NÚMEROS RACIONAIS Professor: CarlosO conjunto dos números racionais é formado por todos os...

NÚMEROS RACIONAIS

Professor: Carlos

O que são?

O conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes de números inteiros a e b, em que b é não nulo. O uso da letra "Q" é derivado da palavra latina quotiē(n)s, cujo significado é quantas vezes .

N = conjunto dos números naturais Z = conjunto dos números inteiros Q = conjunto dos números racionais

Você já ouviu dizer que toda fração é uma divisão? Pois então, se temos

uma fração do tipo ½ , nós podemos representá-la como 0,5, já que, ao

dividirmos o numerador 1 pelo denominador 2, obtemos o quociente 0,5.

Portanto, podemos afirmar que os decimais e as frações são alternativas

para representar um mesmo número racional.

Exemplos de números inteiros expressos como decimais:

3 = 0,75 12 = 2,4 – 16 = – 8

4 5 2

Exemplos de números racionais

Números Inteiros

Números Decimais Exatos

Números Decimais com infinitas ordens decimais (dízimas periódicas)

Números irracionais

Podemos falar que os números irracionais são aqueles que, em sua

forma decimal, são números decimais infinitos e não periódicos. Em

outras palavras, são aqueles números que possuem infinitas casas

decimais e em nenhuma delas obteremos um período de repetição.

O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I (i

maiúscula).

Números irracionais obtidos pela raiz quadrada de um número:

√2 = 1,4142135623730950488016887242097...

√3 = 1,7320508075688772935274463415059...

Constantes irracionais ou números transcendentais:

π = 3,1415926535897932384... (Número pi, constante de Arquimedes)

φ = 1,61803398874989... (número áureo ou número de ouro)

e = 2,7182818... (Constante de Euler)

Esses são os números irracionais, cujo valor da última casa decimal

nunca saberemos.

As representações dos números racionais são

trabalhadas a partir do 4º ano do ensino

fundamental.

Representação decimal: números decimais (números

com vírgula)

Representação fracionária: frações

No 4º e 5º ano

Representação Geométrica

Conjunto dos Números Racionais

Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos

5,15

4...25,0

3

1

4

5

2

7...1...0

Conjunto dos Números Racionais

Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos

Imagem: Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU Lesser General Public

License

Entre dois números

racionais existem

infinitos outros

números racionais.

5,15

4...25,0

3

1

4

5

2

7...1...0

Conjunto dos Números Racionais

Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos

Recorde

Os termos de uma fração são:

numerador

denominador 7

3

As operações envolvendo frações são

fundamentais para a resolução de diversos

problemas da Matemática e das demais ciências.

É importante saber adicionar, subtrair,

multiplicar e dividir esses números que são tão

comuns em nosso cotidiano. A potenciação e a

radiciação de frações são outras duas operações

importantes envolvendo os números racionais

(frações), mas que ainda provocam várias

dúvidas em muitos estudantes.

Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos

POTENCIAÇÃO

Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos

Veremos como

efetuar essas

operações e acabar

solucionando as

dúvidas existentes.

Potenciação de Números Racionais

Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos

Imagem: David Vignoni, modifications by DaniDF1995 / GNU Lesser General Public License

Com expoentes

inteiros não

negativos

Potenciação de Números Racionais

A definição da potenciação de números racionais

com expoentes inteiros positivos é a mesma das

potências de números inteiros.

Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos

Potenciação de Números Racionais

Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos

Para todo número racional a e

número inteiro n, sendo n > 1,

definimos:

expoente

base fatores

...

n

aaaa na

Conjuntos dos números racionais relativos

Potenciação de números racionais

A definição da potenciação de números racionais

com expoentes inteiros positivos é a mesma das

potências de números inteiros.

Potenciação de Números Racionais

Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos

Imagem: Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU Lesser General Public

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Sabemos que a multiplicação de

frações é feita multiplicando

numerador com numerador e

denominador com denominador.

Assim, segue que:

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

an

...

Potenciação de números Racionais

Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos

Imagem: Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU Lesser General Public

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n

nn

b

a

b

a

Note que a potenciação de

frações é feita elevando o

numerador e o denominador ao

expoente n.

2. Exemplos de Aplicação de

Potência

Exemplo 1. Calcule o valor de cada uma das seguintes

potências.

16

9

4

3

4

3 a)

2

22

625

16

5

2

5

2 b)

4

44

243

1

3

1

3

1 c)

5

55

Exemplo 3. Calcule o valor de cada uma das seguintes

potências.

11

1

100

9

100

79 a)

0

00

11

1

3

2

3

2 b)

0

00

11

1

23

19

23

19 c)

0

00

RADICIAÇÃO

Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos

Imagem: David Vignoni, modifications by DaniDF1995 / GNU Lesser General Public License

Veremos como

efetuar essas

operações e acabar

solucionando as

dúvidas existentes.

Radiciação

Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos

Imagem: David Vignoni, modifications by DaniDF1995 / GNU Lesser General Public License

Para realizar a

radiciação de frações,

utilizaremos os

mesmos conceitos da

potenciação.

Radiciação de Números Racionais

Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental Conjuntos dos números racionais relativos

Imagem: Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU Lesser General Public

License

Considerando uma fração do

tipo , com b ≠ 0, a raiz de

índice n de uma fração é dada

por:

b

a

n

n

n

b

a

b

a

3. Exemplos de Aplicação de

Radiciação

Exemplo 1. Calcule o valor de cada uma das seguintes

raízes.

6

5

36

25

36

25 a)

3

2

27

8

27

8 b)

3

3

3

4. Exercícios de Aplicação

1. Escreva na forma de potência os seguintes produtos:

5,85,85,85,8 a)

4

3

4

3 b)

2. Na potenciação, quando elevamos um número racional a

um determinado expoente, estamos elevando o numerador e

o denominador a esse expoente. Calcule o valor das

potências:

2

2

5

a)

3

9

7

b)

03

9

7

5

3

c)

3. Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um

número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador

e ao denominador. Calcule o valor das raízes:

64,17a)

44,1b)

36

25c)

5. Maria pintou 1/4 de um quadro, João também pintou 1/3

e Pedro pintou 1/5 restante. Calcule, a quantidade que os 3

pintaram juntos.