View
222
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Estado Triaxial de Tensões
Nota de aula 5 - EstadoTriaxial de Tensões -
Resistência dos MateriaisII
Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)
MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF
2o. semestre de 2011Flávia Bastos RESMAT II 1/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Informações sobre este documento: Estes slides servem paraauxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas deresistência dos materiais II ministradas pela professora FláviaBastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.
Flávia Bastos RESMAT II 2/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
Tensão é uma medida de intensidade de força, tanto dentroquanto no contorno de um corpo sujeito a forças.• Forças de corpo: agem em elementos volumétricos
distribuídos ao longo de todo o corpo (ex: força peso);• Forças de superfície: agem em elementos de área
localizados em determinadas porções da superfície oucontorno do corpo (ex: força de contato);
Flávia Bastos RESMAT II 3/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensãoSeja P um ponto no interior do corpo. Imagine um plano deseção π passando pelo ponto P.
O ponto P está no centro de um elemento de área ∆A, cuja normal én. Seja ∆FR a parcela de força sobre o elemento ∆A em torno de P.
Flávia Bastos RESMAT II 4/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensãoSeja P um ponto no interior do corpo. Imagine um plano deseção π passando pelo ponto P.
O ponto P está no centro de um elemento de área ∆A, cuja normal én. Seja ∆FR a parcela de força sobre o elemento ∆A em torno de P.
Flávia Bastos RESMAT II 4/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
Define-se o vetor de tensão total no ponto P segundo o plano πcomo:
ρn˜ = lim∆A→0
−−→∆Fr∆A
(1)
Flávia Bastos RESMAT II 5/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
O vetor de tensão total pode ser decomposto segundo duasdireções:
ρn˜ = σnn˜ + τt˜ (2)
onde n˜ e t˜ são vetores unitários, ou ainda, utilizando um par deeixos ortogonais t1˜ e t2˜ no plano π:
ρn˜ = σnn˜ + τt1t1˜ + τt2t2˜ (3)
Flávia Bastos RESMAT II 6/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensãoPodemos proceder de modo sistemático realizando cortessegundo planos coordenados passando pelo ponto deinteresse.
ρx˜ = σxxi˜+ τxyj˜+ τxzk˜ (4)
ρy˜ = τyxi˜+ σyyj˜+ τyzk˜ (5)
ρz˜ = τzxi˜+ τzyj˜+ σzzk˜ (6)
Flávia Bastos RESMAT II 7/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensãoConvenção de sinais:• Em faces cuja
normal é positiva,tensões serãopositivas seapontarem nasdireções positivasdos eixos.
• Em faces cujanormal é negativa,tensões serãopositivas seapontarem nasdireções negativasdos eixos.
Flávia Bastos RESMAT II 8/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
O primeiro índice indica o eixo da normal ao plano de seção eo segundo índice indica o eixo na direção que a componenteatua. Os valores das componentes formam a matriz detensões dada por:
σ˜̃ =
σxx τxy τxzτyx σyy τyzτzx τzy σzz
(7)
Flávia Bastos RESMAT II 9/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Simetria da matriz de tensões
∑MP = 0 (8)
(τyx +
∂τyx∂y
dy
)︸ ︷︷ ︸
Tensão
dxdz︸ ︷︷ ︸Área
dy︸︷︷︸braço
−(τxy +
∂τxy∂x
dx
)︸ ︷︷ ︸
Tensão
dydz︸ ︷︷ ︸Área
dx︸︷︷︸braço
= 0
(9)
τyxdxdydz +∂τyx∂y
dy2dxdz − τxydxdydz −∂τxy∂x
dx2dydz (10)
Flávia Bastos RESMAT II 10/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Simetria da matriz de tensões
τyx = τxy (11)
Analogamente:
τzx = τxz e τyz = τzy (12)
Flávia Bastos RESMAT II 11/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Simetria da matriz de tensões
Flávia Bastos RESMAT II 12/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Simetria da matriz de tensões
τyx = τxy e τzx = τxz e τyz = τzy (13)
Logo:
σ˜̃T = σ˜̃ (14)
Escrevemos que:
σ˜̃ =
σxx τxy τxzτxy σyy τyzτxz τyz σzz
(15)
Flávia Bastos RESMAT II 13/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Cálculo do Vetor tensão total numplano qualquer
Plano qualquer de nor-mal N(l,m, n) (cossenosdiretores).Área ∆AOC = ∆ABC ·m;Área ∆BOC = ∆ABC · l;Área ∆BOA = ∆ABC ·n;
ΣFx = 0
ρx(∆ABC) = σxx(∆ABC) · l+ τyx(∆ABC) ·m+ τzx(∆ABC) ·n(16)
Flávia Bastos RESMAT II 14/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Cálculo do Vetor tensão total numplano qualquer
∑Fx = 0⇒ ρx = σxl + τyxm+ τzxn (17)
∑Fy = 0⇒ ρy = τxyl + σym+ τzyn (18)
∑Fz = 0⇒ ρz = τxzl + τzym+ σzn (19)
ou: ρxρyρz
=
σxx τyx τzxτxy σyy τzyτxz τyz σzz
lmn
(20)
Flávia Bastos RESMAT II 15/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Podemos então reescrever:
ρn˜ = σ˜̃TN˜ ou como σ˜̃T = σ˜̃ (21)
ρn˜ = σ˜̃N˜ com N˜ =
lmn
(22)
A tensão normal em um plano qualquer é obtida pela projeçãodo vetor total sobre a normal ao plano (produto escalar):
σn = ρn˜ ·N˜ (23)
Tensão tangencial:
τn =√|ρn˜|2 − σ2
n (24)
Flávia Bastos RESMAT II 16/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Exemplo 1
Dado o tensor de tensão abaixo que define o estado de tensãonum ponto de uma estrutura, pede-se determinar o vetortensão total, a tensão normal e a tensão tangencial totalatuando num plano paralelo ao plano x+ 2y+ 2z = 6 passandopor este ponto. Determine também as forças totais, tangenciale normal neste plano considerando uma área de 10mm2.
σ˜̃ = 100
2 4 34 0 03 0 1
N/mm2
Flávia Bastos RESMAT II 17/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Problema da solicitação axial:
σ˜̃ =
FA 0 00 0 00 0 0
Para um plano de seção cuja normal é N˜ = cosϕi˜+ senϕj˜passando por um ponto P qualquer da peça, determinar asorientações que resultam nas máximas tensões normal etangencial.
Flávia Bastos RESMAT II 18/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.• Tensão total no plano.
ρn˜ = σ˜̃N˜ com N˜ =
lmn
ρn˜ =
FA 0 00 0 00 0 0
cosϕsenϕ
0
=
FAcosϕ
00
=
ρnxρnyρnz
|ρn˜| = σxcosϕ
Flávia Bastos RESMAT II 19/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.• Tensão normal no plano.
σn = ρn˜ ·N˜σn =
{FAcosϕ 0 0
}cosϕsenϕ
0
=F
Acos2ϕ
σn = σxcos2ϕ
Flávia Bastos RESMAT II 20/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.• Tensão tangencial no plano.
τn =√|ρn˜|2 − σ2
n
τn = σx√cos2ϕ− cos4ϕ = σx
√cos2ϕ(1− cos2ϕ) = σxcosϕsenϕ =
τn = σxsen2ϕ
2
Flávia Bastos RESMAT II 21/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.• Tensão normal máxima.
σn = σxcos2ϕ
dσndϕ
= −2σxcosϕsenϕ = −2σxsen2ϕ
2= −σxsen2ϕ
dσndϕ
= −σxsen2ϕ = 0
sen2ϕ = 0⇒{
2ϕ = 0 ∴ ϕ = 0 ou
2ϕ = π ∴ ϕ = π2
Flávia Bastos RESMAT II 22/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.• Tensão normal máxima.
d2σndϕ2
= −2σxcos2ϕ < 0 em ϕ = 0⇒ σn = σx
d2σndϕ2
= −2σxcos2ϕ > 0 em ϕ =π
2⇒ σn = 0
Flávia Bastos RESMAT II 23/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.• Tensão tangencial máxima.
τn = σxsen2ϕ
2
dτndϕ
= σxcos2ϕ = 0
cos2ϕ = 0⇒{
2ϕ = ±π2 ∴ ϕ = ±pi
4
Flávia Bastos RESMAT II 24/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.• Tensão tangencial máxima.
d2τndϕ2
= −2σxsen2ϕ < 0 em ϕ =pi
4⇒ τn =
σx2
d2τndϕ2
= −2σxcos2ϕ > 0 em ϕ = −π4⇒ τn = −σx
2
Flávia Bastos RESMAT II 25/26
Estado Triaxial de Tensões Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2Solução.• Em ϕ = 0⇒ σn = σx e τn = 0;
• Em ϕ = π2 ⇒ σn = 0 e τn = 0;
• Em ϕ = ±π4 ⇒ σn = σx
2 e τn = ±σx2 ;
Flávia Bastos RESMAT II 26/26
Estado Triaxial de Tensões
Nota de aula 6 - EstadoTriaxial de Tensões -
Resistência dos MateriaisII
Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)
MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF
2o. semestre de 2011Flávia Bastos RESMAT II 1/5
Estado Triaxial de Tensões Rotação do tensor de tensões
Informações sobre este documento: Estes slides servem paraauxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas deresistência dos materiais II ministradas pela professora FláviaBastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.
Flávia Bastos RESMAT II 2/5
Estado Triaxial de Tensões Rotação do tensor de tensões
Rotação do tensor de tensõesOs cossenos diretores das direções unitárias x′, y′, z′ em relação ax, y, z são dados por li′ j = cos(i′
∧, j) para i = x′y′z′ e j = xyz.
i′˜ = l11i˜+ l12j˜+ l13k˜ (1)
j′˜ = l21i˜+ l22j˜+ l23k˜ (2)
k′˜ = l31i˜+ l32j˜+ l33k˜ (3)
Matricialmente: i′
j̃′
k̃′˜ =
l11 l12 l13l21 l22 l23l31 l32 l33
︸ ︷︷ ︸
R˜̃
ij̃k̃˜
(4)
onde R˜̃ é a matriz de rotação formada pelos cossenos diretores.
Flávia Bastos RESMAT II 3/5
Estado Triaxial de Tensões Rotação do tensor de tensões
Rotação do tensor de tensões
• R˜̃ é ortogonal, isto é, R˜̃T = R˜̃−1 ou R˜̃TR˜̃−1 = I˜̃• Sendo I˜̃ o tensor identidade.
Flávia Bastos RESMAT II 4/5
Estado Triaxial de Tensões Rotação do tensor de tensões
Rotação do tensor de tensões
• Cálculo do tensor de tensão em x′, y′, z′ a partir de suascomponentes em x, y, z
ρ˜′ = R˜̃ρ˜;N˜ ′ = R˜̃N˜ ∴ N˜ = R˜̃TN˜ ′ρ˜′ = R˜̃σ˜̃N˜ = R˜̃σ˜̃R˜̃TN˜ ′
ρ˜′ = σ˜̃′N˜ ′σ˜̃′N˜ ′ = R˜̃σ˜̃R˜̃TN˜ ′σ˜̃′ = R˜̃σ˜̃R˜̃T (5)
Flávia Bastos RESMAT II 5/5
Nota de aula 7 - EstadoTriaxial de Tensões -
Resistência dos MateriaisII
Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)
MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF
2o. semestre de 2011
Flávia Bastos RESMAT II 1/1
Informações sobre este documento: Estes slides servem paraauxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas deresistência dos materiais II ministradas pela professora FláviaBastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.
Flávia Bastos RESMAT II 2/1
Tensões Principais
• Tensões Principais são valores das tensões normais emtorno de um ponto segundo planos onde não existemtensões tangenciais.
• Os planos nos quais estas tensões atuam sãodenominados de planos principais e as normais quedefinem estes planos são denominadas de direçõesprincipais.
Flávia Bastos RESMAT II 3/1
Determinação das Tensões PrincipaisSuponha que e˜ seja uma direção principal. Então a tensão totalneste plano é igual à tensão nornal neste plano, isto é:
ρn˜ = σ˜̃N˜ (1)
ρe˜ = σ˜̃e˜= σee˜ (2)
onde designamos por σe a tensão principal atuante neste planoprincipal. Logo:
σ˜̃e˜= σeI˜̃e˜ (3)
e, com o tensor identidade I˜̃:(σ˜̃ − σeI˜̃
)e˜= 0˜ (4)
Flávia Bastos RESMAT II 4/1
Determinação das Tensões Principais(σ˜̃ − σeI˜̃
)e˜= 0˜ (5)
Esta equação descreve um sistema de equações algébricolineares homogêneo que, para ter solução diferente da triviale˜= 0˜, requer que:
det(σ˜̃ − σeI˜̃
)= 0 (6)
ou: ∣∣∣∣∣∣σxx − σe τxy τxzτyx σyy − σe τyzτzx τzy σzz − σe
∣∣∣∣∣∣ = 0 (7)
que resulta numa equação do 3o grau na incógnita σe.
Flávia Bastos RESMAT II 5/1
Determinação das Tensões Principais
σ3e − I1σ2e + I2σe − I3 = 0 (8)
onde I1, I2 e I3 são os invariantes do tensor de tensões.
I1 = σxx + σyy + σzz = trσ˜̃I2 =
∣∣∣∣ σxx σxyσxy σyy
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ σxx σxzσxz σzz
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ σyy σyzσyz σzz
∣∣∣∣I3 =
∣∣∣∣∣∣σxx σxy σxzσxy σyy σyzσxz σyz σzz
∣∣∣∣∣∣ = detσ˜̃
Flávia Bastos RESMAT II 6/1
Determinação das Tensões PrincipaisEsta equação possui três raízes reais que são as tensõesprincipais:
σe = σe1 σe = σe2 σe = σe3
Para cada uma destas soluções podemos calcular a direção doplano associada a cada tensão principal. Assim:(
σ˜̃ − σe1I˜̃)e1˜ = 0˜⇒ e1˜ → determinado
(σ˜̃ − σe2I˜̃
)e2˜ = 0˜⇒ e2˜ → determinado
(σ˜̃ − σe3I˜̃
)e3˜ = 0˜⇒ e3˜ → determinado
Flávia Bastos RESMAT II 7/1
Ortogonalidade das DireçõesPrincipais
Sejam{σe1, e1˜σe2, e2˜ duas tensões principais e suas respectivas
direções. Podemos afirmar que:{σ˜̃e1˜ = σe1e1˜ (a)
σ˜̃e2˜ = σe2e2˜ (b)
Pré-multiplicando (a) por e2˜ T obtém-se:
e2˜ Tσ˜̃e1˜ = σe1e2˜ T e1˜Transpondo ambos os termos:
e1˜ Tσ˜̃T e2˜ = σe1e1˜ T e2˜Flávia Bastos RESMAT II 8/1
Ortogonalidade das DireçõesPrincipais
e1˜ Tσ˜̃T e2˜ = σe1e1˜ T e2˜Como σ˜̃ = σ˜̃T , utilizando (b):
e1˜ Tσe2e2˜ = σe1e1˜ T e2˜o que resulta em:
e1˜ T e2˜ (σe2 − σe1) = 0
Como em geral σe2 6= σe1, devemos ter que:
e1˜ T e2˜ = 0⇒ e1˜ · e2˜ = 0 logo e1˜⊥e2˜Flávia Bastos RESMAT II 9/1
Ortogonalidade das DireçõesPrincipais
Analogamente podemos ver que e1˜⊥e3˜ e e2˜⊥e3˜ , de onde seconclui que as direções principais em torno de um ponto sãoortogonais.
Flávia Bastos RESMAT II 10/1
Estacionaridade das TensõesPrincipais
Apresentamos agora o caráter de valor extremo (máximo oumínimo) das tensões principais em torno de um ponto. Otensor de tensões num ponto descrito segundo suas direçõesprincipais é dado por:
σ˜̃123 = σ1 0 0
0 σ2 00 0 σ3
(9)
Flávia Bastos RESMAT II 11/1
Estacionaridade das TensõesPrincipais
O vetor tensão total num plano que tem sua normal comrelação a estas direções principais indicado por N˜ vale:
ρn˜ = σ˜̃123N˜ com N˜ =
lmn
(10)
Logo:
ρn˜ ={σ1l σ2m σ3n
}(11)
A tensão normal neste plano vale:
σn = ρn˜ ·N˜ = σ1l2 + σ2m
2 + σ3n2 (12)
Flávia Bastos RESMAT II 12/1
Estacionaridade das TensõesPrincipais
Como l2 = 1−m2 − n2, podemos escrever:
σn = (1−m2 − n2)σ1 +m2σ2 + n2σ3 (13)
Para obter os valores máximos (extremos) de σn{∂σn∂m = 0⇒ 2m(σ2 − σ1) = 0∂σn∂n = 0⇒ 2n(σ3 − σ1) = 0
(14)
Obtemos como solução: m = 0; n = 0 e l2 = 1⇒ l = ±1. Logoa direção l = ±1 é uma direção na qual o valor de σn é umextremo mostrando com isto que σ1 é um destes valores.
Flávia Bastos RESMAT II 13/1
Estacionaridade das TensõesPrincipais
Podemos eliminar m e n e obter resultados similares o quemostra que σ1, σ2 e σ3 são os valores extremos das tensõesnormais em torno de um ponto.
Flávia Bastos RESMAT II 14/1
Estacionaridade das TensõesPrincipais
Tensão tangencial:
τ2n = |ρn˜|2 − σ2n (15)
τ2n = (σ21l2 + σ22m
2 + σ23n2)− (σ1l
2 + σ2m2 + σ3n
2)2 (16)
Como l2 = 1−m2 − n2:
τ2n = (1−m2−n2)σ21+σ22m2+σ23n2−[(1−m2−n2)σ1+σ2m2+σ3n
2]2
(17)
Flávia Bastos RESMAT II 15/1
Estacionaridade das TensõesPrincipais
τ2n = (1−m2−n2)σ21+σ22m2+σ23n2−[(1−m2−n2)σ1+σ2m2+σ3n
2]2
(18)Valores extremos :
∂τ
∂m= 0
∂τ
∂n= 0
2τ∂τ
∂m= −2[(1−m2 − n2)σ1 + σ2m
2 + σ3n2](−2mσ1 + 2mσ2)
−2mσ21 + 2mσ22
τ∂τ
∂m= m(σ22 − σ21) +−[m2(σ2 − σ1) + n2(σ3 − σ1) + σ1]
Flávia Bastos RESMAT II 16/1
Estacionaridade das TensõesPrincipais
Igualada a zero:
m(σ22 − σ21)− 2m3(σ2 − σ1)2 − 2mn2(σ2 − σ1)(σ3 − σ1)−2mσ1(σ2 − σ1) = 0
m(σ2 + σ1)(σ2 − σ1)− 2m3(σ2 − σ1)2 − 2mn2(σ2 − σ1)(σ3−σ1)− 2mσ1(σ2 − σ1) = 0
Flávia Bastos RESMAT II 17/1
Estacionaridade das TensõesPrincipais
m(σ2 + σ1)(σ2 − σ1)− 2m3(σ2 − σ1)2
−2mn2(σ2 − σ1)(σ3 − σ1)− 2mσ1(σ2 − σ1) = 0
Dividindo todos os termos por (σ2 − σ1) e colocando 2m emevidência:
2m
[(σ2 − σ1)
2−m2(σ2 − σ1)− n2(σ3 − σ1)
]= 0 (19)
Flávia Bastos RESMAT II 18/1
Estacionaridade das TensõesPrincipais
Derivando com relação a n
2τ∂τ
∂n= −2nσ21 + 2nσ23 − 2 [ −2nσ1 + 2nσ3]
(1−m2 − n2
)σ1
+m2σ2 + n2σ3
= n(σ23 − σ21
)− 2nm2 (σ3 − σ1) (σ2 − σ1)− 2n3 (σ3 − σ1)2
−2nσ1 (σ3 − σ1)
Que dividida por (σ3 − σ1) e igualada a zero nos fornece:
n(σ3 + σ1)− 2nm2(σ2 − σ1)− 2n3(σ3 − σ1)− 2nσ1 = 0
Ou:2n
[(σ3 − σ1)
2−m2(σ2 − σ1)− n2(σ3 − σ1)
]= 0 (20)
Flávia Bastos RESMAT II 19/1
Estacionaridade das TensõesPrincipais
Temos então o seguinte sistema de equações não lineares:m[(σ2−σ1)
2 −m2(σ2 − σ1)− n2(σ3 − σ1)]
= 0
n[(σ3−σ1)
2 −m2(σ2 − σ1)− n2(σ3 − σ1)]
= 0
l2 +m2 + n2 = 1
Uma solução deste sistema é dada por:
m = 0;n = 0⇒ l = ±1
Estes são os cossenos diretores de um dos planos principaiscuja a tensão tangencial é nula.
Flávia Bastos RESMAT II 20/1
Estacionaridade das TensõesPrincipais
Uma outra solução com m = 0 que satisfaz a primeira destasequações é obtida substituindo na parcela entre parênteses dasegunda equação:
(σ3 − σ1)2
− n2(σ3 − σ1) = 0
cuja solução é:
n2 =1
2⇒ n = ±
√2
2
Utilizando a terceira equação obtemos:
l2 =1
2⇒ l = ±
√2
2
Flávia Bastos RESMAT II 21/1
Estacionaridade das TensõesPrincipais
Temos então como solução geral deste sistema:{m = 0; l = ±
√2
2;n = ±
√2
2
Procedendo de modo análogo eliminando-se m e n na equaçãode determinação de τn, obtemos outro conjunto de soluções:{
n = 0;m = ±√2
2; l = ±
√2
2{l = 0;m = ±
√2
2;n = ±
√2
2
Cada conjunto destes valores define um plano bissetor dosplanos principais em torno do ponto.
Flávia Bastos RESMAT II 22/1
Estacionaridade das TensõesPrincipais
Cálculo das tensões tangenciais extremas.
Determinemos o valor de τn para m = 0; l = ±√22 ;n = ±
√22 .
Como σ˜̃123 = σ1 0 0
0 σ2 00 0 σ3
e a direção possui
N˜ =
√220√22
, o vetor tensão total será:
ρn˜ = σ˜̃N˜ ={ √
22 σ1 0
√22 σ3
}(21)
Cujo módulo vale:|ρn˜|2 = σ21 + σ23
2(22)
Flávia Bastos RESMAT II 23/1
Estacionaridade das TensõesPrincipais
A tensão normal neste plano vale:
σn = ρn˜ ·N˜ = σ1l2 + σ2m
2 + σ3n2 =
σ1 + σ32
(23)
Daí obtemos a tensão tangencial extrema que vale:
τ2n = |ρn˜|2 − σ2n (24)
τ2n =
(σ1 + σ23
2
)2
−(σ1 + σ3
2
)2
(25)
τn = ±(σ1 − σ3
2
)(26)
Flávia Bastos RESMAT II 24/1
Estacionaridade das TensõesPrincipais
Com as outras soluções obtemos:
Para: l = 0;m = ±√2
2;n = ±
√2
2⇒ τn = ±
(σ2 − σ3
2
)(27)
Para: n = 0; l = ±√2
2;m = ±
√2
2⇒ τn = ±
(σ1 − σ2
2
)(28)
Flávia Bastos RESMAT II 25/1
Recommended