82

HIDRODINÂMICA

8. ESCOAMENTO DE FLUIDO REAL EM TUBULAÇÕES

SOB PRESSÃO

Os fluidos escoam em tubulações que estão submetidas a pressões

maiores ou menores que a pressão atmosférica, estando confinados pelas

paredes que formam as tubulações. Assim o escoamento pode ser descrito

pelas equações do movimento real ao longo de linhas de corrente, em termos

do escoamento médio.

8.1. ANÁLISE DIMENSIONAL NO ESCOAMENTO SOB PRESSÃO

Nos escoamentos sob pressão as principais forças presentes são as

forças devido à pressão, as forças devido à viscosidade e as forças de inércia.

Diferenças de pressão

Viscosidade e atrito externo: Forças viscosas � perda de energia

(calor)

Forças de inércia

Quando um líquido está escoando com velocidade média V, em uma

tubulação de diâmetro D, comprimento L e coeficiente de rugosidade ε, a

queda de pressão, ∆p, ao longo do comprimento L da tubulação depende de ρ,

V, D, µ, L e ε. µ é a viscosidade absoluta do líquido. Genericamente se

escreve que:

),,,,,( εµρ LDVFp =∆

83

Os recursos da análise dimensional (teorema de Buckingham) mostram

que existem quatro grupos adimensionais importantes, relacionados com o

escoamento, a saber:

1. Número de Euler: 2V

pEu

ρ∆= � Fp/Fi (forças de

pressão/forças de inércia)

2. Número de Reynolds: υµρ VDVD

Re == � Fi/Fvis (forças de

inércia/forças viscosas)

3. Rugosidade relativa: DRR

ε=

4. Comprimento relativo: D

LCR=

Pelo teorema de Buckingham, pode-se escrever uma nova relação do tipo:

=∆=D

L

DR

V

pEu e ,,2

εφρ

Experimentalmente é possível concluir que D

L

V

p αρ 2

∆

Então

=∆D

RD

L

V

pe

εϕρ

,2 ou

=∆D

RD

L

V

pe

εϕρ

,221

2

Observar que o fator 2 foi introduzido no denominador para representar a

expressar a carga cinética. A função

D

Re

εϕ ,2 é denominada de fator de

atrito para os escoamentos nas tubulações, sendo representado pela letra f e

84

será estudado com ajuda da experimentação, conforme será visto no capítulo

seguinte.

Logo:

2

2V

D

Lfp ρ=∆

Dividindo ambos os membros por γ = ρ.g, tem-se:

g

V

D

Lf

p

g

p

2

2

=∆=∆γρ

Mas php =∆

γ � perda de carga contínua nas tubulações e γ = ρ.g é o peso

específico do líquido que está escoando com velocidade é constante ao longo

do tubo, visto que o diâmetro da tubulação também é constante, escreve-se

que:

g

V

D

Lfhp 2

2

=

A equação acima é denominada de fórmula universal da perda de carga

ou equação de Darcy-Weisbach. Henri-Philibert-Gaspard Darcy, engenheiro

francês, 1805-1858 e Ludwig-Julius Weisbach, engenheiro e professor

alemão, 1806-1871.

Muitos estudos foram feitos para a determinação do fator de atrito, f,

conforme será visto posteriormente.

85

8.2. VELOCIDADE DE ATRITO NO ESCOAMENTO UNIFORME

Quando um fluido real (µ ≠ 0), incompressível, escoa em regime

permanente em uma tubulação de seção transversal, A, constante, é possível

escrever equações relacionando as grandezas envolvidas. Conforme ilustrado

na figura seguinte, os elementos envolvidos são:

Velocidades: V1 = V2 = V;

Pressões p1 e p2;

Cotas z1 e z2;

Tensão cisalhante nas paredes da tubulação, τo;

Áreas: A1 = A2 = A;

senθ = (z2 – z1)/L

Volume: Vol = A.L;

Peso do fluido no volume: P = γ.Vol;

Para que o volume de fluido considerado esteja em equilíbrio, a

resultante de todas as forças deve ser nula. Assim, na direção do eixo x,

teremos forças de pressão, devido à tensão cisalhante na parede do tubo e

componente da força peso.

86

Assim, 0=∑ xF e

02211 =−−− θτ PsenLPApAp eo

τo = tensão cisalhante na parede da tubulação;

Pe = π.D = perímetro da tubulação

P = peso do fluido no volume Vol;

Então:

0)( 1221 =−−−−

L

zzALLPApp eo γτ dividindo por A:

0)( 1221 =−−−− zzA

LPpp e

o γτ � dividindo por γ:

A

LPpz

pz eo

γτ

γγ=−−+ 2

21

1

Como as velocidades são V1 = V2 = V são constantes, podemos somar e

subtrair a carga cinética no primeiro membro da equação anterior,

encontrando:

A

LP

g

Vpz

g

Vpz eo

γτ

γγ=

++−

++

22

222

2

211

1

O primeiro membro é igual à perda de carga entre os pontos 1 e 2, denotado

por hp. Então a equação fica reduzida a:

A

LPh eo

p γτ=

Mas considerando-se que A/Pe = Rh e substituindo na equação anterior, vem:

h

op R

Lh

γτ=

87

Essa equação permite determinar a perda de carga que acontece no trecho do

escoamento na tubulação de comprimento L, os pontos 1 e 2, na presença de

uma tensão cisalhante na parede.

Definindo a perda de carga unitária como sendo J = hp/L:, a equação

anterior pode ser reescrita da seguinte forma:

h

o

RJ

1

γτ=

Dessa equação pode-se explicitar a tensão cisalhante na parede:

JRho γτ =

A expressão anterior é válida para se avaliar a tensão cisalhante na parede

para o escoamento permanente e uniforme em uma tubulação.

Quando a tubulação tiver seção circular, as equações da perda de carga

e da tensão cisalhante podem ser escritas de uma nova forma:

4

2DA

π= e DPe π= � D

D

P

AR

eh π

π4

2

== � 4D

Rh =

Logo a perda de carga será:

D

Lh o

p γτ4=

A tensão cisalhante na parede será:

DL

hpo 4

γτ = ou R

L

hpo 2

γτ =

Onde R é o raio da tubulação onde ocorre o escoamento.

O resultado obtido para as tubulações de seção circular pode ser

comparado com a fórmula universal da perda de carga vista anteriormente:

88

g

V

D

Lf

D

Lh o

p 2

4 2

==γτ

� 8

2Vfo =

ρτ

� 8

2fVo

ρτ =

Velocidade de atrito:

Como 8

2Vfo =

ρτ

� 8

fVo =

ρτ

Sendo f um fator adimensional, cada lado da igualdade acima tem

dimensão de velocidade. Por isso define-se a velocidade de atrito ou

velocidade de cisalhamento, u*, como sendo:

ρτ ou =*

A velocidade de atrito assume papel importante no estudo dos

escoamentos turbulentos em condutos forçados e em canais. É usual

adimensionalizar a velocidade média do escoamento através da velocidade de

atrito, de forma que:

8*

fVu o ==

ρτ

� fu

V 8

*

=

8.3. EXPERIMENTO DE REYNOLDS

Quando um fluido escoa em uma tubulação de diâmetro D, com uma

dada vazão Q, sabe-se que a velocidade, v, varia ao longo de uma seção

transversal da tubulação. Ela é nula na parede, devido à condição de não

deslizamento entre o fluido e a parede do recipiente que o encerra e, em geral,

atinge o seu valor máximo no centro do tubo. Nesse caso é possível

89

estabelecer uma velocidade média, V, definida pela relação entre a vazão e a

área da seção transversal do tubo.

v = f(r)

Se r = R � v = 0

Se r = 0 � v = Vmax = Vc.

∫=AvdAQ e ∫==

AvdA

AA

QV

1

Quando a velocidade V for pequena, pode-se observar que as partículas

fluidas descrevem trajetórias suaves e bem definidas. Nesse caso diz-se que o

escoamento é LAMINAR ou VISCOSO. Em 1883 Osborne Reynolds já

observou tal tipo de escoamento nos fluidos. O fluido se move com as

partículas definindo camadas paralelas entre si, perfeitamente definidas, de

espessura muito fina, sendo que cada camada tem velocidade ligeiramente

diferente da camada adjacente. Essas camadas não se misturam umas com as

outras, sendo perfeitamente individualizadas no escoamento. No escoamento

laminar predominam forças cisalhantes e forças de pressão. As forças

cisalhantes são devidas à viscosidade do fluido, portanto forças de oposição

ao movimento, como as forças de atrito em geral. Essas forças de atrito, que

tendem a inibir o movimento, definem o tipo de movimento que irá ocorrer.

• fluido se movimenta em filetes paralelos e bem definidos

• predominam esforços viscosos: dy

dvµτ = ou dr

dvµτ −=

forças de inércia � forças viscosas

Quando a velocidade V assumir valores mais elevados as partículas do

fluido passam a descrever trajetórias complexas, quase aleatórias, deixando de

se movimentar em camadas, caracterizando um movimento complexo, com o

90

aparecimento de vórtices e turbilhões. Nesse caso diz-se que o escoamento é

turbulento. No escoamento turbulento as forças de inércia predominam sobre

as forças viscosas de forma que a tensão cisalhante na forma mostrada

anteriormente passa a ter pouca influência sobre o escoamento. Outros efeitos

característicos da turbulência predominam no escoamento.

Numa tentativa de definir os limites até onde os escoamentos são

laminares, Osborn Reynolds realizou uma série de experimentos que se

tornaram clássicos. Ele criou um escoamento em uma tubulação de vidro

transparente, partindo de um reservatório de nível constante, para que o

escoamento pudesse ser visualizado. No interior do escoamento Reynolds

injetava um filete de corante, com mesma velocidade do escoamento. Assim,

ele poderia ver como o filete de corante se movimentava no fluido. A figura

seguinte ilustra o esquema de uma das experiências de Reynolds.

Abrindo ou fechando o registro de vazão, Reynolds controlava o valor

da velocidade no tubo de vidro. Atuando no registro de corante a velocidade

do filete poderia ser regulada para coincidir com a velocidade no tubo.

91

• Q pequeno � V baixa � filete de corante presente e nítido �

Laminar.

• Q médio � V média � filete intermitente ou difuso � Transição

• Q alta � V elevada � filete inexistente com mistura total �

Turbulento

O regime de transição de laminar para turbulento depende de V, D e ν

Re = Fin/Fvisc

Re = V.D/ν

Em outro experimento, Reynolds media a perda de carga em um trecho

do escoamento, para correlacionar com as velocidades médias, em uma

tubulação de vidro de diâmetro constante.

Fig. xx – Perda de carga em um escoamento em tubulação de diâmetro D.

D = diâmetro do tubo

L = comprimento do trecho no qual a perda de carga era medida

V = velocidade média no tubo, sendo V1 = V2 = V

z1 = z2

92

A equação de Bernoulli pode ser aplicada ao escoamento entre os

pontos 1 e 2 mostrados na figura, pertencentes a uma mesma reta horizontal,

obtendo-se:

phg

Vpz

g

Vpz +++=++

22

222

2

211

1 γγ

Como as velocidades nos pontos 1 e 2 são iguais, assim como as cotas,

a equação fica sendo apenas:

γγγppp

hp

∆=−= 21

A equação acima permite determinar a perda de carga do escoamento,

apenas medindo-se a diferença de pressão que se verifica entre os pontos 1 e

2.

Lembrete:

1. No caso de se usar um manômetro diferencial de mercúrio, a

diferença de pressão seria: hgp m ∆−=∆ )( ρρ

2. Caso se utilize piezômetros pressurizados de água,

hgp a ∆=∆ ρ

Na prática constata-se que a perda de carga no trecho L não depende da

pressão. Ela proporcional ao comprimento L, é inversamente proporcional ao

diâmetro D, depende da velocidade elevada a um expoente n, além de

depender da rugosidade relativa do material da tubulação e do número de

Reynolds.

A perda de carga hp:

• não depende de p,

• proporcional a L,

93

• inversamente proporcional a D,

• proporcional à velocidade elevada a um expoente n,

• depende de uma função de e/D e Re.

Fig. xx – Perda de carga em função da velocidade para escoamentos em tubulações sob pressão.

• Aumentando V: 0 – 1 – 2 – 3 - 5

• Diminuindo V: 5 – 3 – 4 – 1 - 0

• Define-se Vi e Vs

• Aumentando V: 0 – Vi – Vs � laminar

• Diminuindo V: Vs – Vi �turbulento

Sempre que V < Vi � laminar: Re < 2.100

Sempre que V > Vs � turbulento: Re > 4.000

Vi < V < Vs � transição: 2.100 < Re < 4.000

94

Distribuições de velocidade

Nos escoamentos em tubulações, a velocidade é nula na parede e

máxima no centro. Entre a parede e o eixo a velocidade varia, dependendo do

tipo do escoamento. Quando o escoamento for laminar, a lei de variação será

parabólica. Quando o escoamento se tornar turbulento, a parábola se torna

achatada, ficando com maior variação junto às paredes e mais plana no centro.

Esse achatamento é tanto maior quanto maior for a turbulência do

escoamento, expressa pelo número de Reynolds. A figura seguinte ilustra os

perfis de velocidade para os dois tipos de escoamentos e mostra a velocidade

média, calculada com a relação entre a vazão e a área transversal ao

escoamento.

Fig. xx – Perfis de velocidade nos escoamentos laminar e turbulento.

Laminar:

� parábola

� Tubos concêntricos de velocidade variável

95

Turbulento:

� parábola achatada.

� Quanto maior o Re mais achatada será a curva

� Camadas mais lentas próximas à parede se misturam com

as camadas mais rápidas próximo ao centro � turbilhões.

� Perda de energia devida ao atrito nas parede e à dissipação

viscosa devida às ações internas das partículas nos

redemoinhos.

8.4. ESCOAMENTO LAMINAR EM DUTOS SOB PRESSÃO:

Nesse escoamento o fluido se movimenta em filetes paralelos e bem

definidos, predominam os esforços cisalhantes devidos à viscosidade do

fluido. Esses esforços cisalhantes podem ser previstas pela lei de Newton da

viscosidade, dada abaixo:

dy

dvµτ = ou dr

dvµτ −=

τ = tensão cisalhante

µ = coeficiente de viscosidade dinâmica

dv/dy = gradiente de velocidade

y = R – r � dy = -dr.

8.4.1. Perfil de velocidades

v = f(r)

r = 0 � v = Vc = Vmax � velocidade no eixo do tubo

0=dr

dv no eixo do tubo.

τ = 0 no eixo do tubo

96

r = R � v = 0 � velocidade na parede do tubo

dr

dvé máximo junto às paredes do tubo

τ = τ o é máximo junto às paredes do tubo.

Para estabelecer a equação de variação da velocidade de um

escoamento em uma tubulação de raio R, lembrar que, na parede, onde r = 0:

RL

pD

L

po 24

∆=∆=τ

Como na linha central τ é nula, verifica-se que em uma posição radial, r,

distante do centro da tubulação, a tensão cisalhante vale:

rL

p

2

∆=τ .

Mas a lei de Newton da viscosidade permite calcular, também, essa

tensão cisalhante, de maneira que:

rdrL

pdv

dr

dvr

L

p

µµτ

22

∆−=∴−=∆=

Integrando a equação com a velocidade entre 0 e v e o raio entre R e r,

ter-se-á:

∫∫∆−=

R

R

vrdr

L

pdv

µ20

( )22

4rR

L

pv −∆=

µ

A equação acima mostra que para uma dada diferença de pressão e um

comprimento L de tubo, a velocidade varia com a posição radial segundo uma

parábola. Daí dizer que o perfil de velocidades nos escoamentos em

tubulações de seção circular é parabólico.

97

Observações:

1. Se r = R a equação prevê v = 0 � parede

2. Se r = 0 a equação prevê 2

4R

L

pVv c µ

∆==� velocidade na linha

central da tubulação, ou valor máximo da velocidade.

3. O perfil de velocidades para escoamento laminar nas tubulações é

escrito como:

−=

2

2

1R

rVv c

Perfil de velocidades:

Fig. xx – Perfil de velocidades no escoamento laminar.

8.4.2. Cálculo da vazão, Q

A vazão total, Q, pode ser calculada à partir da vazão elementar dQ,

que atravessa uma área também elementar, dA:

∫∫∫ ===R

AArdrvvdAdQQ

02. π

� rdrR

rVQ

R

c∫

−=

0 2

2

12π � 2

2RVQ c

π=

98

Observação:

Como VRAVQ 2π==

� 22

2RVVR c

ππ = � 2cV

V =

É possível determinar a posição onde ocorre a velocidade média no perfil de

velocidades. Para tanto, é só fazer Vv = , na equação do perfil de

velocidades para se ter rr = .

−=

2

2

1R

rVV c �

−=

2

2

12 R

rV

Vc

c � 5,01

2

2

=−R

r � Rr 7071,0= ou

Ry 2929,0= .

Conclui-se que a velocidade média no escoamento laminar ocorre a

uma distância do eixo da tubulação igual a 0,7071.R ou a 0,2929.R da parede

do tubo.

8.4.3. Perda de Carga no regime laminar: No escoamento laminar pode-se estabelecer uma equação simples para se calcular a perda de carga, quer em função da velocidade, quer em função da vazão. Para tal, lembrar que:

2cV

V = e que 2

4R

L

pVc µ

∆= .

Então,

2

8R

L

pV

µ∆=

Expressando em função do diâmetro da tubulação, D, já que R = D/2 e

lembrando que γp

hp

∆= :

99

2

32D

L

phV p

µγ ∆

= .

Explicitando o valor da perda de carga:

VD

Lhp 2

32γ

µ=

A equação acima é denominada de equação de Hagen-Poiseuille da

perda de carga no escoamento laminar, expressa em função da velocidade

média do escoamento.

Em termos de vazão, visto que VAQ = , A

QV = e 2

4D

QV

π= a equação

anterior pode ser posta na forma:

QD

Lhp 4

128πγ

µ=

Essa equação acima é denominada de equação de Hagen-Poiseuille da

perda de carga no escoamento laminar, sendo usualmente utilizada nos

cálculos da perda de carga nos escoamentos em tubulações de diâmetro D.

Observações:

1. A perda de carga é diretamente proporcional à velocidade: Vhpα .

2. A perda de carga é diretamente proporcional à vazão: Qhpα .

3. A perda de carga é inversamente proporcional à quarta potência do

diâmetro: 4

1D

hpα

4. A equação de Hagen-Poiseuille é válida para escoamentos com número de Reynolds no máximo igual a 2.300.

Comparando o resultado encontrado para a perda de carga com fórmula

Universal, teremos:

100

VD

L

g

V

D

Lfhp 2

2 322 γ

µ==� DV

gf

γµ64=

Então: µ

ρρµ

VDVDf

6464 ==

Mas µρ

νVDvD

Re == , de forma que:

eRf

64=

Expressão muito útil para se calcular o fator de átrio para o escoamento

laminar em tubulações de seção circular.

Observações:

• f não depende de e/D; • f só depende de Re; • logf = log64 – logRe � num gráfico cartesiano tem-se uma linha

reta, de inclinação -1.

Fig. xx – Variação do fator de atrito, f, com o número de Reynolds no escoamento laminar.

101

8.5. ESCOAMENTO TURBULENTO EM DUTOS SOB

PRESSÃO Fluido se movimenta de maneira desordenada; Agrupamentos de moléculas animados de velocidades que se deslocam, de forma caótica, para porções adjacentes de fluido, produzindo forças cisalhantes de intensidades elevadas. Predominam esforços cisalhantes devido à turbulência. 8.5.1. Escoamento na região de entrada dos tubos Quando um fluido em movimento alcança a região de entrada de uma tubulação, o escoamento passa por diferentes estágios até que o perfil de velocidades não mais se altere. Na seção de entrada da tubulação, não existe influência das tensões cisalhantes devido à parede, de maneira eu o perfil de velocidades é formado por uma figura plana, mantendo-se a velocidade constante em qualquer posição desta seção transversal de entrada. Todavia, à medida que o escoamento vai ocorrendo, as tensões cisalhantes nas paredes da tubulação começa a agir, provocando uma diminuição da velocidade junto à parede. Exatamente na parede, a velocidade é nula. Deste ponto, a velocidade vai crescendo em direção eixo do tubo, atingindo um valor constante antes do eixo, formando uma camada de velocidade variável com a coordenada radial, r, denominada de camada limite laminar. Entre a camada limite laminar e o eixo do tubo continua a existir uma camada de velocidade constante, com as características do escoamento de entrada, denominada de núcleo potencial. À medida que o escoamento avança à partir da seção de entrada da tubulação, a espessura da camada limite laminar vai aumentando até que ocorre uma instabilidade que quebra esta camada, fazendo aparecer uma camada muito fina junto à parede, de espessura δ, denominada de sub-camada laminar. Nesta subcamada laminar predominam os efeitos viscosos característicos do escoamento laminar, com a velocidade variando aproximadamente de forma linear em direção ao eixo. A região formada entre a sub-camada laminar e o núcleo potencial torna-se bastante turbulenta sendo denominada de camada limite turbulenta. Nesta camada predominam esforços característicos do escoamento turbulento, com a velocidade ainda variável e com intensas variações temporais. Essa camada limite turbulenta vai aumentando de espessura enquanto o escoamento continua se afastando da entrada da tubulação, até que o núcleo potencial deixe de existir. À partir desse ponto, caracterizado por um comprimento X, medido à partir da seção de entrada, o

102

perfil de velocidades não mais se altera e o escoamento é denominado de completamente desenvolvido. Da seção de entrada até o escoamento ficar completamente desenvolvido denomina-se o escoamento de escoamento em desenvolvimento. As duas figuras seguintes ilustram o escoamento que ocorre até que ele fique desenvolvido.

Fig. xx – Escoamento na região de entrada das tubulações.

Fig. xx – Perfis de velocidade na região de entrada das tubulações.

• Camada limite laminar

• Camada limite turbulenta

• Núcleo potencial

• Sub-camada laminar � espessura δ

103

Na prática constata-se que o comprimento para que o escoamento se

torne completamente desenvolvido fica entre 6D < X < 50D. Experimentos

de laboratório permitiram estabelecer o valor de X:

D 0,8 X 250,Re=

Exemplo: Tubulação de 50 mm de diâmetro escoando água,

com número de Reynolds igual a 100.000. O comprimento do

escoamento em desenvolvimento será X = 711 mm.

Como foi dito, mesmo sendo o escoamento turbulento, existem efeitos

laminares ocorrendo na subcamada laminar, que possui uma espessura δ.

Observações simples de escoamentos na região de entrada reproduzidos em

laboratório mostram que a espessura da sub-camada laminar é inversamente

proporcional ao número de Reynolds do escoamento.

Re

1 αδ

Depois de inúmeras pesquisas em laboratório, foi possível estabelecer

uma expressão para a espessura da sub-camada laminar, para escoamentos em

tubos de diâmetro D:

f

D832 Re

,=δ

Como a velocidade de atrito é dada por 8*

fVu = pode-se demonstrar que

*

6,11

u

νδ = .

IMPORTANTE: Notar que se Re cresce ���� δδδδ diminui

104

8.5.2. Rugosidade das Tubulações

As paredes que confinam os escoamentos, paredes das tubulações, não

são absolutamente lisas. Elas possuem uma rugosidade que é denominada de

rugosidade absoluta e que representa a altura média das asperezas do tubo,

conforme mostra a figura seguinte. Esse parâmetro é de difícil determinação

na prática, razão pela qual costuma-se determinar a rugosidade absoluta

equivalente para os tubos comerciais existentes, conforme será visto mais à

frente, nesse curso.

Rugosidade absoluta: e

Altura média das asperezas do tubo

Tubo comercial: e = rugosidade absoluta equivalente.

Fig. xx – Rugosidade das tubulações.

Rugosidade relativa: e/D

Como as tubulações podem ser construídas de um mesmo material,

porém com diversos diâmetros, é prática corrente definir a rugosidade

relativa, e/D, como sendo a relação entre a rugosidade absoluta e o diâmetro.

Se Re > 2100 � f = f(Re,e/D)

e/D é tabelado para diversos tubos comerciais

105

Muitos autores apresentam tabelas que permitem obter a rugosidade

absoluta equivalente para os tubos comerciais existentes. Observa-se que

existem pequenas discrepâncias entre os valores fornecidos, em decorrência

da dificuldade em se medir a rugosidade. A tabela seguinte foi obtida do livro

Hidráulica Básica, do prof. Rodrigo de Melo Porto.

Tabela de Rugosidade Absoluta, e, para tubos, em milímetros. (Segundo Rodrigo

Melo Porto)

Material e (equivalente) Tubos Novos

(mm)

e (equivalente) Tubos velhos

(mm) Aço comercial 0,045 Aço galvanizado com costura 0,15 a 0,20 Aço galvanizado sem costura 0,06 a 0,15 Aço laminado 0,04 a 0,10 Aço laminado revestido com asfalto 0,05 Aço Rebitado 1,0 a 3,0 Aço Revestido*** 0,4 0,5 a 1,2 Aço Soldado 0,05 a 0,10 Aço Soldado, limpo 0,15 a 0,20 Aço soldado, moderadamente oxidado 0,40 Aço soldado revestido com cimento centrifugado

0,10

Ferro Fundido 0,25 a 0,50 3,0 a 5,0 Cobre ou latão, vidro, PVC, plástico 0,0015 a 0,010 Tubos estrudados em geral 0,0015 a 0,010

106

A tabela seguinte foi retirada do tradicional livro Manual de Hidráulica,

do prof. Azevedo Neto.

TABELA DE RUGOSIDADE ABSOLUTA, E, PARA TUBOS, EM MI LÍMETROS (SEGUNDO AZEVEDO NETO) Material Tubos Novos Tubos velhos

Aço galvanizado 0,15 a 0,20 4,6 Aço Rebitado 1,0 a 3,0 6,0 Aço Revestido 0,4 0,5 a 1,2 Aço Soldado 0,04 a 0,06 2,4 Cimento Amianto 0,025 Concreto bem Acabado 0,3 a 1,0 Concreto Ordinário 1,0 a 2,0 Ferro Forjado 0,04 a 0,06 2,4 Ferro Fundido 0,25 a 0,5 3 a 5 Ferro Fundido com revest. Asfáltico 0,12 2,1 Madeira em Aduelas 0,2 a 1,0 Manilhas Cerâmicas 0,6 3,0 Chumbo <0,01 (lisos) <0,01 (lisos) Cobre ou latão <0,01 (lisos) <0,01 (lisos) Vidro <0,01 (lisos) <0,01 (lisos) PVC Plásticos <0,01 (lisos) <0,01 (lisos) A ABNT, na NB – 591/77, especifica os valores da rugosidade absoluta

equivalente para diversos materiais.

RUGOSIDADE ABSOLUTA EQUIVALENTE PARA TUBOS

SEGUNDO ABNT P-NB - 591/77, em milímetros Item Descrição do Tubo εεεε (mm) I. TUBO DE AÇO: juntas soldadas e interior contínuo I.1 Grandes incrustrações ou tuberculizações 2,4 a 12,0 I.2 Tuberculização geral de 1 a 3mm 0,9 a 2,4 I.3 Pintura a brocha, com asfalto, esmalte ou betume em camada

espessa 0,6

I.4 Leve enferrujamento 0,25 I.5 Revestimento obtido por imersão em asfalto quente 0,1 I.6 Revestimento com argamassa de cimento obtida por

centrifugação 0,1

I.7 Tubo novo previamente alisado internamente e posteriormente revestido de esmalte, vinil ou epóxi obtido por centrifugação

0,06

107

RUGOSIDADE ABSOLUTA EQUIVALENTE PARA TUBOS SEGUNDO ABNT P-NB - 591/77, em milímetros

Item Descrição do Tubo εεεε (mm) II. TUBO DE CONCRETO II.1 Acabamento bastante rugoso: executado com formas de

madeira muito rugosas, concreto pobre com desgastes por erosão, juntas mal alinhadas

2,0

II.2 Acabamento rugoso: marcas visíveis de forma 0,5 II.3 Superfície interna alisada a desempenadeira, juntas bem feitas 0,3 II.4 Superfície obtida por centrifugação 0,33 II.5 Tubo de superfície lisa, executado com formas metálicas,

acabamento médio com juntas bem cuidadas 0,12

II.6 Tubo de superfície interna bastante lisa, executado com formas metálicas, acabamento esmerado e juntas bem cuidadas

0,06

III. TUBO DE CIMENTO AMIANTO 0,1 IV. TUBO DE FERRO FUNDIDO (NOVO) IV.1 Revestimento interno com argamassa de cimento e areia obtida

por centrifugação com ou sem proteção de tinta a base de betume 0,1

IV.2 Não revestido 0,15 a 0,6 IV.3 Leve enferrujamento 0,30 V. TUBO DE PLÁSTICO 0,06 VI. TUBOS USADOS VI.1 Com camada de logo inferior a 5 mm 0,6 a 3,0 VI.2 Com incrustrações de lodo ou de gorduras inferiores a 25mm 6,0 a 30,0 VI.3 Com material sólido arenoso depositado de forma irregular 60,0 a 300 Nota: Valores mínimos a adotar com tubos novos: a) para adutoras medindo mais de 1000m de comprimento adotar 2

vezes o valor encontrado acima para o tubo e o acabamento escolhidos;

b) para adutoras medindo menos de 1000m de comprimento, adotar 1,4 vezes o valor encontrado na tabela para o tubo e acabamentos escolhidos.

Fatores que influenciam na rugosidade das paredes dos tubos:

• Material empregado na fabricação; • Processo de fabricação; • Comprimento do tubo e número de juntas; • Técnica de assentamento; • Estado de conservação das paredes internas; • Existência de revestimentos especiais; • Emprego de medidas protetoras durante o funcionamento; • Tempo de uso do tubo.

82

Na literatura encontram-se muitos valores para a rugosidade equivalente dos tubos, não havendo uma concordância

entre os autores, em decorrência da grande variabilidade nos fatores que influenciam a rugosidade absoluta.

Tabela das rugosidades absolutas, e, para as tubulações em serviço, em milímetros (Segundo J.M. Azevedo Neto – Modificada) TIPO DE TUBULAÇÃO Ferro Fundido e F. Dútil

AUTORES

Aço com revestimento especial ou

esmalte

Tubos de Concreto

Sem Revestim.

Com Revest. de Cimento

Cimento Amianto

Ferro Galvaniza

do

Chumbo, Cobre, La-

tão,

PVC

Tubos

Cerâmicos

SCNHP – França 0,1 -- -- 0,1

Degremont, (1978) 0,1 0,2 a 0,5 0,2 0,1 0,1 0,01 0,03 a 0,1 1,0 Lamont, (1955) 0,06 0,25 a 0,50 0,25 0,125 0,025 0,125 Manual, BWEP, IWE, (1961) 0,125 0,04 -- 0,125 0,03 Chemical Engineers Handbook, (1963) 0,05 0,3 0,26 -- 0,15 Internal Flow, BHRA 0,025 a 0,50 0,10 -- -- Piping Handbook, King/Crocker (1967) 0,05 -- -- 0,12 Fair, Geyer e Okun (1966) 0,03 a 0,09 0,3 a 3,0 0,06 a 0,12 -- 0,06-0,24 <0,03 R.W.Powell (1951) 0,5 a 1,2 0,3 a 1,0 2,1 -- 3,0 Hydraulic Institute (1979) 0,05 -- 0,14 -- 0,17 Armando Lencastre 0,06 a 0,15 0,06 a 0,50 -- -- Loinsley e Franzini (1978) -- 0,3 a 3,0 0,26 0,12 0,15 0,02 PNB 591 0,08 a 0,12 0,08 a 0,66 -- 0,14-0,20 0,14-0,20 0,08-0,12 Valores sugeridos 0,125 0,30 0,25 0,125 0,05 0,15 0,02 0,10 1,5 OBS: SCNHP = Câmara Sindical Nacional; Degremon = M. Technique de l’eau; Lamont = Peter, IWSA, 3º Congresso; BWEP = British Water Engineering Practice; Chemical Engineers Handbook, R.H.Perry, 4ª ed. (1963); BHRA = British Hydromechanics Research Association

82

No escoamento turbulento, verifica-se a existência de grandes massas

se movimentando em turbilhões ou em vórtices, provocando flutuações na

velocidade em relação ao tempo. Assim a velocidade instantânea num

escoamento turbulento, V, pode ser considerada como sendo a soma de duas

parcelas: a velocidade média temporal V e a flutuação de velocidade, v .́

Assim, em um intervalo de tempo, T, considerado, teconsV tan= e

=´v variando no tempo, de forma que:

∫=TVdt

TV

0

1 e ∫ =T

dtv0

0´

As velocidades acima consideradas podem ser computadas em cada

uma das direções dos eixos coordenados no espaço, para se obter Vx, Vy e Vz,

em função de U, V e W e de u´, v ́e w ,́ respectivamente.

Fig. xx - Perfil de velocidades turbulentas com suas flutuações.

No escoamento turbulento, segundo proposta de Boussinesq, a tensão

cisalhante turbulenta é dada por:

dy

dVt ητ =

83

Onde η é denominada de viscosidade turbulenta ou viscosidade de

redemoinho, sendo uma propriedade do escoamento, dependendo do fluido e

da intensidade da turbulência. Os valores da viscosidade turbulenta são mais

elevados que a viscosidade dinâmica definida no escoamento laminar. Em

estudos menos complexos de turbulência a equação anterior pode ser muito

útil.

8.5.3. Comprimento de mistura e perfil de velocidades

Seja u ́ e v ́ as flutuações de velocidades nas direções Ox e Oy,

respectivamente, devidas à turbulência na direção do escoamento médio e

perpendicular à esta direção, para duas camadas próximas. Se houver um

fluxo de massa perpendicular ao escoamento médio, através de uma área

elementar, dA, o teorema da quantidade de movimento permite escrever:

Fluxo de massa: ρ.v´.dA

Força cisalhante entre as camadas: dFcis = (ρ.v´.dA).u ́

´´.. vudA

dFcist ρτ ==

Os termos ρ.v´..u ́ são denominados de tensões de Reynolds para o

escoamento turbulento.

Estudando a turbulência, Prandtl propôs que pequenas massas de

partículas são transportadas pelo escoamento turbulento até uma distância

média l, entre regiões com velocidades diferentes, quando as flutuações de

velocidades forem de mesma ordem de grandeza. Por analogia com o conceito

de caminho médio da tória molecular dos gases, Prandtl denominou a

distância l de comprimento de mistura. Além disso Prandtl propôs qual a

variação de velocidade de uma partícula que se desloca pelo comprimento de

mistura é proporcional a l.dv/dy, onde v é a velocidade média no ponto e y

84

uma coordenada norma a v, medida à partir do contorno sólido que encerra o

escoamento. Assim, se

dy

dvlvu ≈≈ ´´

Substituindo na equação da tensão cisalhante turbulenta dada acima, tem-se: 2

2.

=

dy

dvlt ρτ

Nessa equação, l é uma função de y e, assim como η, função da posição.

Com base na teoria da semelhança entre perfis de velocidades na

turbulência, von Kármán estabeleceu que o comprimento de mistura poderia

ser dado por:

−=2

2

dyvd

dydv

l κ

Em que κ é uma constante universal (adimensional), denominada de constante

de von Kármán, característica de todo movimento turbulento, cujo valor

experimental é o,38 para água limpa e, em geral, assumida como sendo 0,40.

Perfil de velocidades

A obtenção do perfil de velocidades para o escoamento turbulento, que

expresse a variação da velocidade ao longo da posição transversal ao

escoamento, denominada genericamente de v = f(r), tradicionalmente decorre

do conceito de comprimento de mistura introduzido por Prandtl. Para a

dedução do perfil de velocidades, é comum fazer as seguintes hipóteses:

1. Os esforços que ocorrem na região turbulenta são equivalentes aos que

se desenvolvem junto à parede da tubulação.

2. Os esforços que ocorrem são previstos pela equação da tensão

cisalhante turbulenta vista anteriormente.

85

3. Variação linear do comprimento de mistura com a distância à parede, y,

já que nessa região as flutuações de velocidades se anulam: yl κ=

Assim, 2

22..

==

dy

dvyot κρττ �

=

dy

dvyo .κ

ρτ �

dy

dvyu .* κ=

Separando as variáveis:

y

dyudv

κ*=

Sabe-se que para y = R � v = Vc, a equação acima pode ser integrada entre

os limites dados, tendo-se:

∫∫

=

y

R

v

Vc y

dyudv

κ* � ]y

Rc yu

Vv ln*

κ=− � ( )Ry

u

Vv c lnln1

*

−=−κ

Finalmente, tem-se:

=−

y

R

u

vVc ln1

* κ

Nesta equação, é comum substituir a constante de von Kármán, κ, por

0,40, o que fornece a lei universal da distribuição de velocidades para o

escoamento turbulento:

=−

y

R

u

vVc ln5,2*

A equação acima, apesar de bastante utilizada, leva a algumas

imprecisões em certos casos.

Derivando a equação com relação a y, tem-se:

y

u

dy

dv *5,2=

Por esta equação, no centro da tubulação, onde y = R, o gradiente de

velocidade é finito (diferente de zero), contrariando as observações

experimentais que indicam um gradiente nulo. Também, para y = 0, o

gradiente de velocidade deveria ser máximo, todavia a equação prevê um

gradiente de velocidade infinito.

86

Apesar das inconsistências apontadas, a teoria de Prandtl não invalida a

aplicação prática do perfil de velocidades, que tem demonstrado ser bom.

A figura seguinte ilustra o perfil de velocidades para um escoamento

em tubulação de diâmetro D.

A lei universal da distribuição de velocidades no escoamento turbulento pode ser escrita de outra maneira, denominada de lei da raiz enésima:

n

c R

rvv

1

1

−=

Nesta lei, o valor de n varia conforme as condições do escoamento, conforme se segue: Tubo liso e 104 < Re < 105 � n = 7

Tubo Rugoso e Re < 4000 � n = 6 Tubo liso ou rugoso e Re > 3,2.106 � n = 10

Nesses casos ocorre uma variação da relação entre a velocidade média e a velocidade na linha central, cuja variação vai de cvV 80,0= até cvV 85,0= . Em geral, para os escoamentos comuns nas tubulações, no âmbito da engenharia, considera-se o perfil de velocidades dado por:

87

7

1

1

−=R

rvv c � lei da raiz sétima.

Se n = 7 � cvV 8167,0= 8.5.3. Perda de carga no Escoamento Turbulento: Utilizada para tubulações de comprimento no mínimo igual a 100D.

equação universal da perda de carga: g

V

D

Lfhp 2

2

= ou 5

2

2

8

D

QL

g

fhp π

=

rugosidade relativa e absoluta

= Re,D

ef ϕ

a) ESCOAMENTO TURBULENTO HIDRAULICAMENTE LISO: ETHL Efeito da rugosidade do tubo é muito pequeno, podendo ser desprezado.

δ⟨ e � pode-se considerar que f independe da rug. Relativa

71e ,/δ< � efeito da rugosidade fica bastante reduzido Alguns autores usam o limite 6e /δ<

Na prática considera-se:

88

3 e /δ≤ ou 14,14<D

efRe ou 5* <

υeu �E.T.H.L.

=υ

eu* número de Reynolds da rugosidade.

Em laboratório pode-se ter até 6e /δ< Nesse caso f = f(Re)

Blasius: se o escoamento for turbulento com 3000<Re<105 � 25,0Re316,0 −=f

Essa equação é válida para escoamentos com tubos muito liso

Nesse caso ( ) 71

Ryuu /max= , com y = R – r � lei da raiz sétima

Segundo Von Karman, se 4000 > Re < ∞:

−=

=

f

5122

512

f2

f

1

Re

,log

,

Relog

ou ( ) 8,0Relog21 −= ff

b) ESCOAMENTO TURBULENTO HIDRAULICAMENTE RUGOSO : ETHR Para valores elevados de turbulência: δ torna-se muito pequeno Se Re é elevado � δ torna-se muito pequeno

Se: e ≥ 12,5δ � o efeito da rugosidade torna-se muito importante. � f só depende de e/D. � escoamento no tubo é considerado hidraulicamente rugoso. Na prática:

89

e ≥ 8δ ou 198>D

efRe ou 70* >

υeu � considera-se o E.T.H.R.

Obs: Alguns autores consideram e ≥ 3δ para se ter E.T.H.R. Segundo Von Karman e Nikuradse:

−=D

e

f 71,3log2

1 ou

+=e

D

f 2log274,1

1 ou

+=e

D

flog214,1

1

ou 2

log2138,0−

−=D

ef

c) ESCOAMENTO TURBULENTO DE TRANSIÇÃO: ETT Re não é muito elevado \ __ influência da rugosidade e do Re. δ não é muito pequeno / Se o nível de turbulência não é elevado:

δ/3 ≤ e ≤ 8δ ou 19814,14 <<D

efRe ou 705 * <<

υeu

�

= eRD

eff ,

Colebrook e White:

+−=

fD

e

f Re

51,2

71,3log2

1 ou

+−=

fD

e

f Re

35,9log214,1

1 ou

+−=

fD

e

f Re

7,182log274,1

1

8.5.4. DIAGRAMA OU ÁBACO DE MOODY: Moody (1944), afim de evitar longos cálculos propôs um gráfico que permite calcular o fator de atrito, com f no eixo das ordenadas e Re no eixo das abscissas, ambos em escala logarítmica. Diagrama de Moody:

• Região de escoamento laminar • Região crítica • Região de escoamento hidráulicamente liso (ETHL) • Região de escoamento de transição (ETT) • Região de turbulência completa (ETHR)

90

RESUMO: ESCOAMENTO LAMINAR: f = 64/Re ESCOAMENTO HIDRAULICAMENTE LISO: 25,0Re316,0 −=f ����Blasius - Re<105

Von Karman:

=

51,2

Relog2

1 f

f � Re>105

ESCOAMENTO HIDRAULICAMENTE RUGOSO :

Von Karman e Nikuradse:

−=e

D

f71,3log2

1

ESCOAMENTO DE TRANSIÇÃO :

Colebrook e White:

+−=

fD

e

f Re

51,2

71,3log2

1

Observações: 1. A equação de Colebrook e White é particularmente indicada para a faixa de transição

que se observa entre os escoamentos turbulentos hidráulicamente liso e hidráulicamente turbulento.

2. A equação de Colebrook e White se reduz à equação de von Kárman para ETHL quando a rugosidade relativa se aproxima de zero. Da mesma forma ela se aproxima da equação de von Kárman para ETHR, quando o número de Reynolds cresce muito, tendendo para infinito.

3. Fórmula explícita aproximada para 4000 < Re < 1.107:

91

++=

3

16

Re

10200010055.0

D

ef

4. Separação das regiões no ábaco de Moody: ν1008/ =fVe

8.5.5. FÓRMULAS EXPLÍCITAS PARA O CÁLCULO Da equação universal da perda de carga, pode-se explicitar o valor da velocidade:

g

V

D

Lfhp 2

2

= � g

V

D

fJ

L

hp

2

2

== � gDJfV 22 = � f

gDJV

22 =

f

gDJV

2=

Com a equação de Colebrook-White:

+−=

fD

egDJV

Re

51,2

71,3log22

e com υ

VDRe = :

+−=

gDJDD

egDJV

2

51,2

71,3log22

υ

Equação que permite calcular a velocidade média do escoamento em uma tubulação de diâmetro D, rugosidade relativa e/D, quando imposta uma perda de carga unitária, J.

Fórmula aproximada de Swamee-Jain(1976), para 10-6 ≤ e/D ≤ 10-2 e 5.103 ≤ Re ≤ 108:

2

90eR

745

D713

e

250f

+

=

,

,

,log

,

Mais recentemente, Swamee-Jain(1993), apresentou uma nova fórmula para o cálculo do fator de atrito, válida para escoamento laminar e turbulento, quer seja liso, rugoso ou de transição:

81

166

e90

e

8

e R

2500

R

745

D713

e59

R

64f

−

++

=

−

,

,

,ln,

Outras expressões de Swamee-Jain(1993) para o cálculo explícito de J, Q e D: Para o cálculo da perda de carga unitária:

92

2

90e

5

2

R

745

D713

e

gDQ2030

J

+

=

,

,

,log

,

Para o cálculo da vazão no escoamento:

ν+π

−=gDJD

781

D713

e

2

gDJDQ

2 ,

,log

Para o cálculo do diâmetro da tubulação: 040

20

3

25120

2

20

2 gJQ

1

Q

gJe

Q

gJ660D

,,,,,

,

ν+

=−

Em geral, nos projetos que envolvem a condução de água através de

tubulações, as velocidades médias ficam na faixa de 0,50m/s a 3,00m/s. Se

considerarmos que essas tubulações têm diâmetros variando entre 50mm e

800mm, o número de Reynolds ficará entre 104 e 3.106. Nesses casos o

diagrama de Moody indica que o regime de escoamento é turbulento de

transição (ETT) e as equações de previsão do fator de atrito levam a

resultados parecidos, isto é, com erros inferiores a 2%.

As rugosidades absolutas dos diversos materiais empregados na

fabricação dos tubos é um parâmetro difícil de ser obtido com precisão. Essa

rugosidade varia muito com o tipo de acabamento da superfície interna do

tubo, do processo de fabricação e até mesmo do tempo de uso da tubulação.

Assim, a literatura técnica e os fabricantes tentam especificar valores para

essa rugosidade, que são às vezes discrepantes entre si. É comum especificar

faixas de variação da rugosidade absoluta, cabendo ao projetista escolher o

valor correto em função da sua experiência prática e do bom senso. Testes de

laboratório normalmente levam a rugosidades algo menor que as encontradas

nas tubulações industriais, visto que geralmente elas são menores e montadas

com mais cuidado.

93

8.6. CÁLCULO AUTOMÁTICO Método de Newton-Raphson: raiz de F(x) = 0

( ) ( )00

)(1

0)(0

010

01

xx dxdF

xFxx

dxdFxF

xx−=∴

−=

−−

�Generalizando: ( )mx

mmm

dxdF

xFxx

)(1 −=+

Se 0Re

35,9log214,1

1)( =

++−=

fD

e

ffF

Então:

ffD

ef

e

ffdf

dF

ReRe

35,9

log35,9

2

1

+

−−=

Partindo de um valor f0 iteramos até encontrar f com a precisão desejada:

mx

mmm

dfdF

fFff

−=+)(

1

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 1. Calcular a perda de pressão devida ao atrito no escoamento em uma tubulação de PVC (e=0,0015mm), de 50 mm de diâmetro e 500 m de comprimento, horizontal, escoando 4 l/s de água a 20ºC (ρ = 998,2 kg/m3 e ν = 1,05.10-6 m2/s). ∆p = γ.hp = 379.052,1 Pa 2. Uma tubulação de aço soldado novo (e = 1,10 mm) tem 4” de diâmetro e conduz 11 l/s de água a 25ºC (ρ = 998,0 kg/m3 e ν = 0,98.10-6 m2/s). Considerar dois pontos A e B dessa tubulação, distantes 500 m um do outro. Sabe-se que a cota piezométrica de B é igual à cota geométrica de A. Sabendo

94

que o escoamento se dá de A para B, calcular a pressão disponível em A, em mca. Figura:

zB + PB/γ = zA

PA/γ = 10,026 m. 3. Num ensaio de campo para determinação da rugosidade da parede de uma adutora de 6” de diâmetro, mediu-se a pressão em dois pontos A e B, distantes 1.017m um do outro. A vazão de água na tubulação era de 26,5 l/s e a diferença de nível entre A e B era de 30 m, sendo a cota de A menor que a cota de B. A pressão medida em A foi de 68,6 N/cm2 e em B foi de 20,6 N/cm2. Determinar a rugosidade absoluta média, e, da adutora. E = 0,43 mm 4. A água flui em uma tubulação de 50 mm de diâmetro e 100 m de comprimento, horizontal, de rugosidade absoluta e = 0,05mm. Sabendo que a queda de pressão ao longo do comprimento não pode exceder 50 kPa, calcular a velocidade média da água no escoamento e a vazão. 5. A água a 10ºC (ρ = 999,8 kg/m3 e ν = 1,31.10-6 m2/s) escoa por uma tubulação de concreto com superfície interna alisada a desempenadeira e com juntas bem feitas (e = 0,3 mm segundo a ABNT) de 3,00 m de diâmetro, de maneiras que a perda de carga seja de 2m/km. Calcular a vazão escoada. Q = 20,35 m3/s 6. Uma tubulação horizontal de aço soldado (e = 1,2 mm) deve conduzir 500 l/s de água a 10ºC (ρ = 999,8 kg/m3 e ν = 1,31.10-6 m2/s). Supondo que a perda de carga unitária é igual a 5 m/km, dimensionar a tubulação necessária.

95

D = 0,628 m. 7. Um conduto de PVC (e=0,0015mm), com 50mm de diâmetro e 450 m de comprimento deve conduzir uma vazão de 4,0 l/s de água a 20ºC (ρ = 998,2 kg/m3 e ν = 1,0.10-6 m2/s). Determinar: a) o fator de atrito e o regime de escoamento no conduto; b) a perda de carga e a espessura da subcamada laminar no conduto; c) a mínima vazão para que o escoamento nesse conduto fosse turbulento hidraulicamente rugoso; d) Discutir o valor encontrado no item anterior. 8. Uma tubulação de aço rebitado (e=3,0mm), com 0,30m de diâmetro e 300 m de comprimento, conduz 130 l/s de água a 15,5ºC (ρ = 998,5 kg/m3 e ν = 1,13.10-6 m2/s). Determinar a velocidade média e a perda de carga do escoamento na tubulação. V = 1,84 m/s Hp = 6,55 m 9. Dois reservatórios estão interligados por uma canalização de ferro fundido (e = 0,26mm) com 0,15m de diâmetro e 360 m de extensão. Determinar a velocidade e a vazão de água no momento em que a diferença de nível entre os reservatórios igualar-se a 9,30m. A temperatura da água é de 16,5ºC (ρ = 998,4 kg/m3 e ν = 1,31.10-6 m2/s). V = 1,80m/s Q = 0,031m3/s 10. Determinar o diâmetro necessário para que um encanamento de aço (e = 0,046mm) conduza 19 l/s de querosene a 10ºC (ρ = 799,8 kg/m3 e ν = 2,78.10-6 m2/s), com uma perda de carga que não exceda 6m em 1.200m de extensão do encanamento. D = 0,168m 11. Uma canalização de aço, nova (e = 0,046m), com 150m de comprimento, transporta gasolina a 10ºC (ρ = 719,0 kg/m3 e ν = 7,1.10-7 m2/s), de um tanque para outro, com velocidade média de 1,44 m/s. Determinar o diâmetro e a vazão da canalização, conhecida a diferença de nível entre os dois reservatórios, que é de 1,86m. D = 0,153m Q = 0,0265 m3/s.

96

12. Qual a vazão de água que passa através de uma tubulação horizontal de aço comercial de 150 mm de diâmetro (e=0,05mm), sabendo que a carga piezométrica em um ponto da tubulação vale 1,5 mca e que 90 metros após a carga piezométrica somente vale 0,3m? Q = 0,0263m3/s.