O capítulo 3 trata de transformações de intensidade e filtragem espacial

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

O capítulo 3 trata de transformações de intensidade e filtragem espacial.

Os processos no domínio espacial são denotados por:

onde f(x,y) é a imagem de entrada, g(x,y) é a imagem de saída e T é um operador sobre f definido sobre uma vizinhança do ponto (x,y).

),(),( yxfTyxg

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

Uma vizinhança 3x3 em torno de um ponto (x,y) numa imagem no domínio espacial. A vizinhança é movida pixel a pixel na imagem para gerar uma imagem de saída.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• Quando a vizinhança é de tamanho 1x1, g depende somente do valor de f no único elemento em (x,y) e T é uma função de transformação de intensidade:

s = T(r).

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

Funções de transformação de intensidade.(a) Extensão de contraste (constrast stretching function)(b) Limiar (thresholding function)

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

Algumas funções básicas de transformação de intensidade.Todas as curvas foram escala- das para enquadrar no intervalo mostrado.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

(a) Mamografia digital original.(b) Imagem negativa obtida usando a trans- formação negativa.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

(a) Espectro de Fourier.(b) Resultado da aplicação da transformação log com c = 1.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

Gráficos da equação s = cr para valores de (c=1) em todos os casos.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

(a) Imagem rampa de intensidade.(b) Imagem vista num monitor com gamma de 2.5(c) Imagem com correção de gamma.(d) Imagem corrigida vista no monitor

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

(a) Imagem MRI de uma espinha humana fraturada(b) – (d) Resultado da aplicação da eq. 3.2-3 com c = 1 e = 0.6, 0.4 e 0.3 respectivamente.

Eq. 3.2-3: s = cr

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

(a) Imagem aérea.(b) - (d) Resultado da aplicação da eq. 3.2-3 com c = 1 e = 3.0, 4.0 e 5.0 respectivamente.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• Função de transformação de intensidade por partes.

T(r)

r

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

Extensão do contraste.(a) Forma da função de transformação.(b) Imagem de baixo contraste.(c) Resultado.(d) Resultado da limiarização (thresholding)

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

(a) Essa transformação intensifica o intervalo de intensidade [A,B] e reduz todas as intensidades a um nível menor.(b) Essa transformação intensifica o intervalo de intensidade [A,B] e preserva todos os outros níveis de intensidade.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

(a) Angiograma aórtica. (b) Resultado usando a transformação da Fig. 3.11(a).(c) Resultado usando a transformação da Fig. 3.11(b)

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

Representação plano-de-bits (bit-plane) de uma imagem de 8 bits.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

(a) Uma imagem de 8 bits de tamanho 500x1192.(b) - (i) plano-de-bits de 1 a 8, sendo o plano 1, menos signif.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

Imagens reconstruídas usando:(a) plano-de-bits 8 e 7(b) plano-de-bits 8, 7 e 6 e(c) plano-de-bits 8, 7, 6 e 5.

Comparar (c) com a imagem completa, Fig. 3.14(a)

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• PROCESSAMENTO DE HISTOGRAMAO histograma de uma imagem digital com níveis de intensidade no intervalo [0, L-1] é uma função discreta h(rk ) = nk , onde rk é o k-ésimo valor de intensidade e nk é o número de pixels na imagem com intensidade rk .

Histograma normalizado: dividir cada um dos componentes pelo número total de pixels da imagem, denotado por MN, tal que p(rk ) = nk /MN, para k = 0, 1, 2, ..., L-1.

0 1 L-1rk

h(rk)=nk

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

Quatro tipos básicos de imagem: escuro, claro, baixo contraste, alto contraste, e seus histogramas correspondentes.

escuro

claro

baixo contraste

alto contraste

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• EQUALIZAÇÃO DE HISTOGRAMA

A equalização de histograma ou linearização de histograma consiste numa transformação T(rk) em que a imagem original resulte numa imagem onde os níveis de intensidade são uniformemente distribuídos .

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

(a) Função monotônica crescente, mostrando como múltiplos valores podem mapear a um único valor.(b) Função estritamente monotônica crescente (mapeamento um-a-um, em ambas as direções.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• Os níveis de intensidade de uma imagem podem ser vistos como variáveis aleatórias no intervalo [0, L-1].

• Um descritor fundamental de uma variável aleatória é a função densidade de probabilidade (PDF, Probability Distribution Function).

• Sejam pr(r) e ps(s) a função PDF de r e s, respectivamente, onde s = T(r).• Da teoria de probabilidade básica, se pr(r) e T(r) são conhecidos, e T(r) é

contínua e diferenciável, no intervalo de interesse, então a função PDF da variável transformada s pode ser obtida pela equação

• A função de transformação de particular importância em processamento de imagens tem a forma

dsdrrpsp rs )()(

r

r dpLrTs0

)()1()( (Eq. 3.3-4)

(Eq. 3.3-3)

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• Sabe-se da regra de Leibniz de Cálculo Básico que a derivada de uma integral definida com respeito ao seu limite superior é o integrando avaliado no limite :

• Substituindo esse resultado na equação 3.3-3, tem-se:

101

1)()1(

1)(

)()(

LsL

rpLrp

dsdrrpsp

rr

rs

)()1(

)()1(

)(

0

rpL

dwwpdrdL

drrdT

drds

r

r

r

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

(a) Um PDF arbitrário. (b) Resultado da aplicação da transformação (eq.3.3-4) para todos os níveis de intensidade, r. As intensidades resultantes, s, tem um PDF uniforme, independente/ da forma da PDF de r’s.

r

r dpLrTs0

)()1()(

Eq. 3.3-4:

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• Para valores discretos lidamos com probabilidades e somatórios ao invés de funções de densidade de probabilidade e integrais. A probabilidade de ocorrência de nível de intensidade rk numa imagem digital é dada por

onde MN é o número total de pixels, nk é o número de pixels de intensidade rk e L é o número de possíveis níveis de intensidade.

• A forma discreta da transformação da equação 3.3-4 é

1,...,2,1,0)1(

)()1()(

0

0

LknMNL

rpLrTs

k

jj

k

jjrk

1,...,2,1,0)( LkMNnrp k

kr

Eq. 3.3-8

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

Distribuição de intensidade e valores de histograma para uma imagem digital 64x64 de 3 bits.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

Ilustração da equalização de histograma de imagem de 3 bits.(a) Histograma original(b) Função de transformação(c) Histograma equalizado.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

Coluna a esquerda: imagens da Fig. 3.16.Coluna central: imagens com equalização de histogramaColuna direita: histogramas das imagens da coluna central.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

Funções de transformação para equalização de histograma.Transformações (1) a (4) foram obtidas dos histogramas das imagens do topo à base na coluna a direita da Fig. 3.20. usando eq.3.3-8.

1,...,2,1,0)1(

)()1()(

0

0

LknMNL

rpLrTs

k

jj

k

jjrkk

Eq. 3.3-8

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• Especificação de Histograma (matching).• A equalização de histograma visto anteriormente determina a função de

transformação que busca produzir uma imagem de saída que tenha um histograma uniforme.

• Existem aplicações em que é útil especificar a forma do histograma para a imagem processada.

• O método usado para gerar uma imagem processada que tenha um histograma especificado é chamado de matching de histograma ou especificação de histograma.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• Voltando a idéia de intensidades contínuas r e z, e sejam pr(r) e pz(z), as PDFs respectivas.

• Aqui r denota níveis de intensidade da imagem de entrada e z denota níveis de intensidade da imagem processada de saída.

• Podemos estimar pr(r) de uma dada imagem de entrada, enquanto que pz(z) é a função PDF especificada.

• Seja s uma variável aleatória com a propriedade

• Definimos agora uma variável aleatória z com a propriedade

• Segue então que G(z)=T(r) e, portanto, z deve satisfazer

z

z sdttpLzG0

)()1()(

)()( 11 sGrTGz

r

r dpLrTs0

)()1()( eq. 3.3-10

eq. 23.3-11

eq. 3.3-12

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• As equações anteriores mostram que uma imagem cujos níveis de intensidade tem uma PDF especificada pode ser obtida de uma dada imagem usando o seguinte procedimento:

1. Obter pr(r) da imagem de entrada e usar a equação 3.3-10 para obter os valores de s.

2. Usar a PDF especificada em equação 3.3-11 para obter a função de transformação G(z).

3. Obter a tranformação inversa z= G-1(s); como z é obtido de s, este processo é um mapeamento de s a z, sendo o último, os valores desejados.

4. Obter a imagem de saída primeiro equalizando a imagem de entrada usando a eq. 3.3-10; os valores de pixels são os valores s. Para cada pixel com valor s realizar o mapeamento inverso z = G-1(s) para obter a imagem de saída.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• A formulação discreta da equação 3.3-10 é dada pela equação 3.3-8

• Similarmente, dado um valor específico de sk, a formulação discreta da eq.3.3-11 é dada por

para um valor de q, tal que

• Obtem-se o valor desejado zq pela transformação inversa:

kq szG )(

)()1()(0

q

iizq zpLzG

1,...,2,1,0)1(

)()1()(

0

0

LknMNL

rpLrTs

k

jj

k

jjrk

)(1kq sGz

Eq.3.3-13

Eq.3.3-14

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• RESUMO DO PROCEDIMENTO:1. Computar o histograma pr(r) da imagem de entrada e usar o resultado para realizar a

transformação da eq. 3.3-13. Arredondar os valores resultantes sk, para inteiros no intervalo [0, L-1].

2. Computar todos os valores da função de transformação G usando a eq. 3.3-14 para q = 0, 1, 2,..., L-1, onde pz(zi) são os valores do histograma especificado. Arredondar os valores de G para inteiros no intervalo [0, L-1]. Guardar os valores de G numa tabela.

3. Para cada valor de sk, k = 0, 1, 2,..., L-1, usar os valores guardados de G do passo 2 para encontrar o valor correspondente de zq tal que G(zq) seja próximo de sk e guardar esse mapeamento de s para z. Quando mais que um valor de zq satisfaz o dado sk, escolher o menor valor por convenção.

4. Formar a imagem do histograma especificado, primeiro equalizando o histograma da imagem de entrada e então mapeando cada valor do pixel equalizado, sk, para o correspondente valor zq na imagem de histograma especificado usando o mapeamento do passo 3.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

(a) Histograma de imagem de 3 bits.(b) Histograma especificado(c) Função de transformação obtida do hist. especificado.(d) Resultado da realização da especificação.Comparar (b) e (d)

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

Histogramas reais e especificados.Os valores da terceira coluna são das computações realizadas no exemplo 3.8 (anterior).

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

Todos os possíveis valores da função de transformação G escalados, arredondados, e ordenados em relação a z.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

Mapeamento de todos os valores de sk

em valores correspondentes de zq.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

(a) Imagem da Lua de Marte Phobos.(b) Histograma.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

(a) Função de transformação para equalização de histograma(b) Imagem de histograma equalizado (notar o excesso de clareamento )(c) Histograma de (b)

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• Devido ao problema do excesso de clareamento da imagem resultante da equalização de histograma, será mostrada uma transformação a partir da especificação manual de uma função que preserva a forma geral do histograma original, mas tem uma transição de níveis suavizada na região escura de intensidade (Fig. 3.25 a).

• A função de transformação G(z) obtida do histograma usando a eq. 3.3-14 está rotulado como 1 na Fig. 3.25 b. A transformação inversa G-1(s) está rotulada como 2.

• A imagem da Fig. 3.25 c é resultante da aplicação da transformação 2 aos pixels da imagem resultante da equalização de histograma da Fig. 3.24 b.

• A Fig. 3.25d mostra o histograma da imagem melhorada da Fig. 3.25c.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

(a) Histograma especificado(b) Transformações: curva (1) = G(z) (2)= G-1(s)(c) Imagem melhorada usando mappings da curva (2)(d) Histograma de (c)

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• PROCESSAMENTO DE HISTOGRAMA LOCAL

• Os métodos de histograma vistos anteriormente são globais, ou seja, os pixels são modificados por uma função de transformação baseada na distribuição de intensidade da imagem inteira.

• Existem casos em que seja necessário melhorar detalhes sobre uma pequena área de uma imagem.

• O procedimento é definir uma vizinhança e mover o centro pixel a pixel. A cada posição, o histograma dos pontos da vizinhança é computado e uma função de transformação de equalização ou de especificação é obtida.

• Essa função é então usada para mapear a intensidade do pixel central da vizinhança.

• O centro da região de vizinhança é então movido a uma das posições adjacentes e o procedimento é repetido.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

(a) Imagem original. (b) resultado da equalização de histograma global(c) Resultado da equalização de histograma local em (a), usando uma vizinhança de tamanho 3x3.

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• USANDO ESTATÍSTICA DE HISTOGRAMA PARA MELHORAMENTO DE IMAGEM

• A estatística obtida de um histograma de imagem pode ser usada para melhoramento de imagem. Seja r uma variável aleatória discreta representando os valores de intensidade no intervalo [0, L-1], e seja p(ri) o componente do histograma normalizado correspondente ao valor ri.

• O n-ésimo momento de r sobre a sua média é definido como

onde m é o valor médio de r, ou intensidade média dos pixels na imagem.

1

0

)(L

iii rprm

1

0

)()()(L

ii

nin rpmrr

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• O segundo momento é particularmente importante:

• Essa equação é a variância, normalmente denotada por , e denota a medida de contraste numa imagem.

• Quando somente a média e a variância é estimada, pode-se obter esses valores diretamente:

1

0

1

0

22 ),(1 M

x

N

y

myxfMN

1

0

1

0

),(1 N

y

M

x

yxfMN

m

1

0

22 )()()(

L

iii rpmrr

e

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• Exemplo: Considerar uma imagem 5x5: 0 0 1 1 2 1 2 3 0 1 3 3 2 2 0 2 3 1 0 0 1 1 3 2 2

• Os pixels são representados por 2 bits; portanto, L= 4 e os níveis de intensidade ficam no intervalo [0,3]. O número total de pixels é 25, e o histograma tem os componentes

• Portanto, pode-se computar o valor médio das intensidades da forma:

• Esse resultado é o mesmo que calcular o valor médio usando a equação:

3

0

44.1)20.0)(3()28.0)(2()28.0)(1()24.0)(0()(i

ii rprm

20.0255)(;28.0

257)(

28.0257)(;24.0

256)(

32

10

rprp

rprp

4

0

4

0

44.1),(251

x y

yxfm

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• USO DO VALOR MÉDIO LOCAL E VARIÂNCIA LOCAL• Sejam (x,y) as coordenadas de qualquer pixel e Sxy uma vizinhança de um

determinado tamanho, centrada em (x,y). O valor médio dos pixels nessa vizinhança é dado pel expressão

• A variância dos pixels na vizinhança é dada por

)()(1

0

22i

L

iSSiS rpmr

xyxyxy

)(1

0i

L

iSiS rprm

xyxy

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• O problema da Fig. 3.27a, é que o filamento de tungstênio ao redor de um suporte, localizado no centro da imagem é visto nitidamente. Porém, existe um outro filamento no lado direito, que é imperceptível.

• O problema é de melhorar as áreas escuras sem alterar as áreas claras que não necessitam de melhoramento.

• A medida de se uma área é relativamente clara ou escura a um ponto (x,y) é comparar o valor médio de intensidade local, mSxy, ao valor médio de intensidade global, denotado aqui mG.

• Assim, temos o primeiro elemento de melhoramento: consideramos o pixel no ponto (x,y) como um candidato para o processamento se

onde k0 é uma constante positiva com valor menor que 1.0.GS mkm

xy 0

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• Como estamos interessados em melhorar áreas que tem baixo contraste, necessitamos também a medida para determinar se o contraste de uma área deve ser melhorado.

• Consideramos que o pixel em (x,y) deve ser melhorado se

onde G é o desvio padrão global e k2 é uma constante positiva. O valor dessa constante será maior que 1.0 se estamos interessados em melhorar áreas claras e menor que 1.0 para melhorar áreas escuras.

• Finalmente, devemos restringir os menores valores de contraste que desejamos aceitar, caso contrário o procedimento tentaria melhorar áreas constantes, com desvio padrão zero.

• Assim, definimos um limite inferior para o desvio padrão local

com k1 < k2. • Um pixel em (x,y) que enquadra em todas as condições acima é processado multiplicando o seu

valor de intensidade por uma constante E, para aumentar (ou diminuir) o seu valor.

xySGk 1

GS kxy

2

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

• Resumindo, se f(x,y) representa o valor de uma imagem numa coordenada (x,y) e se g(x,y) representa o correspondente valor melhorado, então

• Para o caso da Fig. 3.27 os seguintes valores foram usados:

• A área da região foi de 3x3.

4.002.0,4.0,0.4 210 kekkE

contráriocasoyxf

kkemkmseyxfEyxg GSGGS xyxy

),(),(.

),( 210

Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering

(a) Imagem SEM de filamento de tungstênio ampliado 130x.(b) Resultado da equalização de histograma global.(c) Imagem melhorada usando estatística de histograma local.