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Métodos Numéricos
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MÉTODOS NUMÉRICOS
CAPÍTULO 2: MÉTODOS PARA LA
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES.
MÉTODO DE GAUSS – JORDAN E
INVERSIÓN DE MATRICES.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Abril de 2015.
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 51
2.4.- MÉTODO DE GAUSS – JORDAN.
Matriz diagonal. Definición.
Una matriz diagonal de orden n es una matriz )( ijdD con la propiedad de que 0ijd
siempre que ji .
Matriz identidad. Definición.
La matriz identidad de orden n, )( ijnI , es la matriz diagonal con elementos
ji
jiij
si0
si1 (2.15)
Cuando el tamaño de In está claro, esta matriz se escribe simplemente como I.
La matriz identidad de orden tres es
100
010
001
3I (2.16)
La matriz identidad de orden cuatro es
1000
0100
0010
0001
4I (2.17)
Método de Gauss – Jordan.
El método de Gauss – Jordan es una variación de la eliminación de Gauss. La principal
diferencia consiste en que cuando una incógnita se elimina en el método de Gauss – Jordan,
ésta es eliminada de todas las otras ecuaciones, no solo de las subsecuentes. Además, todos
los renglones se normalizan al dividirlos entre su elemento pivote. De esta forma, el paso
de eliminación genera una matriz identidad en vez de una triangular. En consecuencia, no
es necesario usar la sustitución hacia atrás para obtener la solución.
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 52
1,
1,3
1,2
1,1
1...000
...
0...100
0...010
0...001
nn
n
n
n
a
a
a
a
(2.18)
La solución del sistema es:
1,11 nax , 1,22 nax , …, 1, nnn ax (2.19)
Ejemplo 2.12.
Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de Gauss-Jordan.
24 321 xxx
425 321 xxx
66 321 xxx
Solución.
Este ejercicio fue resuelto en el ejemplo 2.2 aplicando el método de eliminación Gaussiana
y sustitución hacia atrás. Aquí será resuelto aplicando el método de Gauss – Jordan para
establecer diferencias entre los métodos. Se comienza determinando la matriz ampliada de
coeficientes.
Matriz ampliada.
6
4
2
116
215
114
4,3
4,2
4,1
333231
232221
131211
a
a
a
aaa
aaa
aaa
El elemento pivote es )0(411 a . Se procede a normalizar el renglón 1 dividiendo dicho
renglón entre 4.
4
11
EE
Las operaciones están indicadas a continuación:
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 53
6
4
116
215
42
41
41
44
Y obtenemos:
6
4
5.0
116
215
25.025.01
4,3
4,2
4,1
333231
232221
13121
a
a
a
aaa
aaa
aa
Una primera diferencia entre el método de eliminación Gaussiana y sustitución hacia atrás
y el método de Gauss – Jordan es que en el primero no se requiere normalizar el renglón 1.
Ya normalizado el renglón 1 ( 111 a ), el objetivo es crear un cero en las posiciones donde
están 21a y 31a mediante operaciones en base al primer renglón. Se definen las siguientes
operaciones:
Renglón 2: 122 5EEE
Obsérvese que el valor que multiplica al renglón que contiene al pivote ( 5 ), es el mismo
que se debe convertir en cero (5) en el renglón 2.
Renglón 3: 133 6EEE
Obsérvese que el valor que multiplica al renglón que contiene al pivote (6), es el mismo
que se debe convertir en cero (5) en el renglón 3.
Las operaciones están indicadas a continuación:
)5.0(66
)5.0(54
5.0
)25.0(61)25.0(61)1(66
)25.0(52)25.0(51)1(55
25.025.01
Y obtenemos:
9
5.6
5.0
5.25.00
25.325.00
25.025.01
4,3
4,2
4,1
3332
2322
1312
0
0
1
a
a
a
aa
aa
aa
El elemento pivote es )0(25.022 a . Se procede a normalizar el renglón 2. La
normalización de renglones es necesaria con el objeto de obtener los elementos de la
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 54
diagonal iguales a la unidad. Obsérvese que al igual que en el primer paso del
procedimiento de Gauss – Jordan, en este paso el método de eliminación Gaussiana y
sustitución hacia atrás no requiere normalización de renglones, mientras que en el método
de Gauss – Jordan siempre será necesario tal como se ha ilustrado. Para normalizar el
renglón 2, se divide dicho renglón entre –0.25
25.0
22
EE
Las operaciones están indicadas a continuación:
9
5.0
5.25.00
25.025.01
25.05.6
25.025.3
25.025.0
25.00
Y obtenemos:
9
26
5.0
5.25.00
1310
25.025.01
4,3
4,2
4,1
3332
23
1312
0
10
1
a
a
a
aa
a
aa
Ya normalizado el renglón 2 ( 122 a ), el objetivo es crear un cero en las posiciones donde
están 12a y 32a mediante operaciones en base al segundo renglón. He aquí otra diferencia
entre el método de eliminación de Gauss con sustitución hacia atrás y el método de Gauss –
Jordan, puesto que en el primero, se creaba el cero sólo en la posición donde está 32a ,
mientras que en el segundo se deben crear en las dos posiciones citadas ( 12a y 32a ).
Evidentemente el método de Gauss – Jordan involucra mayor cantidad de operaciones
aritméticas y por lo tanto requiere una cantidad adicional de tiempo para su ejecución.
Se definen las siguientes operaciones:
Renglón 1: 211 25.0 EEE
Renglón 3: 233 5.0 EEE
Las operaciones están indicadas a continuación:
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 55
)26(5.09
26
)26(25.05.0
)13(5.05.2)1(5.05.0)0(5.00
1310
)13(25.025.0)1(25.025.0)0(25.01
Y obtenemos:
4
26
6
400
1310
301
4,3
4,2
4,1
33
23
13
00
10
01
a
a
a
a
a
a
El elemento pivote es )0(433 a . Se procede a normalizar el renglón 3 dividiendo dicho
renglón entre –4.
4
33
EE
Las operaciones están indicadas a continuación:
44
44
40
40
26
6
1310
301
Y obtenemos:
1
26
6
100
1310
301
4,3
4,2
4,1
23
13
100
10
01
a
a
a
a
a
Ya normalizado el renglón 3 ( 133 a ), el objetivo es crear un cero en las posiciones donde
están 13a y 23a mediante operaciones en base al tercer renglón. Se definen las siguientes
operaciones:
Renglón 1: 311 3EEE
Renglón 2: 322 13EEE
Las operaciones están indicadas a continuación:
1
)1(1326
)1(36
100
)1(1313)0(131)0(130
)1(33)0(30)0(31
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 56
Y obtenemos:
1
13
3
100
010
001
4,3
4,2
4,1
100
010
001
a
a
a
La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss-Jordan es:
31 x , 132 x y 13 x .
Finalmente, dentro de las diferencias entre los métodos de eliminación Gaussiana con
sustitución hacia atrás y de Gauss – Jordan se encuentra que en el primero la solución debe
ser obtenida aplicando las fórmulas de sustitución hacia atrás, mientras que en el segundo
dicha sustitución no es necesaria, puesto que se obtiene la solución del sistema (cuando
tenga solución) en una forma directa, lo cual representa una ventaja para el método de
Gauss - Jordan.
Ejemplo 2.13.
Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de Gauss – Jordan.
2421 xxx
12 4321 xxxx
432 4321 xxxx
323 4321 xxxx
Solución.
3
4
1
2
2113
1321
1112
1011
5,4
5,3
5,2
5,1
44434241
34333231
24232221
14131211
a
a
a
a
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
Normalizar el primer renglón. El primer renglón ya se encuentra normalizado ( 111 a ).
3
4
1
2
2113
1321
1112
1011
5,4
5,3
5,2
5,1
44434241
34333231
24232221
1413121
a
a
a
a
aaaa
aaaa
aaaa
aaa
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 57
Crear cero en las posiciones 21a , 31a y
41a .
122 2EEE
133 EEE
144 3EEE
9
6
3
2
1140
0330
1110
1011
5,4
5,3
5,2
5,1
444342
343332
242322
141312
0
0
0
1
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
aaa
Normalizar el segundo renglón.
1
22
EE
9
6
3
2
1140
0330
1110
1011
5,4
5,3
5,2
5,1
444342
343332
2423
141312
0
0
10
1
a
a
a
a
aaa
aaa
aa
aaa
Crear cero en las posiciones 12a , 32a y 42a .
211 EEE
233 3EEE
244 4EEE
3
3
3
1
3300
3000
1110
0101
5,4
5,3
5,2
5,1
4443
3433
2423
1413
00
00
10
01
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
Normalizar el tercer renglón. No es posible normalizar el tercer renglón, puesto que 033 a
. Si intercambian los renglones 3 y 4.
43 EE
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 58
3
3
3
1
3000
3300
1110
0101
Normalizar el tercer renglón.
3
33
EE
3
1
3
1
3000
1100
1110
0101
5,4
5,3
5,2
5,1
4443
34
2423
1413
00
100
10
01
a
a
a
a
aa
a
aa
aa
Crear cero en las posiciones 13a , 23a y 43a . Obsérvese que 043 a , por lo cual no se
requiere operación sobre el renglón 3.
311 EEE
322 EEE
3
1
2
0
3000
1100
0010
1001
5,4
5,3
5,2
5,1
44
34
24
14
000
100
010
001
a
a
a
a
a
a
a
a
Normalizar el cuarto renglón.
3
44
EE
1
1
2
0
1000
1100
0010
1001
5,4
5,3
5,2
5,1
34
24
14
1000
100
010
001
a
a
a
a
a
a
a
Crear cero en las posiciones 14a , 24a y 34a . Obsérvese que 024 a , por lo cual no se
requiere operación sobre el renglón 2.
411 EEE
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 59
433 EEE
1
0
2
1
1000
0100
0010
0001
5,4
5,3
5,2
5,1
1000
0100
0010
0001
a
a
a
a
La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss-Jordan es:
11 x , 22 x , 03 x y 14 x .
Ejemplo 2.14.
[BF] Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de Gauss-Jordan.
3321 xxx (A)
2321 xxx (B)
83 321 xxx (C)
Solución.
Matriz ampliada.
8
2
3
131
111
111
4,3
4,2
4,1
333231
232221
131211
a
a
a
aaa
aaa
aaa
Normalizar el primer renglón. No es necesario normalizar el primer renglón, puesto que
111 a .
8
2
3
131
111
111
4,3
4,2
4,1
333231
232221
13121
a
a
a
aaa
aaa
aa
Crear cero en las posiciones 21a y 31a .
122 EEE
133 EEE
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 60
5
5
3
020
020
111
4,3
4,2
4,1
3332
2322
1312
0
0
1
a
a
a
aa
aa
aa
Normalizar el segundo renglón.
2
22
EE
5
5.2
3
020
010
111
4,3
4,2
4,1
3332
23
1312
0
10
1
a
a
a
aa
a
aa
Crear cero en las posiciones 12a y 32a .
211 EEE
133 2EEE
0
5.2
5.0
000
010
101
4,3
4,2
4,1
33
23
13
00
10
01
a
a
a
a
a
a
Normalizar el tercer renglón. No es posible normalizar el tercer renglón, pues 033 a y
puesto que es el último renglón, no hay adicionales para intercambiar. No se puede seguir
el procedimiento de Gauss – Jordan. En este caso el sistema equivalente es:
5.031 xx (1)
5.22 x (2)
00 (3)
El sistema admite infinitas soluciones, puesto que la ecuación (3) es una igualdad.
La razón por la cual el sistema planteado tiene infinitas soluciones es porque una ecuación
resulta de la combinación lineal de las otras. En el ejemplo anterior se puede demostrar que
CBA 2 .
En la implementación real de cualquiera de los métodos directos se puede tener
especial cuidado para darse cuenta de las operaciones que no se necesitan realizar, como
por ejemplo, una multiplicación cuando se sabe que uno de los factores es uno, o una resta
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 61
cuando se conoce que el sustraendo es cero. Para ambos métodos, el número de
multiplicaciones y divisiones requerido puede reducirse.
Ejercicios adicionales.
9. [CC] Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordan para resolver:
12 321 xxx
4225 321 xxx
53 321 xxx
Compruebe las respuestas por sustitución de las ecuaciones originales.
10. [CC] Resuelva:
3321 xxx
2226 321 xxx
143 321 xxx
mediante la eliminación de Gauss - Jordan.
11. [BF] Usar el método de Gauss – Jordan y aritmética de redondeo a 2 dígitos para
resolver los sistemas del ejercicio 6.
12. [BF] Repetir el ejercicio 8 usando el método de Gauss – Jordan.
13. [BF] Considere el siguiente método híbrido de eliminación Gaussiana – Gauss – Jordan
para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Primero se aplica la técnica de eliminación
Gaussiana para reducir el sistema a la forma triangular mostrada en la página 3. Después se
usa la n-ésima ecuación para eliminar los coeficientes de nx en cada uno de los primeros
1n renglones. Cuando esto se completa, se usa la ecuación 1n para eliminar los
coeficientes de 1nx en los primeros 2n renglones, etc. El sistema eventualmente tendrá
la forma del sistema reducido
1,
1,3
1,2
1,1
33
22
11
...000
...
0...00
0...00
0...00
nn
n
n
n
nna
a
a
a
a
a
a
a
(2.20)
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 62
La solución se obtiene tomando
ii
ni
ia
ax
1, (2.21)
a) Use el método híbrido descrito y aritmética de 2 dígitos para resolver los sistemas en el
ejercicio 6.
b) Repetir el ejercicio 8 usando el método descrito.
2.5.- INVERSA DE UNA MATRIZ.
Matriz inversa. Definición.
Se dice que una matriz A de nn es no-singular si existe una matriz 1A de nn tal que
IAAAA 11 (2.22)
La matriz 1A se llama inversa de A. Una matriz que no tiene inversa se llama singular.
Cálculo de la matriz inversa.
La inversa se puede calcular en forma de columna por columna, generando soluciones con
vectores unitarios como las constante del lado derecho. Por ejemplo, si la constante del lado
derecho de la ecuación tienen un número 1 en la primera posición, y ceros en las otras
0
0
1
}{b
la solución resultante será la primera columna de la matriz inversa. En forma similar, si se
emplea un vector unitario que tiene un número 1 en el segundo renglón
0
1
0
}{b
el resultado será la segunda columna de la matriz inversa.
Ejemplo ilustrativo 1.
Sea
873
752
321
A
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 63
Para calcular 1A debemos resolver los tres sistemas lineales
132 321 xxx
0752 321 xxx
0873 321 xxx
032 321 xxx
1752 321 xxx
0873 321 xxx
032 321 xxx
0752 321 xxx
1873 321 xxx
Los cálculos se realizan convenientemente en la matriz aumentada más grande, formada
combinando las matrices:
100
010
001
873
752
321
Ya que la matriz de coeficientes reales no cambia, debemos efectuar la misma secuencia de
operaciones de renglón para cada sistema lineal. Primero, efectuando
122 2EEE y
133 3EEE
103
012
001
110
110
321
En seguida, efectuando
233 EEE
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 64
111
012
001
200
110
321
Se podría hacer una sustitución hacia atrás en cada una de las tres matrices aumentadas,
1
2
1
200
110
321
1
1
0
200
110
321
1
0
0
200
110
321
para encontrar todos los elementos de 1A , pero frecuentemente, es más conveniente usar la
reducción de renglones adicional. En particular la operación
2
33
EE nos lleva a:
5.05.05.0
012
001
100
110
321
y
311 3EEE
322 EEE
5.05.05.0
5.05.05.2
5.15.15.0
100
010
021
Finalmente 211 2EEE
5.05.05.0
5.05.05.2
5.05.25.4
100
010
001
La matriz aumentada final representa a las soluciones de los tres sistemas lineales
5.41 x 5.21 x 5.01 x
5.22 x 5.02 x 5.02 x
5.03 x 5.03 x 5.03 x
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 65
así que
5.05.05.0
5.05.05.2
5.05.25.41A
En el ejemplo, ilustramos como calcular 1A . Como vimos en ese ejemplo, es conveniente
arreglar la matriz aumentada más grande
IA
Llevando a cabo la eliminación siguiendo el algoritmo de Gauss, obtenemos una matriz
aumentada de la forma
YU
Donde U es una matriz nn con 0iju siempre que ji y Y representa la matriz de
nn obtenida al efectuar las mismas operaciones a la identidad I que fueron realizadas
para pasar de A a U. Aquí, hay que elegir entre n aplicaciones del algoritmo de sustitución
hacia atrás o reducción adicional hasta llegar a
1AI
¿Cómo sabemos si una matriz A es invertible o no?
Si aplicamos el procedimiento de transformar IA a su forma reducida y si en cualquier
etapa encontramos que cualquiera de los renglones a la izquierda de la línea vertical sólo
consta de ceros, entonces puede probarse que 1A no existe.
Ejemplo 2.15.
Determine 1A si existe, dada
1073
752
321
A
Solución.
100
010
001
1073
752
321
122 2EEE
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 66
133 3EEE
103
012
001
110
110
321
211 2EEE
233 EEE
111
012
025
000
110
101
Dado que el tercer renglón a la izquierda de la línea vertical sólo consta de ceros, la
reducción no puede completarse. Debemos concluir que 1A no existe y que A es una
matriz singular.
Ejemplo 2.16.
Determine 1A si existe, dada
131
111
111
A
Solución.
100
010
001
131
111
111
122 EEE
133 EEE
101
011
001
020
020
111
2
22
EE
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 67
101
05.05.0
001
020
010
111
211 EEE
233 2 EEE
112
05.05.0
05.05.0
000
010
101
Dado que el tercer renglón a la izquierda de la línea vertical sólo consta de ceros, la
reducción no puede completarse. Debemos concluir que 1A no existe y que A es una
matriz singular.
Recuérdese que esta matriz es la misma matriz de coeficientes del ejemplo 2.14.
Como regla general tenemos que cualquier sistema en el cual la matriz de coeficientes sea
singular, dicho sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones.
Las inversas de matrices tienen muchos usos, uno de los cuales está en la solución
de sistemas de ecuaciones. En secciones precedentes, resolvimos sistemas de ecuaciones
lineales transformando la matriz aumentada a su forma reducida. En el caso en que
tengamos n ecuaciones con n variables, también podemos resolver el sistema encontrando
la inversa de la matriz de coeficientes.
Un sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como
BXA (2.23)
Si la matriz de coeficientes A es invertible, existe 1A . Multiplicando ambos lados de la
ecuación matricial dada por 1A , obtenemos
BAXAA 11 )( (2.24)
Usando la propiedad asociativa y simplificando, podemos escribir esto de la manera
siguiente:
BAXAA 11 )(
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 68
BAXI 1
BAX 1 (2.25)
Así, hemos obtenido una expresión que proporciona la solución X del sistema de
ecuaciones dados.
Ejemplo 2.17.
Resuelva el sistema de ecuaciones lineales siguiente (Véase ejemplos 2.2 y 2.12):
24 321 xxx
425 321 xxx
66 321 xxx
Solución.
Determinación de la matriz inversa.
100
010
001
116
215
114
4
11
EE
100
010
0025.0
116
215
25.025.01
122 5EEE
133 6EEE
105.1
0125.1
0025.0
5.25.00
25.325.00
25.025.01
25.0
22
EE
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 69
105.1
045
0025.0
5.25.00
1310
25.025.01
211 25.0 EEE
233 5.0 EEE
121
045
011
400
1310
301
4
33
EE
25.05.025.0
045
011
100
1310
301
311 3EEE
322 13EEE
25.05.025.0
25.35.275.1
75.05.025.0
100
010
001
La matriz inversa es
25.05.025.0
25.35.275.1
75.05.025.01A
La solución del sistema es:
BAX 1
6
4
2
25.05.025.0
25.35.275.1
75.05.025.0
X
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 70
)6()25.0()4()5.0()2()25.0(
)6()25.3()4()5.2()2()75.1(
)6()75.0()4()5.0()2()25.0(
X
1
13
3
X
A primera vista, puede parecer que este método de resolver un sistema de
ecuaciones es mucho menos conveniente que el método más simple de reducción de
renglones (Gauss y Gauss – Jordan). La ventaja de usar la matriz inversa se hace patente en
casos en que deben resolverse varios sistemas de ecuaciones con la misma matriz de
coeficientes. En problemas de este tipo, las soluciones de todos los sistemas pueden
determinarse de inmediato una vez que se ha encontrado la inversa de la matriz de
coeficientes; no es necesario usar la reducción de renglones una y otra vez sobre cada
sistema.
Ejemplo 2.18.
Resolver los tres sistemas lineales de 44 .
Sistema 1. Sistema 2. Sistema 3.
22 4321 xxxx 22 4321 xxxx 32 4321 xxxx
4332 421 xxx 2332 421 xxx 2332 421 xxx
24321 xxxx 24321 xxxx 44321 xxxx
823 431 xxx 223 431 xxx 423 431 xxx
Solución.
Obsérvese que los tres sistemas tienen la misma matriz de coeficientes.
2103
1111
3032
2111
A
Se determina la matriz inversa:
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 71
1000
0100
0010
0001
2103
1111
3032
2111
122 2 EEE
133 EEE
144 3EEE
1003
0101
0012
0001
4430
1020
1210
2111
1
22
EE
1003
0101
0012
0001
4430
1020
1210
2111
211 EEE
233 2EEE
244 3EEE
1039
0125
0012
0013
71000
3400
1210
3301
4
33
EE
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 72
1039
025.05.025.1
0012
0013
71000
75.0100
1210
3301
311 3EEE
222 2EEE
344 10EEE
15.225.3
025.05.025.1
05.005.0
075.05.075.0
5.0000
75.0100
5.0010
75.0001
5.0
44
EE
2547
025.05.025.1
05.005.0
075.05.075.0
1000
75.0100
5.0010
75.0001
411 74.0 EEE
422 5.0 EEE
433 75.0 EEE
2547
5.15.35.24
1223
5.15.45.36
1000
0100
0010
0001
La matriz inversa es:
2547
5.15.35.24
1223
5.15.45.36
1A
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 73
La solución de cada sistema de ecuaciones es:
Sistema 1.
4
3
2
1
8
2
4
2
2547
5.15.35.24
1223
5.15.45.36
X
Sistema 2.
1
0
1
0
2
2
2
2
2547
5.15.35.24
1223
5.15.45.36
X
Sistema 3.
1
1
1
1
4
4
2
3
2547
5.15.35.24
1223
5.15.45.36
X
Otra forma de resolver el problema es aplicando el método de Gauss – Jordan a la matriz
aumentada
4104
434
272
316
2103
1111
3032
2111
, el cual al ser reducido, conduce a:
104
113
102
111
1000
0100
0010
0001
, teniéndose que las soluciones son:
Sistema 1. Sistema 2. Sistema 3.
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 74
4
3
2
1
X
1
0
1
0
X
1
1
1
1
X
Ejercicios adicionales.
14. [BF] Determine cuáles de las siguientes matrices son no-singulares y calcule, si es
posible, sus inversas.
a)
312
703
624
b)
113
112
021
c)
4201
5112
2421
1111
d)
7396
173
5142
2132
23
e)
1145
01119
0076
0004
f)
3413
1312
2011
2102
15. [NS] Los siguientes conjuntos de ecuaciones lineales tienen coeficientes comunes pero
distintos términos del lado derecho.
a) 1321 xxx b) 2321 xxx c) 2321 xxx
432 321 xxx 532 321 xxx 132 321 xxx
2223 321 xxx 1223 321 xxx 4223 321 xxx
Los coeficientes y los tres conjuntos de términos del lado derecho se pueden combinar en
un arreglo
412
154
221
223
312
111
Si aplicamos el esquema de Gauss – Jordan a este arreglo y reducimos las tres primeras
columnas a la forma de la matriz identidad, las soluciones para los tres problemas se
obtienen en forma automática en las columnas cuarta, quinta y sexta al terminar la
eliminación. Calcule la solución de esta forma.
16. [BF] Dados los cuatro sistemas lineales de 33 con la misma matriz de coeficientes
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 75
232 321 xxx 632 321 xxx 032 321 xxx 132 321 xxx
1321 xxx 4321 xxx 1321 xxx 0321 xxx
03 321 xxx 53 321 xxx 33 321 xxx 03 321 xxx
a) Resuelva los sistemas lineales aplicando eliminación Gaussiana a la matriz aumentada
0350
0141
1062
311
111
132
b) Resuelva los sistemas lineales aplicando el método de Gauss – Jordan a la matriz
aumentada de (a).
c) Resuelva los sistemas lineales encontrando la inversa de
311
111
132
A
y multiplicando.
d) ¿Cuál método parece más fácil? ¿Cuál método requiere más operaciones?
17. [BF] Repetir el ejercicio 15 usando los sistemas lineales:
62 4321 xxxx 12 4321 xxxx
4431 xxx 1431 xxx
2432 4321 xxxx 2432 4321 xxxx
5432 xxx 1432 xxx
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 76
RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.
2.4.- MÉTODO DE GAUSS – JORDAN.
9. 141 x , 322 x , 53 x .
10. 25.01 x , 5.02 x , 2.253 x .
2.5.- INVERSA DE UNA MATRIZ.
14. a) Singular; b)
375.0625.0125.0
125.0125.0625.0
25.025.025.0
; c) Singular; d) Singular; e)
1115.0
01571429.1107143.0
00142857.0214286.0
00025.0
; f)
1333333.1333333.00
0666667.0666667.01
1666667.1666667.11
1101
15.
161
43
1617
1627
413
165
41
41 2
100
010
001
Sistema a. Sistema b. Sistema c.
1617
165
41
X
43
413
2
X
161
1627
41
X
16. a)
4.08.22.86.0
5.0112
1062
8.200
5.15.20
132
b)
142857.01928571.2214286.0
285714.01357143.1928571.0
142857.01428571.2285714.0
100
010
001
c)
357143.0071429.0142857.0
214286.0357143.0285714.0
142857.0571429.0142857.01A
d) El método c) es el más fácil, y requiere menor cantidad de operaciones.
Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 77
17. a)
11
08
02
16
1000
8800
2310
1211
b)
11
12
16
13
1000
0100
0010
0001
c)
125.025.075.0
1125.0625.0875.0
1125.0375.0125.0
0125.0625.0125.0
1A
d) El método c) es el más fácil, y requiere menor cantidad de operaciones.
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