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82
HIDRODINÂMICA
8. ESCOAMENTO DE FLUIDO REAL EM TUBULAÇÕES
SOB PRESSÃO
Os fluidos escoam em tubulações que estão submetidas a pressões
maiores ou menores que a pressão atmosférica, estando confinados pelas
paredes que formam as tubulações. Assim o escoamento pode ser descrito
pelas equações do movimento real ao longo de linhas de corrente, em termos
do escoamento médio.
8.1. ANÁLISE DIMENSIONAL NO ESCOAMENTO SOB PRESSÃO
Nos escoamentos sob pressão as principais forças presentes são as
forças devido à pressão, as forças devido à viscosidade e as forças de inércia.
Diferenças de pressão
Viscosidade e atrito externo: Forças viscosas � perda de energia
(calor)
Forças de inércia
Quando um líquido está escoando com velocidade média V, em uma
tubulação de diâmetro D, comprimento L e coeficiente de rugosidade ε, a
queda de pressão, ∆p, ao longo do comprimento L da tubulação depende de ρ,
V, D, µ, L e ε. µ é a viscosidade absoluta do líquido. Genericamente se
escreve que:
),,,,,( εµρ LDVFp =∆
83
Os recursos da análise dimensional (teorema de Buckingham) mostram
que existem quatro grupos adimensionais importantes, relacionados com o
escoamento, a saber:
1. Número de Euler: 2V
pEu
ρ∆= � Fp/Fi (forças de
pressão/forças de inércia)
2. Número de Reynolds: υµρ VDVD
Re == � Fi/Fvis (forças de
inércia/forças viscosas)
3. Rugosidade relativa: DRR
ε=
4. Comprimento relativo: D
LCR=
Pelo teorema de Buckingham, pode-se escrever uma nova relação do tipo:
=∆=D
L
DR
V
pEu e ,,2
εφρ
Experimentalmente é possível concluir que D
L
V
p αρ 2
∆
Então
=∆D
RD
L
V
pe
εϕρ
,2 ou
=∆D
RD
L
V
pe
εϕρ
,221
2
Observar que o fator 2 foi introduzido no denominador para representar a
expressar a carga cinética. A função
D
Re
εϕ ,2 é denominada de fator de
atrito para os escoamentos nas tubulações, sendo representado pela letra f e
84
será estudado com ajuda da experimentação, conforme será visto no capítulo
seguinte.
Logo:
2
2V
D
Lfp ρ=∆
Dividindo ambos os membros por γ = ρ.g, tem-se:
g
V
D
Lf
p
g
p
2
2
=∆=∆γρ
Mas php =∆
γ � perda de carga contínua nas tubulações e γ = ρ.g é o peso
específico do líquido que está escoando com velocidade é constante ao longo
do tubo, visto que o diâmetro da tubulação também é constante, escreve-se
que:
g
V
D
Lfhp 2
2
=
A equação acima é denominada de fórmula universal da perda de carga
ou equação de Darcy-Weisbach. Henri-Philibert-Gaspard Darcy, engenheiro
francês, 1805-1858 e Ludwig-Julius Weisbach, engenheiro e professor
alemão, 1806-1871.
Muitos estudos foram feitos para a determinação do fator de atrito, f,
conforme será visto posteriormente.
85
8.2. VELOCIDADE DE ATRITO NO ESCOAMENTO UNIFORME
Quando um fluido real (µ ≠ 0), incompressível, escoa em regime
permanente em uma tubulação de seção transversal, A, constante, é possível
escrever equações relacionando as grandezas envolvidas. Conforme ilustrado
na figura seguinte, os elementos envolvidos são:
Velocidades: V1 = V2 = V;
Pressões p1 e p2;
Cotas z1 e z2;
Tensão cisalhante nas paredes da tubulação, τo;
Áreas: A1 = A2 = A;
senθ = (z2 – z1)/L
Volume: Vol = A.L;
Peso do fluido no volume: P = γ.Vol;
Para que o volume de fluido considerado esteja em equilíbrio, a
resultante de todas as forças deve ser nula. Assim, na direção do eixo x,
teremos forças de pressão, devido à tensão cisalhante na parede do tubo e
componente da força peso.
86
Assim, 0=∑ xF e
02211 =−−− θτ PsenLPApAp eo
τo = tensão cisalhante na parede da tubulação;
Pe = π.D = perímetro da tubulação
P = peso do fluido no volume Vol;
Então:
0)( 1221 =−−−−
L
zzALLPApp eo γτ dividindo por A:
0)( 1221 =−−−− zzA
LPpp e
o γτ � dividindo por γ:
A
LPpz
pz eo
γτ
γγ=−−+ 2
21
1
Como as velocidades são V1 = V2 = V são constantes, podemos somar e
subtrair a carga cinética no primeiro membro da equação anterior,
encontrando:
A
LP
g
Vpz
g
Vpz eo
γτ
γγ=
++−
++
22
222
2
211
1
O primeiro membro é igual à perda de carga entre os pontos 1 e 2, denotado
por hp. Então a equação fica reduzida a:
A
LPh eo
p γτ=
Mas considerando-se que A/Pe = Rh e substituindo na equação anterior, vem:
h
op R
Lh
γτ=
87
Essa equação permite determinar a perda de carga que acontece no trecho do
escoamento na tubulação de comprimento L, os pontos 1 e 2, na presença de
uma tensão cisalhante na parede.
Definindo a perda de carga unitária como sendo J = hp/L:, a equação
anterior pode ser reescrita da seguinte forma:
h
o
RJ
1
γτ=
Dessa equação pode-se explicitar a tensão cisalhante na parede:
JRho γτ =
A expressão anterior é válida para se avaliar a tensão cisalhante na parede
para o escoamento permanente e uniforme em uma tubulação.
Quando a tubulação tiver seção circular, as equações da perda de carga
e da tensão cisalhante podem ser escritas de uma nova forma:
4
2DA
π= e DPe π= � D
D
P
AR
eh π
π4
2
== � 4D
Rh =
Logo a perda de carga será:
D
Lh o
p γτ4=
A tensão cisalhante na parede será:
DL
hpo 4
γτ = ou R
L
hpo 2
γτ =
Onde R é o raio da tubulação onde ocorre o escoamento.
O resultado obtido para as tubulações de seção circular pode ser
comparado com a fórmula universal da perda de carga vista anteriormente:
88
g
V
D
Lf
D
Lh o
p 2
4 2
==γτ
� 8
2Vfo =
ρτ
� 8
2fVo
ρτ =
Velocidade de atrito:
Como 8
2Vfo =
ρτ
� 8
fVo =
ρτ
Sendo f um fator adimensional, cada lado da igualdade acima tem
dimensão de velocidade. Por isso define-se a velocidade de atrito ou
velocidade de cisalhamento, u*, como sendo:
ρτ ou =*
A velocidade de atrito assume papel importante no estudo dos
escoamentos turbulentos em condutos forçados e em canais. É usual
adimensionalizar a velocidade média do escoamento através da velocidade de
atrito, de forma que:
8*
fVu o ==
ρτ
� fu
V 8
*
=
8.3. EXPERIMENTO DE REYNOLDS
Quando um fluido escoa em uma tubulação de diâmetro D, com uma
dada vazão Q, sabe-se que a velocidade, v, varia ao longo de uma seção
transversal da tubulação. Ela é nula na parede, devido à condição de não
deslizamento entre o fluido e a parede do recipiente que o encerra e, em geral,
atinge o seu valor máximo no centro do tubo. Nesse caso é possível
89
estabelecer uma velocidade média, V, definida pela relação entre a vazão e a
área da seção transversal do tubo.
v = f(r)
Se r = R � v = 0
Se r = 0 � v = Vmax = Vc.
∫=AvdAQ e ∫==
AvdA
AA
QV
1
Quando a velocidade V for pequena, pode-se observar que as partículas
fluidas descrevem trajetórias suaves e bem definidas. Nesse caso diz-se que o
escoamento é LAMINAR ou VISCOSO. Em 1883 Osborne Reynolds já
observou tal tipo de escoamento nos fluidos. O fluido se move com as
partículas definindo camadas paralelas entre si, perfeitamente definidas, de
espessura muito fina, sendo que cada camada tem velocidade ligeiramente
diferente da camada adjacente. Essas camadas não se misturam umas com as
outras, sendo perfeitamente individualizadas no escoamento. No escoamento
laminar predominam forças cisalhantes e forças de pressão. As forças
cisalhantes são devidas à viscosidade do fluido, portanto forças de oposição
ao movimento, como as forças de atrito em geral. Essas forças de atrito, que
tendem a inibir o movimento, definem o tipo de movimento que irá ocorrer.
• fluido se movimenta em filetes paralelos e bem definidos
• predominam esforços viscosos: dy
dvµτ = ou dr
dvµτ −=
forças de inércia � forças viscosas
Quando a velocidade V assumir valores mais elevados as partículas do
fluido passam a descrever trajetórias complexas, quase aleatórias, deixando de
se movimentar em camadas, caracterizando um movimento complexo, com o
90
aparecimento de vórtices e turbilhões. Nesse caso diz-se que o escoamento é
turbulento. No escoamento turbulento as forças de inércia predominam sobre
as forças viscosas de forma que a tensão cisalhante na forma mostrada
anteriormente passa a ter pouca influência sobre o escoamento. Outros efeitos
característicos da turbulência predominam no escoamento.
Numa tentativa de definir os limites até onde os escoamentos são
laminares, Osborn Reynolds realizou uma série de experimentos que se
tornaram clássicos. Ele criou um escoamento em uma tubulação de vidro
transparente, partindo de um reservatório de nível constante, para que o
escoamento pudesse ser visualizado. No interior do escoamento Reynolds
injetava um filete de corante, com mesma velocidade do escoamento. Assim,
ele poderia ver como o filete de corante se movimentava no fluido. A figura
seguinte ilustra o esquema de uma das experiências de Reynolds.
Abrindo ou fechando o registro de vazão, Reynolds controlava o valor
da velocidade no tubo de vidro. Atuando no registro de corante a velocidade
do filete poderia ser regulada para coincidir com a velocidade no tubo.
91
• Q pequeno � V baixa � filete de corante presente e nítido �
Laminar.
• Q médio � V média � filete intermitente ou difuso � Transição
• Q alta � V elevada � filete inexistente com mistura total �
Turbulento
O regime de transição de laminar para turbulento depende de V, D e ν
Re = Fin/Fvisc
Re = V.D/ν
Em outro experimento, Reynolds media a perda de carga em um trecho
do escoamento, para correlacionar com as velocidades médias, em uma
tubulação de vidro de diâmetro constante.
Fig. xx – Perda de carga em um escoamento em tubulação de diâmetro D.
D = diâmetro do tubo
L = comprimento do trecho no qual a perda de carga era medida
V = velocidade média no tubo, sendo V1 = V2 = V
z1 = z2
92
A equação de Bernoulli pode ser aplicada ao escoamento entre os
pontos 1 e 2 mostrados na figura, pertencentes a uma mesma reta horizontal,
obtendo-se:
phg
Vpz
g
Vpz +++=++
22
222
2
211
1 γγ
Como as velocidades nos pontos 1 e 2 são iguais, assim como as cotas,
a equação fica sendo apenas:
γγγppp
hp
∆=−= 21
A equação acima permite determinar a perda de carga do escoamento,
apenas medindo-se a diferença de pressão que se verifica entre os pontos 1 e
2.
Lembrete:
1. No caso de se usar um manômetro diferencial de mercúrio, a
diferença de pressão seria: hgp m ∆−=∆ )( ρρ
2. Caso se utilize piezômetros pressurizados de água,
hgp a ∆=∆ ρ
Na prática constata-se que a perda de carga no trecho L não depende da
pressão. Ela proporcional ao comprimento L, é inversamente proporcional ao
diâmetro D, depende da velocidade elevada a um expoente n, além de
depender da rugosidade relativa do material da tubulação e do número de
Reynolds.
A perda de carga hp:
• não depende de p,
• proporcional a L,
93
• inversamente proporcional a D,
• proporcional à velocidade elevada a um expoente n,
• depende de uma função de e/D e Re.
Fig. xx – Perda de carga em função da velocidade para escoamentos em tubulações sob pressão.
• Aumentando V: 0 – 1 – 2 – 3 - 5
• Diminuindo V: 5 – 3 – 4 – 1 - 0
• Define-se Vi e Vs
• Aumentando V: 0 – Vi – Vs � laminar
• Diminuindo V: Vs – Vi �turbulento
Sempre que V < Vi � laminar: Re < 2.100
Sempre que V > Vs � turbulento: Re > 4.000
Vi < V < Vs � transição: 2.100 < Re < 4.000
94
Distribuições de velocidade
Nos escoamentos em tubulações, a velocidade é nula na parede e
máxima no centro. Entre a parede e o eixo a velocidade varia, dependendo do
tipo do escoamento. Quando o escoamento for laminar, a lei de variação será
parabólica. Quando o escoamento se tornar turbulento, a parábola se torna
achatada, ficando com maior variação junto às paredes e mais plana no centro.
Esse achatamento é tanto maior quanto maior for a turbulência do
escoamento, expressa pelo número de Reynolds. A figura seguinte ilustra os
perfis de velocidade para os dois tipos de escoamentos e mostra a velocidade
média, calculada com a relação entre a vazão e a área transversal ao
escoamento.
Fig. xx – Perfis de velocidade nos escoamentos laminar e turbulento.
Laminar:
� parábola
� Tubos concêntricos de velocidade variável
95
Turbulento:
� parábola achatada.
� Quanto maior o Re mais achatada será a curva
� Camadas mais lentas próximas à parede se misturam com
as camadas mais rápidas próximo ao centro � turbilhões.
� Perda de energia devida ao atrito nas parede e à dissipação
viscosa devida às ações internas das partículas nos
redemoinhos.
8.4. ESCOAMENTO LAMINAR EM DUTOS SOB PRESSÃO:
Nesse escoamento o fluido se movimenta em filetes paralelos e bem
definidos, predominam os esforços cisalhantes devidos à viscosidade do
fluido. Esses esforços cisalhantes podem ser previstas pela lei de Newton da
viscosidade, dada abaixo:
dy
dvµτ = ou dr
dvµτ −=
τ = tensão cisalhante
µ = coeficiente de viscosidade dinâmica
dv/dy = gradiente de velocidade
y = R – r � dy = -dr.
8.4.1. Perfil de velocidades
v = f(r)
r = 0 � v = Vc = Vmax � velocidade no eixo do tubo
0=dr
dv no eixo do tubo.
τ = 0 no eixo do tubo
96
r = R � v = 0 � velocidade na parede do tubo
dr
dvé máximo junto às paredes do tubo
τ = τ o é máximo junto às paredes do tubo.
Para estabelecer a equação de variação da velocidade de um
escoamento em uma tubulação de raio R, lembrar que, na parede, onde r = 0:
RL
pD
L
po 24
∆=∆=τ
Como na linha central τ é nula, verifica-se que em uma posição radial, r,
distante do centro da tubulação, a tensão cisalhante vale:
rL
p
2
∆=τ .
Mas a lei de Newton da viscosidade permite calcular, também, essa
tensão cisalhante, de maneira que:
rdrL
pdv
dr
dvr
L
p
µµτ
22
∆−=∴−=∆=
Integrando a equação com a velocidade entre 0 e v e o raio entre R e r,
ter-se-á:
∫∫∆−=
R
R
vrdr
L
pdv
µ20
( )22
4rR
L
pv −∆=
µ
A equação acima mostra que para uma dada diferença de pressão e um
comprimento L de tubo, a velocidade varia com a posição radial segundo uma
parábola. Daí dizer que o perfil de velocidades nos escoamentos em
tubulações de seção circular é parabólico.
97
Observações:
1. Se r = R a equação prevê v = 0 � parede
2. Se r = 0 a equação prevê 2
4R
L
pVv c µ
∆==� velocidade na linha
central da tubulação, ou valor máximo da velocidade.
3. O perfil de velocidades para escoamento laminar nas tubulações é
escrito como:
−=
2
2
1R
rVv c
Perfil de velocidades:
Fig. xx – Perfil de velocidades no escoamento laminar.
8.4.2. Cálculo da vazão, Q
A vazão total, Q, pode ser calculada à partir da vazão elementar dQ,
que atravessa uma área também elementar, dA:
∫∫∫ ===R
AArdrvvdAdQQ
02. π
� rdrR
rVQ
R
c∫
−=
0 2
2
12π � 2
2RVQ c
π=
98
Observação:
Como VRAVQ 2π==
� 22
2RVVR c
ππ = � 2cV
V =
É possível determinar a posição onde ocorre a velocidade média no perfil de
velocidades. Para tanto, é só fazer Vv = , na equação do perfil de
velocidades para se ter rr = .
−=
2
2
1R
rVV c �
−=
2
2
12 R
rV
Vc
c � 5,01
2
2
=−R
r � Rr 7071,0= ou
Ry 2929,0= .
Conclui-se que a velocidade média no escoamento laminar ocorre a
uma distância do eixo da tubulação igual a 0,7071.R ou a 0,2929.R da parede
do tubo.
8.4.3. Perda de Carga no regime laminar: No escoamento laminar pode-se estabelecer uma equação simples para se calcular a perda de carga, quer em função da velocidade, quer em função da vazão. Para tal, lembrar que:
2cV
V = e que 2
4R
L
pVc µ
∆= .
Então,
2
8R
L
pV
µ∆=
Expressando em função do diâmetro da tubulação, D, já que R = D/2 e
lembrando que γp
hp
∆= :
99
2
32D
L
phV p
µγ ∆
= .
Explicitando o valor da perda de carga:
VD
Lhp 2
32γ
µ=
A equação acima é denominada de equação de Hagen-Poiseuille da
perda de carga no escoamento laminar, expressa em função da velocidade
média do escoamento.
Em termos de vazão, visto que VAQ = , A
QV = e 2
4D
QV
π= a equação
anterior pode ser posta na forma:
QD
Lhp 4
128πγ
µ=
Essa equação acima é denominada de equação de Hagen-Poiseuille da
perda de carga no escoamento laminar, sendo usualmente utilizada nos
cálculos da perda de carga nos escoamentos em tubulações de diâmetro D.
Observações:
1. A perda de carga é diretamente proporcional à velocidade: Vhpα .
2. A perda de carga é diretamente proporcional à vazão: Qhpα .
3. A perda de carga é inversamente proporcional à quarta potência do
diâmetro: 4
1D
hpα
4. A equação de Hagen-Poiseuille é válida para escoamentos com número de Reynolds no máximo igual a 2.300.
Comparando o resultado encontrado para a perda de carga com fórmula
Universal, teremos:
100
VD
L
g
V
D
Lfhp 2
2 322 γ
µ==� DV
gf
γµ64=
Então: µ
ρρµ
VDVDf
6464 ==
Mas µρ
νVDvD
Re == , de forma que:
eRf
64=
Expressão muito útil para se calcular o fator de átrio para o escoamento
laminar em tubulações de seção circular.
Observações:
• f não depende de e/D; • f só depende de Re; • logf = log64 – logRe � num gráfico cartesiano tem-se uma linha
reta, de inclinação -1.
Fig. xx – Variação do fator de atrito, f, com o número de Reynolds no escoamento laminar.
101
8.5. ESCOAMENTO TURBULENTO EM DUTOS SOB
PRESSÃO Fluido se movimenta de maneira desordenada; Agrupamentos de moléculas animados de velocidades que se deslocam, de forma caótica, para porções adjacentes de fluido, produzindo forças cisalhantes de intensidades elevadas. Predominam esforços cisalhantes devido à turbulência. 8.5.1. Escoamento na região de entrada dos tubos Quando um fluido em movimento alcança a região de entrada de uma tubulação, o escoamento passa por diferentes estágios até que o perfil de velocidades não mais se altere. Na seção de entrada da tubulação, não existe influência das tensões cisalhantes devido à parede, de maneira eu o perfil de velocidades é formado por uma figura plana, mantendo-se a velocidade constante em qualquer posição desta seção transversal de entrada. Todavia, à medida que o escoamento vai ocorrendo, as tensões cisalhantes nas paredes da tubulação começa a agir, provocando uma diminuição da velocidade junto à parede. Exatamente na parede, a velocidade é nula. Deste ponto, a velocidade vai crescendo em direção eixo do tubo, atingindo um valor constante antes do eixo, formando uma camada de velocidade variável com a coordenada radial, r, denominada de camada limite laminar. Entre a camada limite laminar e o eixo do tubo continua a existir uma camada de velocidade constante, com as características do escoamento de entrada, denominada de núcleo potencial. À medida que o escoamento avança à partir da seção de entrada da tubulação, a espessura da camada limite laminar vai aumentando até que ocorre uma instabilidade que quebra esta camada, fazendo aparecer uma camada muito fina junto à parede, de espessura δ, denominada de sub-camada laminar. Nesta subcamada laminar predominam os efeitos viscosos característicos do escoamento laminar, com a velocidade variando aproximadamente de forma linear em direção ao eixo. A região formada entre a sub-camada laminar e o núcleo potencial torna-se bastante turbulenta sendo denominada de camada limite turbulenta. Nesta camada predominam esforços característicos do escoamento turbulento, com a velocidade ainda variável e com intensas variações temporais. Essa camada limite turbulenta vai aumentando de espessura enquanto o escoamento continua se afastando da entrada da tubulação, até que o núcleo potencial deixe de existir. À partir desse ponto, caracterizado por um comprimento X, medido à partir da seção de entrada, o
102
perfil de velocidades não mais se altera e o escoamento é denominado de completamente desenvolvido. Da seção de entrada até o escoamento ficar completamente desenvolvido denomina-se o escoamento de escoamento em desenvolvimento. As duas figuras seguintes ilustram o escoamento que ocorre até que ele fique desenvolvido.
Fig. xx – Escoamento na região de entrada das tubulações.
Fig. xx – Perfis de velocidade na região de entrada das tubulações.
• Camada limite laminar
• Camada limite turbulenta
• Núcleo potencial
• Sub-camada laminar � espessura δ
103
Na prática constata-se que o comprimento para que o escoamento se
torne completamente desenvolvido fica entre 6D < X < 50D. Experimentos
de laboratório permitiram estabelecer o valor de X:
D 0,8 X 250,Re=
Exemplo: Tubulação de 50 mm de diâmetro escoando água,
com número de Reynolds igual a 100.000. O comprimento do
escoamento em desenvolvimento será X = 711 mm.
Como foi dito, mesmo sendo o escoamento turbulento, existem efeitos
laminares ocorrendo na subcamada laminar, que possui uma espessura δ.
Observações simples de escoamentos na região de entrada reproduzidos em
laboratório mostram que a espessura da sub-camada laminar é inversamente
proporcional ao número de Reynolds do escoamento.
Re
1 αδ
Depois de inúmeras pesquisas em laboratório, foi possível estabelecer
uma expressão para a espessura da sub-camada laminar, para escoamentos em
tubos de diâmetro D:
f
D832 Re
,=δ
Como a velocidade de atrito é dada por 8*
fVu = pode-se demonstrar que
*
6,11
u
νδ = .
IMPORTANTE: Notar que se Re cresce ���� δδδδ diminui
104
8.5.2. Rugosidade das Tubulações
As paredes que confinam os escoamentos, paredes das tubulações, não
são absolutamente lisas. Elas possuem uma rugosidade que é denominada de
rugosidade absoluta e que representa a altura média das asperezas do tubo,
conforme mostra a figura seguinte. Esse parâmetro é de difícil determinação
na prática, razão pela qual costuma-se determinar a rugosidade absoluta
equivalente para os tubos comerciais existentes, conforme será visto mais à
frente, nesse curso.
Rugosidade absoluta: e
Altura média das asperezas do tubo
Tubo comercial: e = rugosidade absoluta equivalente.
Fig. xx – Rugosidade das tubulações.
Rugosidade relativa: e/D
Como as tubulações podem ser construídas de um mesmo material,
porém com diversos diâmetros, é prática corrente definir a rugosidade
relativa, e/D, como sendo a relação entre a rugosidade absoluta e o diâmetro.
Se Re > 2100 � f = f(Re,e/D)
e/D é tabelado para diversos tubos comerciais
105
Muitos autores apresentam tabelas que permitem obter a rugosidade
absoluta equivalente para os tubos comerciais existentes. Observa-se que
existem pequenas discrepâncias entre os valores fornecidos, em decorrência
da dificuldade em se medir a rugosidade. A tabela seguinte foi obtida do livro
Hidráulica Básica, do prof. Rodrigo de Melo Porto.
Tabela de Rugosidade Absoluta, e, para tubos, em milímetros. (Segundo Rodrigo
Melo Porto)
Material e (equivalente) Tubos Novos
(mm)
e (equivalente) Tubos velhos
(mm) Aço comercial 0,045 Aço galvanizado com costura 0,15 a 0,20 Aço galvanizado sem costura 0,06 a 0,15 Aço laminado 0,04 a 0,10 Aço laminado revestido com asfalto 0,05 Aço Rebitado 1,0 a 3,0 Aço Revestido*** 0,4 0,5 a 1,2 Aço Soldado 0,05 a 0,10 Aço Soldado, limpo 0,15 a 0,20 Aço soldado, moderadamente oxidado 0,40 Aço soldado revestido com cimento centrifugado
0,10
Ferro Fundido 0,25 a 0,50 3,0 a 5,0 Cobre ou latão, vidro, PVC, plástico 0,0015 a 0,010 Tubos estrudados em geral 0,0015 a 0,010
106
A tabela seguinte foi retirada do tradicional livro Manual de Hidráulica,
do prof. Azevedo Neto.
TABELA DE RUGOSIDADE ABSOLUTA, E, PARA TUBOS, EM MI LÍMETROS (SEGUNDO AZEVEDO NETO) Material Tubos Novos Tubos velhos
Aço galvanizado 0,15 a 0,20 4,6 Aço Rebitado 1,0 a 3,0 6,0 Aço Revestido 0,4 0,5 a 1,2 Aço Soldado 0,04 a 0,06 2,4 Cimento Amianto 0,025 Concreto bem Acabado 0,3 a 1,0 Concreto Ordinário 1,0 a 2,0 Ferro Forjado 0,04 a 0,06 2,4 Ferro Fundido 0,25 a 0,5 3 a 5 Ferro Fundido com revest. Asfáltico 0,12 2,1 Madeira em Aduelas 0,2 a 1,0 Manilhas Cerâmicas 0,6 3,0 Chumbo <0,01 (lisos) <0,01 (lisos) Cobre ou latão <0,01 (lisos) <0,01 (lisos) Vidro <0,01 (lisos) <0,01 (lisos) PVC Plásticos <0,01 (lisos) <0,01 (lisos) A ABNT, na NB – 591/77, especifica os valores da rugosidade absoluta
equivalente para diversos materiais.
RUGOSIDADE ABSOLUTA EQUIVALENTE PARA TUBOS
SEGUNDO ABNT P-NB - 591/77, em milímetros Item Descrição do Tubo εεεε (mm) I. TUBO DE AÇO: juntas soldadas e interior contínuo I.1 Grandes incrustrações ou tuberculizações 2,4 a 12,0 I.2 Tuberculização geral de 1 a 3mm 0,9 a 2,4 I.3 Pintura a brocha, com asfalto, esmalte ou betume em camada
espessa 0,6
I.4 Leve enferrujamento 0,25 I.5 Revestimento obtido por imersão em asfalto quente 0,1 I.6 Revestimento com argamassa de cimento obtida por
centrifugação 0,1
I.7 Tubo novo previamente alisado internamente e posteriormente revestido de esmalte, vinil ou epóxi obtido por centrifugação
0,06
107
RUGOSIDADE ABSOLUTA EQUIVALENTE PARA TUBOS SEGUNDO ABNT P-NB - 591/77, em milímetros
Item Descrição do Tubo εεεε (mm) II. TUBO DE CONCRETO II.1 Acabamento bastante rugoso: executado com formas de
madeira muito rugosas, concreto pobre com desgastes por erosão, juntas mal alinhadas
2,0
II.2 Acabamento rugoso: marcas visíveis de forma 0,5 II.3 Superfície interna alisada a desempenadeira, juntas bem feitas 0,3 II.4 Superfície obtida por centrifugação 0,33 II.5 Tubo de superfície lisa, executado com formas metálicas,
acabamento médio com juntas bem cuidadas 0,12
II.6 Tubo de superfície interna bastante lisa, executado com formas metálicas, acabamento esmerado e juntas bem cuidadas
0,06
III. TUBO DE CIMENTO AMIANTO 0,1 IV. TUBO DE FERRO FUNDIDO (NOVO) IV.1 Revestimento interno com argamassa de cimento e areia obtida
por centrifugação com ou sem proteção de tinta a base de betume 0,1
IV.2 Não revestido 0,15 a 0,6 IV.3 Leve enferrujamento 0,30 V. TUBO DE PLÁSTICO 0,06 VI. TUBOS USADOS VI.1 Com camada de logo inferior a 5 mm 0,6 a 3,0 VI.2 Com incrustrações de lodo ou de gorduras inferiores a 25mm 6,0 a 30,0 VI.3 Com material sólido arenoso depositado de forma irregular 60,0 a 300 Nota: Valores mínimos a adotar com tubos novos: a) para adutoras medindo mais de 1000m de comprimento adotar 2
vezes o valor encontrado acima para o tubo e o acabamento escolhidos;
b) para adutoras medindo menos de 1000m de comprimento, adotar 1,4 vezes o valor encontrado na tabela para o tubo e acabamentos escolhidos.
Fatores que influenciam na rugosidade das paredes dos tubos:
• Material empregado na fabricação; • Processo de fabricação; • Comprimento do tubo e número de juntas; • Técnica de assentamento; • Estado de conservação das paredes internas; • Existência de revestimentos especiais; • Emprego de medidas protetoras durante o funcionamento; • Tempo de uso do tubo.
82
Na literatura encontram-se muitos valores para a rugosidade equivalente dos tubos, não havendo uma concordância
entre os autores, em decorrência da grande variabilidade nos fatores que influenciam a rugosidade absoluta.
Tabela das rugosidades absolutas, e, para as tubulações em serviço, em milímetros (Segundo J.M. Azevedo Neto – Modificada) TIPO DE TUBULAÇÃO Ferro Fundido e F. Dútil
AUTORES
Aço com revestimento especial ou
esmalte
Tubos de Concreto
Sem Revestim.
Com Revest. de Cimento
Cimento Amianto
Ferro Galvaniza
do
Chumbo, Cobre, La-
tão,
PVC
Tubos
Cerâmicos
SCNHP – França 0,1 -- -- 0,1
Degremont, (1978) 0,1 0,2 a 0,5 0,2 0,1 0,1 0,01 0,03 a 0,1 1,0 Lamont, (1955) 0,06 0,25 a 0,50 0,25 0,125 0,025 0,125 Manual, BWEP, IWE, (1961) 0,125 0,04 -- 0,125 0,03 Chemical Engineers Handbook, (1963) 0,05 0,3 0,26 -- 0,15 Internal Flow, BHRA 0,025 a 0,50 0,10 -- -- Piping Handbook, King/Crocker (1967) 0,05 -- -- 0,12 Fair, Geyer e Okun (1966) 0,03 a 0,09 0,3 a 3,0 0,06 a 0,12 -- 0,06-0,24 <0,03 R.W.Powell (1951) 0,5 a 1,2 0,3 a 1,0 2,1 -- 3,0 Hydraulic Institute (1979) 0,05 -- 0,14 -- 0,17 Armando Lencastre 0,06 a 0,15 0,06 a 0,50 -- -- Loinsley e Franzini (1978) -- 0,3 a 3,0 0,26 0,12 0,15 0,02 PNB 591 0,08 a 0,12 0,08 a 0,66 -- 0,14-0,20 0,14-0,20 0,08-0,12 Valores sugeridos 0,125 0,30 0,25 0,125 0,05 0,15 0,02 0,10 1,5 OBS: SCNHP = Câmara Sindical Nacional; Degremon = M. Technique de l’eau; Lamont = Peter, IWSA, 3º Congresso; BWEP = British Water Engineering Practice; Chemical Engineers Handbook, R.H.Perry, 4ª ed. (1963); BHRA = British Hydromechanics Research Association
82
No escoamento turbulento, verifica-se a existência de grandes massas
se movimentando em turbilhões ou em vórtices, provocando flutuações na
velocidade em relação ao tempo. Assim a velocidade instantânea num
escoamento turbulento, V, pode ser considerada como sendo a soma de duas
parcelas: a velocidade média temporal V e a flutuação de velocidade, v .́
Assim, em um intervalo de tempo, T, considerado, teconsV tan= e
=´v variando no tempo, de forma que:
∫=TVdt
TV
0
1 e ∫ =T
dtv0
0´
As velocidades acima consideradas podem ser computadas em cada
uma das direções dos eixos coordenados no espaço, para se obter Vx, Vy e Vz,
em função de U, V e W e de u´, v ́e w ,́ respectivamente.
Fig. xx - Perfil de velocidades turbulentas com suas flutuações.
No escoamento turbulento, segundo proposta de Boussinesq, a tensão
cisalhante turbulenta é dada por:
dy
dVt ητ =
83
Onde η é denominada de viscosidade turbulenta ou viscosidade de
redemoinho, sendo uma propriedade do escoamento, dependendo do fluido e
da intensidade da turbulência. Os valores da viscosidade turbulenta são mais
elevados que a viscosidade dinâmica definida no escoamento laminar. Em
estudos menos complexos de turbulência a equação anterior pode ser muito
útil.
8.5.3. Comprimento de mistura e perfil de velocidades
Seja u ́ e v ́ as flutuações de velocidades nas direções Ox e Oy,
respectivamente, devidas à turbulência na direção do escoamento médio e
perpendicular à esta direção, para duas camadas próximas. Se houver um
fluxo de massa perpendicular ao escoamento médio, através de uma área
elementar, dA, o teorema da quantidade de movimento permite escrever:
Fluxo de massa: ρ.v´.dA
Força cisalhante entre as camadas: dFcis = (ρ.v´.dA).u ́
´´.. vudA
dFcist ρτ ==
Os termos ρ.v´..u ́ são denominados de tensões de Reynolds para o
escoamento turbulento.
Estudando a turbulência, Prandtl propôs que pequenas massas de
partículas são transportadas pelo escoamento turbulento até uma distância
média l, entre regiões com velocidades diferentes, quando as flutuações de
velocidades forem de mesma ordem de grandeza. Por analogia com o conceito
de caminho médio da tória molecular dos gases, Prandtl denominou a
distância l de comprimento de mistura. Além disso Prandtl propôs qual a
variação de velocidade de uma partícula que se desloca pelo comprimento de
mistura é proporcional a l.dv/dy, onde v é a velocidade média no ponto e y
84
uma coordenada norma a v, medida à partir do contorno sólido que encerra o
escoamento. Assim, se
dy
dvlvu ≈≈ ´´
Substituindo na equação da tensão cisalhante turbulenta dada acima, tem-se: 2
2.
=
dy
dvlt ρτ
Nessa equação, l é uma função de y e, assim como η, função da posição.
Com base na teoria da semelhança entre perfis de velocidades na
turbulência, von Kármán estabeleceu que o comprimento de mistura poderia
ser dado por:
−=2
2
dyvd
dydv
l κ
Em que κ é uma constante universal (adimensional), denominada de constante
de von Kármán, característica de todo movimento turbulento, cujo valor
experimental é o,38 para água limpa e, em geral, assumida como sendo 0,40.
Perfil de velocidades
A obtenção do perfil de velocidades para o escoamento turbulento, que
expresse a variação da velocidade ao longo da posição transversal ao
escoamento, denominada genericamente de v = f(r), tradicionalmente decorre
do conceito de comprimento de mistura introduzido por Prandtl. Para a
dedução do perfil de velocidades, é comum fazer as seguintes hipóteses:
1. Os esforços que ocorrem na região turbulenta são equivalentes aos que
se desenvolvem junto à parede da tubulação.
2. Os esforços que ocorrem são previstos pela equação da tensão
cisalhante turbulenta vista anteriormente.
85
3. Variação linear do comprimento de mistura com a distância à parede, y,
já que nessa região as flutuações de velocidades se anulam: yl κ=
Assim, 2
22..
==
dy
dvyot κρττ �
=
dy
dvyo .κ
ρτ �
dy
dvyu .* κ=
Separando as variáveis:
y
dyudv
κ*=
Sabe-se que para y = R � v = Vc, a equação acima pode ser integrada entre
os limites dados, tendo-se:
∫∫
=
y
R
v
Vc y
dyudv
κ* � ]y
Rc yu
Vv ln*
κ=− � ( )Ry
u
Vv c lnln1
*
−=−κ
Finalmente, tem-se:
=−
y
R
u
vVc ln1
* κ
Nesta equação, é comum substituir a constante de von Kármán, κ, por
0,40, o que fornece a lei universal da distribuição de velocidades para o
escoamento turbulento:
=−
y
R
u
vVc ln5,2*
A equação acima, apesar de bastante utilizada, leva a algumas
imprecisões em certos casos.
Derivando a equação com relação a y, tem-se:
y
u
dy
dv *5,2=
Por esta equação, no centro da tubulação, onde y = R, o gradiente de
velocidade é finito (diferente de zero), contrariando as observações
experimentais que indicam um gradiente nulo. Também, para y = 0, o
gradiente de velocidade deveria ser máximo, todavia a equação prevê um
gradiente de velocidade infinito.
86
Apesar das inconsistências apontadas, a teoria de Prandtl não invalida a
aplicação prática do perfil de velocidades, que tem demonstrado ser bom.
A figura seguinte ilustra o perfil de velocidades para um escoamento
em tubulação de diâmetro D.
A lei universal da distribuição de velocidades no escoamento turbulento pode ser escrita de outra maneira, denominada de lei da raiz enésima:
n
c R
rvv
1
1
−=
Nesta lei, o valor de n varia conforme as condições do escoamento, conforme se segue: Tubo liso e 104 < Re < 105 � n = 7
Tubo Rugoso e Re < 4000 � n = 6 Tubo liso ou rugoso e Re > 3,2.106 � n = 10
Nesses casos ocorre uma variação da relação entre a velocidade média e a velocidade na linha central, cuja variação vai de cvV 80,0= até cvV 85,0= . Em geral, para os escoamentos comuns nas tubulações, no âmbito da engenharia, considera-se o perfil de velocidades dado por:
87
7
1
1
−=R
rvv c � lei da raiz sétima.
Se n = 7 � cvV 8167,0= 8.5.3. Perda de carga no Escoamento Turbulento: Utilizada para tubulações de comprimento no mínimo igual a 100D.
equação universal da perda de carga: g
V
D
Lfhp 2
2
= ou 5
2
2
8
D
QL
g
fhp π
=
rugosidade relativa e absoluta
= Re,D
ef ϕ
a) ESCOAMENTO TURBULENTO HIDRAULICAMENTE LISO: ETHL Efeito da rugosidade do tubo é muito pequeno, podendo ser desprezado.
δ⟨ e � pode-se considerar que f independe da rug. Relativa
71e ,/δ< � efeito da rugosidade fica bastante reduzido Alguns autores usam o limite 6e /δ<
Na prática considera-se:
88
3 e /δ≤ ou 14,14<D
efRe ou 5* <
υeu �E.T.H.L.
=υ
eu* número de Reynolds da rugosidade.
Em laboratório pode-se ter até 6e /δ< Nesse caso f = f(Re)
Blasius: se o escoamento for turbulento com 3000<Re<105 � 25,0Re316,0 −=f
Essa equação é válida para escoamentos com tubos muito liso
Nesse caso ( ) 71
Ryuu /max= , com y = R – r � lei da raiz sétima
Segundo Von Karman, se 4000 > Re < ∞:
−=
=
f
5122
512
f2
f
1
Re
,log
,
Relog
ou ( ) 8,0Relog21 −= ff
b) ESCOAMENTO TURBULENTO HIDRAULICAMENTE RUGOSO : ETHR Para valores elevados de turbulência: δ torna-se muito pequeno Se Re é elevado � δ torna-se muito pequeno
Se: e ≥ 12,5δ � o efeito da rugosidade torna-se muito importante. � f só depende de e/D. � escoamento no tubo é considerado hidraulicamente rugoso. Na prática:
89
e ≥ 8δ ou 198>D
efRe ou 70* >
υeu � considera-se o E.T.H.R.
Obs: Alguns autores consideram e ≥ 3δ para se ter E.T.H.R. Segundo Von Karman e Nikuradse:
−=D
e
f 71,3log2
1 ou
+=e
D
f 2log274,1
1 ou
+=e
D
flog214,1
1
ou 2
log2138,0−
−=D
ef
c) ESCOAMENTO TURBULENTO DE TRANSIÇÃO: ETT Re não é muito elevado \ __ influência da rugosidade e do Re. δ não é muito pequeno / Se o nível de turbulência não é elevado:
δ/3 ≤ e ≤ 8δ ou 19814,14 <<D
efRe ou 705 * <<
υeu
�
= eRD
eff ,
Colebrook e White:
+−=
fD
e
f Re
51,2
71,3log2
1 ou
+−=
fD
e
f Re
35,9log214,1
1 ou
+−=
fD
e
f Re
7,182log274,1
1
8.5.4. DIAGRAMA OU ÁBACO DE MOODY: Moody (1944), afim de evitar longos cálculos propôs um gráfico que permite calcular o fator de atrito, com f no eixo das ordenadas e Re no eixo das abscissas, ambos em escala logarítmica. Diagrama de Moody:
• Região de escoamento laminar • Região crítica • Região de escoamento hidráulicamente liso (ETHL) • Região de escoamento de transição (ETT) • Região de turbulência completa (ETHR)
90
RESUMO: ESCOAMENTO LAMINAR: f = 64/Re ESCOAMENTO HIDRAULICAMENTE LISO: 25,0Re316,0 −=f ����Blasius - Re<105
Von Karman:
=
51,2
Relog2
1 f
f � Re>105
ESCOAMENTO HIDRAULICAMENTE RUGOSO :
Von Karman e Nikuradse:
−=e
D
f71,3log2
1
ESCOAMENTO DE TRANSIÇÃO :
Colebrook e White:
+−=
fD
e
f Re
51,2
71,3log2
1
Observações: 1. A equação de Colebrook e White é particularmente indicada para a faixa de transição
que se observa entre os escoamentos turbulentos hidráulicamente liso e hidráulicamente turbulento.
2. A equação de Colebrook e White se reduz à equação de von Kárman para ETHL quando a rugosidade relativa se aproxima de zero. Da mesma forma ela se aproxima da equação de von Kárman para ETHR, quando o número de Reynolds cresce muito, tendendo para infinito.
3. Fórmula explícita aproximada para 4000 < Re < 1.107:
91
++=
3
16
Re
10200010055.0
D
ef
4. Separação das regiões no ábaco de Moody: ν1008/ =fVe
8.5.5. FÓRMULAS EXPLÍCITAS PARA O CÁLCULO Da equação universal da perda de carga, pode-se explicitar o valor da velocidade:
g
V
D
Lfhp 2
2
= � g
V
D
fJ
L
hp
2
2
== � gDJfV 22 = � f
gDJV
22 =
f
gDJV
2=
Com a equação de Colebrook-White:
+−=
fD
egDJV
Re
51,2
71,3log22
e com υ
VDRe = :
+−=
gDJDD
egDJV
2
51,2
71,3log22
υ
Equação que permite calcular a velocidade média do escoamento em uma tubulação de diâmetro D, rugosidade relativa e/D, quando imposta uma perda de carga unitária, J.
Fórmula aproximada de Swamee-Jain(1976), para 10-6 ≤ e/D ≤ 10-2 e 5.103 ≤ Re ≤ 108:
2
90eR
745
D713
e
250f
+
=
,
,
,log
,
Mais recentemente, Swamee-Jain(1993), apresentou uma nova fórmula para o cálculo do fator de atrito, válida para escoamento laminar e turbulento, quer seja liso, rugoso ou de transição:
81
166
e90
e
8
e R
2500
R
745
D713
e59
R
64f
−
++
=
−
,
,
,ln,
Outras expressões de Swamee-Jain(1993) para o cálculo explícito de J, Q e D: Para o cálculo da perda de carga unitária:
92
2
90e
5
2
R
745
D713
e
gDQ2030
J
+
=
,
,
,log
,
Para o cálculo da vazão no escoamento:
ν+π
−=gDJD
781
D713
e
2
gDJDQ
2 ,
,log
Para o cálculo do diâmetro da tubulação: 040
20
3
25120
2
20
2 gJQ
1
Q
gJe
Q
gJ660D
,,,,,
,
ν+
=−
Em geral, nos projetos que envolvem a condução de água através de
tubulações, as velocidades médias ficam na faixa de 0,50m/s a 3,00m/s. Se
considerarmos que essas tubulações têm diâmetros variando entre 50mm e
800mm, o número de Reynolds ficará entre 104 e 3.106. Nesses casos o
diagrama de Moody indica que o regime de escoamento é turbulento de
transição (ETT) e as equações de previsão do fator de atrito levam a
resultados parecidos, isto é, com erros inferiores a 2%.
As rugosidades absolutas dos diversos materiais empregados na
fabricação dos tubos é um parâmetro difícil de ser obtido com precisão. Essa
rugosidade varia muito com o tipo de acabamento da superfície interna do
tubo, do processo de fabricação e até mesmo do tempo de uso da tubulação.
Assim, a literatura técnica e os fabricantes tentam especificar valores para
essa rugosidade, que são às vezes discrepantes entre si. É comum especificar
faixas de variação da rugosidade absoluta, cabendo ao projetista escolher o
valor correto em função da sua experiência prática e do bom senso. Testes de
laboratório normalmente levam a rugosidades algo menor que as encontradas
nas tubulações industriais, visto que geralmente elas são menores e montadas
com mais cuidado.
93
8.6. CÁLCULO AUTOMÁTICO Método de Newton-Raphson: raiz de F(x) = 0
( ) ( )00
)(1
0)(0
010
01
xx dxdF
xFxx
dxdFxF
xx−=∴
−=
−−
�Generalizando: ( )mx
mmm
dxdF
xFxx
)(1 −=+
Se 0Re
35,9log214,1
1)( =
++−=
fD
e
ffF
Então:
ffD
ef
e
ffdf
dF
ReRe
35,9
log35,9
2
1
+
−−=
Partindo de um valor f0 iteramos até encontrar f com a precisão desejada:
mx
mmm
dfdF
fFff
−=+)(
1
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 1. Calcular a perda de pressão devida ao atrito no escoamento em uma tubulação de PVC (e=0,0015mm), de 50 mm de diâmetro e 500 m de comprimento, horizontal, escoando 4 l/s de água a 20ºC (ρ = 998,2 kg/m3 e ν = 1,05.10-6 m2/s). ∆p = γ.hp = 379.052,1 Pa 2. Uma tubulação de aço soldado novo (e = 1,10 mm) tem 4” de diâmetro e conduz 11 l/s de água a 25ºC (ρ = 998,0 kg/m3 e ν = 0,98.10-6 m2/s). Considerar dois pontos A e B dessa tubulação, distantes 500 m um do outro. Sabe-se que a cota piezométrica de B é igual à cota geométrica de A. Sabendo
94
que o escoamento se dá de A para B, calcular a pressão disponível em A, em mca. Figura:
zB + PB/γ = zA
PA/γ = 10,026 m. 3. Num ensaio de campo para determinação da rugosidade da parede de uma adutora de 6” de diâmetro, mediu-se a pressão em dois pontos A e B, distantes 1.017m um do outro. A vazão de água na tubulação era de 26,5 l/s e a diferença de nível entre A e B era de 30 m, sendo a cota de A menor que a cota de B. A pressão medida em A foi de 68,6 N/cm2 e em B foi de 20,6 N/cm2. Determinar a rugosidade absoluta média, e, da adutora. E = 0,43 mm 4. A água flui em uma tubulação de 50 mm de diâmetro e 100 m de comprimento, horizontal, de rugosidade absoluta e = 0,05mm. Sabendo que a queda de pressão ao longo do comprimento não pode exceder 50 kPa, calcular a velocidade média da água no escoamento e a vazão. 5. A água a 10ºC (ρ = 999,8 kg/m3 e ν = 1,31.10-6 m2/s) escoa por uma tubulação de concreto com superfície interna alisada a desempenadeira e com juntas bem feitas (e = 0,3 mm segundo a ABNT) de 3,00 m de diâmetro, de maneiras que a perda de carga seja de 2m/km. Calcular a vazão escoada. Q = 20,35 m3/s 6. Uma tubulação horizontal de aço soldado (e = 1,2 mm) deve conduzir 500 l/s de água a 10ºC (ρ = 999,8 kg/m3 e ν = 1,31.10-6 m2/s). Supondo que a perda de carga unitária é igual a 5 m/km, dimensionar a tubulação necessária.
95
D = 0,628 m. 7. Um conduto de PVC (e=0,0015mm), com 50mm de diâmetro e 450 m de comprimento deve conduzir uma vazão de 4,0 l/s de água a 20ºC (ρ = 998,2 kg/m3 e ν = 1,0.10-6 m2/s). Determinar: a) o fator de atrito e o regime de escoamento no conduto; b) a perda de carga e a espessura da subcamada laminar no conduto; c) a mínima vazão para que o escoamento nesse conduto fosse turbulento hidraulicamente rugoso; d) Discutir o valor encontrado no item anterior. 8. Uma tubulação de aço rebitado (e=3,0mm), com 0,30m de diâmetro e 300 m de comprimento, conduz 130 l/s de água a 15,5ºC (ρ = 998,5 kg/m3 e ν = 1,13.10-6 m2/s). Determinar a velocidade média e a perda de carga do escoamento na tubulação. V = 1,84 m/s Hp = 6,55 m 9. Dois reservatórios estão interligados por uma canalização de ferro fundido (e = 0,26mm) com 0,15m de diâmetro e 360 m de extensão. Determinar a velocidade e a vazão de água no momento em que a diferença de nível entre os reservatórios igualar-se a 9,30m. A temperatura da água é de 16,5ºC (ρ = 998,4 kg/m3 e ν = 1,31.10-6 m2/s). V = 1,80m/s Q = 0,031m3/s 10. Determinar o diâmetro necessário para que um encanamento de aço (e = 0,046mm) conduza 19 l/s de querosene a 10ºC (ρ = 799,8 kg/m3 e ν = 2,78.10-6 m2/s), com uma perda de carga que não exceda 6m em 1.200m de extensão do encanamento. D = 0,168m 11. Uma canalização de aço, nova (e = 0,046m), com 150m de comprimento, transporta gasolina a 10ºC (ρ = 719,0 kg/m3 e ν = 7,1.10-7 m2/s), de um tanque para outro, com velocidade média de 1,44 m/s. Determinar o diâmetro e a vazão da canalização, conhecida a diferença de nível entre os dois reservatórios, que é de 1,86m. D = 0,153m Q = 0,0265 m3/s.
96
12. Qual a vazão de água que passa através de uma tubulação horizontal de aço comercial de 150 mm de diâmetro (e=0,05mm), sabendo que a carga piezométrica em um ponto da tubulação vale 1,5 mca e que 90 metros após a carga piezométrica somente vale 0,3m? Q = 0,0263m3/s.
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