Metalurgia Fisica - Planos

Noções de cristalografia Indice de Miller (planos e direções cristalográficas)

O estudo de planos e direções atômicas é importante para:

· Determinação da estrutura cristalina: Distância entre planos paralelos de pontos do reticulado cristalino. Esta informação é usada para determinar os parâmetros do reticulado de um cristal.

· Comportamento da deformação plástica: A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo deslizamento dos átomos, escorregando uns sobre os outros no cristal. Este deslizamento tende a acontecer, preferencialmente, ao longo de planos e direções específicos do cristal.

· Compreensão das propriedades de transporte: Em certos materiais, o transporte de elétrons é maior em determinados planos e reduz-se em planos distantes destes.

Posições atômicas numa célula unitária CCC.

Noções de cristalografia Indice de Miller (planos e direções cristalográficas)

Todas as direções paralelas têm os mesmos índices. As direções dizem-se cristalograficamenteequivalentes se, ao longo dessas direções, o espaçamento entre os átomos for o mesmo. As direções são cristalograficamente equivalentes:

[1 0 0], [0 1 0], [0 0 1], [0 1 0], [0 0 1], [1 0 0] ≡ <100>

Noções de cristalografia Índice de Miller (direções cristalográficas)

Roteiro para indexar a direção (exemplo para a direção OM):1. Determine as projeções do vetor nos eixos a, b, c (OM por exemplo (1, 1/2, 0))2. Reduzir a inteiros. Dado que os índices de uma direção têm de ser números inteiros, estas

coordenadas têm de ser multiplicadas por 2 para obter números inteiros :2103. Representa-se entre colchetes [210].4. Se o índice de uma direção é negativo, coloca-se uma barra sobre o índice, as

coordenadas de posição do vetor ON (figura d) são (-1, -1, 0) e o índice da direção [110].

Todas as direções paralelas têm os mesmos índices. As direções dizem-se cristalograficamenteequivalentes se, ao longo dessas direções, o espaçamento entre os átomos for o mesmo. As direções são cristalograficamente equivalentes:

[1 0 0], [0 1 0], [0 0 1], [0 1 0], [0 0 1], [1 0 0] ≡ <100>

Desenhe as seguintes direções em uma célula cúbica:a) [100] e [110]b) [112]c) [110]d) [321]

Solução:

a) As coordenadas para a diração [100] são (1,0,0). A posição das coordenadas para a diração [110] são (1,1,0)

Noções de cristalografia Índice de Miller (direções cristalográficas)

c) As coordenadas para a direção [110] são (-1,1,0)obtidas dividindo as direções por 2. Assim, estas coordenadas são (1/2,1/2,1)

b) As coordenadas para a diração [112] são obtidas dividindo as direções por 2. Assim, estas coordenadas são (1/2,1/2,1)

Noções de cristalografia Índice de Miller (direções cristalográficas)

d) As coordenadas para a direção [321] são obtidas dividindo as direções por 3.

Assim, estas coordenadas são (-1,2/3,-1/3)

Noções de cristalografia Índice de Miller (direções cristalográficas)

Determine a direção mostrada na figura

Solução:Toda direção paralela tem os mesmos indices. Desta forma, podemos mover a direçaãode modo a obter uma direção paralela, onde a origem coincide com o vertice da célula.Desta forma, podemos encontrar as coordenadas x, y e z:x = -1y = +1z = -1/6Multiplicando por 6x(-1, +1, -1/6), temos a direção [661]

Noções de cristalografia Índice de Miller (direções cristalográficas)

Noções de cristalografia Indice de Miller (planos e direções cristalográficas)

Determine os indices da direção em uma célula cúbica entre as coordendas (3/4,0,1/4) e (1/4,1/2,1/2).

Solução:Desenhe a célula e represente as coordenadas no espaço.Faça a diferença entre as coordenadas:x = 1/4 -3/4 = -1/2y = 1/2-0 =1/2z = 1/2-1/4= 1/4

(-1/2, 1/2, 1/4)x4 = [221]

Noções de cristalografia Índice de Miller (planos cristalográficos)

Para identificar os planos de um cristal são utilizados a notação de Miller.Os índices de Miller são definidos como os números recíprocos dos interceptos em que o plano faz com os eixos x, y e z.

Procedimentos para obter os índices de Miller:

1. Escolher um plano que não passe pela origem (0,0,0);2. Determinar as interseções do plano com os eixos cristalográficos x, y e z do cubo unitário.

Essas interseções podem ser números fracionários;3. Obter os inversos destas interseções;4. Reduzir as frações, dado que não são permitidas interseções fracionárias.

Os números inteiros são os índices de Miller do plano cristalográfico e são colocados entre parênteses, sem vírgulas entre eles. Genericamente, num cristal cúbico, usa-se a notação (hkl) para indicar índices de Miller, sendo h, k e l os índices de Miller de um plano, referentes aos eixos x, y e z, respectivamente.

x y z

1 ∞ ∞

1/1 1/∞ 1/∞

1 0 0

x y z

1 1 ∞

1/1 1/1 1/∞

1 1 0

x y z

1 1 1

1/1 1/1 1/1

1 1 1

Noções de cristalografia Índice de Miller (planos cristalográficos)

Noções de cristalografia Indice de Miller (planos cristalográficas)

x y z

1/3 2/3 1

3/1 3/2 1/1

6 3 2

x y z

1 ∞ 1

1/1 1/∞ 1/1

1 0 1

x y z

1 -1 ∞

1/1 1/-1 1/∞

1 1 0

Noções de cristalografia Indice de Miller (planos cristalográficas)

Desenhe os seguintes planos cristalográficos

(a) (101); (b) (110); (c) (221)

Noções de cristalografia Indice de Miller (planos cristalográficas)

Planos de maior densidade na estrutura CFC

(111)

(111)

(111)

(111)

Noções de cristalografia Indice de Miller (planos e direções cristalográficas)

Na estrutura CFC, existem os planos e direções mais compactas

Planos compactos: {111}

(111), (111), (111), (111)(111), (111), (111), (111)

Direções compactas: <110>

[ 110], [101], [011], [110], [101], [011]

Desta forma, a estrutura CFC apresenta o maior número de combinações de deslizamento. Esta é uma das explicações por que esta estrutura deforma com maior facilidade em relação a outras estruturas como CCC e CFC.Dizemos que o CFC apresenta um sistema de deslizamento com plano e direções compactas{111}//<101>.

Noções de cristalografia Indice de Miller (planos e direções cristalográficas)

A estrutura CCC não é uma estrutura compacta como a estrutura CFC. O plano mais densona estrutura CCC é o plano da família {110}. O plano (110) é mostrado na figura (b). Apesarda estrutura CCC não apresentar plano compacto, esta estrutura apresenta direçõescompactas, <111>.

Noções de cristalografia Indice de Miller (planos e direções cristalográficas)

Sistemas de deslizamento das estruturas

Noções de cristalografia Indice de Miller (planos e direções cristalográficas)

Resumo das notações para direção e planos

Simbolo Notação

Direção[ ] [uvw] → Direção particular

< > <uvw> → Família de direções

Plano( ) (hkl) → Plano particular

{ } {hkl} → Família de plano

Noções de cristalografia Indice de Miller (planos e direções cristalográficas)

Uma relação importante no sistema cúbico, e apenas no sistema cúbico, éque os índices de uma direção perpendicular a um plano cristalográfico são iguaisaos índices de Miller desse plano.Por exemplo, a direção [100] é perpendicular ao plano cristalográfico (100).

Nas estruturas cristalinas cúbicas, a distância interplanar de dois planos paralelos sucessivos, com os mesmos índices de Miller, designa-se por dhkl , em que h, k e l são os índices de Miller dos planos. Este espaçamento representa a distância entre o plano que passa pela origem e o plano paralelo, com os mesmos índices, mais próximo do primeiro e é dado pela seguinte expressão:

dhkl: distancia entre planosa: parâmetro de redeh, k, l: indices de Miller

Noções de cristalografia Indice de Miller (planos e direções cristalográficas)

Exemplo:O cobre tem estrutura CFC e o seu parametro de rede é de 0,361nm.

a) Qual a distancia interplanar entre os planos (220)?b) E para os planos (111)?

022

3610

222220

++=

,d

Solução:

a) nm,d 1280220 =

b)

111

3610

222111

++=

,d nm,d 2080111 =

Noções de cristalografia Indice de Miller (Densidade planar)

Por vezes, é importante determinar as densidades atômicas de alguns planos cristalográficos. Para isso, calcula-se uma quantidade designada por densidade atômica planar, ρP, usando a relação:

A densidade pode ser expressa em:

• Átomos/mm2 (conhecendo do raio do átomo, é possível expressar desta forma);

• Percentual, % (razão entre as áreas dos átomos e do plano escolhido).

Noções de cristalografia Indice de Miller (Densidade planar)

Por conveniência, é costume usar a área do plano que intercepta a célula unitária, como se exemplifica na figura para o plano (110) da célula unitária CCC. Nestes cálculos, para que a área de um átomo seja contada, o plano considerado terá de interceptar o centro do átomo. No exemplo, o plano (110) intercepta o centro de cinco átomos, mas conta-se apenas o equivalente a dois átomos (número efetivo), já que apenas um quarto de cada um dos quatro átomos dos vértices fica contido na área da célula unitária.

Noções de cristalografia Indice de Miller (Densidade planar)

Exemplo: Calcule a densidade atômica planar (átomos/mm2) no plano (110) do ferro-α, cuja rede é CCC. O parâmetro de rede do ferro-α é 0,287 nm.

O número efetivo de átomos intersectados pelo plano (110): 1 átomo no centro + 4 x ¼ átomos nos quatro vértices do plano = 2 átomos.

A área do plano (110) interior à célula unitária (área selecionada) é: ( ) aaa 222 =

(83%)a

R

2

2

2

2π=ρ 830

28

3,=

π=ρ

ou

Noções de cristalografia Indice de Miller (Densidade planar)

Exemplo: Compare a densidade planar dos planos (111) e (100) para CFC.

Densidade planar do plano (100)

Noções de cristalografia Indice de Miller (Densidade planar)

Densidade planar do plano (111)

O plano (111) é muito mais denso do que o plano (100) na estrutura CFC:ρ(111) > ρ(100)

Considerando o raio do cobre igual a 0,1278nm, calcule a densidade atômica (átomos/mm2) para os planos (111) e (100).

23ah =

22Ra = 212802 .,.a = mm,a 10623 7−=

10131

2

13−=ρ

,

atomos

( )3

2

10623 7 2−=

,área

21310131 mm,Area −=

21310771 mm/atomos,=ρ

2aArea = 213

10311 mm,Area −=

10311

2

13−=ρ

,

atomos 21310521 mm/átomos,=ρ

32

2a

área =

Exemplo:

Mostre, através de desenho, a posição dos átomos nos seguintes:a) CFC (110).b) CCC (110)Lembrete: somente os átomos cujo centro pertencem ao plano podem ser considerados pertencentes aoplano.Para cada plano, calcule a fração de empacotamento planar (área ocupada pelos átomos/área do plano)

a) Número de átomos (4x1/4+2x1/2) = 2 atomos

A área do plano (retangulo colorido) a x a.raiz(2)

b) Para a estrutura CCC o plano (110) mostrado na figura da direita, podemos utilizar para cálculos o plano colorido de rosa. O número total de átomos nesta seção é equivalente a 2 átomos ( 4 x ¼ + 1)

A área do retangulo é o produto do parametro de rede (a) multiplicado pela altura (1,41a):