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LimitesLimites
Dayse Batistus
Sem o Cálculo x Com o CálculoSem o Cálculo x Com o Cálculo
Sem o Cálculo x Com o CálculoSem o Cálculo x Com o Cálculo
Sem o Cálculo x Com o CálculoSem o Cálculo x Com o Cálculo
Sem o Cálculo x Com o CálculoSem o Cálculo x Com o Cálculo
LimitesLimites
Objetivo: Dada a função Dada a função y=f(x), y=f(x), verificar verificar qual o comportamento da função quando a qual o comportamento da função quando a variável independente variável independente xx se aproxima de um se aproxima de um
valor específico valor específico a.a.
Qual o comportamento da função f(x)=xQual o comportamento da função f(x)=x22--x+4 quando a variável x se aproxima do x+4 quando a variável x se aproxima do valor 2 ?valor 2 ?
Exemplo 1:Exemplo 1:
Exemplo 1: Exemplo 1:
F(x) 5,71 5,9701 5,997001
6 6,003001
6,0301 6,31
x 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1
f(x)=x2-x+4
Exemplo 1: Exemplo 1: f(x)=xf(x)=x22-x+4 -x+4
Exemplo 1:Exemplo 1:
Exemplo 1:Exemplo 1:
6)4(lim 2
2
xxx
Exemplo 2:Exemplo 2: 11lim
0 x
x
x
F(x) 1,9486 1,99498 1,999499 ? 2,0004998 2,004987 2,04880
X -0,1 -0,01 -0,001 0 0,001 0,01 0,1
Exemplo 2:Exemplo 2: 11lim
0 x
x
x
Exemplo 2:Exemplo 2: 11lim
0 x
x
x
Exemplo 2:Exemplo 2: 11lim
0 x
x
x
2)(lim0
xfx
Exemplo 3:Exemplo 3: x
xsen
x
)(lim
0
F(x) 0,99833 0,999983 0,99999983 ? 0,99999983 0,999983 0,99833
X -0,1 -0,01 -0,001 0 0,001 0,01 0,1
Exemplo 3:Exemplo 3: x
xsen
x
)(lim
0
Exemplo 3:Exemplo 3: x
xsen
x
)(lim
0
Exemplo 3:Exemplo 3: x
xsen
x
)(lim
0
1)(lim0
xfx
Exemplo 4:Exemplo 4:
xsen
x
0
lim
F(x) 0 0 0 ? 0 0 0
X -0,1 -0,01 -0,001 0 0,001 0,01 0,1
?0)(lim0
xfx
Exemplo 4:Exemplo 4:
xsen
x
0
lim
Exemplo 4:Exemplo 4:
xsen
x
0
lim
?0)(lim0
xfx
Exemplo 4:Exemplo 4:
xsen
x
0
lim
existe não)(lim0
xfx
A justificativa para esse A justificativa para esse resultado será resultado será abordada no decorrer abordada no decorrer das aulas.das aulas.
Limites LateraisLimites Laterais
Objetivo: Dada a função y=f(x), verificar Dada a função y=f(x), verificar qual o comportamento da função quando a qual o comportamento da função quando a variável independente x se aproxima de um variável independente x se aproxima de um
valor valor aa pela esquerda e pela direita pela esquerda e pela direita
)(lim xfax
)(lim xfax
Notação:
Exemplo 1:Exemplo 1: x
x
x
||lim
0
F(x) -1 -1 -1 ? 1 1 1
X -0,1 -0,01 -0,001 0 0,001 0,01 0,1
Exemplo 1:Exemplo 1: x
x
x
||lim
0
1||
lim0
x
x
x
Exemplo 1:Exemplo 1: x
x
x
||lim
0
1||
lim0
x
x
x
Exemplo 1:Exemplo 1: x
x
x
||lim
0
1||
lim0
x
x
x
1||
lim0
x
x
x
existe não||
lim0
x
x
x
Logo:Logo:
Exemplo 2:Exemplo 2:
Considere a função f definida por
2 se,1)2(
2 se,22)( 2 xx
xxxf
Exemplo 2:Exemplo 2: )(lim2
xfx
F(x) 5,8 5,98 5,998 ? -0,999999 -0,9999 -0,99
X 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1
2 se,1)2(
2 se,22)( 2 xx
xxxf
Exemplo 2:Exemplo 2:
6)(lim2
xfx
)(lim2
xfx
2 se,1)2(
2 se,22)( 2 xx
xxxf
Exemplo 2:Exemplo 2: )(lim2
xfx
1)(lim2
xfx
2 se,1)2(
2 se,22)( 2 xx
xxxf
Exemplo 2:Exemplo 2: )(lim2
xfx
6)(lim2
xf
x
1)(lim2
xfx
Logo:Logo:
existe não)(lim2
xfx
Limites InfinitosLimites Infinitos
Objetivo: Dada a função y=f(x), verificar Dada a função y=f(x), verificar quais os valores de x no qual a função quais os valores de x no qual a função
cresce ou decresce sem limitaçãocresce ou decresce sem limitação
Exemplo 1:Exemplo 1: xx
1lim
0
F(x) -10 -100 -1.000 ? 1.000 100 10
X -0,1 -0,01 -0,001 0 0,001 0,01 0,1
Exemplo 1:Exemplo 1: xx
1lim
0
