫2
0
[xy3
3
]10
dx
=2
3
∫2
0
xdx =4
3
26
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 2. Calcule
a)∫1
−1∫2
0xy2dxdy
∫1
−1
∫2
0
xy2dxdy =
∫1
−1
[∫2
0
xy2dx
]dy =
∫1
−1
[x2
2y2]20
dy =
∫1
−12y2dy =
4
3
b)∫2
0
∫1
−1 xy2dydx .
∫2
0
∫1
−1xy2dydx =
∫2
0
[∫1
−1xy2dy
]dx = 2
∫2
0
[∫1
0
xy2dy
]dx = 2
∫2
0
[xy3
3
]10
dx
=2
3
∫2
0
xdx =4
3
26
VOLUME DE UM SOLIDO.
Seja f (x , y) integrável em B com f (x , y) ≥ 0 em B. Seja
A ={
(x , y , z) ∈ R3|(x , y) ∈ B, 0 ≤ z ≤ f (x , y)}
De�nimos o volume de A por
Vol(A) =
∫∫Bf (x , y)dxdy
EXEMPLO. f (x , y) = k, k constante, R ={
(x , y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
Vol(A) =
∫∫Rkdxdy =
∫ d
c
(∫ b
akdx
)dy =
∫ d
c(k(b − a)) dy = k(b − a)(d − c)
Se k > 0,∫∫
R kdxdy é o volume do paralelepipedo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d e 0 ≤ z ≤ k
27
VOLUME DE UM SOLIDO.
Seja f (x , y) integrável em B com f (x , y) ≥ 0 em B. Seja
A ={
(x , y , z) ∈ R3|(x , y) ∈ B, 0 ≤ z ≤ f (x , y)}
De�nimos o volume de A por
Vol(A) =
∫∫Bf (x , y)dxdy
EXEMPLO. f (x , y) = k, k constante, R ={
(x , y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
Vol(A) =
∫∫Rkdxdy =
∫ d
c
(∫ b
akdx
)dy =
∫ d
c(k(b − a)) dy = k(b − a)(d − c)
Se k > 0,∫∫
R kdxdy é o volume do paralelepipedo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d e 0 ≤ z ≤ k
27
VOLUME DE UM SOLIDO.
Seja f (x , y) integrável em B com f (x , y) ≥ 0 em B. Seja
A ={
(x , y , z) ∈ R3|(x , y) ∈ B, 0 ≤ z ≤ f (x , y)}
De�nimos o volume de A por
Vol(A) =
∫∫Bf (x , y)dxdy
EXEMPLO. f (x , y) = k, k constante, R ={
(x , y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
Vol(A) =
∫∫Rkdxdy =
∫ d
c
(∫ b
akdx
)dy =
∫ d
c(k(b − a)) dy = k(b − a)(d − c)
Se k > 0,∫∫
R kdxdy é o volume do paralelepipedo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d e 0 ≤ z ≤ k
27
VOLUME DE UM SOLIDO.
EXEMPLO 3. Calcule o volume do conjunto A de todos (x , y , z) tais que 0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x2 + y2
Vol(A) =
∫∫B
(x2 + y2
)dxdy =
∫1
0
[∫1
0
(x2 + y2
)dx
]dy =
∫1
0
[x3
3+ xy2
]10
dy =
∫1
0
[1
3+ y2
]dy
=
[1
3y +
y3
3
]10
=2
3.
28
VOLUME DE UM SOLIDO.
EXEMPLO 3. Calcule o volume do conjunto A de todos (x , y , z) tais que 0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x2 + y2
Vol(A) =
∫∫B
(x2 + y2
)dxdy =
∫1
0
[∫1
0
(x2 + y2
)dx
]dy =
∫1
0
[x3
3+ xy2
]10
dy =
∫1
0
[1
3+ y2
]dy
=
[1
3y +
y3
3
]10
=2
3.
28
VOLUME DE UM SOLIDO.
EXEMPLO 3. Calcule o volume do conjunto A de todos (x , y , z) tais que 0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x2 + y2
Vol(A) =
∫∫B
(x2 + y2
)dxdy =
∫1
0
[∫1
0
(x2 + y2
)dx
]dy =
∫1
0
[x3
3+ xy2
]10
dy =
∫1
0
[1
3+ y2
]dy
=
[1
3y +
y3
3
]10
=2
3.
28
TEOREMA DE FUBINI.
Teorema (de Fubini) 2
• Sejam c(x) e d(x) duas funções continuas tais que, c(x) ≤ d(x) ∀x ∈ [a, b]
• Seja f (x , y) continua no retângulo R = {(x , y) | a ≤ x ≤ b e c(x) ≤ y ≤ d(x)}.
Então ∫∫Bf (x , y)dxdy =
∫ b
a
[∫ d(x)
c(x)f (x , y)dy
]dx
29
TEOREMA DE FUBINI.
Teorema (de Fubini) 3
• Sejam a(x) e b(x) duas funções continuas tais que, a(y) ≤ b(y), ∀y ∈ [c, d ]
• Seja f (x , y) continua no retângulo R = {(x , y) | c ≤ y ≤ d e a(x) ≤ x ≤ b(x)}.
Então ∫∫Bf (x , y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b(y)
a(y)f (x , y)dx
]dy
30
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 5. Calcule∫∫
B(x − y)dxdy , onde B ={
(x , y) | x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0}
então
∫∫B
(x − y)dxdy =
∫1
0
[∫ √1−x2
−√
1−x2(x − y)dy
]dx
=
∫1
0
[xy − y2
2
]√1−x2
−√
1−x2
dx =
∫1
0
2x√
1− x2dx
31
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 5. Calcule∫∫
B(x − y)dxdy , onde B ={
(x , y) | x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0}
então
∫∫B
(x − y)dxdy =
∫1
0
[∫ √1−x2
−√
1−x2(x − y)dy
]dx
=
∫1
0
[xy − y2
2
]√1−x2
−√
1−x2
dx =
∫1
0
2x√
1− x2dx
31
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 5. Calcule∫∫
B(x − y)dxdy , onde B ={
(x , y) | x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0}
então
∫∫B
(x − y)dxdy =
∫1
0
[∫ √1−x2
−√
1−x2(x − y)dy
]dx
=
∫1
0
[xy − y2
2
]√1−x2
−√
1−x2
dx =
∫1
0
2x√
1− x2dx
31
TEOREMA DE FUBINI.
Façamos a mudança de variável
u = 1− x2; du = −2xdxx = 0; u = 1
x = 1; u = 0
Assim, ∫1
0
2x√
1− x2dx =
∫1
0
√udu =
2
3
Portanto, ∫∫B
(x − y)dxdy =2
3
32
TEOREMA DE FUBINI.
Vamos, agora, calcular∫∫
B(x − y)dxdy invertendo a ordem de integração.
Então
∫∫B
(x − y)dxdy =
∫1
−1
[∫ √1−y2
0
(x − y)dx
]dy =
∫1
−1
[ x22− xy
]√1−y2
0
dy
=
∫1
−1
(1− y2
2− y√
1− y2)dy =
∫1
−1
1− y2
2dy =
∫1
0
(1− y2
)dy =
2
3.
33
TEOREMA DE FUBINI.
Vamos, agora, calcular∫∫
B(x − y)dxdy invertendo a ordem de integração.
Então
∫∫B
(x − y)dxdy =
∫1
−1
[∫ √1−y2
0
(x − y)dx
]dy =
∫1
−1
[ x22− xy
]√1−y2
0
dy
=
∫1
−1
(1− y2
2− y√
1− y2)dy =
∫1
−1
1− y2
2dy =
∫1
0
(1− y2
)dy =
2
3.
33
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto A de todos (x , y , z) tais que x ≥ 0, y ≥0, x + y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1− x2.
Vol(A) =
∫∫Bf (x , y)dxdy ,
onde
f (x , y) = 1− x2
e B è o triangulo
B = {(x , y) | x ≥ 0, y ≥ 0 e x + y ≤ 1}
34
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto A de todos (x , y , z) tais que x ≥ 0, y ≥0, x + y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1− x2.
Vol(A) =
∫∫Bf (x , y)dxdy ,
onde
f (x , y) = 1− x2
e B è o triangulo
B = {(x , y) | x ≥ 0, y ≥ 0 e x + y ≤ 1}
34
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto A de todos (x , y , z) tais que x ≥ 0, y ≥0, x + y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1− x2.
Vol(A) =
∫∫Bf (x , y)dxdy ,
onde
f (x , y) = 1− x2
e B è o triangulo
B = {(x , y) | x ≥ 0, y ≥ 0 e x + y ≤ 1}
34
TEOREMA DE FUBINI.
A área da região hachurada è dada por:∫1−x0
(1− x2
)dy
=(1− x2
)(1− x) = 1− x − x2 + x .
Vol(A) =
∫∫Bf (x , y)dxdy =
∫∫B
(1− x2
)dxdy =
∫1
0
[∫1−x
0
(1− x2
)dy
]dx
=
∫1
0
(1− x − x2 + x3
)dx =
5
12.
35
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 7. Calcule∫∫
B xydxdy , onde B é o triângulo de vértices (−1, 0), (0, 1) e
(1, 0)
Como a(y) = y − 1 e b(y) = 1− y , resulta∫ b(y)
a(y)xy dx =
∫1−y
y−1xydx =
[x2
2y
]−1−y
y−1=
(1− y)2y
2−
(y − 1)2y
2= 0
Assim, ∫∫Bxy dxdy =
∫1
0
[∫ b(y)
a(y)xy dx
]dy = 0
36
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 7. Calcule∫∫
B xydxdy , onde B é o triângulo de vértices (−1, 0), (0, 1) e
(1, 0)
Como a(y) = y − 1 e b(y) = 1− y , resulta∫ b(y)
a(y)xy dx =
∫1−y
y−1xydx =
[x2
2y
]−1−y
y−1=
(1− y)2y
2−
(y − 1)2y
2= 0
Assim, ∫∫Bxy dxdy =
∫1
0
[∫ b(y)
a(y)xy dx
]dy = 0
36
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 7. Calcule∫∫
B xydxdy , onde B é o triângulo de vértices (−1, 0), (0, 1) e
(1, 0)
Como a(y) = y − 1 e b(y) = 1− y , resulta∫ b(y)
a(y)xy dx =
∫1−y
y−1xydx =
[x2
2y
]−1−y
y−1=
(1− y)2y
2−
(y − 1)2y
2= 0
Assim, ∫∫Bxy dxdy =
∫1
0
[∫ b(y)
a(y)xy dx
]dy = 0
36
TEOREMA DE FUBINI.
Vamos, agora, calcular a integral invertendo a ordem de integração
∫∫B
xydxdy =
∫∫B1
xydxdy +
∫∫B2
xydxdy
∫∫B1
xydxdy =
∫ 0
−1
[∫ 1+x
0
xydy
]dx =
∫ 0
−1
x(1 + x)2
2dx
e ∫∫B2
xydxdy =
∫ 1
0
[∫ 1−x
0
xydy
]dx =
∫ 1
0
x(1− x)2
2dx.
Portanto ∫∫B
xydxdy =1
2
[∫ 0
−1
(x + 2x2 + x3
)dx +
∫ 1
0
(x − 2x2 + x3
)dx
]= 0
37
TEOREMA DE FUBINI.
Vamos, agora, calcular a integral invertendo a ordem de integração
∫∫B
xydxdy =
∫∫B1
xydxdy +
∫∫B2
xydxdy
∫∫B1
xydxdy =
∫ 0
−1
[∫ 1+x
0
xydy
]dx =
∫ 0
−1
x(1 + x)2
2dx
e ∫∫B2
xydxdy =
∫ 1
0
[∫ 1−x
0
xydy
]dx =
∫ 1
0
x(1− x)2
2dx.
Portanto ∫∫B
xydxdy =1
2
[∫ 0
−1
(x + 2x2 + x3
)dx +
∫ 1
0
(x − 2x2 + x3
)dx
]= 0
37
TEOREMA DE FUBINI.
Vamos, agora, calcular a integral invertendo a ordem de integração
∫∫B
xydxdy =
∫∫B1
xydxdy +
∫∫B2
xydxdy
∫∫B1
xydxdy =
∫ 0
−1
[∫ 1+x
0
xydy
]dx =
∫ 0
−1
x(1 + x)2
2dx
e ∫∫B2
xydxdy =
∫ 1
0
[∫ 1−x
0
xydy
]dx =
∫ 1
0
x(1− x)2
2dx.
Portanto ∫∫B
xydxdy =1
2
[∫ 0
−1
(x + 2x2 + x3
)dx +
∫ 1
0
(x − 2x2 + x3
)dx
]= 0
37
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 8. Calcule∫∫
B e−2dxdy , onde B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 1) e
(0, 1).
∫∫Be−y2dxdy =
∫1
0
[∫ y
0
e−y2dx
]dy =
∫1
0
[∫ b(y)
0
e−y2dx
]dy =
∫1
0
ye−y2dy =
=
[−1
2e−y2
]1
0
=1
2
(1− e−1
)
38
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 8. Calcule∫∫
B e−2dxdy , onde B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 1) e
(0, 1).
∫∫Be−y2dxdy =
∫1
0
[∫ y
0
e−y2dx
]dy =
∫1
0
[∫ b(y)
0
e−y2dx
]dy =
∫1
0
ye−y2dy =
=
[−1
2e−y2
]1
0
=1
2
(1− e−1
)
38
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 9. Inverta a ordem de integração e calcule∫1
0
[∫1√y sen x3dx
]dy
Observamos que ∫1
0
[∫1
√y
sen x3dx
]dy =
∫∫B
sen x3dxdy
onde
B ={
(x , y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ 1,√y ≤ x ≤ 1
}
∫∫B
sen x3dxdy =
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx ,
39
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 9. Inverta a ordem de integração e calcule∫1
0
[∫1√y sen x3dx
]dy
Observamos que ∫1
0
[∫1
√y
sen x3dx
]dy =
∫∫B
sen x3dxdy
onde
B ={
(x , y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ 1,√y ≤ x ≤ 1
}
∫∫B
sen x3dxdy =
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx ,
39
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 9. Inverta a ordem de integração e calcule∫1
0
[∫1√y sen x3dx
]dy
Observamos que ∫1
0
[∫1
√y
sen x3dx
]dy =
∫∫B
sen x3dxdy
onde
B ={
(x , y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ 1,√y ≤ x ≤ 1
}
∫∫B
sen x3dxdy =
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx ,
39
TEOREMA DE FUBINI.
Portanto
∫1
0
[∫1
√y
sen x3dx
]dy =
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx ,
onde ∫ x2
0
sen x3dy = sen x3∫ x2
0
dy = sen x3[y ]x2
0 = x2 sen x3.
Portanto
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx =
∫1
0
x2 sen x3dx =
[−1
3cos x3
]1
0
=1
3(1− cos 1)
40
TEOREMA DE FUBINI.
Portanto
∫1
0
[∫1
√y
sen x3dx
]dy =
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx ,
onde ∫ x2
0
sen x3dy = sen x3∫ x2
0
dy = sen x3[y ]x2
0 = x2 sen x3.
Portanto
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx =
∫1
0
x2 sen x3dx =
[−1
3cos x3
]1
0
=1
3(1− cos 1)
40
TEOREMA DE FUBINI.
Portanto
∫1
0
[∫1
√y
sen x3dx
]dy =
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx ,
onde ∫ x2
0
sen x3dy = sen x3∫ x2
0
dy = sen x3[y ]x2
0 = x2 sen x3.
Portanto
∫1
0
[∫ x2
0
sen x3dy
]dx =
∫1
0
x2 sen x3dx =
[−1
3cos x3
]1
0
=1
3(1− cos 1)
40
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 10. Inverta a ordem de integração na integral∫1
0
[∫√2−x2
x f (x , y)dy
]dx ,
onde f (x , y) é suposta continua em R2.
∫1
0
[∫ √2−x2
xf (x , y)dy
]dx =
∫Bf (x , y)dydx
41
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 10. Inverta a ordem de integração na integral∫1
0
[∫√2−x2
x f (x , y)dy
]dx ,
onde f (x , y) é suposta continua em R2.
∫1
0
[∫ √2−x2
xf (x , y)dy
]dx =
∫Bf (x , y)dydx
41
TEOREMA DE FUBINI.
∫Bf (x , y)dydx =
∫∫B1
f (x , y)dxdy +
∫∫B2
f (x , y)dxdy
Onde∫∫B1
f (x , y)dxdy =
∫1
0
[∫ y
0
f (x , y)dx
]dy e
∫∫B2
f (x , y)dxdy =
∫ √2
1
[∫ √2−y2
0
f (x , y)dx
]dy
Portanto
=
∫1
0
[∫ √2−x2
xf (x , y)dy
]dx =
∫1
0
[∫ y
0
f (x , y)dx
]dy+
∫ √2
1
[∫ √2−y2
0
f (x , y)dx
]dy
42
TEOREMA DE FUBINI.
∫Bf (x , y)dydx =
∫∫B1
f (x , y)dxdy +
∫∫B2
f (x , y)dxdy
Onde∫∫B1
f (x , y)dxdy =
∫1
0
[∫ y
0
f (x , y)dx
]dy e
∫∫B2
f (x , y)dxdy =
∫ √2
1
[∫ √2−y2
0
f (x , y)dx
]dy
Portanto
=
∫1
0
[∫ √2−x2
xf (x , y)dy
]dx =
∫1
0
[∫ y
0
f (x , y)dx
]dy+
∫ √2
1
[∫ √2−y2
0
f (x , y)dx
]dy
42
TEOREMA DE FUBINI.
∫Bf (x , y)dydx =
∫∫B1
f (x , y)dxdy +
∫∫B2
f (x , y)dxdy
Onde∫∫B1
f (x , y)dxdy =
∫1
0
[∫ y
0
f (x , y)dx
]dy e
∫∫B2
f (x , y)dxdy =
∫ √2
1
[∫ √2−y2
0
f (x , y)dx
]dy
Portanto
=
∫1
0
[∫ √2−x2
xf (x , y)dy
]dx =
∫1
0
[∫ y
0
f (x , y)dx
]dy+
∫ √2
1
[∫ √2−y2
0
f (x , y)dx
]dy
42
TEOREMA DE FUBINI.
∫Bf (x , y)dydx =
∫∫B1
f (x , y)dxdy +
∫∫B2
f (x , y)dxdy
Onde∫∫B1
f (x , y)dxdy =
∫1
0
[∫ y
0
f (x , y)dx
]dy e
∫∫B2
f (x , y)dxdy =
∫ √2
1
[∫ √2−y2
0
f (x , y)dx
]dy
Portanto
=
∫1
0
[∫ √2−x2
xf (x , y)dy
]dx =
∫1
0
[∫ y
0
f (x , y)dx
]dy+
∫ √2
1
[∫ √2−y2
0
f (x , y)dx
]dy
42
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 11. Utilizando integral dupla, calcule a área da região compreendida entre
os grá�cos das funções y = x e y = −x2 + x + 1, com −1 ≤ x ≤ 1
Area (B) =
∫∫Bdxdy
∫∫Bdxdy =
∫1
−1
[∫ −x2+x+1
xdy
]dx =
∫1
−1
([y ]−x2+x+1
x
)dx =
∫1
−1−x2 + 1dx =
4
3.
43
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 11. Utilizando integral dupla, calcule a área da região compreendida entre
os grá�cos das funções y = x e y = −x2 + x + 1, com −1 ≤ x ≤ 1
Area (B) =
∫∫Bdxdy
∫∫Bdxdy =
∫1
−1
[∫ −x2+x+1
xdy
]dx =
∫1
−1
([y ]−x2+x+1
x
)dx =
∫1
−1−x2 + 1dx =
4
3.
43
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 11. Utilizando integral dupla, calcule a área da região compreendida entre
os grá�cos das funções y = x e y = −x2 + x + 1, com −1 ≤ x ≤ 1
Area (B) =
∫∫Bdxdy
∫∫Bdxdy =
∫1
−1
[∫ −x2+x+1
xdy
]dx =
∫1
−1
([y ]−x2+x+1
x
)dx =
∫1
−1−x2 + 1dx =
4
3.
43
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 11. Utilizando integral dupla, calcule a área da região compreendida entre
os grá�cos das funções y = x e y = −x2 + x + 1, com −1 ≤ x ≤ 1
Area (B) =
∫∫Bdxdy
∫∫Bdxdy =
∫1
−1
[∫ −x2+x+1
xdy
]dx =
∫1
−1
([y ]−x2+x+1
x
)dx =
∫1
−1−x2 + 1dx =
4
3.
43
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 12. Inverta a ordem de integração na integral∫3
0
[∫4x−x2
xf (x , y)dy
]dx
a região de integração é o conjunto
B ={
(x , y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 3 e x ≤ y ≤ 4x − x2}
Precisamos expressar x em função de y . Temos
y = 4x − x2 ⇔ x2 − 4x + y = 0
44
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 12. Inverta a ordem de integração na integral∫3
0
[∫4x−x2
xf (x , y)dy
]dx
a região de integração é o conjunto
B ={
(x , y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 3 e x ≤ y ≤ 4x − x2}
Precisamos expressar x em função de y . Temos
y = 4x − x2 ⇔ x2 − 4x + y = 0
44
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 12. Inverta a ordem de integração na integral∫3
0
[∫4x−x2
xf (x , y)dy
]dx
a região de integração é o conjunto
B ={
(x , y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 3 e x ≤ y ≤ 4x − x2}
Precisamos expressar x em função de y . Temos
y = 4x − x2 ⇔ x2 − 4x + y = 0
44
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 12. Inverta a ordem de integração na integral∫3
0
[∫4x−x2
xf (x , y)dy
]dx
a região de integração é o conjunto
B ={
(x , y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 3 e x ≤ y ≤ 4x − x2}
Precisamos expressar x em função de y . Temos
y = 4x − x2 ⇔ x2 − 4x + y = 044
TEOREMA DE FUBINI.
Segue que
x = 2±√
4− y
∫∫Bf (x , y)dydx =
∫3
0
[∫ y
2−√4−y
f (x , y)dx
]dy +
∫4
3
[∫2+√4−y
2−√4−y
f (x , y)dx
]dy
45
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 13. Inverta a ordem de integração na integral∫ π
0
[∫ sen x
0
f (x , y)dy
]dx
A região de integração é o conjunto
B = {(x , y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sen x}
Precisamos expressar x em função de y .
46
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 13. Inverta a ordem de integração na integral∫ π
0
[∫ sen x
0
f (x , y)dy
]dx
A região de integração é o conjunto
B = {(x , y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sen x}
Precisamos expressar x em função de y .
46
TEOREMA DE FUBINI.
EXEMPLO 13. Inverta a ordem de integração na integral∫ π
0
[∫ sen x
0
f (x , y)dy
]dx
A região de integração é o conjunto
B = {(x , y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sen x}
Precisamos expressar x em função de y .
46
TEOREMA DE FUBINI.
y = sen x , 0 6 x 6π
2⇔ x = arcsen y , 0 ≤ y ≤ 1
Logo, ∫ π
0
[∫ sen x
0
f (x , y)dy
]dx =
∫1
0
[∫ π−arcsen y
arcsen yf (x , y)dx
]dy .
47
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