sello

carasello

monedasello

(sello,cara)cara

cara

moneda

(sello,sello)(cara,sello)

(cara, cara)

sello

cara

SEPTIMO PERIODO MATEMATICA PROFESORA Vinca Vega

Plan Electivo Probabilidades y estadísticas Tercero medio A

Estimadas estudiantes y apoderados, esperando que se encuentren bien, les recuerdo enviar vía correo

(matematicavinca@gmail.com) o whatsapp (+56978460270) el desarrollo de las actividades.

Recuerda responder de forma ordenada en tu cuaderno anotando el nombre, el título, número de la

actividad a desarrollar, etc. No es necesario imprimir.

Guía de aprendizaje

Recordando probabilidades

OA 3. Modelar fenómenos o situaciones cotidianas del ámbito científico y del ámbito social, que requieran el cálculo de probabilidades y la aplicación de las distribuciones binomial y normal.

Introducción

La probabilidad se ha usado en nuestros quehaceres diarios para mostrar la ocurrencia o no ocurrencia de algunos hechos que llamaremos sucesos o eventos. El cálculo de las probabilidades es el estudio de estos sucesos o eventos y las leyes que los rigen.

Probabilidad: El concepto de probabilidad se asocia con la idea de incertidumbre. Pero en estricta definición es la frecuencia relativa de un suceso o evento. La palabra probabilidad permite cuantificar la posibilidad de que ocurra un suceso o evento.

Experimento aleatorio: Experimento cuyo resultado no puede saberse con certeza de antemano.Ejemplos : 1) El lanzamiento de una moneda al aire.

2) El lanzamiento de un dado.3) Sacar una carta de un naipe inglés.

Experimento determinístico: Experimento cuyo resultado puede saberse de antemano.

Espacio muestral: Es un conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, se simboliza con la letra E.Ejemplos : 1) En el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral está definido como:

E = {cara, sello }2) En el lanzamiento de un dado, el espacio muestral está definido como:

E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Diagrama de árbol y gráfico de un espacio muestral

Ejemplo : 1) En el lanzamiento de dos monedas, encontrar el espacio muestral; hacer un diagrama de árbol y un gráfico para encontrar los posibles resultados.

1º lanzamiento 2º lanzamiento

cara

sello

Azul

Verde

Gris

Blanca

Amarilla

Rosada

Arena

Blanca

Blanca

Amarilla

Amarilla

Rosada

Rosada

Arena

Arena

Ejemplo 2: En un grupo de 36 participantes, se les da a elegir entre varios colores para pantalón y polera necesarios para las actividades deportivas; en los pantalones hay azules, verdes y grises; en las poleras se puede elegir entre blancas, amarillas, rosa o color arena. Si todas las prendas están en una caja, ¿ Cuál es la probabilidad que una persona saque la combinación azul-arena? Organiza la información en un diagrama de árbol.

Luego la probabilidad de sacar la combinación

pedida es = 1

12

Equiprobabilidad: Los resultados de un experimento aleatorio que se repite bajo las mismas condiciones se pueden registrar en una tabla de distribución de frecuencias. La equiprobabilidad se refiere a que las frecuencias relativas tienden a estabilizarse en valores parecidos para los diferentes resultados posibles de obtener, se concluye entonces que los resultados son equiprobables.

Suceso o evento: Es un subconjunto de un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.Ejemplo: 1) Al lanzar dos dados escribir el suceso A: “que la suma de ambos dados sea menor que 5”. entonces A={(1,1 ) ; (2,2 ) ; (1,2 ) ; (2,1 ) ; (1,3 ) ; (3,1)}

2) Al lanzar 3 monedas al aire escribir el suceso B: “que salgan como máximo dos sellos”entonces: B= {(c,s,s) ; (s,c,s) ; (c,c,s )}

Probabilidad clásicaNos da la idea de que es posible calcular la ocurrencia de un determinado resultado bajo ciertas condiciones antes de realizar el experimento. La forma de obtener la probabilidad clásica es aplicando la “regla de Laplace” Regla de Laplace: De lo anterior la regla de Laplace define la probabilidad de la ocurrencia de un

suceso, como: P=número de casos favorables

número de casos posiblesEjemplos:1) Calcular la probabilidad de obtener sello al lanzar una moneda.

Evento A: que salga sello

Casos posibles: E={cara, sello } Casos favorables: A={sello } P=1

22) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 5 al lanzar un dado?Evento: B: que salga un número menor que 5

Casos posibles: E={1, 2, 3, 4, 5, 6 } Casos favorables B: 1,2,3,4 P(A) =23

3)en la tabla aparecen las estaturas de un grupo de amigos

Si deseamos conocer la probabilidad de que al elegir un niño del grupo de amigos este mida 163 cm, entonces nombramos el suceso pedido con la letra A, luego calculamos la probabilidad como los casos favorables (aquellos que cumplen la condición pedida) divididos por los casos totales (total de amigos)

P ( A )= 310

=0.3

P ( A )=0.3∗100=30% , para una mejor comprensión se transforma este resultado a porcentaje multiplicándolo por 100.

Estatura(cm) frecuencia162 1163 3164 2165 1166 1167 2total 10

Entonces la probabilidad de que al elegir un niño del grupo de amigos este mida 163 cm es de un 30%.

La Probabilidad de que ocurra un suceso varía entre 0 y 1 es decir 0 P(A) 1

Ejemplo 3: En una bolsa hay 3 bolas verdes y cuatro amarillas ¿Cuál es la probabilidad de sacar sin mirar una bola azul? P(azul) = Nº casos favorables = 0 = 0 Nº total de casos posibles 7R: Es decir, no hay ninguna probabilidad de sacar un bola azul ( la probabilidad es nula)

Ejemplo 4: En una bolsa hay 15 bolas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar sin mirar una bola verde?P(verde) = Nº casos favorables = 15 = 1 Nº total de casos posibles 15 R: Es decir, la probabilidad es segura.

Por lo tanto, todas las probabilidades están entre 0 y 1nota:Si P(A) es la probabilidad de que ocurra el suceso A, entonces la probabilidad de que no ocurra

A es P( A ) y se cumple que: P( A )= 1 – P(A)

Permutaciones y combinatoria.En distintas ocasiones se nos ha planteado que ordenemos y/o agrupemos un conjunto de determinados objetos.¿cuantas formas existen de ordenar los mismo objetos?, es decir, ¿en que momento empiezo a repetir el orden de estos?Permutaciones (P)Las permutaciones consisten en ordenar un conjunto de elementos de todas las maneras posibles, de tal forma que si poseo 8 elementos entonces tengo 8 posiciones para ubicarlos. Por ejemplo, si tengo 3 copas de distintos color y las quiero ubicar en una línea recta sobre un estante, ¿de cuantas formas lo puedo realizar? Si hacemos las ordenaciones de forma explícita llegaremos a los siguientes 6 resultados posibles:Si lo resolvemos de manera matemática debemos seguir el siguiente razonamiento: En la primeraPosicion tengo 3 opciones de copas para poner, en la segunda posicion las opciones se me redujeron en una unidad ya que una copa ya está ocupada en el primer puesto, por lo tanto tengo tan solo 2 opciones, finalmente en la última posicion tengo una única opción. De esta forma la cantidad de permutaciones que puedo realizar

con 3 elementos será: En forma general, si tengo un conjunto con n elementos, el número de permutaciones o formas quePuedo ordenarlos es igual a:

Para abreviar este número se ha adoptado la notación factorial, en donde el factorial de n, se escribe n! y corresponde a la multiplicaci_on de los enteros entre 1 y n _estos incluidos.

EJEMPLO: 10.000 personas participaron de un concurso online realizado por la compañía Vuela seguro". Si la empresa sorteaba unos pasajes dobles a España, Inglaterra, Canada, Colombia, Cuba, Japón y Egipto, >de cuantas maneras posibles se pueden designar los premios a las 7 personas ganadoras? Solucion: En este caso nos están pidiendo repartir los 7 destinos de pasajes entre las 7 personas ganadoras, por lo tanto como nos están pidiendo combinaciones ordenadas hacemos uso de las permutaciones. Como tenemos 7 ganadores y 7 destinos calculamos.

Combinaciones (C)

Las combinaciones consisten en formar subconjuntos con igual número de elementos pertenecientes a un conjunto mayor, de tal manera que no importa el orden en que son escogidos los elementos de los subconjuntos, por lo tanto dos grupos se consideran distintos si tienen al menos un elemento distinto. Por ejemplo, si una persona tiene en su bolsillo las 6 monedas chilenas actuales y saca 4 monedas, ¿cuantos montos de dinero distinto puede sacar de su bolsillo?. Realizando las combinaciones entre las monedas deforma grafica obtenemos 15 combinaciones posibles. Como estamos trabajando con combinaciones el orden en que se sacan las monedas no importa ya que sacar las monedas 1; 5; 10; 50 nos da un monto de $66 lo cual es equivalente a sacar las mimas monedas en otro orden por ejemplo 10; 5; 1; 50. De acuerdo a lo anterior tenemos que eliminar de nuestrasVariaciones las permutaciones entre las 4 monedas elegidas, por lo tanto el resultado que obtuvimos debemos dividirlo por 4! :

En forma general, el número de formas en que se pueden elegir un grupo de n elementos dentro de un conjunto de m elementos, sin que importe el orden, es:

Para abreviar este número se ha adoptado la siguiente

notación:

Ejemplo Un grupo de profesionales está compuesto por 10 periodistas, 8 ingenieros, 3 biólogos ambientales y 6 kinesiólogos. ¿De cuantas maneras posibles podemos organizar un grupo con 2 kinesiólogos, 5 periodistas, 1 biólogo ambiental y 6 ingenieros?Solución: En esta situación da lo mismo el orden en que salen elegidos las personas para formar los grupos, por lo tanto tenemos que trabajar con combinaciones. Lo primero que hay que notar es que cada una de las elecciones es independiente de la otra, por ejemplo elegir 2 kinesiólogos no me influye en elegir 6 ingenieros, por lo tanto debemos multiplicar entre las formas de poder elegir a cada profesional dentro de su grupo para obtener el número total de grupos que se pueden formar con las condiciones puestas. De esta manera tenemos lo siguiente: Por lo tanto hay 317.520 posibilidades distintas para formar grupos de trabajo con 2 kinesiólogos, 5 periodistas, 1 biólogo ambiental y 6 ingenieros.

PROBABILIDADES I) Ejercicios:

1) De los siguientes sucesos, Indica cuáles son deterministas y cuáles son aleatorios:a) Tirar dos monedas al aire?................................................b) El resultado de un partido de fútbol................................................c) Que el agua se congele al alcanzar temperaturas bajo cero

grados...........................................

2) Dispones de 5 tarjetas numeradas del 1 al 5 y de una moneda. Si extraes al azar una tarjeta y lanzas al aire la moneda :

a) Escribe los elementos del espacio muestral E.b) Dibuja un diagrama del espacio muestral E.c) En el diagrama anterior destaca los elementos del suceso A, que consiste en que salga un

número par en la tarjeta y sello en la moneda.

3) En el lanzamiento de tres monedas, calcula la probabilidad de que ocurra :a) Evento A : que salgan al menos dos caras.b) Evento B : que salgan menos de dos sellos.

4) En el experimento aleatorio del lanzamiento de dos dados, calcula la probabilidad de que ocurra :a) Qué salgan dos números pares.b) Que la diferencia en valor absoluto sea 2.c) Que la suma sea menor o igual que 4.c) Que la suma de los números sea 2.

5) En una bolsa hay 36 fichas numeradas del 1 al 36, respectivamente. Si extraes una ficha, calcula la probabilidad de que la ficha extraída sea :

a) Un número par.b) Un número primo.c) Un número múltiplo de 5.d) Un número impar mayor que 20.

6) Un grupo de hombres y mujeres que asistieron a una cena pidieron postre o café según la tabla:

Hombre MujerPostre 20 8Cafe 15 13

Si elegimos al azar a un asistente, calcula la probabilidad de que: a) Pidiera postre R…………………………………………………………………….b) Sea hombre R…………………………………………………………………….c) Sea mujer y haya pedido postre R………………………………………………………………d) Sea hombre y haya pedido café R………………………………………………………………

7) La siguiente tabla muestra la distribución de la población mundial por continente.Determina:

a) La probabilidad de que al escoger una persona del mundo esta sea de Asia.

b) Estima que es más probable al escoger una persona al azar; que sea americana o que sea africana. Estima cuanto más probable es un evento que el otro.

Continente Población (nº de habitantes)

América 723942000Europa 498837100Asia 3112695000África 642111000Oceanía 26481000

II.-Seleccione la alternativa correcta:

1)Entre los alumnos de 2º medio se sorteará una torta. Si en el curso hay 18 hombres y 20 mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que el ganador de la torta sea hombre?

a)

118 b)

138 c)

1838 d)

1820

2) Si tenemos en una bolsa 8 bolitas azules, 2 rojas y 5 verdes y extraemos una bolita. ¿Qué color es menos probable que salga?a) Roja b) azul c) Verde d) Ninguna

3)¿Cuál es la probabilidad de obtener un “as” de un juego de cartas españolas al elegir una carta al azar?

a) 1

40 b) 4

40 c) 4

10d) Ninguna

4)Para la fiesta de fin de año del Liceo Antulafquen cada curso vendió entradas. En el siguiente cuadro se presenta el número de entradas que vendió cada curso.

Durante la fiesta se realizará una rifa en la que participarán las 600 entradas vendidas. ¿Cuál es la probabilidad de que en la rifa gane el premio una persona que compró su entrada al 1° año medio?

a) 1

60 b) 125165 c)

1600 d)

165600

5)¿Cuál de las siguientes situaciones no es un suceso determinista?a) Chutear la pelota al aire. c) mezclar café y azúcar b) Elegir personas para contestar una encuesta d) Comer una manzana

III) Ejercicios de permutaciones

1. Determinar de cuantas formas distintas se pueden colocar 6 cajas de distintos colores apiladas en una esquina.

2. Un obrero compro 4 tarros de pintura de colores amarillo, blanco, naranjo y verde cada uno. Si tiene que pintar 4 habitaciones, la pieza matrimonial, el comedor, el lavadero y el baño, de un color cada uno. ¿De cuantas formas distintas se puede llevar a cabo el trabajo del obrero?

3 ¿Cuantos números de 5 cifras se pueden formar con los primeros 5 números naturales si no se puede reiterar ningún digito?

IV) Ejercicios de combinatoria:

1. Una mujer tiene 7 pulseras diferentes. ¿Cuantas posibles combinaciones tiene para su vestimenta?

2. A una junta de compañeros realizada después de 5 años de egresados de la universidad asisten 20 personas. Si al momento del brindis se intercambian abrazos entre todos, ¿cuantos abrazos se han intercambiado?

3. La nómina de la selección chilena de futbol está compuesta por 2 arqueros, 8 defensas, 6 mediocampistas y 5 delanteros. ¿De cuantas formas posibles podemos hacer un equipo con 1 arquero, 3 delanteros, 4 defensas y 3 mediocampistas?