Função inversa

RELAÇÃO• Dados os conjuntos A e B, qualquer subconjunto do

produto cartesiano A x B é chamado de relação de A em B.

• Sejam os conjuntos A = { 1, 2 } e

B = { 1, 2, 3, 4 } e o produto cartesiano A x B. • A x B = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3),

(2,4)}

Qual é o conjunto dos pares A x B onde o 1º elemento é igual ao 2º elemento?

R = { ( 1,1 ), (2,2) } R ⊂ A x B

Prof. Meire de Fátima

Lei de formação:• Existe uma lei de formação entre os conjuntos

A e B. No caso do exemplo anterior temos:

R = { (x,y) | x ∈ A, y ∈ B e y = x }

1

2

1

2

3

4y = x

A B


DOMÍNIO E IMAGEM

Sejam os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3} e B = { 1, 2, 4, 5, 6 } e a relação R de A em B, tal que:

R = { { (x, y ) | x ∈ A, y ∈ B e y = 2 x } R = { (1, 2 ), (2, 4 ), (3, 6 ) }

Domínio: { 1, 2, 3 ) primeiros elementos dos pares Imagem: { 2, 4 6 } segundos elementos dos pares


Relação Inversa

• Seja dada a relação R, tal que:

R = { (1,3 ), (2, 5 ), ( 3, 8) }

invertendo os valores dos pares obtemos

a relação inversa de R

R -1 = { (3,1), (5, 2 ), (8, 3 ) }


FUNÇÕES • Sejam dois conjuntos A ≠ Ø e B ≠ Ø , e uma

relação f de A em B. Dizemos que f é uma função ou aplicação de A em B se a todo elemento x ∈ A associa-se um único

elemento y ∈ B, tal que o par ( x, y ) ∈ f. • Lemos: f : A B

Ou y = f ( x )


Observações:

• 1- Toda função é uma relação

• 2- Nem toda relação é uma função.

Vamos verificar os casos:


.

.

.

.

.

.

Vários elementos de A associarem-se ao mesmo elemento em B

.

.

.

.

.f

Sobrar elementos em B

A B

A B

Proibido: A

B

Sobrar elementos em A

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

A B

Um elemento de A associar-se a vários elementos em B

Permitido:Prof. Meire de Fátima

. Domínio:

É o conjunto de partida das flechas ( A ), são os valores de x na função.

. Contradomínio:

É o conjunto de chegada das flechas ( B ), são todos os valores de B.

. Imagem:

São as respostas encontradas para o y.

Imagem pode ser uma parte ou igual ao conjunto B


Função sobrejetora:

Uma função f : A B é sobrejetora quando o conjunto imagem coincide com o contradomínio B.


A Bf

REPARE QUE NÃO HÁ ELEMENTO SOBRANDO EM B

Função sobrejetora:Prof. Meire de Fátima

Função Injetora:

Uma função f : A B é injetora quando a dois diferentes valores de A correspondem dois diferentes valores em B.


REPARE QUE CADA ELEMENTO DE B SÓ PODE CORRESPONDER A UM ELEMENTO DE A.

AB

Função Injetora:

Função bijetora:

Uma função f : A B é bijetora quando é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.

REPARE QUE NÃO SOBRA ELEMENTO EM B E CHEGA UMA ÚNICA FLECHA EM CADA ELEMENTO DE B.

A B


FUNÇÃO CRESCENTE:

Forma geral: y = ax + b

Se a > 0, ou seja o valor de a é positivo

A função é crescente.

Observe:

y = 2 x + 9

a = 2 e 2 > 0 f(x) é crescente∴


Consideremos a função f : A B e sejam x1 A e x2 A sendo x1 < x2 . A função é estritamente crescente se

f(x1 ) < f(x2 ) . Observe o gráfico:

x

y

x1x2

f(x1 )

f(x2 )

0

Gráfico da função crescente:

x1 < x 2 f(x1 ) < f(x 2 )


Função decrescente:

Forma geral: f(x) = a x + b

Se a < 0 ( a é negativo)

A função é decrescente.

Observe:

f(x) = - 2 x + 9

a = -2 ( função decrescente)


Gráfico da função decrescente:

x1 < x 2 f(x1 ) > f(x 2 )

Consideremos a função f : A B e sejam x1 A e x2 A sendo x1 < x2 . A função é estritamente decrescente se

f(x1 ) > f(x2 ) . Observe o gráfico:


x

Y

x1 x2

f(x1 )

f(x 2 )

0

x1 < x 2 f(x1 ) > f(x 2 )


Função constante:

Forma geral: f(x) = ax + b

Se a = 0 temos f(x) = b ( valor constante)

Observe:

y = 2

f(x) = -3, etc.

( o gráfico é paralelo ao eixo Ox)


Gráfico da função constante:

x1< x2 f(x1) = f(x2 )

Consideremos a função f : A B e sejam x1 A e x2 A sendo x1 < x2 . A função é estritamente CONSTANTE se

f(x1 ) = f(x2 ) para quaisquer valores de x1 e x2

.Observe o gráfico:


X

Y

0X1 X2

f(x1)

f(x2)


FUNÇÃO INVERSA:

SEJA f: A B onde y = f(x) = 2x.

Sendo A = (1,3) e B = (2,6). Qual a imagem de f?

1

3

2

6

AB

MUITO SIMPLES!

A FUNÇÃO É BIJETORA

ASSIM A IMAGEM = CONTRADOMÍNIO, PORTANTO

Im = { 2,6 }

AGORA OBSERVE ESTA FUNÇÃO:

2

6

1

3

BA

ENGRAÇADO, A FUNÇÃO FOI INVERTIDA

O QUE ERA IMAGEM VIROU DOMÍNIO E O QUE ERA DOMINIO VIROU IMAGEM!

Dom = { 2, 6 } Im = { 1, 3 }

Conj. de partida Valores de y

y = x / 2


Se f : A B for uma função bijetora , a função inversa de f é uma função definida de B em A e indicada por f –1 : B A

Veja que se (x, y) ε f ( y , x ) ε f –1

1

3

2

6

2

6

1

3

A B

f

B A

f –1

Y = 2 x Y = x / 2

Se f = { ( 1, 3), (2, 6) } e

f -1 = { (3, 1), (6, 2) }, o x virou y e o y virou x.

Vejamos a maneira prática de achar a função inversa de uma função dada.

Se f : A B, definida por y = 2 x:

1)troca-se x por y e y por x:

x = 2 y

2) Isola-se o y: x = 2y

x / 2 = y

f ( x ) = 2 x e sua inversa f –1 (x) = x /2


FUNÇÃO INVERSA

• Dada uma função f: A B, bijetora, denomina-se função inversa de f a função g: B A tal que se f( a ) = b, então g (b) = a


Processo para determinar a inversa de uma função:

• Sendo f( x ) = 4 x , vamos determinar a inversa de f (x) ou seja f -1

• Basta trocar x por y e y por x • Isolar y • Y = 4 x trocando: x = 4y x / 4 = y ( inversa ) y = 4 x y = x / 4


• GRÁFICOS DE FUNÇÕES INVERSAS

x Y=f(x)

0 2

1 3

2 4

x Y=f(x)

0 -2

1 -1

2 0

f

Reta y=x

f-12

3

4

1 2

-1

-2

x

y


f(x) = x 2 e f -1 (x) = √ x Prof. Meire de Fátima

• Os gráficos das funções inversas são simétricos em relação a reta y = x que representa a bissetriz dos quadrantes ímpares. Isso ocorre em todos os casos de função inversa.

• (x, y) e (y, x) são pontos simétricos em relação a bissetriz dos 1º e 3º quadrantes

( ímpares) y = x

• FUNÇÃO PAR

Considere a função f(x) = x 2

Seu gráfico é dado por:


Observe que:

• f (1 ) = 12 = 1 • f (-1) = (-1)2 = 1 f(1) = f (- 1) = 1, tem a mesma imagem

Uma função é considerada par se e somente se f ( x ) = f ( - x ) para x ∈ R

O gráfico é simétrico em relação ao eixo y


FUNÇÃO ÍMPAR• Vamos considerar a função f ( x ) = x 3

• f( 1 ) = 1 3 = 1 f(2) = 2 3 = 8 • f(-1) = (-1) 3 = -1 f(-2) = (-2) 3 = -8

Tem imagens opostas 1 é oposto de -1 Dizemos que f(x) é ímpar se tiver imagens

opostas f(-x) = - f(x) O gráfico de f(x) é simétrico em relação ao ponto O (origem )


F(2) = 8

F(-1) = -1

F(-1) = -1

F(-2) = -8

x y

-2 -8

-1 -1

0 0

1 1

2 8

F(1) = 1


Como identificar uma função:

• Dado um gráfico qualquer, basta traçar uma reta paralela ao eixo y.

• Se ela cortar o gráfico em mais de um ponto, significa que NÃO É FUNÇÃO.


• Observe:

Corta o gráfico em mais de um ponto

Não é função

Corta o gráfico em um único ponto.

È função.

x

F(x)F(x)

x

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO

DOMÍNIO: • Você já sabe que:

Não existe divisão por zero.

Não existe raíz de índice par de número real negativo. Assim:

4 / 0 não é definido

√-3 não é definida nos reais.

POR ISTO, QUANDO APARECE LETRAS NO DENOMINADOR OU NO RADICAL:


• Devemos estabelecer a condição de existência do domínio da função:

• Exemplos:

y = 4 / x ( x deve ser diferente de zero)

C.E: { x IR/ x ≠ 0 } ∊Assim D = { x IR/ x ≠ 0 } ∊

y = 5x / x + 2 y = 5x / x + 2 C.E: x + 2 ≠ 0C.E: x + 2 ≠ 0 x ≠ -2 x ≠ -2 { x { x IR/ x ≠ -2 } ∊ IR/ x ≠ -2 } ∊Assim D= Assim D= { x { x IR/ x ≠ -2 } ∊ IR/ x ≠ -2 } ∊

• √x + 3 = 0 x + 3 ≥ 0 ( a raíz deve ser maior ou igual a zero)

x ≥ -3 C.E: { x IR/ x ≥ -3 }∊

5 + x5 + x

√√ x – 2 x – 2 ( a raíz deve ser maior que zero) ( a raíz deve ser maior que zero)

C.E: C.E: { x { x IR/ x > 2 } ∊ IR/ x > 2 } ∊

= 0


Atividades:

• Estabeleça a condição de existência do domínio das funções abaixo:

• A) x + 9 = 0

• B) 3 / x + 7 = 0

• C) 5x / √ 2x – 3 = 0

• D) √2x + 5 = 0

• E) 5x + 9 / 3x + 16 = 0


• Respostas:

• A) não há restrições, D = IR ∴• B) D = { x IR / x ≠ -7 }∊• C) D = { x IR / x > 3/2 }∊• D) D = { x IR / x ≥ - 5/2 }∊• E) D = { x IR / x ≠ -16/3 }∊


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