Metalurgia Fisica - Planos

Noções de cristalografia Indice de Miller (planos e direções cristalográficas)

O estudo de planos e direções atômicas é importante para:

· Determinação da estrutura cristalina: Distância entre planos paralelos de pontos do reticulado cristalino. Esta informação é usada para determinar os parâmetros do reticulado de um cristal.

· Comportamento da deformação plástica: A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo deslizamento dos átomos, escorregando uns sobre os outros no cristal. Este deslizamento tende a acontecer, preferencialmente, ao longo de planos e direções específicos do cristal.

· Compreensão das propriedades de transporte: Em certos materiais, o transporte de elétrons é maior em determinados planos e reduz-se em planos distantes destes.

Posições atômicas numa célula unitária CCC.


Todas as direções paralelas têm os mesmos índices. As direções dizem-se cristalograficamenteequivalentes se, ao longo dessas direções, o espaçamento entre os átomos for o mesmo. As direções são cristalograficamente equivalentes:

[1 0 0], [0 1 0], [0 0 1], [0 1 0], [0 0 1], [1 0 0] ≡ <100>

Noções de cristalografia Índice de Miller (direções cristalográficas)

Roteiro para indexar a direção (exemplo para a direção OM):1. Determine as projeções do vetor nos eixos a, b, c (OM por exemplo (1, 1/2, 0))2. Reduzir a inteiros. Dado que os índices de uma direção têm de ser números inteiros, estas

coordenadas têm de ser multiplicadas por 2 para obter números inteiros :2103. Representa-se entre colchetes [210].4. Se o índice de uma direção é negativo, coloca-se uma barra sobre o índice, as

coordenadas de posição do vetor ON (figura d) são (-1, -1, 0) e o índice da direção [110].

Todas as direções paralelas têm os mesmos índices. As direções dizem-se cristalograficamenteequivalentes se, ao longo dessas direções, o espaçamento entre os átomos for o mesmo. As direções são cristalograficamente equivalentes:

[1 0 0], [0 1 0], [0 0 1], [0 1 0], [0 0 1], [1 0 0] ≡ <100>

Desenhe as seguintes direções em uma célula cúbica:a) [100] e [110]b) [112]c) [110]d) [321]

Solução:

a) As coordenadas para a diração [100] são (1,0,0). A posição das coordenadas para a diração [110] são (1,1,0)


c) As coordenadas para a direção [110] são (-1,1,0)obtidas dividindo as direções por 2. Assim, estas coordenadas são (1/2,1/2,1)

b) As coordenadas para a diração [112] são obtidas dividindo as direções por 2. Assim, estas coordenadas são (1/2,1/2,1)


d) As coordenadas para a direção [321] são obtidas dividindo as direções por 3.

Assim, estas coordenadas são (-1,2/3,-1/3)


Determine a direção mostrada na figura

Solução:Toda direção paralela tem os mesmos indices. Desta forma, podemos mover a direçaãode modo a obter uma direção paralela, onde a origem coincide com o vertice da célula.Desta forma, podemos encontrar as coordenadas x, y e z:x = -1y = +1z = -1/6Multiplicando por 6x(-1, +1, -1/6), temos a direção [661]



Determine os indices da direção em uma célula cúbica entre as coordendas (3/4,0,1/4) e (1/4,1/2,1/2).

Solução:Desenhe a célula e represente as coordenadas no espaço.Faça a diferença entre as coordenadas:x = 1/4 -3/4 = -1/2y = 1/2-0 =1/2z = 1/2-1/4= 1/4

(-1/2, 1/2, 1/4)x4 = [221]

Noções de cristalografia Índice de Miller (planos cristalográficos)

Para identificar os planos de um cristal são utilizados a notação de Miller.Os índices de Miller são definidos como os números recíprocos dos interceptos em que o plano faz com os eixos x, y e z.

Procedimentos para obter os índices de Miller:

1. Escolher um plano que não passe pela origem (0,0,0);2. Determinar as interseções do plano com os eixos cristalográficos x, y e z do cubo unitário.

Essas interseções podem ser números fracionários;3. Obter os inversos destas interseções;4. Reduzir as frações, dado que não são permitidas interseções fracionárias.

Os números inteiros são os índices de Miller do plano cristalográfico e são colocados entre parênteses, sem vírgulas entre eles. Genericamente, num cristal cúbico, usa-se a notação (hkl) para indicar índices de Miller, sendo h, k e l os índices de Miller de um plano, referentes aos eixos x, y e z, respectivamente.

x y z

1 ∞ ∞

1/1 1/∞ 1/∞

1 0 0

x y z

1 1 ∞

1/1 1/1 1/∞

1 1 0

x y z

1 1 1

1/1 1/1 1/1

1 1 1

Noções de cristalografia Índice de Miller (planos cristalográficos)

Noções de cristalografia Indice de Miller (planos cristalográficas)

x y z

1/3 2/3 1

3/1 3/2 1/1

6 3 2

x y z

1 ∞ 1

1/1 1/∞ 1/1

1 0 1

x y z

1 -1 ∞

1/1 1/-1 1/∞

1 1 0


Desenhe os seguintes planos cristalográficos

(a) (101); (b) (110); (c) (221)


Planos de maior densidade na estrutura CFC

(111)

(111)

(111)

(111)


Na estrutura CFC, existem os planos e direções mais compactas

Planos compactos: {111}

(111), (111), (111), (111)(111), (111), (111), (111)

Direções compactas: <110>

[ 110], [101], [011], [110], [101], [011]

Desta forma, a estrutura CFC apresenta o maior número de combinações de deslizamento. Esta é uma das explicações por que esta estrutura deforma com maior facilidade em relação a outras estruturas como CCC e CFC.Dizemos que o CFC apresenta um sistema de deslizamento com plano e direções compactas{111}//<101>.


A estrutura CCC não é uma estrutura compacta como a estrutura CFC. O plano mais densona estrutura CCC é o plano da família {110}. O plano (110) é mostrado na figura (b). Apesarda estrutura CCC não apresentar plano compacto, esta estrutura apresenta direçõescompactas, <111>.


Sistemas de deslizamento das estruturas


Resumo das notações para direção e planos

Simbolo Notação

Direção[ ] [uvw] → Direção particular

< > <uvw> → Família de direções

Plano( ) (hkl) → Plano particular

{ } {hkl} → Família de plano


Uma relação importante no sistema cúbico, e apenas no sistema cúbico, éque os índices de uma direção perpendicular a um plano cristalográfico são iguaisaos índices de Miller desse plano.Por exemplo, a direção [100] é perpendicular ao plano cristalográfico (100).

Nas estruturas cristalinas cúbicas, a distância interplanar de dois planos paralelos sucessivos, com os mesmos índices de Miller, designa-se por dhkl , em que h, k e l são os índices de Miller dos planos. Este espaçamento representa a distância entre o plano que passa pela origem e o plano paralelo, com os mesmos índices, mais próximo do primeiro e é dado pela seguinte expressão:

dhkl: distancia entre planosa: parâmetro de redeh, k, l: indices de Miller


Exemplo:O cobre tem estrutura CFC e o seu parametro de rede é de 0,361nm.

a) Qual a distancia interplanar entre os planos (220)?b) E para os planos (111)?

022

3610

222220

++=

,d

Solução:

a) nm,d 1280220 =

b)

111

3610

222111

++=

,d nm,d 2080111 =

Noções de cristalografia Indice de Miller (Densidade planar)

Por vezes, é importante determinar as densidades atômicas de alguns planos cristalográficos. Para isso, calcula-se uma quantidade designada por densidade atômica planar, ρP, usando a relação:

A densidade pode ser expressa em:

• Átomos/mm2 (conhecendo do raio do átomo, é possível expressar desta forma);

• Percentual, % (razão entre as áreas dos átomos e do plano escolhido).


Por conveniência, é costume usar a área do plano que intercepta a célula unitária, como se exemplifica na figura para o plano (110) da célula unitária CCC. Nestes cálculos, para que a área de um átomo seja contada, o plano considerado terá de interceptar o centro do átomo. No exemplo, o plano (110) intercepta o centro de cinco átomos, mas conta-se apenas o equivalente a dois átomos (número efetivo), já que apenas um quarto de cada um dos quatro átomos dos vértices fica contido na área da célula unitária.


Exemplo: Calcule a densidade atômica planar (átomos/mm2) no plano (110) do ferro-α, cuja rede é CCC. O parâmetro de rede do ferro-α é 0,287 nm.

O número efetivo de átomos intersectados pelo plano (110): 1 átomo no centro + 4 x ¼ átomos nos quatro vértices do plano = 2 átomos.

A área do plano (110) interior à célula unitária (área selecionada) é: ( ) aaa 222 =

(83%)a

R

2

2

2

2π=ρ 830

28

3,=

π=ρ

ou


Exemplo: Compare a densidade planar dos planos (111) e (100) para CFC.

Densidade planar do plano (100)


Densidade planar do plano (111)

O plano (111) é muito mais denso do que o plano (100) na estrutura CFC:ρ(111) > ρ(100)

Considerando o raio do cobre igual a 0,1278nm, calcule a densidade atômica (átomos/mm2) para os planos (111) e (100).

23ah =

22Ra = 212802 .,.a = mm,a 10623 7−=

10131

2

13−=ρ

,

atomos

( )3

2

10623 7 2−=

,área

21310131 mm,Area −=

21310771 mm/atomos,=ρ

2aArea = 213

10311 mm,Area −=

10311

2

13−=ρ

,

atomos 21310521 mm/átomos,=ρ

32

2a

área =

Exemplo:

Mostre, através de desenho, a posição dos átomos nos seguintes:a) CFC (110).b) CCC (110)Lembrete: somente os átomos cujo centro pertencem ao plano podem ser considerados pertencentes aoplano.Para cada plano, calcule a fração de empacotamento planar (área ocupada pelos átomos/área do plano)

a) Número de átomos (4x1/4+2x1/2) = 2 atomos

A área do plano (retangulo colorido) a x a.raiz(2)

b) Para a estrutura CCC o plano (110) mostrado na figura da direita, podemos utilizar para cálculos o plano colorido de rosa. O número total de átomos nesta seção é equivalente a 2 átomos ( 4 x ¼ + 1)

A área do retangulo é o produto do parametro de rede (a) multiplicado pela altura (1,41a):

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