Não linearidades de Terceira-ordem : Mistura de quatro ondas

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4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem AbsorçãoAbsorção

Não linearidades de Terceira-ordem : Mistura de quatro ondas Geração de

terceiro harmônico

Grades induzidas

Conjugação de Fase

Índice de refração não-linear

Auto-focalisação

Auto- modulação de fase

Geração de continuo

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3

THG Meio

Geração de terceiro harmônico

*exp( [ ( )] exp[ (, ) )]E i t kzr t E i t kz

E

Elevando ao cubo o campo incidente:

+ outros termos

A geração de terceiro harmônico é mais fraca que a de segundo-harmônico, soma-de-freqüência, de tal forma que se alcança o terceiro harmônico gerando-se SHG seguido de SFG com o fundamental, ao invés de diretamente o THG.

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Geração de soma não colinear

Podemos permitir dois feixes incidentes diferentes, cujas freqüências podem ser diferentes.

Novas possibilidades de somas de freqüências.

22 1 2

21 2 1 2 1

1 2

2

1

3

exp{ [(2 ) (2 ) )]}

exp{ [(2 ) (2 ) )( , )

other ter

}

ms

]

E E i t

E E i t k r

k k r

t kr

E

MeioTHG

Sinal #1

Sinal #2

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Auto-difração

Considere alguns dos termos de diferença de freqüências:

Meionão linear

Sinal #1

Sinal #2

1 22k k

2 12k k

+outros termos

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amostraSinal

Geometria de bombeio e prova

Um campo pode contribuir com dois fatores, um E e outro E*. Isto irá envolver ambos somando e subtraindo a freqüência e seu vetor k.

Este efeito é automaticamente casado em fase!

1 1 2 2

1 1 2 2k k k k

+outros termos

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meiomeionão linearnão linear

meiomeionão linearnão linear

Placa de ondaajusta polarização a 45˚

Sinal

Porta de Polarização

*1 2 2v 1 1

3 ˆ( ) ex( , ) + .p[ ..( )] vh hE E E i tr t k r

E

Aqui o campo #2 contribui com dois fatores, um E e o outro E*. Um é verticalmente polarizado, enquanto o outro é horizontalmente polarizado. Isto resulta em um sinal ortogonalmente polarizado com o campo E1.

Se E1 é horizontalmente polarizado, o sinal será verticalmente polarizado:

Casado em fase automaticamente.

é rejeitado pelo polarizador!

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x

1k

2k

O padrão espacial de intensidade de dois feixes coerentes cruzados é periódico, induzindo uma absorção ou índice de refração periódico no meio – uma grade de difração!

Uma grade induzida é resultante dos termos cruzados da intensidade *1 2E E

*1 2Re exp ( cos sin exp ( cos sin

Re exp 2 sin cos(2 sin )

E i t kz kx E i t kz kx

ikx kx

Interpretando estes fenômenos como grades induzidas

xx x x

2 ˆcos

ˆsin

k k z

k x

1 ˆcos

ˆsin

k k z

k x

Franjas independentesdo tempo

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Difração de uma grade induzida

*1 2 3sig sigE P E E E

Um terceiro feixe será difratado em uma direção diferente.Ele resulta de um feixe que é o produto de E1, E2*, e E3:

Este é um efeito genérico de mistura de quatro ondas.

x

1k

2k

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grades induzidas

2

1 23 exp{ [( ( ) ]}, ) ...pr ex sig ex ex prE E i t k k k rr t

E

Condição de casamento de fase:

1 2

1 2 ˆ ˆˆ2 sin cos sin

sig ex ex pr pr sig pr

pol ex ex pr ex ex pr pr pr pr

k k

k k k k k x k z k x

Considere: 1 2ex ex ex

O feixe difratado possui a mesma freqüência e magnitude de vetor k como do feixe de prova, com outra direção.

1 2ex ex exE E E

1 2ex exk k

butsinaldifratado

ex1

ex2

sigprpr

ex

z

pr

sin

x

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Casamento de fase em grades induzidas

Casamento de fase:

ˆ ˆcos cospr sig pr prk z k z

ˆ ˆsin [ 2 sin sin ]pr pr ex ex pr prk x k k x

2 sin 2 sinpr pr ex exk k

Componente z:

Componente x:

ex

ex

pr

ex

z

pr

sin

x

2 2sin sinpr ex

pr ex

sig pr

O sinal de menos é apenas o efeito de excitação e prova

sin sinprpr ex

ex

“Condição de Bragg”

ˆ ˆsin cossig pr sig pr sigk k x k z

ˆ ˆˆ2 sin cos sinpol ex ex pr pr pr prk k x k z k x

sig polk k

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Grades induzidas com freqüências diferentes

meio não linear

sinaldifratado

*1 2 3 1 2 3 1 2 3

3 exp{ [( )( ) ...( ) ]}E E E i t k k k rt

E

Condição de casamento de fase: 1 2 3

1 2 3

sig

polk k k k

Este efeito é chamado non-degenerate four-wave mixing. Neste caso, as franjas de intensidade varrem o meio: uma grade móvel.

O cojunto possível de geometria de feixes é complexo!

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Acousto-optics involves diffracting light off a grating induced by an acoustic wave.

Acousto-optics works because acoustic waves have about the same wavelengths as (visible) light waves. Such diffraction can be quite strong: ~70%. Acousto-optics is the basis of useful devices.

Quartz Diffractedbeam

acoustic

Acoustic transducer

Pressure, density, and refractive-index variations due to acoustic wave

Inputbeam

An acoustic wave induces sinusoidal density, and hence sinusoidal refractive-index, variations in a medium.

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Induced gratings with plane waves and more complex beams (of the same frequency)

All such induced gratings will diffract a plane wave, reproducingthe distorted wave:

A plane wave and avery distorted wave

A plane wave and a slightly distorted wave

Two plane waves A plane wave and aslightly distorted wave

3 *1 2 3 1 2 3( ) [ ( , ) ] exp{ ( ) } ...t E x y E E i k k k r

E

E2 and E3 are plane waves.

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Holography is an induced-grating process.

One of the write beams has a complex spatial pattern—the image. Different incidence angles correspond to different fringe spacings. Different object views are stored as different fringe spacings.

A third beam (a plane wave) diffracts off the grating, acquiring the image infor-mation. Different fringe spacings yield different diffraction angles––hence 3D!

The light phase stores the angular info.

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Phase conjugationWhen a nonlinear-optical effect produces a light wave proportional to E*, the process is called a phase-conjugation process. Phase conjugators can cancel out aberrations.

The second traversal through the medium cancels out the phase distortion caused by the first pass!

A normal mirror leaves the sign of the phase unchanged

A phase-conjugate mirror reverses the sign of the phase

exp ikz

,x y

exp ,i k z i x y

exp ,ikz i x y

exp ,i k z i x y exp[ , , ]i k z i x y i x y

Distorting medium

exp 2 ,i k z i x y

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Phase conjugation = Time reversal

E(x,y,z, t) E0(x, y,z) exp[i(kz t)] E0* (x,y,z) exp[ i(kz t)]

A light wave is given by:

Epc(x,y,z,t) E0*(x, y, z) exp[i( kz t)] E0 (x, y, z) exp[ i( kz t)]

E0*(x,y,z) exp[ i(kz { t})] E0 (x, y,z) exp[i(kz { t})]

E0 (x, y, z) exp[i(kz { t})] E0*(x, y,z) exp[ i(kz { t})]

Epc(x,y,z, t) E(x, y,z, t)

If we can phase-conjugate the spatial part, we have:

Thus phase conjugation produces a time-reversed beam!

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Mistura de ondas degeneradas DFWM

Considere apenas processos com tres freqüências deentrada e uma freqüência de saída que são idênticas.freqüência idênticas = degeneradas.

DFWM dá origem a uma quantidade enorme de efeitos interessantes. Desejáveis ou não.

P (3) 0 (3)E1 E2

* E3

1 2 3polk k k k

Como os vetores podem ter direções diferentes,os numeraremos (como os campos):

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DFWM com único campo

DFWM com único campo dá origem a efeitos “auto” induzidos. Estes incluem:

Auto-modulação de faseAuto-focalização

P(3) 0 (3) E

2E

1 2 3sigk k k k k

Se apenas um campo está envolvido, todos vetores k serão os mesmos,Assim como os campos:

E1 E2 E3 E

A polarização se torna:

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DFWM índice de refração não linear

O índice de refração não linear é

2(1) (3)0P E E E

Lembrando a equação:

E o envelope da polarização (termos linear e não linear):

2 2 2

02 2 2 20

1E E P

z c t t

2(1) (3)0 E E

Substituindo a polarização na equação de onda (considerando pequena variação lentano envelope de E comparada a 1/):

2 2 22(1) (3)

0 02 2 2 20

1E E EE

z c t t

2(1) (3)2 2

2 2 20

10

EE E

z c t

onde2

0 0 01/ c

n 1 (1) (3) E2

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DFWM índice de refração não linear

Define-se o índice de refração não linear, n2:

O índice de refração na presença de polarizações lineares e não lineares:

Considerando que o termo não linear << n0:

O índice de refração usual (que denominamos n0) é:

Então:

2(1) (3)1n E (1)

0 1n

22 (3)0n n E

2(3) 20 01 /n E n

Então:

2(3) 20 01 / 2n n E n

2(3)0 0/ 2n n E n

0 2n n n I

Uma vez que:

I E2

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A magnitude do índice de refração magnitude e resposta temporal

Uma variedade de efeitos dão origem ao índice de refração não linear.Aqueles que possuem grande valor de n2 tipicamente têm resposta lenta.

Efeitos térmicos produzem um grande efeito não linear através da expansão térmica, devido à absorçã de energia, porém são tão lentos quanto os processos térmicos difusivos.

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Auto-focalização

Que é precisamento o comportamento de lentes! Nesta caso porém ele escala com a intensidade.

Se o perfil do feixe for Gaussiano, então qualquer meio não linear possui um índice derefração que é também Gaussiano:

Próximo a centro do feixe:

n n0 n2 I0 exp( 2r 2/ w02 )

n0 n2 I0 (1 2r 2/w02 )

2 20 0 0 2 0 0 0( ) (1 2 / )r n k L n k L n k L I r w

A dependência da fase com a coodenada radial será:

2 22 0 0 0( ) 2 ( / )r constant n k L I r w

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Small-scale self-focusing

Such filaments grow exponentially with distance.

And they grow from quantum noise in the beam, which is always there.

As a result, an intense ultrashort pulse cannot propagate through any medium without degenerating into a mass of tiny highly intense filaments,which, even worse, badly damage the medium.

If the beam has variations in intensity across its profile, it undergoessmall-scale self-focusing.

Each tiny bump in the beam undergoes its own separate self-focusing, yielding a tightly focused spot inside the beam, called a “filament.”

Inte

nsity

Position

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O pulso com auto-modulação de fase (SPM) desenvolve uma dependênica da fase com o tempo proporcional a da intensidade

Auto-modulação de fase e geração de contínuo

0 0 0 2( , ) (0, ) exp (0, )E z t E t ik n I t z

Quanto mais o pulos viaja,maior a modulação.

Uma fase plana resulta em espectro estreito. Se consideramos que opulso inicia com fase plana, a SPM alarga o espectro.

Este não é um pequeno efeito! Uma variação de fase e centenas decomprimentos de onda pode ocorrer! Um espectro largo gerado desta forma é denominado Continuum.

0 2( , ) (0, )z t k n I t z Isto é:

Intensidade do pulso no tempo

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A freqüência instantânea x tempo na SPM

0 2( , ) ( )z t k z n I t

0 2

( , ) ( )( )inst

z t I tt k z n

t t

Um pulso de 10-fs, @ 800-nm que experimenta SPM com um pico de magnitude igual a 1 radiano.

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Pulso de SPM no domínio de freqüência

É fácil, porém, alcançar vários radianos no retardo de fase.

O mesmo pulso de 10-fs, @ 800-nm que experimenta SPM com um pico de magnitude igual a 1 radiano.

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Um pulso com alto SPM

Note que o espectro alargou significativamente. Quando a SPM muito forte, ela alarga muito o espectro. continuum generation.

Um pulso de 10-fs, @ 800-nm que experimenta SPM com um pico de magnitude igual a 1 radiano.

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Propagando pulsos de 500-fs @625nm através de 30 cm de fibras mono-modo.

The Supercontinuum Laser Source, Alfano, ed.

O espetro mais largo ocorre para a maior energia.

baixa energia

energia média

alta

energia

Produção experimental do continuum em uma fibra

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Continuum generation simulations

Input Intensity vs. time

(and hence output phase

vs. time)

Output spectrum:

Instantaneously responding n2; maximum SPM phase = 72 radians

The Super-continuumLaser Source, Alfano, ed.

Original spectrum is negligible in width compared to the output spectrum.

Oscillations occur in spectrum because all frequencies occur twice and interfere, except for inflection points, which yield maximum and minimum frequencies.

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Continuum generation simulation

Output phase vs. time (≠ input

intensity vs. time,due to slow

response)

Output spectrum:

Noninstantaneously responding n2; maximum SPM phase = 72 radians

The SupercontinuumLaser Source, Alfano, ed.

Asymmetry in phase vs. timeyields asymmetry in spectrum.

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Experimental continuum spectra

Inputwavelength

625-nm (70 fs and 2 ps) pulses in Xe gas

L = 90 cm

The SupercontinuumLaser Source, Alfano, ed.

Data taken by Corkum, et al.

p = 15 & 40 atm

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Ultraviolet continuum

4-mJ 160-fs 308-nm pulses in 40 atm of Ar; 60-cm long cell.

Lens focal length= 50 cm.

Good quality output mode. The SupercontinuumLaser Source, Alfano, ed.

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308 nm input pulse; weak focusing with a 1-m lens.

The Super-continuumLaser Source, Alfano, ed.

UV Continuum in Air!

Continuum is limited when GVD causes the pulse to spread, reducing the intensity.

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Continuum Generation:Good news and bad news

Good news:

It broadens the spectrum, offering a useful ultrafast white-light source and possible pulse shortening.

Bad news:

Pulse shapes are uncontrollable.Theory is struggling to keep up with experiments.In a bulk medium, continuum can be high-energy, but it’s a

mess spatially.In a fiber, continuum is clean, but it’s low-energy.In hollow fibers, things get somewhat better.

Main problem: dispersion spreads the pulse, limiting the spectral broadening.

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Fibras ópticas micro-estruturadas

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Fibras ópticas micro-estruturadas modificam dispersão

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O espectro extende-se de ~400 a ~1500 nm e é relativamente plano (na média temporal).

O contínuo foi criado utiliazando pulsos

de laser de Ti:Sapphire sem amplificaçãoJ.K. Ranka, R.S. Windeler, and A.J. Stentz, Opt. Lett. Vol. 25, pp. 25-27, 2000

Seção transversal da fibra micro-estruturada.

O contínuo das fibras ópticas micro-estruturadas é de banda ultra-larga

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O contínuo é meigo!

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Outros efeitos não-lineares de terceira ordem

Espalhamento Raman

absorção de dois fótons