Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 2ª Série TEORIA DAS PROBABILIDADES

Matemática e suas Tecnologias - MatemáticaEnsino Médio, 2ª Série

TEORIA DAS PROBABILIDADES

SEQUÊNCIA DIDÁTICA

MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades

A Mônica e seus amigos moram no mesmo bairro. A distância da casa da Mônica (vermelho) para a casa do Horácio (verde), Cebolinha (preto), Magali (amarelo), Cascão (marrom) e Bidú (azul) é de quatro quarteirões, conforme ilustra a figura. A Mônica costumava visitar seus amigos durante os dias da semana em

uma ordem pré-estabelecida: segunda-feira, Horácio; terça-feira, Cebolinha; quarta-feira, Magali; quinta-feira, Cascão e sexta-feira, Bidú. Para tornar mais emocionantes os encontros, a turma combinou que o acaso escolhesse o amigo a ser visitado pela Mônica. Para isso, na saída de sua casa e a cada cruzamento, Mônica deve jogar uma moeda; se sair cara (C), andará um quarteirão para o Norte, se sair coroa (X), um quarteirão para o Leste. Cada jogada representa um quarteirão de percurso. Mônica deve jogar a moeda quatro vezes para poder chegar à casa dos amigos. (Cazorla e Santana, 2006, 44)

PASSEIOS ALEATÓRIOS DA MÔNICA

Após ler a história, responda:

1) Qual é a diferença entre a forma antiga da Mônica visitar seus amigos e a nova forma?

2) Quais são os possíveis resultados ao lançar uma moeda?

3) Qual é a chance de sair cara? E de sair coroa?

4) Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?( ) Não. ( )Sim.

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5) Para Mônica visitar um amigo, tem que lançar a moeda quatro vezes, que denominamos de experimento. Se sair cara (C), Mônica andará um quarteirão para o Norte, se sair coroa (X), um quarteirão para o Leste. Vocês devem repetir esse experimento 30 vezes e anotar os resultados no Quadro 1. Por exemplo, se sair a sequência: cara, cara, coroa, cara, anotar na coluna a sequência: CCXC e, na coluna do amigo visitado: Cebolinha

Repetição Sequência Amigo visitado Repetição Sequência Amigo visitado

01 16

02 17

03 18

04 19

05 20

06 21

07 22

08 23

09 24

10 25

11 26

12 27

13 28

14 29

15 30

6) Quem tem mais chance de ser visitado(a) Magali ou Horácio? 7) Existe a chance da Mônica não visitar nenhum amigo?

( ) Não. ( ) Sim. 8) Depois de ter realizado o experimento, vocês mudariam de opinião na seguinte questão: “Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?” Pense na sua resposta considerando a questão 4. ( ) Não. ( ) Sim.

Por quê?

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9) Sistematizem os resultados do Quadro 1 na Tabela 1, chamada de

Tabela de Distribuição de Frequência – TDF.

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Tabela 1. Distribuição do número de visitas que cada amigo recebeu da MônicaAmigo N° de vezes que foi visitado Frequência relativa

(hi)Portentagem

Horácio

Cebolinha

Magali

Cascão

Bidu

Total 30 1,00 100,00Onde hi = fi/30, que representa uma estimativa da probabilidade

10) Depois que vocês organizaram os resultados na TDF, podem mudar de opinião na seguinte questão: “todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?”. Pense na sua resposta considerando a questão 8. ( ) Não ( ) Sim. Por quê?

11) Na malha quadriculada, construam um gráfico que apresente os dados da frequência relativa, constante da Tabela 1. Depois, comparem seus resultados com os dos seus colegas. Esses são iguais? ( ) Não ( ) Sim. Por quê?

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12) Completem a árvore de possibilidades, indicando a sequência sorteada, o número de caras e o amigo visitado. Observe que cada ramo se desdobra em dois novos ramos (um para cara e outro para coroa) a cada sorteio:

Ponto de partida

Primeiro sorteio

Segundo sorteio

Terceiro sorteio

Quarto sorteio

Sequência sorteada

N° de caras Amigo visitado

Mônica

13) E agora, quantos caminhos existem ao todo?

14) Existe alguma relação entre o(s) caminho(s) que leva(m) a cada um dos

amigos. Caso exista, que relação é observada para o(s) caminho(s) que

leva(m) a:

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a. Horácio_____________________

b. Cebolinha___________________

c. Magali______________________

d. Cascão____________________

e. Bidu______________________

15) Depois que vocês analisaram quantos caminhos levam a Mônica para a

casa de cada amigo, podem mudar de opinião na seguinte questão: “todos

os amigos têm a mesma chance de serem visitados?”. Pense na sua

resposta considerando a questão 10.

( ) Não ( ) Sim. Por quê?

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16) Analisando e sistematizando os resultados da árvore de possibilidades,

preencham a Tabela 2:

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Tabela 2. Distribuição e probabilidade da visita da Mônica a seus amigosAmigo N° de caminhos N° de caminhos / total de

caminhos (fração)Probabilidade

(Pi)*

Horácio

Cebolinha

Magali

Cascão

Bidu

Total

(*) efetuar a divisão para expressar na forma decimal.

17) Preencham a Tabela 3 com os resultados da Tabela 1 e 2:

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Tabela 3. Quadro comparativo da atribuição de probabilidadesAmigo Frequência relativa (hi) Probabilidade

Horácio

Cebolinha

Magali

Cascão

Bidu

Total

18) Qual é a diferença entre essas duas formas de atribuir probabilidades?

19) Analisando os resultados, qual dessas duas maneiras de atribuir

probabilidades é mais adequada? Por quê?

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20) Na grade de baixo da malha, representem os dados da probabilidade (Pi)

constante na Tabela 3. Comparem seus resultados com as outras duplas. Esses

são iguais?

( )Sim ( )Não.

Por quê?

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SITUAÇÃO – PROBLEMA

Maria Eduarda fez uma fezinha na Loteria, apostando com o cartão da figura

abaixo:

Qual a chance dos

números escolhidos por

Maria Eduarda serem os

sorteados?

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Imagem: Nubarron / GNU Free Documentation License

Para resolver situações dessa natureza, recorremos ao

estudo das Probabilidades.

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A teoria das probabilidades é o ramo da Matemática que

pesquisa e desenvolve modelos, visando estudar

experimentos ou fenômenos aleatórios.

PROBABILIDADE

Experimento aleatório

É todo experimento que, mesmo repetido várias

vezes, sob condições semelhantes, apresenta

resultados imprevisíveis, dentre os resultados

possíveis.

Exemplos:

a) Lançamento de um

dado;

b) Lançamento de uma

moeda;

c) Loteria de números.

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Fenômenos

• Lançamento de uma moeda;

• lançamento de um dado;

• escolha casual de um caminho;

• extracção de uma carta num baralho.

• Furar um balão cheio;

• encher um balde;

• calcular a área de

quadrado de lado 7 cm;

• escrever uma carta.

RESULTADO DESCONHECIDO RESULTADO CONHECIDO

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Problema

Lança-se um dado de seis faces e lê-se o número da face

voltada para cima. Qual a chance de se obter um número

ímpar?

Resultados possíveis ao lançar um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Número ímpar = { 1, 3, 5 }

Probabilidade = %505,02

1

6

3

EVENTO ESPAÇO AMOSTRAL

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Essa razão foi estabelecida pelo matemático e astrônomo francês Pierre

Laplace (1749-1827).

Seja um evento A de um espaço amostral finito S (não-

vazio). A probabilidade de ocorrer o evento A é a razão entre

o número de elementos de A e o número de elementos de S.

CONCEITUANDO PROBABILIDADE

)(

)(

possíveis casos de nº

favoráveis casos denº

Sn

AnAP

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01. Jogando 2 dados simultaneamente, determine:

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

(1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)

(2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)

(3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)

(4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)

(5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)

(6,6)

a) O conjunto dos resultados possíveis (espaço amostral).

b) Qual é a probabilidade de sair dois números maiores que 4? 9

1

36

4P

APLICAÇÕES

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02. Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada, um prato principal e uma sobremesa?

Prato· Arroz com camarão· Bife acebolado· Lasanha

Sobremesa:· Frutas · Pudim

Entrada· Sopa· Camarão ao alho e óleo Entrada Prato Sobremesa Refeição

S

C

A

B

L

A

B

L

FPFPFP

FPFPFP

( S,A,F )( S,A,P )( S,B,F )( S,B,P )

( S,L,P )( S,L,F )

( C,A,F )( C,A,P )( C,B,F )( C,B,P )( C,L,F )( C,L,P )

12 refeições diferentes!

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03. Escolhida uma refeição ao acaso, qual é a probabilidade de comer arroz ou fruta?

3

2

12

8P

Qual é a probabilidade de não comer lombo nem pudim?

Entrada Prato Sobremesa Refeição

S

C

A

B

L

A

B

L

FPFPFP

FPFPFP

( S,A,F )( S,A,P )( S,B,F )( S,B,P )

( S,L,P )( S,L,F )

( C,A,F )( C,A,P )( C,B,F )( C,B,P )( C,L,F )( C,L,P )

3

1

12

4P

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04. Como determinar a probabilidade de um acontecimento a partir da experiência?Exemplo:

a) Lançar uma moeda 10 vezes e anotar os resultados obtidos (cara ou coroa);

b) E se aumentassem o número de lançamentos da moeda, qual seria a tendência do resultado?

Para um grande nº de experiências, a frequência relativa de um acontecimento

A é um valor aproximado da sua probabilidade

LEI DOS GRANDES NÚMEROS

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EXERCÍCIOS

MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades

01. Lança-se um dado de seis faces e lê-se o número da face

voltada para cima. Calcule a probabilidade de se obter:

a) o número 2

b) um número ímpar

c) um número maior que 2

d) um número menor que 7

e) um número maior que 6

EXERCÍCIOS

MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades

02. Qual a probabilidade de sair coroa em três lançamentos

seguidos de uma moeda?

03. No lançamento simultâneo de dois dados, calcule a

probabilidade de se obter:

a) soma diferente de 11;

b) faces diferentes.

Respostas: 02) 1/8 03. a) 17/18 b) 5/6

EXERCÍCIOS

MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades

04. Pegue 2 moedas e faça vários lançamentos sobre uma

mesa. Descreva:

a) O espaço amostral.

b) O evento A: obtenção das faces de mesmo nome.

c) O evento B: obtenção de faces de nomes diferentes.

EXERCÍCIOS

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05. Durante um jogo de futebol, verificam-se muitos eventos.

Faça uma lista de 10 eventos e classifique-os como certos,

impossíveis, pouco prováveis ou muito prováveis, de modo

que se tenha pelo menos um evento de cada tipo.

EXERCÍCIOS

MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades

06. Crie uma frase que comece por:

a) “É muito provável que amanhã...”.

b) “É certo que amanhã...”.

c) “É pouco provável que amanhã...”.

EXERCÍCIOS

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07. Em uma urna há 5 bolas brancas, 3 bolas pretas e 7 bolas

vermelhas. Retirando uma dessas bolas ao acaso, qual a

probabilidade dela ser:

a) Branca

b) Preta

Respostas: 07) a) 1/3 b) 1/5

EXERCÍCIOS

MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades

08. Considere um octógono regular. Tomando, ao acaso,

uma das diagonais do polígono, qual a probabilidade de

que ela passe pelo centro?

Resposta:1/5 ou 20%

EXERCÍCIOS

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09. Em um pacote de balas, há 5 de sabor morango e 10

de sabor abacaxi. Se 3 balas forem retiradas ao acaso,

qual é a probabilidade de serem todas de sabor morango?

Resposta: 2/91

EXERCÍCIOS

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10. Considere que três vértices de um hexágono regular

são escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade de que os

vértices escolhidos formem um triângulo retângulo?

Resposta: 3/5 ou 60%

ReferênciasSANTOS, Paulo Avelino dos. A Modelagem como proposta para introdução á probabilidade por meio dos passeios aleatórios da Mônica. PUC/SP, 2009. Dissertação de Mestrado.

SMOLE, Kátia Cristina Stocco; DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira. Matemática: Ensino Médio. Editora Saraiva. 5ª edição. 2º ano Ensino Médio. São Paulo 2005.

PAIVA, M. Matemática. 2.ed. volume único. São Paulo: Moderna, 2006.

PERNAMBUCO. Base Curricular Comum para as redes públicas de ensino: matemática. Recife: SE, 2008.

PERNAMBUCO. Orientações teórico-metodológicas. Matemática. Ensino Médio. Recife: SE, 2008.

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