Matemática 2 Pré vestibular Frei Seráfico Prof.: Thiago Azevedo

Cilindro

Matemática 2Pré vestibular Frei SeráficoProf.: Thiago Azevedo

Cilindro

gg

eixo

90º90ºBase

Base

O**

O**R

h

A Fig. mostra um Cilindro Oblíquo.

R é raio da baseh é alturag é geratriz

CilindroCilindro Circular RetoCilindro Circular Reto

OO**

g gh1) o eixo é perpendicular

aos planos das bases.

R DC

ou Cilindro de Revoluçãoou Cilindro de Revolução

R

BAOO’’

**

2) g = h

Cilindro

A B

D C

A B

D C

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

Cilindro

A B

D C

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro

Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro.

2R

SeçãoSeçãoMeridianaMeridianaA

B

C

DOO**

OO’’

**h Se ABCDSe ABCD

é um é um quadrado quadrado

cilindro cilindro eqüiláteroeqüilátero

Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em queque h = 2Rh = 2R

Seção Seção MeridianaMeridiana

Cilindro

Planificação :

Rx

h

Cilindro

Planificação :

Rx

h

Cilindro

Planificação :

Rx

h

Cilindro

Planificação :

Rx

h

Cilindro

Planificação :

R

h

x

Cilindro

Planificação :

R

h

x

Cilindro

Planificação :

R

h

x

Cilindro

Planificação :

R

h

x

Cilindro

Planificação :

R

h

x

Cilindro

Planificação :

R

h

x

Cilindro

Planificação :

R

h

x

Cilindro

Planificação :

R

h

x

Cilindro

Planificação :

R

h

x

Cilindro

Planificação :

R

h

x

Cilindro

Planificação :

R

h

x

Cilindro

Planificação :

R

h

x

Cilindro

Planificação :

R

h

x

Cilindro

Planificação :

R

h

x

Cilindro

Planificação :

R

h

x

Cilindro

Planificação :

R

h

x

Cilindro

Planificação :

R

h

x

R

R

2R

Cilindro Áreas e VolumesÁreas e Volumes

AALL = 2 = 2 Rh RhAALL = 2 = 2 Rh Rh

At = AL+ 2

Ab

At = AL+ 2

Ab

V = R R22. hV = R R22. h

Área Lateral( AL )

Área Total( At )

Volume( V )

AAbb = = R R22AAbb = = R R22Área Base( Ab )

OS PRISMAS E SEUS ELEMENTOS

Região espacial dada pela união de dois polígonos paralelos (BASES) e congruentes através de segmentos de reta.

a

b

c

aresta lateral

Face lateral

aresta da baseBase

Obs: a, b e c são as dimensões do prisma.

Tipos de prismas retos

Prisma triangular

Prisma Quadrangular

Prisma Hexagonal

Nos prismas retos as faces laterais são retângulos.

Não importa como sejam os prismas, as faces sempre são paralelogramos, todo retângulo é um paralelogramo.

Prisma Pentagonal

Polígonos Regulares

Quando o prisma é reto e suas bases são polígonos regulares, o prisma é

denominado regular.

Fórmulas dos Prismas

face) cada de (Áreafaces) de (nºA lateral

baselateraltotal A.2AA

.hAV base

Área Lateral

Área Total

Volume

PITÁGORAS

PITÁGORAS

Caso Especial: Paralelepípedo

a

b

c

c

bd

Dc

Note que em um paralelepípedo podemos tomar qualquer uma das

faces com base.

Quando a base é uma região em forma de paralelogramo, temos um prisma particular chamado paralelepípedo.

cbcabaAt ..2..2..2

At = 2.a.b + 2.a.c + 2.b.c

Área Total

V = Ab.h V= a.b.c

Volume

d2 = a2 + b2

Diagonal da base

D2 = c2 + d2

Diagonal do Paralelepípedo

D2 = a2 + b2 + c2

V = AB . HV = a2 . a

Caso Especial : Cubo

a

a

a

a

a

a

a

d

D

Todo quadrado é um retângulo. Todo retângulo é um paralelogramo. Então, todo quadrado é um paralelogramo.

Todo cubo é um paralelepípedo, mas nem todo paralelepípedo é

cubo. (Somente quando a = b = c).

Cubo é um prisma em que todas as bases são quadrados.

AB = a² AL = 4a²

AT = 6a² V = a³

Área da Base (AB) Área Lateral (AL)

Área Total (AT) Volume (V)

2d a

3D a

Diagonal da Base (d)

Diagonal do Cubo (D)

UFMG- Observe a figura:

Essa figura representa uma piscina cujo fundo é inclinado. As faces ABCD e EFGH são trapézios retângulos e as demais são retângulos. Determine o volume total da piscina;

(UFV) Um recipiente, contendo água, tem a forma de um paralelepípedo retangular, e mede 1,20m de comprimento, 0,50m de largura e 2,00m de altura. Uma pedra de forma irregular é colocada no recipiente, ficando totalmente coberta pela água. Observa-se, então, que o nível da água sobe 1m. Assim é CORRETO concluir que o volume da pedra, em m³, é?

O**

h

90º90º

A Fig. mostra um Cone Oblíquo.

V é vérticeR é raio da baseh é alturag é geratriz

R

V

g’ g

eixo

Cone Circular Reto

OO

**

g2) No VOA :

AB

V

ou Cone de Revolução

gg2 2 = h= h22 + R + R22

R

h

1) O eixo é perpendicular ao plano da base.

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados. A

B C

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.A

B C

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

4

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

O VBA é a seção meridiana do cone.

SeçãoSeçãoMeridianaMeridiana

OO** AB

V

g

2R

Seção Seção MeridianaMeridiana

Se o triângulo Se o triângulo VBA é VBA é

eqüilátero, o eqüilátero, o cone é um cone é um

Cone Cone EqüiláteroEqüilátero..

g=2Rg=2R

Planificação do Cone Reto

Rx

h

g

Rx

h

g

Planificação do Cone Reto

Rx

h

g

Planificação do Cone Reto

Rx

h

g

Planificação do Cone Reto

Rx

h

g

Planificação do Cone Reto

Rx

h

g

Planificação do Cone Reto

Rx

h

g

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

Planificação do Cone Reto :

x

h

g

R

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

g

2RR

Angulo

==2R g

Planificação do Cone Reto

AALL = = R g R g AALL = = R g R g

At = AL+ 2

Ab

At = AL+ 2

Ab

Área Lateral( AL )

Área Total( At )

Volume( V )

AAbb = = R R22 AAbb = = R R22Área Base( Ab )

Áreas e VolumeÁreas e Volume

V = R R22 hV = R R22 h

1 1 33