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Microondas I
Prof. Fernando Massa Fernandeshttps://www.fermassa.com/microondas-i.php
Sala 5017 Efernando.fernandes@uerj.br
Aula 24
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Somente o campo H possui componente na direção de propagação z:
→ Substituindo Hz na eq. de Helmholtz
→ Numero de onda de corte
→ ∇ x E⃗ = − j ωμ H⃗
∇ x H⃗ = jωϵ E⃗
K c2 = K2 − β2
=>
=>
=> Hz = ??
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Substituindo Hz na eq. de Helmholtz
→ Separação de variáveis
→ Solução geral
=>
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Solução geral
→ Aplico condições de contorno para encontrar A, B, C e D: “Quais?”
Já vimos (nas primeiras aulas) que as condições de contorno em interfaces nos fornecem a relação entre os campos elétricos e magnéticos, perpendiculares e tangenciais a interface que separa dois meios.
Resposta => “Campos elétricos tangenciais à interface com o metal”
( E⃗(2)t − E⃗(1)t ) x n = M⃗ s = 0
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Solução geral
→ Aplico condições de contorno para encontrar A, B, C e D:
( E⃗(2)t − E⃗(1)t ) x n = M⃗ s = 0 =>
E⃗(2)t = 0* Dentro do metal (distante da interface) →
→
→
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Aplico condições de contorno para encontrar A, B, C e D:
=>
e x ( y=0) ⇒ D=0
e y (x=0) ⇒ B=0
e x ( y=b) ⇒ k y = nπ/b (n=1,2,3, ...)
e y (x=a) ⇒ k x = mπ/a (m=1, 2,3, ...)
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Solução geral
→ Solução particular
e x ( y=0) ⇒ D=0
e y (x=0) ⇒ B=0
e x ( y=b) ⇒ k y = nπ/b (n=1,2,3, ...)
e y (x=a) ⇒ k x = mπ/a (m=1, 2,3, ...)
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Solução particular
=>
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Solução particular
→ A impedância de onda no modo TE (geral) é dada por
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Solução particular
→ Condição para haver propagação =>
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Solução particular
→ Condição para haver propagação =>
→ Frequência de corte =>
→ Modo dominante TE10 (menor frequência possível) =>
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ O comprimento de onda do guia é definido como sendo a distância entre os planos de mesma fase:
→ A velocidade de fase é dada por:
“Maior que a velocidade da onda plana!”
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Atenuação: jβ → γ = α + jβ
Const de propagação ⇒ γ = α + jβ = √K c2 − K2
K = ω√μ ϵ → Sempre !
Qdo → K <K c
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Atenuação: jβ → γ = α + jβ
γ = α + jβ = √K c2 − K2 α = αc + αd
Perda no condutor
αc = Pl
2 P0
(método da perturbação)
Perda no dielétrico
→ Dielétrico preenchendo completamente o espaço interno do guia.
αd = K 2 tg δ
2β(Np/m)→ TE ou TM
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Modo dominante => TE10 (m = 1, n = 0)
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Modo dominante => TE10 (m = 1, n = 0)
* Utilizado na vasta maioria das aplicações* Estável* Menor atenuação
Guia de Latão (a = 2.0 cm)
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Modo dominante => TE10 (m = 1, n = 0) Atenuação no modo dominante devido a perda no condutor:
αc = Pl
2 P0
(método da perturbação)
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Modo dominante => TE10 (m = 1, n = 0)
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Modo dominante => TE10 (m = 1, n = 0)
→ Corrente de superfície na parede x = 0:
→ Corrente de superfície na parede y = 0:
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Modo dominante => TE10 (m = 1, n = 0)
(x2)* As correntes são simétricas entre paredes paralelas.
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)
→ Modo dominante => TE10 (m = 1, n = 0)
Atenuação no modo dominante devido a perda no condutor:
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TM – Ondas E (TMn → Ez ≠ 0; Hz = 0)
→ Somente o campo E possui componente na direção de propagação z:
→ Substituindo Ez na eq. de Helmholtz
→ Numero de onda de corte
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TM – Ondas E (TMn → Ez ≠ 0; Hz = 0)
→ Solução geral do modo TM:
→ Condições de contorno aplicadas para ez:
→ Solução particular para Ez:
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TM – Ondas E (TMn → Ez ≠ 0; Hz = 0)
→ Solução particular para Ez:
→ A impedância de onda no modo TM (geral) é dada por
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Modo TM – Ondas E (TMn → Ez ≠ 0; Hz = 0)
→ Solução particular para Ez:
→ Modo de propagação de menor ordem TM11 => E e H são nulos quando
mn = 00, 10, 01, 20, 02, etc...
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Guia de Latão (a = 2.0 cm)
Banda de operação (b=a):
Entre TE10 e TM11
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Exemplo: Características de um guia de onda retangular
Considere um guia de onda retangular de cobre, operando na banda-K, possuindo dimensões a = 1,07 cm e b = 0,43 cm. O guia é completamente preenchido por Teflon.i) Encontre as frequências de corte dos primeiros cinco modos de propagação.ii) Se a frequência de operação é de 15 GHz, encontre a atenuação devida às perdas no dielétrico e no condutor.
Revisão
Capt. 3 – Guia de onda retangular
Microondas I
Exemplo: Características de um guia de onda retangular
Considere um guia de onda retangular de cobre, operando na banda-K, possuindo dimensões a = 1,07 cm e b = 0,43 cm. O guia é completamente preenchido por Teflon.i) Encontre as frequências de corte dos primeiros cinco modos de propagação.ii) Se a frequência de operação é de 15 GHz, encontre a atenuação devida às perdas no dielétrico e no condutor.
Revisão
Capt. 3 – Exercício prático: Guia oco - retangular
Microondas I
a) Qual é o modo dominante?
b) Qual é a menor frequência na qual o sinal pode se propagar nesse guia?
c) Qual é a segunda frequência de corte do guia?
d) Estime a banda de operação?
e) Determine a frequência de operação.
f) Qual é a possível aplicação desse elemento?
Capt. 3 – Guia de onda circular – (Teoria serve para fibra-ótica)
Microondas I
The structure of a typical single-mode fiber.
1. Core: 8 µm diameter
2. Cladding: 125 µm dia.
3. Buffer: 250 µm dia.
4. Jacket: 400 µm dia.
https://en.wikipedia.org/wiki/Optical_fiberhttp://www.tpub.com/neets/tm/106-9.htm
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Modo TE – (Ez = 0)
→ Somente o campo H possui componente na direção de propagação z:
→ Substituindo Hz na eq. de Helmholtz
→ Numero de onda de corte
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Modo TE – (Ez = 0)
→ Somente o campo H possui componente na direção de propagação z:
→ Substituindo Hz na eq. de Helmholtz
→ Separação de variáveis
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Modo TE – (Ez = 0)
→ Somente o campo H possui componente na direção de propagação z:
→ Substituindo Hz na eq. de Helmholtz
→ Separação de variáveis
P(ϕ) deve ter período n.2π no perímetro circular dentro do guia =>
Kϕ = n=>
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Modo TE – (Ez = 0)
→ Somente o campo H possui componente na direção de propagação z:
→ Substituindo Hz na eq. de Helmholtz
→ Separação de variáveis
Kϕ = n =>
* Eq. diferencial de Bessel→ Solução em harmônicos cilíndricos (Funções de Bessel)
http://keisan.casio.com/exec/system/1180573474
Solução em funções de Bessel do primeiro tipo Jn
=> R(ρ) = CJn(Kcρ)
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Modo TE – (Ez = 0)
→ Somente o campo H possui componente na direção de propagação z:
→ Solução geral da eq de Helmholtz
→ Das condições de contorno em ρ = a aplicadas para ez:
→ As raízes da derivada das funções de Bessel são tabeladas (TE):
=>
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Modo TE – (Ez = 0)
→ Somente o campo H possui componente na direção de propagação z:
→ Solução geral da eq de Helmholtz
→ Das condições de contorno em ρ = a aplicadas para ez:
→ Constante de propagação (TEnm):
→ Frequência de corte:=>
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Modo TE – (Ez = 0)
→ Somente o campo H possui componente na direção de propagação z:
→ Solução geral da eq de Helmholtz
→ Das condições de contorno em ρ = a aplicadas para ez:
→ Frequência de corte:
* Quais são os 6 primeiros modos de propagação TE?
=>
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Modo TE – (Ez = 0)
→ Solução particular
→ A impedância de onda no modo TE (geral) é dada por
“Mesma formula do guia retangular”
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Modo TE – (Ez = 0)
→ Modo dominante => TE11 (n = 1, m = 1) – P’11 = 1,841
* Podemos excitar o modo tal que B = 0
→ Fluxo de potência no guia
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Modo TE – (Ez = 0)
→ Modo dominante => TE11 (n = 1, m = 1) – P’11 = 1,841
* Podemos excitar o modo tal que B = 0 Atenuação no dielétrico
→ Dielétrico preenchendo completamente o espaço interno do guia.
αd = K 2 tg δ
2β(Np/m)→ TE ou TM
“Mesma formula do guia retangular”
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Modo TE – (Ez = 0)
→ Modo dominante => TE11 (n = 1, m = 1) – P’11 = 1,841
* Podemos excitar o modo tal que B = 0 Atenuação no condutor
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Modo TM – (Hz = 0)
→ Somente o campo E possui componente na direção de propagação z:
→ Solução geral da eq de Helmholtz
→ Agora as condições de contorno em ρ = a são diretamente a aplicadas a ez:
→ As raízes das funções de Bessel são tabeladas (TM):
=>
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Modo TM – (Hz = 0)
→ Somente o campo E possui componente na direção de propagação z:
→ Solução geral da eq de Helmholtz
→ Agora as condições de contorno em ρ = a são diretamente a aplicadas a ez:
=>
→ Constante de propagação (TMnm):
→ Frequência de corte:
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Modo TM – (Hz = 0)
→ Somente o campo E possui componente na direção de propagação z:
→ Solução geral da eq de Helmholtz
→ Modo fundamental do guia circular:
→ 1o modo propagante => TE11 - (modo dominante)
→ 2o modo propagante => TM01 -
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Modo TM – (Hz = 0)
→ Solução particular
→ A impedância de onda no modo TM (geral) é dada por
“Mesma formula do guia retangular”
Campos transversais
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Primeiros modos do guia circular
Atenuação para vários modos de um guia circular de cobre (a = 2,54 cm)
→ Modo dominante => TE11 (n = 1, m = 1)
→ Modo de menor atenuação => TE01
* Aplicações para longas distâncias* Instável
“Decai em modos de ordem inferior devido a descontinuidades e
imperfeições.”
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Exemplo 3.2: Características de um guia de onda circular
i)Encontre as frequências de corte dos dois primeiros modos de propagação de um guia circular preenchido com Teflon com raio interno de 0,5 cm.
ii)Se a superfície interna do guia é recoberta com ouro, calcule a perda total em dB para um comprimento de 30 cm e frequência de operação de 14 GHz.
Capt. 3 – Guia de onda circular
Microondas I
Exemplo 3.2: Características de um guia de onda circular
i)Encontre as frequências de corte dos dois primeiros modos de propagação de um guia circular preenchido com Teflon com raio interno de 0,5 cm.
ii)Se a superfície interna do guia é recoberta com ouro, calcule a perda total em dB para um comprimento de 30 cm e frequência de operação de 14 GHz.
* Operando em 14 GHz só o modo TE11 se propaga no guia.
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