Modulo 6 Probab Il i Dade

Básico Probabilidade

Análise Combinatória

Básico de Probabilidade

Análise Combinatória

Princípio Multiplicativo

Arranjos

Permutações

Combinações

Princípio

Multiplicativo

PARTE I

Cidade A

Cidade B

Cidade C

Princípio Multiplicativo

Caminho 1

Caminho 2

Caminho 3 Caminho 5

Caminho 4

Existem 3 caminhos entre A e

B

Existem 2 caminhos entre B e

C

1) Uma mulher possui 6 calças e 8 blusas, de quantas formas ele pode vestir usando uma blusa e uma calça?

2) Uma mulher possui 6 calças, 8 blusas 3 casacos, de quantas formas ele pode vestir usando uma blusa, uma calça e um casaco?

3) Em uma festa existem 30 homens e 12 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados?

4) De quantas formas podemos responder a 5 perguntas de uma prova, cuja resposta para cada pergunta seja “sim“ou ”não”?

5) Uma sala tem 3 portas, de quantas maneiras distinta ela pode ser aberta?

6) (Petrobras/Cesgranrio/2010) Mariana foi passar um fim de semana na casa de uma amiga e levou na bagagem cinco camisetas (branca, azul, rosa, vermelha e preta) e três bermudas (marrom, azul e preta). De quantos modos Mariana poderá escolher uma camiseta e uma bermuda para se vestir, se ela deseja que as peças escolhidas sejam de cores diferentes?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

7) (Petrobras/Cesgranrio/2010) Há cinco poços de petróleo a serem perfurados (P1,P2,P3,P4,P5) e apenas três sondas disponíveis para perfuração (S1,S2,S3).A sonda S1 só pode ser utilizada para a perfuração dos poços P4 e P5. As sondas S2 e S3 podem ser utilizadas para perfuração de qualquer dos cinco poços. Serão perfurados, inicialmente, apenas três dos cinco poços e, para isso, cada sonda será alocada a um único poço. Quantas maneiras distintas há para se alocarem as três sondas?

a) 8 b) 10 c) 15 d) 24 e) 40

8) Analista-MPOG/ESAF/05)Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila.O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a :

a) 80

b) 72

c) 90

d) 18

e) 56 

9)( IBGE/NCE-UFRJ/05) Pretendemos usar os algarismos 0,1,2 e 3 para formar números de três algarismos distintos, como 230 por exemplo. Nesse caso,podemos formar a seguinte quantidade de números maiores que 201:

a) 11

b) 15

c) 24

d) 36

e) 48 

O Dilema da Contagem !

ESSE PROBLEMA DEVE SER RESOLVIDO COMO UM

ARRANJO OU COMBINAÇÃO ?

Faça a seguinte pergunta a você mesmo:A ordem dos elementos é relevante ?

A ordem dos elementos é

relevante

SIM ARRANJOPOSSO

REPETIR ELEMENTOS

SIMARRANJO COM

REPETIÇÃO

NÃOARRANJO SEM

REPETIÇÃO

NÃO COMBINAÇÃOPOSSO

REPETIR ELEMENTOS

SIM

NÃOCOMBINAÇÃO

SEM REPETIÇÃO

COMBINAÇÃO SEM REPETIÇÃO

COMBINAÇÃO COM

REPETIÇÃO

“A ordem dos elementos é

relevante !”

ARRANJO

10) Quantos números com dois algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 3, 4 e 8?

11) Quantos números com dois algarismos não distintos podem ser formados usando os algarismos 3, 4 e 8?

12) Quantos números com 3 algarismos podem se formados usando os algarismos 9, 7, 4 e 1?

a) Distintos (arranjos sem repetição);

13) Quantos números com 3 algarismos podem se formados usando os algarismos 9, 7, 4 e 1?

b) Não distintos (arranjos com repetição);

14) Quantos números com 3 algarismos podem se formados usando os algarismos 9, 7, 4 e 1?

c) Pares distintos (arranjos sem repetição);

15) Quantos números com 3 algarismos podem se formados usando os algarismos 9, 7, 4 e 1?

d) Pares não distintos (arranjos com repetição).

16) Quantos números pares e com 3 algarismos distintos podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 1, 4 e 7?

17) Quantos números pares e com 3 algarismos não distintos podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 1, 4 e 7?

18) (CESPE/BB/2009) Considerando que as equipes A,B,C,D e E disputem um torneio que permite as três primeiras colocadas, julgue os itens a seguir.

1)O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 58.

2)O total das possibilidades distintas para as três primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15.

3)Se a equipe A for desclassificada, então o total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 24.

Exemplos : De quantas maneiras 5 atletas podem chegar ao final de uma corrida ?

5!=5 x 4 x 3 x 2 x 1

FATORIAL (!)O fatorial de um número somente está definido para números naturais !!! Portanto não existe fatorial de números negativos (-6!) , raízes (√ 5 !) e fracionários ( 6/4 !).

0! = 1

1! = 1

2! = 2 x 1= 2

3! = 3 x 2 x 1 = 6

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 720

FATORIAL (!)

Exemplos de Fatoriais

7! 7 x 6 x 5 x 4!

4! 4!

OPERAÇÕES COM FATORIAL (!):

=

19) 8!/6!

20) 12!10 !/(3x4)

OPERAÇÕES COM FATORIAL (!):

21) 4!(8-6)!/ 3!(5-4)!

22) 4!/0!

OPERAÇÕES COM FATORIAL (!):

ARRANJO SIMPLES (SEM REPETIÇÃO)

A (n,p) = A =

n – elementos à disposição

p – tamanho do grupo

n

p n ! (n – p) !

23) Quantos números com 4 algarismos distintos podem ser formados usando-se apenas os algarismos 7, 9, 4, 3, 2 e 1?

24 ) Em um campeonato de basquete, participam 14 times. Quantos são os resultados são possíveis para os três primeiros lugares?

25) De um baralho de 52 cartas, 4 cartas são retiradas sucessivamente e sem reposição. Quantas sequências de cartas é possível obter?

26) (PUC-MG) O número inteiro positivo que verifica a equação A (n,3) =3.(n-1) é

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

27) ( BB/Cesgranrio/2010) João, Pedro, Celso, Raul e Marcos foram aprovados em um concurso. Cada um trabalhará em uma unidade diferente da empresa: P, Q, R, S ou T. Considerando que João já foi designado para trabalhar na unidade P, de quantos modos distintos é possível distribuir os demais aprovados pelas unidades restantes.

a) 12 b) 24 c) 48 d) 90 e) 120

ARRANJO COM REPETIÇÃO

A (n,p) = np

n – elementos à disposição

p – tamanho do grupo

28) Quantos números com 3 algarismos não distintos podem ser formados usando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

29) (professor) Num pequeno pais, as chapas dos automóveis tem duas letras distintas seguidas de 3 algarismos com repetição. Considerando-se o alfabeto com 26 letras, o número de chapas possíveis de se firmar é:

a) 1.370

b) 39.000

c) 468.000

d) 650.000

e) 3.276.000 

Exercícios Complementares

30) (UFRN) A quantidade de número de dois algarismos distintos que se pode formar com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9 é igual a:

a) 5

b) 10

c) 15

d) 20

e) 25 

31) (MACK-SP) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é:

a)1680

b) 8!

c) 8.4!

d) 8! /4

e) 32

32) As finalistas do concurso Miss Universo, são Miss Brasil, Miss Japão, Miss Venezuela, Miss Itália e Miss França) De quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro, o segundo e terceiro lugar neste concurso.

a) 60

b) 45

c) 125

d) 81

e) 120

33) (UEL-PR) Num pequeno pais, as chapas dos automóveis tem duas letras distintas seguidas de 3 algarismos sem repetição. Considerando-se o alfabeto com 26 letras, o número de chapas possíveis de se firmar é:

a) 1.370

b) 39.000

c) 468.000

d) 676.000

e) 3.276.000 

34) (PUC-PR) O número de placas de veículos que poderão ser fabricadas utilizando-se das 26 letras do alfabeto latino e dos 10 algarismos arábicos, cada placa contendo três letras e quatro algarismos, não podendo haver repetição de letras e algarismos é:

a) 67.600.000

b) 78.624.000

c) 15.765.700

d) 1.757.600

e) 5.760.000

Permutação

Parte II

É um caso especial de Arranjo !

Pn = n!

É quando estamos utilizando (arranjando) todos os elementos do grupo !!!

A Permutação sem repetição

A (n,p) = n!/ (n!- p!)

A(n,n)= n!/(n!- n!) = n!/(0!)= n!/1= n!

A (n,n) = Pn = n!

A Permutação sem repetição

35) Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra IME?

36) (Petrobras/Cesgranrio/2010) A vitrine de uma determinada loja possui 5 lugares para colocação de manequins. Considerando que a loja possui 5 manequins, em quantas formas diferentes eles podem ser arrumados?

a) 120 b) 100 c) 50 d) 25 e) 15

37 ) ( BB/Cesgranrio/2010) João, Pedro, Celso, Raul e Marcos foram aprovados em um concurso. Cada um trabalhará em uma unidade diferente da empresa: P, Q, R, S ou T. Considerando que João já foi designado para trabalhar na unidade P, de quantos modos distintos é possível distribuir os demais aprovados pelas unidades restantes.

a) 12 b) 24 c) 48 d) 90 e) 120

Exemplo :Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra ANA?

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO

n!

(x1! . x2! . ...nx!)

(x1, x2,..xn)

P(n) =

38) Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra OSSOS ?

39) Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra PARALELEPIPEDO?

Exercícios Complementares

40) (UFSC) Quantos números de cinco algarismos podemos escrever apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3 respeitadas as repetições apresentadas?

a) 12

b) 30

c) 6

d) 24

e) 18

41) (CEFET-PR) Dentre as permutações das letras da palavra triângulo, o número das que começam por vogal é:

a) P9

b) P8

c) 2. P8

d) 4. P8

e) 4. P7

42) (FUVEST-SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:

a) 24

b) 48

c) 96

d)120

e)144

43) (CEFET-PR) O número de anagramas da palavra NÚMERO, em que nem vogal, nem consoantes fiquem juntas é:

a) 12

b) 36

c) 48

d) 60

e) 72

44) (UFSC) Quantos anagramas da palavra PALCO podemos formar de maneira que as letras A e L apareçam sempre juntas?

a) 48

b) 24

c) 96

d)120

e) 36

45) (CEFET-PR) O número de anagramas de 6 letras que podemos formar com as letras da palavra PEDRAS, começando e terminando com uma letra que represente consoante, é:

a) 72

b) 480

c) 192

d) 432

e) 288

46) (FGV-SP) Quantos anagramas da palavra SUCESSO começam por S e terminam com O ?

a) 7!

b) 5!

c) 30

d) 60

e) 90 

47 ) (MACK-SP) O número de maneiras diferentes de colocar em uma linha de um tabuleiro de xadrez (8 posições) as peças brancas (2 torres, 2 cavalos, 2 bispos, a rainha e o rei) é:

a) 8!

b) 504

c) 5040

d) 8

e) 4

48) (FGV-SP) Uma palavra é formada por N vogais e N consoantes. De quantos modos distintos podem-se permutar as letras desta palavra, de modo que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes?

a) (N!)²

b) (N!)².2

c) (2N)!

d) (2N)!. 2

e) N!

Combinação

Parte III

A ordem dos elementos não é

relevante !

Combinação

COMBINAÇÃO SIMPLES (SEM REPETIÇÃO)

C (n,p) = C =

n – elementos à disposição

p – tamanho do grupo

n

p n !

p!(n – p) !

Combinação de “n” elementos agrupados “p” a “p”

49) Deseja-se formar uma comissão de 3 membros e dispõe-se de 10 funcionários. Quantos comissões podem ser formadas?

50) (AFTN/98) Uma empresa possui 20 funcionários dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é:

51) Temos 4 cadeiras numeradas de 1 a 4 e desejamos escolher 3 lugares entre os existentes. De quantas formas isso pode ser feito?

52) (BB/Cesgranrio/2010) Uma artesã de bijuterias fabrica um colar de contas na qual utiliza 16 contas pequenas e duas contas grandes, cujo modelo é apresentado abaixo.

Os critérios que ela utiliza para montar cada colar são os seguintes:

a) As contas pequenas são todas da mesma cor;

b) Contas grandes devem ter cores diferentes;

c) Se as contas pequenas forem da cor “x”, nenhuma conta grande pode ser da cor “x”

Sabendo-se que a artesã dispõe de contas pequenas brancas, pretas, azuis e laranjas e de contas grandes brancas, vermelhas, verdes, azuis e rosas, de quantos modos distintos ela pode escolher as cores das contas que irão compor um colar?

a) 28 b) 30 c) 32 d) 40 e) 42

53 (ANP/Cesgranrio/2008) O jogo da Mega Sena consiste no sorteio de seis dezenas de um conjunto de sessenta possíveis (01,02,03.....59,60). A aposta mínima é feita escolhendo-se seis dessas dezenas. José pensou em oito dezenas diferentes, e resolveu fazer o maior número de apostas mínimas , combinando as oito dezenas escolhidas de todas as maneiras possíveis. Quantas apostas fez José ?

a) 28 b) 48 c) 56 d) 98 e) 102

54) De um grupo de 9 professores 4 lecionam matemática. De quantos modos pode-se formar uma comissão com 3 componentes de forma que pelo menos 1 dentre os escolhidos seja professor de matemática?

55) De quantas maneiras podemos colocar 12 pessoas em 4 quartos A, B, C e D de modo que em A fiquem 4 pessoas, em B fiquem 3 pessoas, em C fiquem 3 pessoas e em D fiquem 2 pessoas?

56) De quantas formas podemos escolher 6 cartas de um baralho de 52 cartas de modo que em cada escolha haja no mínimo uma “Dama”?

COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO

(m+p-1)!

p! [(m+p-1)-p] !

(p)C(m+p-1) =C(m,p)

* =

Exemplo :Uma loja vende 3 tipos de roupas: camisas, saia e calça. De quantas formas uma pessoa pode comprar 5 peças de roupa?

57) (BB/Cesgranrio/2010) Uma loja vende barras de chocolate de diversos sabores. Em uma promoção, era possível comprar três barras de chocolate com desconto, desde que estas fossem dos sabores ao leite, amargo, branco ou com amêndoas, repetidas ou não. Assim, um cliente que comprar as três barras na promoção poderá escolher os sabores de n modos distintos, sendo n igual

a ) 4 b) 10 c) 12 d) 16 e) 20

Exercícios

Complementares

58)(TFC/ESAF-1995) Quantas comissões de 4 pessoas cada uma podem ser formadas com 10 funcionários de uma empresa ?

a)120

b)210

c)720

d)4050

e)5041

59)(AFRFB/ESAF/2009) Sabe-se que os pontos A,B,C,D,E,F e G são coplanares, ou seja estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a :

a)16

b)28

c) 15

d)24

e)32

60)(ESAF/ANEEL/TÉCNICO/2006): Em um plano, são marcados 25 pontos, dos quais 10 e somente 10 desses pontos são marcados em linha reta. O número de diferentes triângulos que podem ser formados com vértices em quaisquer dos 25 pontos é igual a :

a) 2.180

b) 1.180

c) 2.350

d) 2.250

e) 3.280

61)(SFC/AFC/ESAF-2000) Se o conjunto X tem 45 subconjuntos de 2 elementos, então o número de elementos de X é igual a :

a)10

b)20

c)35

d)45

e)90

62) ( ANEEL/ESAF/2004)Quer-se formar um grupo de danças com 6 bailarinas, de modo que três tenham menos de 18 anos, que uma tenha exatamente 18 anos, e que as demais tenham idade superior a 18 anos. Apresentaram-se para seleção doze candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a :

a) 85 b) 220 c) 210 d) 120 e) 150

63) (TFC/ESAF/2000) Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos distintos. Ligam-se quatro quaisquer destes pontos, de modo a formar um quadrilátero. O número total de diferentes quadriláteros que podem ser formados é :

a)128

b)495

c)545

d)1485

e)11.880

64)(TFC/ESAF-2008) Uma turma de 20 formandos é formada por 10 rapazes e 10 moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por 5 formandos. O número de diferentes comissões que podem ser formadas, de modo que em cada comissão deve haver 3 rapazes e 2 moças, é igual a :

a) 2.500

b) 5.400

c) 5.200

d) 5.000

e) 5.440

65)(FISCAL DO TRABALHO/ESAF-2006) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. Apresentam-se para seleção quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir desse conjunto de candidatas é igual a :

a) 120

b) 1.220

c) 870

d) 760

e) 1.120

GABARITO1) 48 12) 24 23) 360 34) B 45) E 56) C(52,6) – C

( 48,6)

2) 144 13) 64 24) 2.184 35) 6 46) D 57) E

3) 360 14) 6 25) 6.497.400(52x51x50x49)

36) A 47) C 58) B

4) 32 15) 16 26) 3 37) B 48) B 59) A

5) 8-1 = 7 16) 12 27) 24 38) 10 49) 120 60) A

6) 13 17) 32 28) 216 39) 14!/(3!.2!x2!x3!) 50) 5.400 61) A

7) 24 18) E,E,C 29) 650.000 40) B 51) 4 62) C

8) 72 19) 56 30) 20 41) D 52) C 63) B

9) 11 20) 11!.10! 31) 1.680 42) B 53) A 64) B

10) 6 21) 2 32) 60 43) E 54) 74 65) E

11) 9 22) 24 33) 468.000 44) A 55) 277.200

BásicoProbabilidade

Experimento Determinístico

É um tipo de experimento que sempre apresenta o mesmo

resultado e pode ser explicado através de uma função

matemática.

Exemplo de Experimento Determinístico

Um corpo caindo de um topo de um edifício, sempre cairá no mesmo

tempo e chegará ao solo na mesma velocidade, evidentemente

desprezando velocidade do vento e outras variáveis de pouca

importância.

Experimento Aleatório

São experimentos que se realizados sob as mesmas condições produzem resultados imprevisíveis. Alguns possuem uma tendência natural que são chamados de equiprováveis.

Experimento Aleatório Não Equiprovável

São experimentos que realizados sob as mesmas condições as chances de resultados não são as mesmas para um mesmo elemento

Ex: resultado uma partida de futebol.

Experimento Aleatório Equiprovável

Lançar um dado não viciado 600 vezes e observar o resultado na face

superior. Encontraremos resultados muito próximos de 100 vezes para

cada uma das 6 faces, mas não podemos afirmar que teremos 100

exatamente cada face.

Experimento Aleatório Equiprovável

Resultado do lançamento de um dado de seis faces não viciado

600 vezes.

Total 1 2 3 4 5 6

600 105 98 102 95 101 99

Espaço Amostral de um Experimento Aleatório

São todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Exemplo:Lançamento de um dado

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento ou Experimento (E)

Exemplo:

Determinar o sub-conjunto dos números pares e o sub-conjunto dos números impares no lançamento de um dado.

E (pares): {2, 4, 6}

E (impares): {1, 3, 5}

É um subconjunto de um espaço amostral.

Evento ou Experimento (A)

A probabilidade de ocorrer um evento (A) é igual ao número de vezes que ele ocorre em relação ao número

total de casos.

P(A) =Número de casos favoráveis

Número de casos possíveis

Exemplos

1) Qual a probabilidade de um lançamento de um dado observar:

a) Número 4 na face superior: P(4) = 1/6

b) Número 1 na face superior: P(1) = 1/6

c) Número par na face superior: P(par) = 3/6 ou 50%

2) Qual a probabilidade de lançar uma moeda observarmos cara na face superior :

P(cara) = 1/2

Evento Impossível

É quando o evento não faz parte do espaço amostral estudado.

Exemplo:

Ao lançarmos um dado observarmos o número 7 :

P(7) = 0/6 = 0

Evento Certo

É quando ele coincide com o espaço amostral.

Exemplo: Ao lançarmos um dado o resultado ser igual ou menor que seis.

P( 6) = 6/6 = 1 = 100%

TEORIA DE CONJUNTOS APLICADA À PROBABILIDADE

Exemplo 1 - no lançamento de um dado teremos o seguinte espaço amostral:

{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Probabilidade da União do Eventos

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

A probabilidade de ocorrerem pelo menos um dos dois eventos

que pertencem a um mesmo espaço amostral e que não se

excluem mutuamente é :

Exemplo Probabilidade da União

Qual a probabilidade no lançamento de um dado ocorrer o número par

ou um múltiplo de 3?

P(Par M3*) = P(par) + P(M3) - P(A B) 3/6 + 2/6 - 1/6

4/6 = 2/3* Múltiplo de 3.

Eventos Mutuamente Exclusivos

Dois eventos de um mesmo espaço amostral são

mutuamente exclusivos se a ocorrência de um exclui a

ocorrência do outro, isto é, A B = 0.

Evento Mutuamente Exclusivos

A probabilidade será

P(A B)=P(A)+P(B)

Exemplo Mutuamente Exclusivos

Qual a probabilidade de ocorrer um número par ou o

número 5?

P(Par 5)=P(par)+P(5) 3/6 + 1/6=

4/6= 2/3

Probabilidade Condicional

A probabilidade condicional de um evento dado que um outro evento

ocorreu é:

P(B /A) = P(B ∩ A)                       P(A)       

Probabilidade Condicional

P(B / A) = n(B ∩ A)                       n(A)   

Espaço amostral do lançamento de dois dados

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2,1 2,2 2,3 2.4 2,5 2,6

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

Probabilidade Condicional

 Qual a probabilidade de ocorrer o número 2 no dado 1 de um lançamento de dois

dados considerando que tenha ocorrido a soma das faces igual a 6?

A soma ser 6 é o sub-conjunto :

A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}                      

Probabilidade Condicional

Uma vez que já ocorreu o evento A :

A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}

Qual a probabilidade de ocorrer 2 (dois) no primeiro dado é representado apenas pelo

sub-conjunto B = {2,4} P (B/A) = 1/5 = 0,2 ou 20%

Probabilidade Condicional

A probabilidade de ocorrer dois no primeiro dado (evento B) uma vez

que já ocorreu a soma seis (evento A) nos dois dados é :

P(B/A) = (1/36) / (5/36) = 1/5

P(B/A) = n(B ∩ A)                       n(A)   

Probabilidade da Intersecção

Aplicada no caso de eventos dependentes ou Independentes

Eventos Dependentes

P(A B) = P(A) P(B/A)

Exemplo de Dependentes

Uma urna com 10 bolas sendo, 3 amarelas, 5 brancas e 2 vermelhas.Qual a probabilidade de retirar sem reposição 1 bola branca e a segunda 1 amarela ? Aplicando a probabilidade da intersecção :

P (Branca Amarela) = (5/10) . (3/9) = 15/90 = 1/6

Eventos Independentes

P(A B) = P(A) P(B)

Exemplo de Independentes

Uma urna com 10 bolas sendo, 3 amarelas, 5 brancas e 2 vermelhas.Qual a probabilidade com reposição de 1 bola branca e a segunda 1 amarela ? Aplicando a probabilidade da intersecção

P (Branca Amarela) =(5/10) . (3/10) = 3/20 =0,15

15%

Exercícios

Didáticos

1) Uma urna contem quatro bolas numeradas com 1, 2, 3 e 4. Retirando-se ao acaso e simultaneamente duas bolas dessa urna, qual a probabilidade aproximada de se obter soma igual a 6 em cada par de bolas.

a) 100%

b) 50%

c) 75%

d) 33,33%

e) 16,66%

2) Um dado viciado foi fabricado com a probabilidade de ocorrer PAR na face superior ser o dobro da probabilidade de ocorrer um número IMPAR na face superior, em cada lançamento. Os números PARES e IMPARES entre-si têm a mesma probabilidade de ocorrência. Responda as duas próximas questões.

2.1) A probabilidade de ocorrer número par e a probabilidade de ocorrer número ímpar respectivamente será:

a) 1/3 e 2/3

b) 4/9 e 5/9

c) 5/9 e 4/9

d) 2/3 e 1/3

e) 2/9 e 7/9

2.2) A probabilidade de ocorrer números múltiplos 3 será:

a) 2/3

b) 2/5

c) 1/3

d) 3/5

e) 1/2

3) Um baralho de 52 cartas é subdividido em quatro naipes: espadas, ouros, copas e paus.

3.1) Retirando uma carta ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja de ouros ou de copas?

3.2) Retirando-se duas cartas ao acaso com reposição da primeira carta, qual a probabilidade da primeira ser de ouros e a segunda de copas?

3.3) Recalcular a probabilidade anterior se não houver reposição da primeira carta?

3.4) Havendo reposição, qual a probabilidade de sair a primeira carta de ouros ou então a segunda de copas?

4) Dos 10 (dez) cheques devolvidos por um determinado banco, 6 (seis) foram por insuficiência de fundos ( código 11) e 4 (quatro) por não conferir a assinatura ( código 22). De um envelope contendo todos os cheques retiram-se 2(dois) desses cheques e qual a probabilidade do segundo cheque ser :

•

4.1) do código (11) uma vez que o primeiro também foi :

4.2) do código (11) uma vez que o primeiro foi do código 22 :

4.3) do código (22) uma vez que o primeiro também foi:

4.4) do código (22) uma vez que o primeiro foi do código (11):

5) Qual a probabilidade de um piloto de Kart vencer uma determinada corrida, uma vez que suas “chances”, segundo os especialistas é de “5” para “3” :

a) 100%

b) 166%

c) 133%

d) 60%

e) 80%

6) A população de uma certa localidade é constituída somente de indivíduos das raças A, B e C na proporção de 10%, 30% e 60% respectivamente. Suponha que 13% de A, 5% de B e 2% de C são portadores de uma doença H. Sabendo que uma pessoa deste lugar é portadora de H, determinar a probabilidade de ser da raça B :

a) 30% b) 13% c) 15% d) 37,5% e ) 40%

Gabarito

1- e 4.2 – 4/15

2.1 - d 4.3 – 4/30

2.2 – c 4.4 – 4/15

3.1 - 1/2 5- d

3.2 - 1/16 6 – d

3.3 – (13/52) x ( 13/51)

3.4 – 1/2

4.1 – 1/3