View
0
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
MAT. – 5
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 1 – TIPO A
MATEMÁTICA
Questões de 01 a 04
01. Uma correia transportadora deposita areia num monte de formato cônico reto a uma taxa constante de 32 m /h . No monte que se forma, a razão entre a altura e o raio da base permanece constante e igual a 2 .
A) Encontre a expressão que fornece a altura do monte formado em função do tempo, considerando t = 0
como o instante em que o material começou a ser depositado.
333
3
3
33
22
32)(1412
12)(
22
12
12
1)(
4
1
3
1)(
4
1
3
1
3
12
12
tththhttV
TVV
TThVm
hm
hhVhhV
hhVhrV
hrr
h
B) Após quanto tempo o monte terá uma altura de 6 m ?
htttt 932733326 33
MAT. – 6
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 1 – TIPO A
02. Considere as circunferências 1C , 2C e 3C , tangentes entre si e tangentes aos lados
do retângulo ABCD .
As duas circunferências menores têm o mesmo raio e o segmento BC mede 4 cm . Determine:
A) As medidas dos raios das circunferências.
Raio das menores: cm14
4
Raio da maior: cm22
4
B) A medida do lado AB .
223
222121
22813 2222
AB
hAB
hhh
C) As equações reduzidas das circunferências 1C e 3C .
C1: Centro (1,1) raio=1 1)1()1(:1 22 yxC
C2: Centro (1+2 2 ,2) raio=2 4)2()221(:2 22 yxC
MAT. – 7
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 1 – TIPO A
03.
A) No desenvolvimento do binômio de Newton, n
a b , segundo as potências
decrescentes de a , a fórmula do termo geral é n- p pp+1
nT = a bp , onde np
é o
número de combinações de n elementos escolhidos p a p .
Considere o binômio de Newton
8
22
xx y +
y.
Calcule p
de tal forma que o expoente de x
no termo geral seja igual a 10. Em seguida, determine o termo p 1T .
701234
5678
4
870
4
8
4
8
4
8
412362
310
2
316
88
88
6
10610
5
66162
454
2
4316
51
2
54
2
3162
24
2216
1
22
4216
2
821
2
y
xyxT
yxyxTT
pppp
yxp
yxp
T
y
xyx
py
xyx
pT
p
ppp
ppp
p
p
pp
pp
p
p
B) Resolva a equação n+1 !n!
+ = 6n - 4n - 2 ! n -1 !
.
MAT. – 8
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 1 – TIPO A
04.
A) Determine os valores de:
A.1) 10
cos3
A.2) cosec
4
2
1
3
10cos
60cos
240cos
600cos3
18010cos
22
2
4cos
2
2
1
45
1
)45(
1)45(cos
ec
sen
senec
B) Simplifique a expressão: 3
2
3 - 2 3 + 2
1 11+ 1-
2 2
.
C) Sendo ,1 2 2 1
A = B =2 3 5 2
e tB a transposta de B , resolva a equação tXA A B .
211
16
01
14
32
21
12
23
21
52
32
21
12
23
12
23
1
1
12
23
det
1 11
171717
XX
AA
A
AABXAABXAABAXA
MAT. – 1
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
MATEMÁTICA
Questões de 01 a 12
01. Considere a seqüência de funções 1f x sen x , 22f x sen x , 3
3f x sen x ,..., n
nf x sen x , ... e as áreas 1A , 2A , 3A , ... , nA , ... , definidas pelos respectivos
gráficos no intervalo 0, .
Um aluno de Cálculo, motivado pelas inúmeras aplicações dessa disciplina,demonstrou que:
para par
para ímpar
2
n
n2
n
4 n -1 !n
n - 2n 2 !
2A
n -12 !
2n
n!
Calcule 1A e 4A .
8
3
1164
1234
!1164
!34
!2
2424
!144
21
12
1
!02
!1
!2
112
22
4
4
22
2
1
1
A
A
MAT. – 2
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
02. Considere que as funções logarítmicas envolvidas na equação a seguir são reais ede variável real.
100 0,1 62 log 3 - x - log 2 - x = log6 +log6 log 7
Se a é raiz dessa equação, então calcule 6log a - 2 .
Condição de existência:202
03
xx
x
Para resolver a equação, devemos passar os logaritmos para a base 1°(mudança de base):
16log24log2log
)(42
9
4
2
135
2
16950365
422364223
42log23log
7log6log2log3log
110log10loglog
210log210loglog,
6log
7log6log6log
log
2log
log
3log2
666
2
1
2
2
11,0
2100
1,0100
a
NãoaxSe
x
x
xxx
xxxxx
xx
xx
Mas
xx
MAT. – 3
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
03. Uma cunha esférica é determinada pela revolução de o60 do semicírculo a seguir,de raio 2cm , em torno do eixo e .
Calcule a área total e o volume desta cunha.
Volume de esfera: 333
3
322
3
4
3
4cmRVl
Área da superfície esférica: 222 16244 cmRAl
3606
160
Volume da cunha: 3
9
16
3
32
6
1cmVc
Área do fuso: 2
3
816
6
1cmAf
Mas, a área da cunha: 222
3
204
3
82
3
8
22 cmA
RAA cfc
2 cm 60º
ee
MAT. – 4
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
04. Uma rua em linha reta, com 1200 metros de comprimento, foi arborizada com ipêsdo lado direito e flamboyants do lado esquerdo. Os ipês foram plantados de 25 em25 metros e os flamboyants de 30 em 30 metros. No início da rua, foi plantadauma árvore de cada espécie.Uma pessoa caminhou por essa rua partindo do seu início e parou para descansarsempre que ocorreu coincidência de espécies plantadas, uma em cada lado da rua.
Pergunta-se:
A) A que distância do início da rua ocorreu a primeira parada?
A1 é múltiplo de 25; a1 é múltiplo de 30 e, por ser a 2ª coincidência (1ª parada), é o menor possível mmmcaa 15030,25101
B) Quantas vezes a pessoa parou para descansar?
ma 1501 (1ª parada)
ma 3002 (2ª parada)
ma 4503 (3ª parada)
--------------------------------
man 1200 (n° parada)
Conclusão: parou para descansar 8 vezes.
MAT. – 5
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
05. Um trapézio isósceles de base média medindo 20 cm está circunscrito a uma circunferência.
Determine o perímetro deste trapézio.
cmyxPerímetro
yxyxBbBb
bm
8044
80444022402
MAT. – 6
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
06. No lançamento de uma moeda três vezes consecutivas, Pedro aposta com seucolega Antônio que ou sairá cara exatamente duas vezes ou os resultados serãotodos iguais. Antônio aposta que sairá coroa pelo menos uma vez. Determine asprobabilidades de Pedro e Antônio acertarem os resultados e diga quem tem maischances de ganhar a aposta.
C= Cara e K= Coroa
Conjunto total de possibilidades:
{ccc; cck; ckc; ckk; kcc; kck; kkc; kkk} = 8 possibilidades.
Conjunto das possibilidades de Pedro:
{ccc; cck; ckc; kcc; kkk} = 5 possibilidades.
Conjunto das possibilidades de Antônio:
{cck; ckc; ckk; kcc; kck; kkc; kkk}= 7 possibilidades
Probabilidade de Pedro=5/8
Probabilidade de Antônio=7/8. É Antônio quem tem mais chance de ganhar a aposta.
MAT. – 7
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
07. Num sistema de coordenadas cartesianas, localizam-se o ponto P 3,4 e a reta r
de equação 2 0x y . Seja Q o ponto da reta r de abscissa a .
Determine:
A) A medida do segmento PQ em função de a .
No ponto Q,
1322
4469
23
243
202
2
22
22
22
aaPQ
aaaaPQ
aaPQ
aaPQ
ayyaax
B) O valor de a para que a medida do segmento PQ seja a mínima possível, emseguida, o valor desta medida mínima.(Sugestão: Sendo 0m , m será mínima quando m for mínimo)
PQ será mínima quando: 1322 22 aaPQ for mínimo
2PQ é mínima para 2
1
4
2
2A
Ba
2PQ mínima
2
25
2
5
2
25
2
2512
2
1131
2
1131
2
113
2
12
4
12
PQ
MAT. – 8
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
08. Considere a expressão ...E x y x y x y , na qual o número de radicais
cresce indefinidamente.
A) Escreva E na forma m nE x y , em que m,n .
3
1
3
2
1
1
64
1
16
1
4
1
32
1
8
1
2
1
64
1
16
1
4
1
32
1
8
1
2
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
3
1
4
34
1
4
11
4
1
164
1
16
1
4
1
3
2
4
32
1
4
11
2
1
132
1
8
1
2
1
yxE
q
a
q
a
yxE
yyyxxxE
yxyxyxE
B) Calcule o valor de E para x 8 e 1
y8
.
22
4
2
12
8
18 23
1
3
2
3
1
3
2
yxE
MAT. – 9
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
09. Maria e sua irmã Vera foram com seu irmão mais novo à casa do seu tio. Lá,encontraram uma balança com defeito, que só indicava corretamente pesossuperiores a 70 kg . Dessa forma, eles se pesaram dois a dois e seus pesoscombinados foram:
Maria e Vera: 99 kg
Maria e o irmão: 81kg
Vera e o irmão: 74 kg
Determine o peso de cada um dos irmãos.
Mariakgx
Verakgy
Irmãokgz
zyxzyx
zy
zx
x
5374127
4681127
2899127
127254222
74
81
999
10. Considere o polinômio 4 3 2P x x a x b x c x d , em que:
P x P x x
P 1 = 2
P 0 = 6
Determine:
A) Os valores de a , b , c e d .
65
5660060
2121
0
24
24
234234
xxxP
bddP
dbP
dbxxxP
cacc
aa
dcxbxaxxdcxbxaxxxPxP
MAT. – 10
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
B) A soma dos quadrados das raízes de P x .
103322
333
222
322
15
2
24255065
0650
24
23
22
21
432
212
212
224
xxxx
xxx
xxx
yyyyy
yxxxxP
11. Viajando 8 horas por dia, durante 6 dias, com uma velocidade média de /km hv , um ciclista faz certo percurso. Sabe-se que ele poderia fazer o mesmo percurso seviajasse 5 horas por dia, durante 8 dias, com uma velocidade média /4 km hsuperior à velocidade v . Assim sendo, calcule a velocidade v .
1° modo:
hkmvvvv
v
v
v/202056
46
5
46
8
8
5
2° modo: distância= velocidade média x tempo
tVd m
hkmv
v
vv
vdvd
/20
1608
1604048
44048
MAT. – 11
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
12. Nos triângulos a seguir, o ângulo  é reto. A medida do segmento CB é 20 cm , a
do segmento BD é 11cm e a do segmento DA é 5cm .
Determine o valor de tg . (Sugestão: Utilize a identidade tg tg
tg1 tg tg
)
56
333356
20481536512
125
3
412
51
12
5
3
4
1
3
4
12
16
12
5
12144256400
5112022
222222
tgtg
tgtgtg
tg
tg
tg
tgtg
tgtgtg
tgCA
ADtg
cmCACACA
CAABCBCA
MAT. – 12
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
,
MAT. – 7
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 6 – TIPO A
MATEMÁTICA
Questões de 01 a 06
01. Considere os cones circulares retos 1V AB , de diâmetro AB medindo 4 m e altura h
de 3m , e 2V CD (cone invertido), de diâmetro CD medindo 2x e altura z .
Pede-se:
A) y e z em função de x .
xzyyhz
xyx
y
hRAB
2
333
2
3
2
3
3;24
B) V em função de x , onde V é o volume do sólido 2 1V CV D .
2
2222
3;333
xV
hComo
hx
zyxzx
yxV
C) O gráfico de V em função de x no intervalo 0,2 .
V
A BV
1
C D
R
x
h
y
z
2
MAT. – 8
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 6 – TIPO A
02.
A) Numa progressão geométrica de termos positivos, o primeiro termo é cincovezes a razão, e a diferença entre o segundo termo e o primeiro vale 30 . Calcule a soma dos três primeiros termos.
1951354515135
45
15
3
3
2
06
0305530
5
33
2
1
2
1
2
211
1
Sa
a
a
q
q
q
qqaqa
qa
B) Numa progressão aritmética crescente de quatro termos, a soma do primeirocom o último é 10 e o produto do segundo pelo terceiro é 21 . Escreva esta PA.
11,7,4,1
1,4,7,11
412
1210"11
2
1210'12
14444100
01110
011109
1021
99
10
9
20021
99
10
9
200
213
2102
3
210
2123
21021031032
21
103210310
2
222
11
11
11
111
32
11141
PA
PA
raa
aa
aaaaaa
aa
aa
rara
ararra
aa
raraaaa
03. Considere a reta r de equação x
y = 2+2
.
A) Expresse, em função de a , sendo a 0 , a área da região plana S, limitadasuperiormente pela reta r , inferiormente pelo eixo dos x e lateralmente peloeixo dos y e pela reta t de equação x a .
aa
aAaa
aAhbB
A 242
22
22
2
B) Calcule a para que as áreas da região S, na figura anterior, e a do triânguloretângulo de hipotenusa 85 e cateto 7, a seguir, sejam iguais.
6
142
208"
62
208'
4003366408482124
2128
2
.212
67
6364985785
222
22222
a
a
a
aaaa
aa
AuA
wwww
MAT. – 10
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 6 – TIPO A
04.A) Os restos das divisões de 197 e 281 por x são 17 e 29 , respectivamente.
Determine o máximo valor de x .
25229281
18017197
22
11
xqxq
xqxq
Como q1 e q2 são inteiros, x é divisor comum de 180 e 252. O máximo x é o MDC de 180 e 252.
X=36
B) Encontre o conjunto solução da equação 2t t3×2 - 4×2 +1= 0 .
32
323
1
2"
'
2
log,0
loglog"3
12
0"12
3
1"
32
24"1'
32
24'2
41216
0143
2
S
x
x
yyyy
yy
y
x
x
x
MAT. – 11
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 6 – TIPO A
05. José deposita mensalmente em um fundo, a partir de 1o de janeiro, a quantia de200 reais, a juros simples de 1,5% ao mês. Calcule o seu montante no fim de umano, para um total de 12 depósitos.
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11 1/12 1/1200 203 206 ... 236 1Q
200 203 200 ... 233 2Q
200 203 ... 230 3Q
200 227 4Q
200 224 5Q
200 221 6Q
200 218 7Q
200 215 8Q
200 212 9Q
200 209 10Q
200 206 11Q
200 203 12Q
Montante = 12
ii 1
Q
Montante= 236+233+...+206+203
= 26342
12
1
203236
06.
A) Resolva a equação 2 2 2
2 2 3=
x +2x+1 x - 2x+1 x -1- .
3,3
1
36
108"
3
1
6
108'
100334640383
338
3312122
11
113
11
1212
11
3
1
2
1
2
2
2
222
2222
22
22
S
x
x
xx
xx
xxxxx
xx
xx
xx
xx
xxxx
MAT. – 12
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 6 – TIPO A
B) Resolva a inequação 2x 1 1
x 1 2.
152
46"
5
1
52
46'162036
0165
01654
3
04
11
24
4
14
124
1144
2
1
1
12
2
2
22
22
22
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
x
x
1
01..
x
xC
5
1,1S
Recommended