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Prof.: Joni Fusinato joni.fusinato@ifsc.edu.br jfusinato@gmail.com
Medidas de Tendência Central
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• Informam o valor em torno do qual os dados se distribuem.
• Tem por objetivo representar os dados de uma forma mais condensada que
uma tabela, localizando a maior concentração de valores em torno de uma
distribuição.
Medidas de Tendência Central
Medidas de Tendência Central
Média Mediana Moda
3
Média
i
média populacional
x média amostralx soma dos elementos
N número de elementos da populaçãon número de elementos da amostra
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Média Aritmética Simples
1º Caso: Para dados isolados ou não tabelados
• A média é a soma de todos os valores analisados, dividida pela quantidade de valores analisados.
nx...xxx n21
Ex: Suas notas em um teste seletivo foram 5,6; 4,8; 8,0; 8,6; 6,8; 9,4. Considerando que todas têm o mesmo peso, calcule sua média.
63 74 55 56 52 64 71 59 61 6251
X10 0
70
X 62,5 63 pessoas
Como essa informação ajuda na tomada de decisões?
Montar a escala de plantão na emergência;Provisionar um estoque mínimo de medicamentos que serão
usados nos plantões;Dimensionar o número de leitos necessários.
Os atendimentos realizados na emergência de um PA nos últimos dez dias foram: 63 – 74 – 55 – 56 – 52 – 64 – 71 – 59 – 61 – 70.
Quantas pessoas foram atendidas em média?
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Cálculo da Média Simples - Casio FX-82MS
1) Aperte Mode e escolha a opção 2 (SD). AperteSHIFT MODE 1 (Scl) = para limpar a memória.2) Digite o primeiro dado e aperte M+, sigafazendo isso para cada dado a ser inserido;3) Após registrar todos os dados aperte Shift 2(S-VAR);4) Escolha a opção 1 para média, 2 para desvio-padrão populacional e 3 para desvio-padrãoamostral;5) Aperte o botão de igual (=) e confira oresultado.6) Para sair do modo SD aperte MODE 1.
63 – 74 – 55 – 56 – 52 – 64 – 71 – 59 – 61 – 70. Quantas pessoas foram atendidas em média?
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2º Caso: Para dados organizados em uma tabela de frequências.
Média Aritmética Ponderada
• Média de um conjunto de dados cujos valores têm pesos diferentes.
Para calcular a média, multiplicamos a variável pela sua respectiva frequência. Para o cálculo da média, somam-se essas multiplicações e divide pelo somatório das frequências.
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• Em uma classe com 20 meninas e 30 meninos foi realizada uma prova; a média dos rapazes foi 7,0 e das meninas foi 8,0. A média da classe foi:
a) 7,2b) 7,4c) 7,8d) 7,6
Exemplo
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Cálculo da Média Ponderada - Casio FX-82MS
1) Aperte Mode e escolha a opção 2 (SD). AperteSHIFT MODE 1 (Scl) = para limpar a memória.2) Digite o primeiro dado seguido de SHIFT ,frequência e aperte M+. Continue fazendo issopara os demais dados e frequências.3) Após registrar todos os dados e frequênciasaperte Shift 2 (S-VAR);4) Escolha a opção 1 para média, 2 para desvio-padrão populacional e 3 para desvio-padrãoamostral;5) Aperte o botão de igual (=) e confira oresultado.6) Para sair do modo SD aperte MODE 1.
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Atividade
Para calcular a média, multiplicamos apontuação pela sua respectiva frequência.Para o cálculo da média, somam-se essasmultiplicações e divide pelo somatório dasfrequências.
Uma pesquisa realizada com 27 estudantes relacionou a nota dada a prestaçãode serviço no transporte público com o respectivo número de pessoas que aresponderam. Qual a nota média dada a esse serviço?
A tabela apresenta as notas obtidas por um aluno em quatro das cincoprovas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cadaprova. Se o aluno foi aprovado com média de 7,3, qual a nota obtida naprova IV?
1.(6,5) + 2.(7,3) + 3.(7,5) + 2. + 2.(6,2) = 1 + 2 + 3 + 2
7 3 x, + 2
56 + 2x = 73 x = 8,5
Nota 8,5
Prova I II III IV VNota 6,5 7,3 7,5 ? 6,2Peso 1 2 3 2 2
Agora é a sua vez!
O RH de uma empresa constatou que 55% dos funcionários eram do sexomasculino, com média salarial mensal de R$ 3.400,00. A média salarialmensal dos funcionários do sexo feminino era de R$ 3.800,00. A médiasalarial mensal de todos os funcionários que participaram desselevantamento estatístico foi de:
a) R$ 3.950,00b) R$ 3.750,00c) R$ 3.650,00d) R$ 3.450,00e) R$ 3.580,00 55.3400 + 45.3800X =
10 = 3
0.580
Para verificar a satisfação dos usuários de um posto de saúde de um município, aprefeitura realizou uma pesquisa com 550 pessoas. As notas sugeridas aosentrevistados compreendem as notas inteiras entre 1 a 10, onde 1 significa que ousuário está muito insatisfeito e 10 que está muito satisfeito com os serviçosprestados pelo posto. Os resultados são apresentados na tabela. Calcule a médiadada pelos usuários ao atendimento recebido nesse posto de saúde.
Nota (xi ) fi xi.fi
1 2 1 . 2 = 22 5 2 . 5 = 103 18 3 . 18 = 544 98 4 . 98 = 3925 132 5 . 132 = 6606 139 6 . 139 = 8347 105 7 . 105 = 7358 23 8 . 23 = 1849 16 9 . 16 = 144
10 12 10 . 12 = 120Total ∑ 550 ∑ 3.135
5,70
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3º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe
Convenciona-se que todos os valores de um intervalo de classecoincidem com seu ponto médio e determina-se a médiaponderada.
i
sup infi
x = ponto médio
lim + limx =
2
15
Altura (cm) fi xi xi.fi
150├ 154 4154├ 158 9158├ 162 11162├ 166 8166├ 170 5170├ 174 3
Total 40
X
Calcule a altura média na tabela abaixo:
156152
160
172168164
608
14041760
1312840516
6440
161
Cuidado com as médias!!!
Aparênciaspodem enganar!
Maior problema da média:Maldição dos extremos!
Valores extremos (outlier) distorcem a média!
Solução para o problema …Remover os extremos!
A média é afetada por valores extremos. O que isso querdizer? Para calcular a média, é necessário somarmostodos os dados da série, ou seja, essa medida leva emconta todas as observações. Por isso, quando temos umasituação em que aparecem alguns valores, ou muito baixo,ou muito alto, se comparados com os demais elementosda série, a média é influenciada por eles.
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Média Geométrica• É a raiz enésima (n) do produto dos valores dos dados, onde existem n valores.
Essa medida é válida apenas para dados que foram medidos absolutamente em uma escala estritamente positiva.
• Usada em situações que envolvem aumentos sucessivos ou o comportamento dos valores da série tendem a uma P.G.
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Média Geométrica
21
Atividade
Calcule a média geométrica dos números 200, 600 e 800
R: 457,89
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Média Harmônica (MH)
• Usada em situações envolvendo grandezas inversamente proporcionais. Essa medida também só é válida para dados que foram medidos absolutamente em uma escala estritamente positiva.
• Sejam x1, x2, x3,......xn, valores de x, associados às frequências absolutas n1, n2, n3,......nn, respectivamente.
• A média harmônica de X é definida por:
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Média Harmônica (MH)
Um carro desenvolve duas velocidades distintas: durante a metade do percurso ele manteve a velocidade de 50 km/h e durante a metade restante sua velocidade foi de 60 km/h. Qual a velocidade média do veículo durante o percurso?
A velocidade média do veículo durante o percurso será deaproximadamente 54 km/h. Se calculássemos a velocidademédia utilizando a média aritmética, chegaríamos aoresultado de 55 km/h.
Mediana (Md)
• Definida como o valor que ocupa a posição central em umconjunto de dados ordenados.
• A mediana não é influenciada por valores extremos, visto que elaé uma medida essencialmente vinculada à posição que ocupa noconjunto ordenado.
• Para encontrar a mediana em um conjunto qualquer de dadosestatísticos, precisamos conhecer a posição que ela ocupa emrelação aos n elementos ordenados desse conjunto.
• É o termo central do rol.
• Se o rol tiver um número par de termos, a mediana será o ponto médio entre os dois valores centrais
2 5 6 9 10
6 + 9 15Md = = = 2 2
7,52 5 6 9 10 12
Md = 6
1º Caso: Para dados isolados ou não tabelados
Será o valor correspondente a frequência acumuladaimediatamente superior à metade da soma das frequências.
Filhos fi Fi
0 2 21 6 82 10 183 12 304 4 34
Total 34
Σfi 34Md = = = 172 2
A frequência acumulada imediatamente superior a 17 é Fi = 18.
Logo Md = 2 filhos.
Distribuição das famílias segundo o número de filhos
2º Caso: Para dados organizados em uma tabela de frequências.
27
Idade fi Fi
12 1 114 2 315 1 416 2 617 1 720 1 8
Total 8
Tabela: Idade dos Alunos
ii
fSe F2
A Mediana será a média aritmética entre o valor da variável correspondente a essa frequência acumulada e a seguinte.
i3
f 8 4 F2 2
15 16 31Md 1
Md
5,5
15,5 ano2 2
s
Determinar as frequências acumuladas e calcular
Identificar a classe mediana correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a
Usar a fórmula:
if2
if2
li = limite inferior da classe Fant: frequência acumulada simples anteriorfi = frequência simples da classe h = amplitude da classe
3º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe
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Altura (cm) fi Fi
150├ 154 4 4154├ 158 9 13158├ 162 11 24162├ 166 8 32166├ 170 5 37170├ 174 3 40
Total 40
Altura de 40 alunos do IFSC
if 40 202 2
Md = 160,54
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Moda (Mo)
• Valor que aparece mais vezes, ou seja, apresenta a maior frequência.
• Pode ocorrer de dois ou mais valores apresentarem a mesma frequência, nestes casos, teremos distribuições bimodais (duas modas), trimodais ou multimodais.
• Também é possível acontecer que todos os elementos tenham apresentado exatamente o mesmo número de ocorrências. Isso significa que não há moda, pois nenhum dado se destacou. Dessa forma, o conjunto é, então, chamado amodal.
• Dentre as três medidas de tendência central, a moda é a única que pode ser usada quando as variáveis são qualitativas nominais.
Moda (Mo): Valor que ocorre com maior frequência.
2 3 4 7 7 9 10
2 3 4 7 7 9 10 10
2 3 4 7 9 10 Amodal
Unimodal
Bimodal ou multimodal
32
2 3 4 7 7 9 10 Mo = 7
Tipo
sanguíneo
Indivíduos
(fi)
O 717
A 414
B 165
AB 53
Mo = 717
1º Caso: Para dados não agrupados ou organizados em tabelas
Será o valor do ponto médio da classe com maior frequência.
Altura (cm) fi Mo
150├ 154 4
160154├ 158 9158├ 162 11162├ 166 8166├ 170 5170├ 174 3
Total 40
inf suplim + limMo =
2
158 + 162 320Mo = = = 1602 2
2º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe
34
2 3 4 7 7 9 10 Mo = 7
Tipo
sanguíneo
Indivíduos
(fi)
O 717
A 414
B 165
AB 53
Mo = 717
2º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe
Moda de Czuber: usada quando houver necessidade de um cálculo mais elaborado da Moda
Altura (cm) fi Mo
150├ 154 4
159,6154├ 158 9158├ 162 11162├ 166 8166├ 170 5170├ 174 3
Total 40
1inf
1 2
DMo l .hD D
linf = limite inferior da classe modal: 158D1 = f – fant: frequência simples – frequência simples anterior (11 - 9). D1 = 2D2 = f – fpost: frequência simples – frequência simples posterior (11 - 8). D2 = 3h = amplitude da classe modal (162 – 158) h = 4
2Mo 158 .4 159,62 3
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Medidas de Tendência Central
Medidas de posição
Vantagens Desvantagens Usar quando
Média Reflete cada valor usado na distribuição
É influenciada por valores extremos
Deseja-se a medida de posição com maior estabilidade
Mediana Menos sensível a valores extremos do que a média.
Difícil de determinar para uma grande quantidade de dados
Deseja-se o ponto que divide o conjunto em partes iguais
Moda Maior quantidade de valores concentrados nesse ponto.
Não se presta a análise Matemática. Nem sempre a distribuição possui moda
Deseja-se uma medida rápida e aproximada da posição. A medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.
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https://www.youtube.com/watch?v=n8qayCQl1es – Uso da calculadora Casio para cálculo da média e desvio-padrão.https://www.youtube.com/watch?v=PgILSJiLyAg – Medidas de tendência central.https://www.youtube.com/watch?v=O2FKsLrtCDM – Média em uma tabela com dados agrupados em classes.
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