Métodos de Calibração de Modelos hidrológicos

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Métodos de Calibração de Modelos hidrológicos. Carlos Ruberto Fragoso Júnior. Sumário. Conceito básicos O que é calibração? Problemas comuns na calibração de modelos hidrológicos Ciclo da calibração Métodos de calibração Função objetivo Técnicas numéricas Busca aleatória - PowerPoint PPT Presentation

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Métodos de Calibração de Modelos hidrológicos

Carlos Ruberto Fragoso Júnior

3:50

Sumário Conceito básicos

O que é calibração? Problemas comuns na calibração de modelos hidrológicos Ciclo da calibração

Métodos de calibração Função objetivo Técnicas numéricas

Busca aleatória Técnicas iterativas;

Busca direta; Técnicas de otimização global;

Algoritmos genéticos Critérios de parada

3:50

O que é calibração

Procura de valores dos parâmetros de um modelo matemático que resultem em uma boa concordância entre dados observados e calculados;

O erro é minimizado!!

3:50

Calibração - Otimização Encontrar o mínimo ou o máximo de uma função

100

120

140

160

0 10 20 30

3:50

Problemas comuns em modelos hidrológicos

Encontrar um conjunto ótimo de parâmetros que ajusta um evento de cheia ou uma série de vazões;

Encontrar o coeficiente do reservatório linear simples que ajusta adequadamente uma recessão de vazão.

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Problema:

Encontrar o coeficiente do reservatório linear simples que ajusta adequadamente uma recessão de vazão.

Q = V / k Q(t+dt) = Q(t) . exp(-dt/k)

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Q(t+dt) = Q(t) . exp(-dt/k)Primeiro teste: k = 20

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Modelos hidrológicos geralmente tem muitos parâmetros

Não lineares Técnicas de otimização automáticas Usar Funções Objetivo

Problemas na calibração de modelos hidrológicos

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Ciclo da calibração

Rodar o modelo

Verificar o erroAjustar os parâmetros

Critérios de parada

Critérios para um “bom ajuste” (Função objetivo)

Critérios para mudança dos parâmetros

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Métodos de calibraçãoMétodos decalibração

Tentativa e erro(Manual) Técnicas numéricas

Aleatório

Ajusta os parâmetrosmanualmentebaseado nos

resultados

Assume faixa deprobabilidade para

cada parâmetro

Usa algoritmosnuméricos para

encontrar um conjuntode parâmetros

ótimo

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Funções Objetivo (FO) Medida do erro – objetivo é minimizar a FO Diferentes funções objetivo

Somatório dos erros: compensação de erros Somatório do módulo dos erros Somatório dos erros ao quadrado Somatório de erros relativos Somatório dos desvios dos inversos da vazão Erro de volume (bias) Coeficiente de eficiência de Nash-Sutcliffe

0 20 40 60 80 100 120 140

tempo

vazõ

Observada

simulada

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Funções objetivo

Raiz do Erro Médio Quadrado (RSME)

XXRMSE

i idelmoiobs

2,, )(

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Funções objetivo

Raiz do Erro Médio Quadrado Normalizado (NRSME)

min,max, obsobs XX

RMSENRMSE

obsX

RMSENRMSE

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Funções objetivo

Coeficiente de correlação de Pearson

i in

i i

i ii

yyxx

yyxxr

)()(

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Funções objetivo

Coeficiente de eficiência de Nash-Sutcliffe

i obsiobs

i delmoiobs

XXE

)(

)(1

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Funções Objetivo

1iii )QCQO(1F

Função quadrática

1iii2 QCQOF Função módulo

ii)

1(3F Função para mínimos

2)QOi

QCiQOi(4F Função relativa

3:50

Exemplo

3:50

Técnicas de otimização

Cálculo analítico Técnicas numéricas

Busca aleatória Busca direta Algoritmos genéticos

3:50

Cálculo analítico Encontrar pontos da função em que a derivada é

zero. vantagens (pode ser rápido, é mais elegante) desvantagens (funções de picos múltiplos, funções

descontínuas, ausência da forma analítica da função - por exemplo no problema de calibração de um modelo chuva-vazão)

100

120

140

160

0 10 20 30

2x.cx.ba)x(F

0dx

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Haverá sempre um ponto de máximo ou mínimo, seja no interior da região delimitada pelas restrições ou nos limites, desde que a função objetivo seja contínua.

A condição necessária para que exista um ponto de máximo ou mínimo é a seguinte: pontos estacionários

1,2,...n = i para 0 x

A condição suficiente para que um ponto estacionário seja um mínimo é a seguinte

onde Ri são os menores principais da matriz Hessiana H.

1,2,...n=i para 0 R i

Cálculo analítico - Conceitos

3:50

2n1

F...

F............

F...

3:50

Exemplo

21221

21 xxx2x14xy

Determine o mínimo da função

0 xx4 x

0 14xx2 x

122

211

1- =xx

y =

y 4; =

y ;2

4 1

H =

x1= 8

x2 = 2

y = -56

Matriz positiva definida

3:50

Técnicas numéricas - Busca Aleatória Vantagens:

funções descontínuas; picos múltiplos

Desvantagens: demorado; não existe garantia de atingir o ponto ótimo global

100

120

140

160

0 10 20 30

“Ótimo”

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Características das Técnicas Numéricas Definição do ponto de partida: o critério para inicializar o

processo de tentativa em geral depende mais do problema em

questão do que do método. Direção de pesquisa: a direção de pesquisa identifica o vetor

no qual serão realizadas as alterações das variáveis. Espaçamento de cada tentativa: identifica a variação que

ocorrerá na direção de pesquisa a cada tentativa. Critérios de parada: envolve a definição dos critérios para

aceitar uma determinada solução como o ótimo de uma

função.

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Técnicas numéricas - Busca direta

Estratégia de caminhar “morro acima” 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Máximo globalMáximo local

Função objetivo: F(x1,x2)

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Início: ponto coordenadas (parâmetros) aleatórias

X1=valor aleatório entre a e b

X2=valor aleatório entre c e d

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Determina direção de busca: exemplo x2=x2+0,3; x1=x1

Função objetivo melhorou? Não, então tenta no outro sentido.

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

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4.5

F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

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F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

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4.5

F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

F.O melhorou? Não, então volta para o ponto anterior...

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F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

...e muda a direção de busca.

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

E assim segue até encontrar um ponto em que não existedireção de busca que melhore o valor da FO

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Método unidirecional

1. Direção de pesquisa paralela aos eixos;

2. Pesquisa em cada direção: espaçamento constante ou variável

3. Critério de parada desvantagens: (ao lado)

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Método da rotação das coordenadas (Rosenbrook)

Primeiro ciclo igual ao univariacional

segundo ciclo com rotação

duas alternativas para pesquisa em cada direção: método original que alterna a pesquisa de cada direção em cada tentativa;

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17,16 = y6 ;82,1375,3x5,188,6x

10,52 =y5 ;88,625,2x5,125,10x

34,56=y4 ; 25,105,1x5,15,12x

63,25=y3 ;5,121x5,114Sxx

88=y2 ;14Sxx

111

101

Primeiro ciclo direção x1

-31,67=y11 ;13,425,2.5,175,0x

-47,67=y10 ;75,05,1.5,15,1x

-33,02=y9 ;5,10,1.5,13x

-12,01=y8 ;314x

Primeiro ciclo direção x2

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Rosenbrock: Método um pouco mais eficiente

Direção de busca é a que potencialmente dará maior incremento da FO

3:50

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Limitação da busca direta: Ótimos locais

Região que atrai soluçãopara o ótimolocal

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Tentativa de contornar problema: Busca direta com inicialização múltipla

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

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Várias tentativas; espera se que o ótimo global seja a melhorsolução testada.

Problema: Ineficiente e ineficaz quando a FO tem muitos ótimos locais

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Técnicas numéricas – Busca direta Busca direta (Rosenbrock e cia.)

vantagens: funções descontínuas; otimização por simulação (funções que não podem ser expressas analiticamente - calibração de modelos)

desvantagens: funções com picos múltiplos

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Técnicas numéricas – Algoritmos genéticos Início

Inicialização da população

Cálculo da aptidão

Soluçãoencontrada?

Seleção

Reprodução

Mutação

Fim

Novapopulação

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•Conceitos de população, reprodução e gerações

•Filhos são semelhantes aos pais

•Os pais mais “adaptados” tem maior probabilidade de gerar filhos

•Os filhos não são completamente iguais aos pais

Algumas regras gerais dos algoritmos genéticos

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Pais mais adaptados têm maior probabilidade de gerar filhos

(sobrevivência do mais apto = seleção natural)

Darwin

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Algoritmos genéticos

Na natureza: indivíduos mais adaptados têm maior probabilidade de sobreviver até chegar à fase reprodutiva e de participar do processo de reprodução.

No algoritmo: pontos com maior FO têm maior probabilidade de serem escolhidos para participar dos complexos.

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120

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0 10 20 30

Algoritmo genético “puro”1 - gera população (pontos aleatórios)

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0 10 20 30

2 - escolhe pontos para participar do processo de “reprodução”(pontos com melhor FO tem maior probabilidade de escolha

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0 10 20 30

2 - Exemplo de reprodução: escolhidos dois pontos

Xa=8 Xb=19

Xa=01000binário Xb=10011

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Genética: filhos “recebem” cromossomos dos pais

0100010011

É determinado um (ou mais) ponto de “corte”(aleatório)

Xa=01011 = 11Xb=10000 = 16

0101110000

Filho 1: parte dos “cromossomos” do pai e parte da mãe

Filho 2: outra parte dos “cromossomos” do pai e parte da mãe

Filhos:

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0 10 20 30

pais

filhos

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Genética: filhos “recebem” cromossomos dos pais

0100010011

É determinado um (ou mais) ponto de “corte”(aleatório)

Xa=01011 = 11Xb=10100 = 20

0101110100

Filho 1: sem mutação

Filho 2: mutação

Filhos:

Mutação: evento de baixa probabilidade

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Reprodução de todos os pontos escolhidos resulta na nova geração

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Depois de algumas gerações

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Algumas desvantagens do algoritmo genético puro

•Números binários•Transformação de variáveis de base decimal para binária

Variável Y

-0,05 +180,3 decimal

0000000000 1111111111

Usando 10 bits; Resolução = 0,176

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Algumas vantagens do algoritmo genético puro

Otimização com números inteiros

Diâmetros comerciais

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Evolução de complexos misturados (Shuffled complex evolution) SCE - UA Usa técnicas de

busca aleatória algoritmos genéticos simplex (Nelder e Mead)

Proposto por Duan, Gupta e Sorooshian (U. Arizona)

Descrito no livro Sistemas Inteligentes da ABRH

3:50

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Passo 1

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Passo 2

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

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3.5

4.5

Passo 3

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

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3.5

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Passo 4

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

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Passo 5

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

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Passo 6

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

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Passo 7

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

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Passo 8

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

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Passo 9

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

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Passo 10

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0.5

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Passo 20

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1 - Geração aleatória de pontos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

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4.5

Complexos = “casais”

Obs.: Casais podemser de mais de doispontos.

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2 - Formar complexos

Complexos = “casais”

Obs.: Casais podemser de mais de doispontos.

Exemplo: complexosde 4 pontos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

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3 - Formar sub-complexo (exemplo)

Obs.: Nem todos ospontos de umcomplexo fazem partedo sub-complexo.

Exemplo:subcomplexo de 3pontos extraído de umcomplexo de 4 pontos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

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A probabilidade de umponto do complexoparticipar do sub-complexoé proporcional à FO.

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Define pior ponto do sub-complexo

Exemplo:sub-complexode 3 pontos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

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Define centróide dos melhores pontos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

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Passo de reflexão

Passo de reflexão:distância a = distância b

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

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3.5

4.5

Verifica valor da FOno novo ponto,se é melhor do quepior ponto, novo ponto é aceito,se não, vai para o passo de contração.

3:50

Passo de contração

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Passo de contração:distância a = distância b

Verifica valor da FOno novo ponto,se é melhor do quepior ponto, novo ponto é aceito,se não, cria pontoaleatório.

3:50

Um novo ponto é gerado no espaço definido pelos limites mínimo e máximo de cada um dos parâmetros no complexo.

Ponto aleatório

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

3:50

Um novo ponto é gerado no espaço definido pelos limites mínimo e máximo de cada um dos parâmetros no complexo.

Ponto aleatório

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

3:50

Nova geração Cada complexo gera um

novo ponto (filhote), seja por um passo de reflexão, de contração ou aleatório. O novo ponto substitui o pior ponto do complexo. Ao final de uma rodada de evolução existe uma nova geração, com o mesmo tamanho de população (número de pontos).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

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4.5

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Pais mais adaptados têm maior probabilidade de gerar filhos

(sobrevivência do mais apto = seleção natural)

1) Classificar os pontos do complexo em ordem de FO (ranking)

2) Atribuir probabilidade de escolha para participar do sub-complexo segundo a função do desenho:

Posição no ranking

Pro

babi

lida

de d

e es

colh

Valor da FO

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Complexo Sub-Complexo

Exemplo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Dois pontos do complexo ficaram fora do sub-complexo.Não necessariamente os piores pontos ficam fora.

3:50

Filhos são semelhantes aos pais

Genética: filhos “recebem” cromossomosdos pais

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Algoritmo SCE-UA:No lugar dos “casais” estãoos “complexos”, que são “casais” de n pontos

3:50

Aplicações

Calibração do modelo IPH-2 Calibração multi-objetivo do modelo IPH-2 Calibração multi-objetivo do modelo de

grandes bacias Ajuste de parâmetros de curva de infiltração

de trincheira (Vladimir)

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Calibração automática com SCE-UA

Função objetivo:Coeficiente de Nash Sutcliffe

3:50

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Cada ponto representa os valores dos parâmetros escolhidos.A FO é o coeficiente de Nash Sutcliffe. Para ser avaliada, deveser realizada uma simulação completa (por exemplo, 10 anos dedados diários).

100

200

300

400

500

600

700

01/jun/72 01/jul/72 31/jul/72 30/ago/72 29/set/72 29/out/72 28/nov/72

Vazã

o (m

3/s)

calculada

observada

3:50

Teste 1:Calibração com série sintética

de vazões

Vazão observada é substituída pela vazão gerada pelo modelo

Teoricamente o método de calibração deve encontrar os parâmetros utilizados na geração da série.

Valores dos parâmetros utilizados no teste

3:50

Resultados teste 1

100

120

140

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Número de avaliações da função

Val

or d

o pa

râm

etro

I0 = 50

Em 10 aplicações sucessivas o algoritmo de calibração atingiu sempre o ótimo global (conjunto de parâmetros que gerou a série sintética), em menos do que 10.000 avaliações da função objetivo

Literatura mostra testes semelhantes com métodos Rosenbrock e outros, que não conseguem superar este teste.

Valor do parâmetro ao longo do processo

3:50

Calibração I0 Ib h Ks Kbas Rmax Alf R2

1 36,04 0,46 0,93 7,52 11,11 2,80 19,99 0,85915

2 36,04 0,46 0,93 7,52 11,16 2,80 19,99 0,85915

3 36.03 0.46 0.93 7,52 11,05 2,80 19,99 0,85915

4 35.91 0.46 0,93 7.56 11.95 2.81 19.69 0,85915

5 36.02 0.46 0,93 7.52 11.09 2.80 19.98 0,85915

6 36.04 0.46 0.93 7.52 11.14 2.80 19.99 0,85915

7 36.04 0.46 0,93 7.52 11.12 2.80 19.99 0,85915

8 36.05 0.46 0,93 7.52 11.13 2.80 19.99 0,85915

9 36.03 0.46 0.93 7.52 11.11 2.79 19.99 0,85915

10 36.04 0.46 0.93 7.52 11.16 2.80 19.99 0,85915

Calibração do modelo IPH-2 (10 vezes)

Teste 2: calibração dados observados

3:50

SCE-UA aplicado ao IPH-2

Fortes evidências de que o algoritmo encontra o ótimo global.

Melhor que Rosenbrock. Pior que calibração manual porque só leva

em conta uma função objetivo.

3:50

Otimização multi-objetivo

Considerar mais de uma FO. Calibração de modelos hidrológicos

distribuídos Otimização de sistemas de reservatórios de

usos múltiplos (controle de cheias x regularização de vazão)

Vazão e evapotranspiração

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Otimização multi-objetivo

-2

-1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F(x

)

F1F2Região de Pareto

Em geral o ótimo de uma função não corresponde ao ótimo da outra.

Função 1

Função 2

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Otimização multi-objetivo Um problema de otimização multi-objetivo tem

um conjunto de soluções igualmente válidas.

-2

-1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F(x

)

F1F2Região de Pareto

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Conjunto de pontos em que a solução não pode ser considerada pior do que qualquer outra solução.

-2

-1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F(x

)

F1F2Região de Pareto

Região de Pareto ou Curva de Pareto

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Exemplo IPH 2

Parâmetro

Unidade Valormínimo

Valormáximo

Io mm.t-1 10 300Ib mm.t-1 0,1 10H - 0,0 1,0Ks t 0,01 10,0

Ksub t 30,0 40,0Rmáx mm 0,0 9,0Alf - 0,01 20,0

2 FO: Erro volume e RMSE

Faixa válida dos parâmetros.

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15000 17000 19000 21000 23000 25000

Soma desvios quadrados

Err

o n

o v

olu

Geração 1

3:50

15000 17000 19000 21000 23000 25000

Soma desvios quadrados

Err

o n

o v

olu

Geração 10

3:50

15000 17000 19000 21000 23000 25000

Soma desvios quadrados

Err

o n

o v

olu

Geração 20

3:50

15000 17000 19000 21000 23000 25000

Soma desvios quadrados

Err

o n

o v

olu

Geração 50

3:50

15000 17000 19000 21000 23000 25000

Soma desvios quadrados

Err

o n

o v

olu

Geração 138

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Avaliação da incerteza: usar todos os conjuntos e gerar vários hidrogramas

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Propagação da incerteza: Q90 calculada, por exemplo, vai de 8,9 a 10,5 m3.s-1, sendo que a Q90 observada é de 9,1 m3.s-1

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Problemas de recursos hídricos esperando por uma abordagem com algoritmos

genéticos no CTEC Dimensionamento de sistema de reservatórios de

abastecimento ou controle de cheias Dimensionamento de canais e redes de

abastecimento Otimização de operação de reservatórios Substituir Rosenbrock Substituir programação linear Substituir programação dinâmica

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Problemas de otimização com inteiros diâmetros comerciais de condutos parâmetros comerciais de bombas

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Sugestões de leitura

Yapo, P. O.; Gupta, H. V.; Sorooshian, S. 1998 Multi-objective global optimization for hydrologic models. Journal of Hydrology, Vol. 204 pp. 83-97.

Sorooshian, S.; Gupta, V. K. 1995 Model calibration In: Singh, V. J. (editor) Computer models of watershed hydrology. Water Resources Publications, Highlands Ranch. 1130 p.

Duan, Q.; Sorooshian, S.; Gupta, V. 1992 Effective and efficient global optimization for conceptual rainfall-runoff models. Water Resources Research Vol. 28 No. 4. pp. 1015-1031.

Duan, Q.; Sorooshian, S.; Gupta, V. 1994 Optimal use of the SCE – UA global optimization method for calibrating watershed models. Journal of Hydrology, Vol 158 pp. 265-284.

Bonabeau, E.; Dorigo, M.; Theraulaz, G. 2000 Inspiration for optimization from social insect behaviour. Nature Vol. 406 July pp.39-42.

Goldberg, D. 1989 Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning Addison-Wesley, 412 pp.

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Sugestões de leitura

Klemes, V. 1986 Operational testing of hydrological simulation models. Hydrological Sciences Journal V. 31 No. 1 pp. 13-24.

Nash e Sutcliffe, 1970 (Journal of Hydrology) Particle Swarm Optimization

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