Modelagem Matemática PROF° FERNANDO H. CARDOSO. EXPERIÊNCIAS PROFISSIONAIS

Modelagem Matemática

PROF° FERNANDO H. CARDOSO

EXPERIÊNCIAS PROFISSIONAIS

MODELAGEM MATEMÁTICA/80HEMENTA:

• Introdução a Funções de varias variáveis.• Introdução a Equações diferenciais ordinárias

e aplicações. • Modelagem matemática com conceitos da

Educação Básica. • Noções de programação linear.

AVALIAÇÃO

• 1 PROVAS (P1) DE 0 À 10

• 1 TRABALHO (T1) DE 0 À 10

• 1 PROJETO DE MODELAGEM MATEMÁTICA (PR) DE 0 À 10

MÉDIA M= P1+2.PR+T1 / 4

M≥6 APROVADO M<6 PROVA FINAL

O que é?

Segundo o dicionário, o termo modelo designa “representação de alguma coisa”.

• Expressão por intermédio de linguagem matemática das situações-problemas de nosso meio.

• Obs: meio de ligar realidade e matemática, sendo dois conjuntos distintos.

AplicaçãoBiologia( Biomatemática), Medicina, Física, Engenharias, Economia,

Metereologia

Retratar aspectos de uma situação pesquisada:

Juro cobrado por uma instituição(ECONOMIA). Quantidades de materiais utilizados na construção de um

muro (Engenharia) Tempo necessário para percorrer uma distância. (Física) Área de um terreno. Forma de reduzir o trabalho numa fábrica. Quantidade de calorias queimadas num programa de dieta. Crescimento da área de desmatamento

Tamanho de uma populaçãoDemanda por um produtoVelocidade de um objeto caindoConcentração de um produto numa ração

químicaExpectativa de vida de uma pessoa ao nascerCusto da redução de poluentesConsumo de energia de uma residência

PROCEDIMENTOS PARA DESENVOLVIMENTO DO PROJETO

DE MODELAGEM

• INTERAÇÃO

• MATEMATIZAÇÃO

• MODELO MATEMÁTICO

1-INTERAÇÃO

• RECONHECIMENTO DA SITUAÇÃO PROBLEMA• FAMILIARIZAÇÃO COM O ASSUNTO A SER

MODELADO (REFERENCIAL TEÓRICO)

2-MATEMATIZAÇÃO2.1- Formulação do problema

• Classificar informações • Decidir fatores a serem

perseguidos (hipóteses)

• Selecionar variáveis envolvidas

• Selecionar símbolos para essas variáveis

(variáveis)• Descrever relações em termo

do modelo matemático (modelos)

2.2- Resolução do problema em termos do modelo

• Selecionada a situação problema passa-se à resolução.

• Requer conhecimentos nas entidades matemáticas envolvidas.

3- Modelo matemático

• Interpretação da solução• Validação do modelo

Se o modelo não atender às necessidades que o geraram, o modelo deve ser retomado na segunda etapa, mudando ou reajustando as hipóteses , variáveis.

Curso: ModelagemATIVIDADES

• Aula expositiva sobre: introdução modelagem, funções de duas variáveis, Otimização, EDO.(40 horas)

• Orientação projeto de trabalho:(20 horas)Escolha do tema e levantamento das questõesElaboração de um modelo matemático Resolução parcial das questõesExposição Oral e escrita do trabalho.

ETAPAS PARA ELABORAÇÃO DE UM MODELO MATEMÁTICO

1. Experimentação2. Abstração3. Resolução4. Validação

5. Modificação

EXPERIMENTAÇÃO

• É uma atividade essencialmente laboratorial, quando se entra em contato com o problema em estudo para obtenção dos dados, em que o método de obtenção depende quase sempre da natureza do experimento e do objeto de pesquisa.

Abstração• Leva à formulação dos modelos matemáticos

a) A seleção das variáveis – A distinção entre as variáveis de estado que descrevem a evolução do sistema e as variáveis de controle que agem sobre o sistema.

b) A problematização – Nesta etapa acontece a formulação do problema teórico na linguagem própria da área que se esta trabalhando.

c) A formulação de hipótese – As hipóteses dirigem as investigações e, são comumente formulações gerais que permitem ao pesquisador deduzir manifestações empíricas específicas.

d) A simplificação – Os fenômenos que se apresentam para o estudo matemático são em geral excessivamente complexos se os considerarmos em todos os seus detalhes. Nesse caso é necessário restringir e isolar o campo de estudo de tal forma que o problema seja tratável e ao mesmo tempo mantenha sua relevância.

RESOLUÇÃO

• Consiste no modelo matemático obtido quando se substitui a linguagem natural das hipóteses por uma linguagem matemática corrente.

VALIDAÇÃO

É o processo de aceitação ou não do modelo obtido. Nesta etapa os modelos juntamente com as hipóteses que lhe são atribuídas devem ser testados em confronto com os dados empíricos comparando sua situação e previsões com os valores obtidos no sistema real.

Modificação

Alguns fatores ligados ao problema original podem provocar a refutação ou aceitação dos modelos.

TEMAS PARA PROJETOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA

• CONSTRUÇÃO• Custo beneficio na construção do telhado de uma

casa: Qual telha oferece o menor custo na obra, portuguesa ou americana?

• Buscando mais economia na construção de um muro, utilizar tijolos 8 furos ou blocos de concreto?

• Aumento no custo do acabamento, quando utilizado porcelanato ao invés de piso.

• Quantidade de tinta utilizada na pintura da fachada de uma casa.

FORMULANDO UM PROJETO

• TELHAS PORTUGUESA OU AMERICA?

1) Interaçãoi) Experimentação

Pesquisas realizadas na internet nos sites:• www.ceramicatorrense.pt• www.blogmenorpreço.com.br

Visitas :• Materiais de construção de Jaciara• Santifer( setor de projetos de construção civíl)

Entrevistas:• Mestre de obra: Osvaldo Cardoso

1) Interaçãoii)Abstração: problematização

Problema:• Qual dos modelos de telhas, portuguesa ou

americana, reduz os gastos na construção?

2.1Matematizaçãoii)Abstração: Hipóteses

• O custo da mão de obra é o mesmo, para os dois modelos de telhas.

• Será descartado na comparação dos custos desses modelos de telhas a utilização de cáibos e vigotas, pois os mesmos são utilizados igualmente para os dois telhados.

• A telha americana custa em média R$ 2,14 e a telha portuguesa custa em média R$ 1,62, cerca de 25 por cento mais barata.

• Utilizasse 16 unidades de telhas portuguesas por m², e 12 unidades de telhas americanas por m²

• O espaçamento do ripado para telha portuguesa é de 33 cm e para telha americana de 38 cm

2.1Matematizaçãoii)Abstração: variáveis

• A- área total do telhado em m²• L - largura da casa em cm• Vt- valor das telhas• Vr- valor do ripão• C(A)- Custo da área do telhado

2.1Matematizaçãoii)Abstração: formulação de modelos

• Modelo 1: Quantidade de telhas de cada modelo para cobrir uma casa de A m².

• Modelo 2: Quantidade de ripão utilizado para cada modelo de telha de uma casa de L cm de largura

• Modelo 3:Custo das telhas e dos ripões• Modelo 4: Custo total do modelo de telhado

utilizado

2.2) Matematizaçãoiii) Resolução do modelo matemático estabelecido

3) Modelo matemáticoiv) validação

• Modelo matemático que determine o custo total da obra comparando os dois modelos de telhas e qual representa o menor custo.

• Pode-se representar graficamente ou por meio de tabelas os resultados deste modelo.

V)Modificação

APRESENTAÇÃO PROJETOS DE MODELAGEM MATEMÁTICA

PRIMEIROS PASSOS PARA MODELAGEM MATEMÁTICA

• Solução de problemas práticos• FUNÇÃO DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS• OTIMIZAÇÃO• E.D.O• APLICAÇÕES

Conta de água

• A conta de consumo de água (COSANPA – Companhia de Saneamento do Pará), é calculada por faixa de consumo, conforme a tabela:

Tabela 1• Faixa de consumo (m³) Valor R$/m³ -ÁGUA Valor R$/m³ – ESGOTO

• 00-10 1,15 0,69• 11-20 1,38 0,83• 21-30 1,65 0,99• 31-40 2,08 1,25• 41-50 2,88 1,73• >50 3,74 2,24

Fazer o cálculo do valor do consumo correspondente a um dado consumo medido (m³).

Para cada faixa de consumo, expresse o valor a pagar “y” reais em função de “x” m³ consumidos.(Fazer tabela)

Testar as funções obtidas na tabela anterior, para os consumos :18, 29, 42, 53 m³

Desperdício Cálculo do volume de água necessária para algumas ações de higiene pessoal (bucal,

banho) considerando uma dada vazão da torneira da pia e do chuveiro; considera-se uma família de quatro pessoas, cujo consumo médio nos últimos seis meses foi de 38m3:

1) Expressar o volume necessário de água na higiene bucal em função do tempo(duração), supondo a vazão da torneira de 8 litros/minuto:

2) Idem para um banho em que a vazão do chuveiro é de 12 litros/minuto:3) Se a torneira ficar aberta durante toda a higiene bucal e se o chuveiro ficar aberto

durante todo o banho (incluindo tempo gasto em se ensaboar e esfregar), percebe-seque somente 1/3 do tempo seria suficiente para a higienização. Com base nesta

informação, pede-se para expressar o volume de água necessário nestes dois casos:4) Expressar o volume de água desperdiçada nos dois casos:

5) Calcular o desperdício mensal em m³ da família em questão, considerando banho ehigiene bucal três vezes por dia, com duração média de 6min e 3min, respectivamente.6) Havendo a decisão de mudar os hábitos, qual será a economia mensal da família com

o consumo de água?

1- Problema construção de uma cerca

• O departamento de estradas de rodagem está planejando construir uma área de piquenique para motoristas à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5000m quadrados, e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Expresse o comprimento da cerca, em metros, em função do comprimento do lado que dá para a rodovia.

• EXERCÍCIO: Que dimensões deveriam ter esta cerca para que o comprimento fosse mínimo

2- Construção de lata

• Uma lata cilíndrica deve ter uma capacidade (volume) de 24π centímetros cúbicos . O preço do material usado para o fundo e a tampa é 3 centavos por centímetros quadrado e o preço do material usado para o lado da lata é 2 centavos por centímetros quadrado. Expresse o custo do material necessário para construir uma lata em função do raio.

• Exercício: Para que valor de r(raio). 0 custo na produção desta lata seria mínimo

3- Condado de Marin

• Durante uma seca, os moradores do condado de Marin, que tiveram que enfrentar uma séria escassez de água. Para combater o desperdício, as autoridades aumentaram drasticamente as tarifas. O preço para uma família de quatro pessoas passou a ser 1,22 dólares por 100 pés cúbicos de água para os primeiros 1200 pés cúbicos, 10 dólares por 100 pés cúbicos para 1200 pés cúbicos seguintes e 50 dólares por 100 pés cúbicos para consumos maiores.

Expresse o valor da conta de água em centenas de pés cúbicos

EXERCÍCIO ESBOCE O GRÁFICO DA FUNÇÃO C(X)

PROPORCIONALIDADE

• DIZEMOS QUE UMA GRANDEZA Q É:• Conjuntamente proporcional a x e y se Q=kxy, • Diretamente proporcional a x se Q= kx• Inversamente proporcional a x se Q= k/x

Onde k é constante

4- CRESCIMENTO POPULACIONAL

• Quando fatores ambientais impõem um limite superior ao número de indivíduos , uma população cresce a uma taxa que é conjuntamente proporcional ao número de indivíduos e à diferença entre o limite superior e o número de indivíduos. Expresse a taxa de aumento da população em função do tamanho da população.

5- CUSTO NA PRODUÇÃO DE PAPEL

• Um fabricante produz papel para impressora a um custo de 2 reais a resma. O papel vem sendo vendido a 5 reais a resma, por este preço são vendidas 4000 por mês. O fabricante pretende aumentar o preço do papel e calcula que para cada 1 real de aumento do preço, menos 400 resmas são vendidas.

• Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda das resmas

• Faça um gráfico da função que expresse o lucro mensal. Para que preço o lucro é máximo? Qual é o lucro máximo?

6- CUSTO NA VENDA DE UM CERTO PRODUTO

• Um fabricante pretende vender um certo produto por 110 reais a unidade. O custo total é constituído por um custo fixo de 7500 reais e um custo de produção de 60 reais por unidade

• Quantas unidades o fabricante deve vender para não ter prejuízo?

• Qual é o lucro ou prejuízo quando 100 unidades são vendidas?

• Quantas unidades o fabricante deve vender para ter um lucro de 1250 reais?

7- COMPARAÇÃO ENTRE OFERTAS

• Uma locadora de automóveis cobra R$25 mais R$0,60 por quilômetro. Outra locadora cobra R$ 30,00 mais R$ 0,50 por quilômetro. Qual das duas ofertas é a melhor?

INICIANDO MODELAGEM 1-EMBALAGENS

• Nas embalagens de produtos de supermercados observamos vários sólidos geométricos, dentre os mais comuns na armazenagem de líquidos têm-se os prismas para caixas e cilindros para embalagens metálicas.

• Antes de criar uma embalagem para um certo produto necessário observar certos aspectos.

• Conhecendo cilindros e prismas.

ATIVIDADE 1

• Desenho de um prisma de base quadrangular, com as arestas da base medindo 10 u. e 5 u. e altura de 3 u.

• Determine a área da base, área total e o volume.

ATIVIDADE 2• UTILIZANDO UM PAPEL A4, CORTE AS ABAS DESTE PAPEL

DE MODE QUE SE TENHA UM QUADRADO DE 20 CM DE LADO.

• CONSTRUA UMA CAIXA COM 4 CM DE ALTURA DETERMINE:1. QUANTIDADE DE MATERIAL UTILIZADO EM CM²2. DESPRESSANDO AS SOBRAS QUAL A QUANTIDADE DE

MATERIAL ( FIGURA PLANIFICADA)3. ÁREA DA BASE DA CAIXA CONSTRUIDA4. ÁREA LATERAL DA CAIXA CONSTRUIDA 5. VOLUME DA CAIXA6. SE A CAIXA TIVESSE TAMPA, QUAL SERIA A ÁREA TOTAL

ATIVIDADE 3

• QUAL SERIA A FORMA ÓTIMA PARA ESTA CAIXA, ISTO É, A QUE UTILIZA UM MÍNIMO DE MATERIAL PARA UM MÁXIMO APROVEITAMENTO, SABENDO QUE DISPOMOS DE UMA FOLHA QUADRADA DE 20 CM DE LADO.

2- problema área do cálculo (otimização)

• Deseja-se produzir uma caixa cilíndrica de papelão com volume igual 600cm³. Sendo que o material utilizado para a tampa e para a base custa 3 u.$ por cm² e para a área lateral tem-se o custo de 2u.$ por cm², determine o custo para a produção desta caixa.

• EXERCÍCIO

3- Exercício: Iniciando a modelagem

• Pretendo abrir uma industria de sucos enlatados, porém estou com problemas para determinar as dimensões que deverão ter as latas cilíndricas contendo 355 ml de suco. Para se tornar competitivo no mercado das grandes marcas, pretendo vencer o preço da concorrência, para isto deve-se reduzir os custo com a embalagem.

• Qual deverá ser a dimensão da lata para que o custo do metal usado na fabricação seja mínimo?

Funções de duas ou mais

variáveis

Definição

• Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado (x,y) de valores reais de um conjunto D, um único valor denotado por f(x,y).

• O conjunto D é o domínio de f e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de f, ou seja, {f(x,y)/ (x,y)e D}

NOÇÕES

• DOMÍNIO • IMAGEM

Exemplos

• GRÁFICOS: Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em R³ / z=f(x,y) e (x,y) pertença a D.

• CURVAS DE NÍVEL• ESBOÇO

Exemplo f(x,y)= x² +y²

Funções de três variáveis

• Análogo a definição anterior, definimos funções de três ou mais variáveis, onde o domínio (subconjunto do Rn) é dado (x1,x2,x3,...,xn) n-uplas, associado a um único número real f (x1,x2,x3,...,xn)=Z

• Domínio• Imagem

• Superfície de nível• Gráficos

Exemplos

FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS• APLICAÇÕES:1) UMA LOJA DE ARTIGOS ESPORTIVOS EM FOZ DO IGUAÇU OFERECE

DOIS TIPOS DE RAQUETES DE TÊNIS, UM COM ASSINATURA DE MARIA SHARAPOVA E OUTRA COM A DE SERENA WILLIANS. DE ACORDO COM AS PESQUISAS, A DEMANDA DE CADA RAQUETE NÃO DEPENDE APENAS DO PREÇO DA PRÓPRIA RAQUETE, MAS TAMBÉM DO PREÇO DA RAQUETE RIVAL. ASSIM SE A RAQUETE SERENA FOR VENDIDA POR x REAIS E A RAQUETE SHARAPOVA POR y REAIS, A DEMANDA DA RAQUETE SERENA SERÁ D1: 300 – 20x +30 y RAQUETES POR ANO E A DEMANDA DA RAQUETE SHARAPOVA SERÁ D2: 200 + 40x -10y RAQUETE POR ANO .

EXPRESSE A RECEITA TOTAL ANUAL DA LOJA COM A VENDA DOS DOIS TIPOS DE RAQUETES EM FUNÇÃO DO PREÇO x E y

Função de produção de cobb-douglas

• Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo na qual modelavam o crescimento da economia norte-americana entre 1988 a 1922, sendo usadas em muitos contextos de firmas a questões globais.

P(L,K)=b(L^α).(K^1- α), onde b, α são constantes.

• São úteis também para análise econômicas.

• 2) Aplicação: Produção de uma fábrica.

A produção de certa fábrica é dada pela função :Q(K,L)= 60K^1/3.L^2/3 .

K :capital imobilizado L: mão de obra em homem-obra

a) Calcule a produção da fábrica para um capital de R$ 512000,00 e volume de 1000 homens – obras .

b) Mostre que a produção calculada será duas vezes maior se o capital e mão de obra forem dobradas.

3) Uma população que cresce esponencialmente satisfaz a equação:

P(A,K,T) = Ae^kt

P população no instante T, A população inicial para t=0 K a taxa de crescimento relativa(per capita).

A população de certo país é de 5 milhões de

habitantes e está crescendo à taxa de 3% a.a. Qual será daqui 7 anos?

4) O valor de B reais investidos durante t anos a uma taxa anual r de juros capitalizados k vezes por ano é dado por

P (B,R,K,T)= B( 1+R/K)^-kT

Determine o valor atual de R$ 10000,00 investidos durante 5 anos a juros 6%a.a capitalizados trimestralmente .