MATEMÁTICA DISCRETA –AULA 1

MATEMÁTICA DISCRETA – AULA 1

PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc.

Aula 1

Teoria dos Conjuntos

Conteúdo

•Introdução

•A Importância da Matemática Discreta

•Teoria dos Conjuntos

Aula 1 - Teoria dos Conjuntos

“Um profissional de computação que possui

conhecimentos em matemática é capaz de resolver

problemas profundos, oferecendo soluções claras,

organizadas, criativas e eficientes.” (Silva, 2005)

Aula 1 - Teoria dos Conjuntos

Introdução à Matemática Discreta

A Matemática

Valoriza o pensamento abstrato, a formalização, a

capacidade de reconhecer estruturas semelhantes sob um

manto de detalhes irrelevantes.

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Introdução à Matemática Discreta

Fazer Matemática

Não é trabalhar com números, e sim, com abstrações do

mundo real, envolvam ou não estas abstrações

quantidades exatas e mensuráveis.

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Introdução à Matemática Discreta

Finalidades da Matemática

• Apresentar informações em uma forma assimilável,

• Prover métodos (estruturas) convenientes para resolver

• problemas,

• Predizer o comportamento de sistemas reais.

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PROBLEMA REAL

MODELO MATEMÁTICO

RESULTADO

SOLUÇÃO

MODELAGEM ABSTRAÇÃO

ANÁLISE

INTERPRETAÇÃO

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Introdução à Matemática Discreta

A Matemática Discreta

Possui como ênfase os estudos matemáticos baseados em

conjuntos contáveis, finitos ou infinitos.

O estudo da Matemática Discreta irá permitir o

desenvolvimento da maturidade matemática (habilidade de

entender e criar argumentos matemáticos).

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Introdução à Matemática Discreta

A Matemática Discreta

Fundamento para várias áreas da computação, como:

• Algorítmos

• Bancos de Dados

• Linguagens de Programação

• Sistemas Operacionais

• etc.

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Introdução à Matemática Discreta

A Matemática Discreta

Background para solução de problemas em outras áreas,

como:

• Pesquisa Operacional

• Engenharia

• Biologia

• Ciências Sociais

• etc.

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Conjuntos

O que estes grupos têm em comum?????

Buquê de Rosas Grupo de pessoas

Dúzia de ovos

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Conjuntos - Coleção não ordenada de objetos

(denominados elementos ou membros do conjunto).

Normalmente todos os objetos em um conjunto

gozam de uma mesma propriedade (além da de pertencer

ao conjunto!).

Qualquer objeto que contenha a propriedade é um

elemento do conjunto e qualquer objeto que não tem a

propriedade não é um elemento.

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Buquê de Rosas Grupo de pessoas

Dúzia de ovos

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

- Conceitos

• Pertinência – Notação:∈∈∈∈

Qualquer objeto que seja elemento de um conjunto é

dito pertencer aquele conjunto, ou ainda, o elemento x

possui o predicado P.

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Exemplos:

Uma rosa pertence ao ∈∈∈∈

conjunto buquê de rosas.

∈∈∈∈ Uma pessoa pertence ao

conjunto grupo de pessoas

Um ovo pertence ao

conjunto dúzia de ovos. ∈∈∈∈

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

- Conceitos

Se o elemento x não pertence ao conjunto, denota-

se por ∉∉∉∉, que também pode ser equivalente a dizer que x

não está no conjunto, ou ainda que x não possui o

predicado P.

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Exemplos:

Uma rosa não pertence ao ∉∉∉∉

conjunto grupo de pessoas.

∉∉∉∉ Uma pessoa não pertence

ao conjunto dúzia de ovos.

Um ovo não pertence ao ∉∉∉∉

conjunto buquê de rosas.

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

- Notação

Usamos letras maiúsculas para denotarem conjuntos e

chaves para indicá-los.

- Para o conjunto das vogais, temos:

A = {a,e,i,o,u}

Em relação aos elementos i e h, podemos afirmar que:

i ∈ A e h ∉ A.

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Ainda para o conjunto das vogais:

{a,e,i,o,u} ou {e,i,a,o,u} ou {i,a,e,o,u} etc.

Como um conjunto é uma coleção não-ordenada de

objetos, a ordem na qual os elementos são escritos não

importa!

Dois conjuntos são iguais se contêm os mesmos

elementos!

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Como definir um conjunto?

1. Listando (ou listando parcialmente) os elementos:

Conjunto das vogais: A = {a,e,i,o,u}

2. Indicando um padrão (normalmente para conjuntos

infinitos):

P = {2, 4, 6, 8, ...}

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Como definir um conjunto?

3. Descrevendo uma propriedade P que caracterize o

conjunto de elementos:

A={x|x é um inteiro e 3 < x < 7}

S={x|x é solução para x2 – 4 = 0}

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

• Conjunto Universo – Notação: U

Chama-se Conjunto Universo ou simplesmente

Universo de uma Teoria a todos os entes que são

considerados como elementos nesta Teoria.

Exemplo: em geometria, o Universo é o conjunto de todos

os pontos.

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

• Conjunto Universo – Notação: U

U

A B

C

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Conjuntos Importantes

• ∅: ∅ = { }, o conjunto vazio (observe que Φ ≠ {Φ}).

• N : números naturais: {0, 1, 2, 3, . . .}.

• Z : números inteiros: {. . . , − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, . . .}

• Q : números racionais: {x/y : x ∈ Z e y ∈ Z e y ≠ 0} .

• R: números reais.

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Conjuntos Importantes

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Conjunto Potencia: P(A)

Dado um conjunto arbitrário, é possível construir

novos conjuntos cujos elementos são partes do

conjunto inicial.

Sendo A um conjunto qualquer, de nota-se por P(A) o

conjunto constituído por todos os subconjuntos de A,

isto é: P(A) = { X : X ⊆⊆⊆⊆ A}

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Complemento:

Dado um conjunto A qualquer, o conjunto

complementar de A em relação ao Universo é formado por

todos os elementos do Universo que não pertencem ao

conjunto A.

O conjunto complementar de A será:

A’ ou Ā.

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Complemento:

A

U

A’

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Conjuntos Finitos e Infinitos

Podemos dizer que um conjunto é finito se for

possível contar os seus elementos, ou seja, se for o

conjunto vazio ou se for possível estabelecer uma

correspondência entre os seus elementos.

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Conjuntos Finitos e Infinitos

Exemplo: O conjunto dos números inteiros positivos

inferiores a 10:

A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} CONJUNTO FINITO

Exemplo: O conjunto dos números pares:

B = {2,4,6,8,10,12,...} CONJUNTO INFINITO

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Operações sobre Conjuntos

• União:

A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B }

Diagrama de Venn :

AUB

A B

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Operações sobre Conjuntos

• Intersecção:

A∩B = {x | x ∈ A ou x ∈ B }

Diagrama de Venn :

A∩B

A B

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Operações sobre Conjuntos

• Intersecção:

Quando a intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto

vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

A ∩ B = øA B

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Operações sobre Conjuntos

• Diferença:

A-B = {x | x ∈ A ou x ∉ B }

Diagrama de Venn :

A-B

A BA

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Relações entre conjuntos

• Igualdade: Dois conjuntos são iguais se e somente se

tiverem os mesmos elementos.

Se um conjunto A for igual a um conjunto B escreve-se:

A = B

Para verificar se dois conjuntos são iguais basta

verificar se todo o elemento de A é elemento de B e se todo

o elemento de B é elemento de A.

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Relações entre conjuntos

Exemplo: Verificar se os conjuntos A, B e C são iguais.

A = {u, e, a, o}

B = {a, e, i, o, u}

C = {i, u, a, o, e}

A ≠ B; A ≠ C; B = C

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Relações entre conjuntos

• Continência - Notação: ⊆⊆⊆⊆

Se todo o elemento de A também for elemento de B

(independentemente do fato de todo o elemento de B poder

ser ou não elemento de A) podemos dizer que o conjunto A

está contido no conjunto B.

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Relações entre conjuntos

Exemplo: Sejam os conjuntos:

A = {u, e, a, o}

B = {a, e, i, o, u}

C = {i, u, a, o, e}

Podemos dizer: A ⊆⊆⊆⊆ B e A ⊆⊆⊆⊆ C

Neste caso, também podemos dizer que

A é subconjunto de B.

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

Relações entre conjuntos

Representação

A = {1,3,5,7,9}

B = {3,5}

B ⊆ A

B é subconjunto de A

1

9

7

3

5

A

B

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

• C é subconjunto de B;

• B é subconjunto de A; então,

• C é subconjunto de A; e

A, B e C são subconjuntos de U!

CA

B

U

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Introdução à Teoria dos Conjuntos

• C ⊆ B; C ⊆ A; C ⊆ U

• B ⊆ A; B ⊆ U

• A ⊆ U

CA

B

U

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Exercícios

Faça a representação dos conjuntos abaixo em forma de

lista:

a) A = {x ∈ N | x é impar},

b) B = {x ∈ Z | – 3 ≤ x < 4}

c) C = {x ∈ Z | x < 6}

a) A= {1,3,5,7,9,11,...}

b) B = {-3,-2,-1,0,1,2,3}

c) C = {..., -2,-1,0,1,2,3,4,5}

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Exercícios

Determine os conjuntos A, B e C:

A = {0,1,2,3}

B = {2,3,5,6,7}

C = {2,4,5,8,9}

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Determine :

a)AUB

b)BUC

c)AUC

d)AUBUC

e)A∩B

f)A∩C

g)B∩C

h)A∩B∩C

i)(A ∩ B) U (B ∩ C)

j)A ∩ C U B

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Exercícios

a)AUB = {0,1,2,3,4,5,6,7}

b) BUC = {2,3,4,5,6,7,8,9}

c) AUC = {0,1,2,3,4,8,9}

d)AUBUC = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

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Exercícios

e) A∩B = {2,3}

f) A ∩C = {2,4}

g) B ∩C = {2,5}

h) A ∩B ∩C = {2}

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Exercícios

i)(A ∩ B) U (B ∩ C)

A∩B = {2,3}

B ∩C = {2,5}

(A ∩ B) U (B ∩ C) = {2,3,5}

j) A ∩ C U B

A ∩C = {2,4}

A ∩ C U B = {2,3,4,5,6,7}

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Exercício: Em um vôo proveniente de Miami, a ANVISA

constatou que dentre todas as pessoas a bordo

(passageiros e tripulantes) algumas haviam passado pela

cidade do México.

Sejam os conjuntos:

U = {todas as pessoas que estavam a bordo}.

M = {pessoas que passaram pelo México}.

A = {pessoas com sintomas da gripe influenza A}.

P = {passageiros do vôo}.

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Escreva a expressão em conjuntos e elabore o diagrama

de Venn para as proposições:

(A) Passageiros com sintomas da gripe que não passaram

pela cidade do México.

(B) Passageiros com sintomas da gripe que passaram pela

cidade do México.

(C) Tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela

cidade do México.

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(D) Tripulantes com sintomas da gripe que não passaram

pela cidade do México.

(E) Tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela

cidade do México.

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Pessoas à bordo - U

SintomasInf. A - A

PassageirosP

Passarampelo México

M

U = {todas as pessoas que estavam a bordo}.

M = {pessoas que passaram pelo México}.

A = {pessoas com sintomas da gripe influenza A}.

P = {passageiros do vôo}.

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Pessoas à bordo - U

SintomasInf. A - A

PassageirosP

Passarampelo México

M

U = {todas as pessoas que estavam a bordo}.

M = {pessoas que passaram pelo México}.

A = {pessoas com sintomas da gripe influenza A}.

P = {passageiros do vôo}.

Aula 1 - Teoria dos Conjuntos

Pessoas à bordo - U

SintomasInf. A - A

PassageirosP

Passarampelo México M

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(A) Passageiros com sintomas da gripe que não passaram

pela cidade do México.Pessoas

à bordo - U

SintomasInf. A - A

PassageirosP

Passarampelo México M

Aula 1 - Teoria dos Conjuntos

(B) Passageiros com sintomas da gripe que passaram pela

cidade do México.Pessoas

à bordo - U

SintomasInf. A - A

PassageirosP

Passarampelo México M

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(C) Tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela

cidade do México.Pessoas

à bordo - U

SintomasInf. A - A

PassageirosP

Passarampelo México M

Aula 1 - Teoria dos Conjuntos

(D) Tripulantes com sintomas da gripe que não passaram

pela cidade do México.Pessoas

à bordo - U

SintomasInf. A - A

PassageirosP

Passarampelo México M

Aula 1 - Teoria dos Conjuntos

(E) Tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela

cidade do México.Pessoas

à bordo - U

SintomasInf. A - A

PassageirosP

Passarampelo México M

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Exercícios

Um programa de busca da internet tem o seguinte conjunto

em seu banco de dados:

A = {automóveis à venda}. A possui os subconjuntos:

B= {carros usados}

C = {carros Ford}

D = {carros Volkswagen}

E= {modelos anteriores1995}

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Exercícios

Você quer procurar todas as referências sobre carros

usados, Ford ou Volkswagen, modelo 1995 ou mais novos.

Qual é a expressão que representa a sua pesquisa em

notação de teoria de conjuntos?

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A = {automóveis à venda} com subconjuntos

B= {carros usados}, C = {carros Ford},

D = {carros Volkswagen}, E= {modelos anteriores a 1995}

Automóveis à venda

Carrosusados

CarrosFord

CarrosVolkswagen

anterioresa 1995

Aula 1 - Teoria dos Conjuntos

A = {automóveis à venda} com subconjuntos

B= {carros usados}, C = {carros Ford},

D = {carros Volkswagen}, E= {modelos anteriores a 1995}

Automóveis à venda - A

CarrosUsados - B

CarrosFord - C

CarrosVolkswagen

D

anterioresa 1995 - E

Aula 1 - Teoria dos Conjuntos

A = {automóveis à venda} com subconjuntos

B= {carros usados}, C = {carros Ford},

D = {carros Volkswagen}, E= {modelos anteriores a 1995}

Automóveis à venda - A

CarrosUsados - B

CarrosFord - C

CarrosVolkswagen

D

anterioresa 1995 - E

CONJUNTOUNIVERSO

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Automóveis à venda - A

CarrosUsados -B

CarrosFord - C

CarrosVolkswagen

D

anterioresa 1995 - E

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Automóveis à venda - A

CarrosUsados -B

CarrosFord - C

CarrosVolkswagen

D

Anterioresa 1995 -E

Aula 1 - Teoria dos Conjuntos

Automóveis à venda - A

CarrosUsados -B

CarrosFord - C

CarrosVolkswagen

D

Anterioresa 1995 -E

Aula 1 - Teoria dos Conjuntos

Carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo 1995

ou mais novos.

Automóveis à venda - A

CarrosUsados -B

CarrosFord - C

CarrosVolkswagen

D

Anterioresa 1995 -E

Aula 1 - Teoria dos Conjuntos

Carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo

1995 ou mais novos.

Automóveis à venda - A

CarrosUsados -B

CarrosFord - C

CarrosVolkswagen

D

Anterioresa 1995 -E

Aula 1 - Teoria dos Conjuntos

Carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo

1995 ou mais novos.

Automóveis à venda - A

CarrosUsados -B

CarrosFord - C

CarrosVolkswagen

D

Anterioresa 1995 -E

Aula 1 - Teoria dos Conjuntos

Carros usados, Ford ou Volkswagen, modelo

1995 ou mais novos.

Automóveis à venda - A

CarrosUsados -B

CarrosFord - C

CarrosVolkswagen

D

Anterioresa 1995 -E

Aula 1 - Teoria dos Conjuntos

((C∩B) – (C∩E) U (D∩B) – (D∩E))

Automóveis à venda - A

CarrosUsados -B

CarrosFord - C

CarrosVolkswagen

D

Anterioresa 1995 -E