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Matemática e suas Tecnologias – Matemática

Ensino Médio,

Resolver a equação do 2º grau a partir da técnica de completar quadrados

TÉCNICA DE COMO RESOLVER A EQUAÇÃO DE 2º GRAU COMPLETANDO O QUADRADO.

http://www.youtube.com/watch?v=n9sWta9ngDs&feature=related

Fórmula da equação do 2º grau

a

acbbx

2

4²

As equações do 2º grau possuem a seguinte lei de formação:ax²+bx+c=0 com a,b e c números reais e a 0.

HISTÓRICO

A fórmula de Bhaskara é um dos métodos mais conhecidos para se resolver Equações quadráticas, mas não é o único.

Os problemas que envolvem a resolução de equações quadráticas é muito antigo . Alguns dos primeiros datam de mais de quatro mil anos, propostos pelos antigos babilônios, que tinham por finalidade encontrar dois números conhecidos. Sua soma e seu produto, ou seja, semi-perímetro e sua área.

REGRA DITADA EM VERSO

Eleve ao quadrado a metade da soma, subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da diferença. Some ao resultado a metade da soma. Isso dará o maior dos números procurados. Subtraia-o da soma para obter o outro número (1).

Alguns povos, como os japoneses, não utilizavam a fórmula de Bhaskara – a qual alguns historiadores acreditam não ter sido criada por ele – isso porque, para encontrar as raízes, eles utilizam outro método, chamado completamente de quadrados.

Observe seguinte equação do 2º grau:

X²-5x+6=0

Se substituirmos x por 1 não encontraremos a solução.O que acontece se substituirmos x por 2 ?

2² -5.2 +6 =04-10 +6=0

Será que existem outras soluções?

Como exemplo, podemos ver a seguinte raiz quadrada:

4x² -3=0

Resolução:

4x²=34/4x²=3/4

Observe que ambos os lados foram divididos por 4. x²=3/4Concluímos que a raiz quadrada de uma fração é igual à raiz quadrada do numerador dividida pela raiz quadrada do denominador.Como resultado obtemos x=3.

Para resolver equações do 2º grau, completando quadrados, poderemos construir uma caixa de cartolina, como veremos a seguir:

CONSTRUÇÃO DA CAIXA• Modelo da caixa

A proposta de construir uma caixa como na figura ao lado: sem tampa, de base quadrada e altura 2dm e cuja área valha 9dm². Para fazer esse material se gastará 9dm² de cartolina na sua confecção. Os alunos, então, são convidados a pesquisar quais devem ser as dimensões da caixa, observando-se que 1dm=10cm.

MOLDE PARA A CAIXA

• Planificação da caixa

Para abordar o problema convém desenhar um molde para a caixa, conforme o da figura ao lado.

Em princípio, não conhecemos a medida da área da base, a qual denotaremos por X. Queremos, então, encontrar X, tal que a soma das áreas dos quatro retângulo a iguais (cada um com área 2X) com a área do quadrado que aparece no centro 9esta vale x²), no total 9. Assim precisamos encontrar soluções para a equação:

X²+8x=9.

Vamos ver como essa equação é resolvida pelo método grego de, literalmente, completar quadrados.

Juntando-se 4 quadrados, cada um com lado 2 (portanto, área 4) a um molde que originalmente possuía área 9, formamos um quadrado grande (ver figura), cuja área é 16+9=25.

Como o lado desse quadrado é (x+4), concluímos que: (x+4)²=25.

2

X

2

X+4

4 2x 4

2x X² 2x

4 2x 4

Os números que, elevados ao quadrado dão 25, são 5 ou -5. Para x+4 resultar em 5, vemos que, de fato, se x=1, essa é uma das soluções para a equação. Fazendo um retrospecto, vemos que, de fato, se x=1, a área da base vale 1, e como cada uma das 4 faces laterais possui área 2, logo, a área total da caixa é realmente 9, como queríamos. A outra solução dessa equação é obtida resolvendo-se x+4, da qual se conclui que x=-9. Este valor soluciona a equação, mas não o problema proposto.

COMENTÁRIOS 1:

Quando perguntados se 5 é raiz da equação (x+1) x (x-5)=0, muitos alunos aplicam a propriedade distributiva para usar a fórmula de Bhakara, e concluem corretamente que 5 é raiz da equação.Utilizando o conceito de raiz, bastaria substituir 5 na equação, obtendo (5+1).(5-5)=0, e contanto que 5, de fato, é raiz da equação.

COMENTÁRIO 2:

Muitos alunos jamais fariam tal substituição, por desconhecerem que a raiz de uma equação, quando substituída na mesma, deveria satisfazer a igualdade.Para evitar esse equivoco, o estudo pode ser iniciado com equações simples, com formatos privilegiados, que possam ser resolvidos por tentativas. Assim, os alunos se concentrarão em compreender o que significa resolver uma equação, antes de aprenderem uma regrapara encontrar a sua solução mecanicamente.

EXEMPLO:

Para encontrarmos as raízes de x²= 16, buscamos os números elevados ao quadrado que dão 16 e vemos que x=4 ou x=-4 são as soluções. Com relação à equação (x+1)²=9, percebemos inicialmente que tanto 3 como -3 elevados ao quadrado dão como resultado 9. Para obtermos o 3, x deve valer 2, e para obtermos o -3,X deve valer 2, e para obtermos o -3, x deve valer -4.

Em uma equação como (x+3) x (x-1) =0, salientamos que, obrigatoriamente um dos fatores seria nulo, seguindo-se que x=3 ou x=1. Esse exemplo é muito rico, pois o aluno incentivado a utilizar seus conhecimentos anteriores, vai saber que, se o produto de dois números reais é zero, um deles é zero.

Em seguida, o problema que originalmente era de uma quação de 2º grau recai em solucionar duas equações de 1º grau.

SUGESTÕES:

Alguns jogos podem ser utilizados para estimular a resolução de equações de 2º grau, através do cálculo mental. Nessas atividades lúdicas devem ser utilizados apenas exemplos simples, que não envolvam contas elaboradas. Os alunos internalizam as ideias novas quando os exemplos que as acompanham não envolvem contas que considerem cansativas.

Como o objetivo aqui é enfatizar o significado conceitual de resolução de equações, a atenção dos alunos deve ser direcionada para esse aspecto, sem ser desviada pelo trabalho excessivo de contas. Por isso, atividades com contas mais elaboradas devem ser adiadas.

TIPO DE JOGO: jogo pares fora

O jogo consta de 28 cartas, que devem ser distribuídas igualmente entre quatro jogadores e um deles dará início ao jogo, comprando uma carta do adversário à sua direita.

Antes de comprá-la, o aluno que iniciou deve descartar todos os pares, sendo que um par consiste de uma equação e sua respectiva solução. O jogador do qual foi retirada uma carta, após descartar seus pares, deve então comprar uma carta que deve estar à sua direita, e assim sucessivamente, até que algum jogador fique sem nenhuma carta. Este será o vencedor.

As cartas do jogo

X²=25 X=5 ouX=-5

(x+2).(x-9)=0 X=-2 ou x=9

(x+4)²=25 X=1 ouX=-9

(x-1)²=25 X=6 ouX=-4

(x+3)²=16 X=1 ouX=-7

(x-1)²=36 X=7 ou x= -5

(x+1)²= 4 X= 3 ou X= -1

(x+5) (x-2) = 0 X= -5 ou X= 2

X²= 25 X= 5 ou X= -5

(x-1)²= -3 Não há solução

(x+2)²= 16 X= 2 ou X= -6

(x-7)² = 0 X= 7

X² = 3 x = 1 oux = -3

(X – 1)² = 4

3

3

x

ou

x