O caso crítico

O caso críticoO caso super crítico

O caso sub-critico

4. (Poli 2006) O Gráfico de x(t), mostrado na figura abaixo, representa a equação horária de um oscilador criticamente amortecido, para um sistema composto de um corpo de massa m = 1, 0 Kg preso a uma mola de constante elástica k e imerso em um líquido viscoso, de coeficiente de resistência viscosa.

(a) Em que instante de tempo a velocidade do corpo será nula, no intervalode tempo mostrado no gráfico?

V = 0

A velocidade é zero quando atangente da curva for zero.Isso corresponde em t = 3 s

t = 3s

(b) A equação horária x(t) pode ser escrita como:

x(t) = e−/2t(a + bt)

Podemos derivar x(t) duas vezes e montar a equação diferencial.

E em seguida mostramos que a identidade vale:

Determine os valores de a e b.

(c) Determine a constante de decaimento e a constante elástica k da mola.

(d) Determine o valor da velocidade inicial do oscilador.

R: (a) t=3s; (b) a = 0, 5 m e b = 0, 5 m/s; (c) = 1 s−1; (d) v0 = −0.75 m/s.

Oscilações livres com amortecimento viscoso proporcional a velocidade.

kxxbxM

)cos()( 1max textx t 2

2

2

M

b

M

k

T

dt

dxbf viscz .

Freqüência angular com dissipação viscosa.

M

b

2 é o atrito viscoso.

)()()(

2

2

tkxdt

tdxb

dt

txdMkxxbxM

teAdt

tdx )(

teAdt

txd 22

2 )(

tAetx )(

ttt kAeebAeMA 2

02 kbM M

k

M

b

M

b

2

22

Vamos testar uma solução com a função:

As suas respectivas derivadas são:

Que, substituídas na equação resulta:

Item b: Solução da Equação do Movimento com Atrito Viscoso

a solução para x será:

tM

b

M

ki

tM

b

eAetx

2

22)(

tM

k

M

b

M

b

Aetx

2

22)(

M

k

M

b quemenor muito é

2

2

2

1 2

M

b

M

k

2)(

11

2titit

M

b eeAetx

A solução fica na forma:

Mas! então o termo da raiz é complexo!

Escrevendo a raiz na forma:

Uma solução parcial será:

Observe que temos duas soluções possíveis!

e fazendo:

M

b

2

)cos()( 1max textx t

2

1 2

M

b

M

k

A solução final tem a forma:

O termo de atrito viscoso é:

2

11

1

titi eetcos

Usando-se a relação de Euler:

A freqüência angular desta oscilação será:

A oscilação esta em estado crítico quando:

M

b

20

Também chamado caso degenerado:

A outra solução é procurar a forma : e repetindo o

processo anterior de derivação sucessiva.

Concluiremos que a segunda solução :

E assim a solução geral do caso degenerado será:

tIII etxtx )()(

tI eBtAtx )()(

BtAtxdt

txdII

II )(0)(

2

2

textx max)(Uma equação dif. de seg. grau tem 2 soluções que no caso degenerado já sabemos uma.

Como será a forma da segunda solução?

Item b:Para t = 0 temos x = 0.5

t = 0

x = 0

tetBAtx )()(

5.05.0)0()0( 0 AeBAx

5.00))1(5.0()1( 1 BeBssx s

Para t = 1s temos x = 0

tettx )5.05.0()(

Item c:Se v(3) = 0

05.0))3(5.05.0(2

)( 3)2/(3)2/( eetx

115.02

sEXTRAIR O VALOR DE GAMA e o k da mola :

A VELOCIDADE SERÁ:

smeex /75.05.0))0(5.05.0(2

1)0( 0)2/1(0)2/1(

M

k

2

0),(1),(

2

2

22

2

t

txy

vx

txy

A equação de d´Alembert

A solução da equação de d´Alembert tem a forma y(x,t) = f(x±vt)onde o sinal (–) significa que a propagação será progressiva () e(+) regressiva () e v é a velocidade de propagação da onda.A busca da sua solução implica em se impor condições de contorno.

A solução y(x,t) = f(x±vt)pode ser simples ou muitocomplexa!

)cos(),( tkxAtxy

20. (Poli 2006) Uma corda uniforme, de comprimento 20 m e massa 2 Kg, está esticada sob uma tensão de 10 N.

Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude 3 cm e frequencia de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima.

(a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de onda da ondatransversal progressiva que é produzida na corda.

(b) Escreva, como função do tempo, o deslocamento transversal y de umponto da corda situado a uma distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade.

(c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada.

smmKg

NFV /10

/1,0

10

Se a massa é 2Kg e o comprimento 20m a densidade linear da corda é :1

1,020/2

KgmmKg

A velocidade é dada por:

Vf O comprimento de onda é dado por:

Onde : 15 sf

smsf /105 1

m2

11

1

10 522

12

22

)cos(),(

ssf

mm

k

tkxAtxy

0),(1),(

2

2

22

2

t

txy

Vx

txy

Uma solução geral da equação de d´Alembert é:

A amplitude A é 3cm 0,03m e a fase se obtém impondo y(0,0) = 0,015m(

3cm

2m

2/2kTAI A potência média é :

mAsT

mk

015,0 5

s 101

1

18. Determine a amplitude da onda resultante da combinação de duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sentido, possuem mesma frequência, têm amplitudes de 3, 0 cm e 4, 0 cm e diferença

de fase de /2 rad

R: y(x, t) = 0, 05 sen(kx − t + 0, 64)

A 1 = 3 sen(kx − t + /2)

A 2 = 4 sen(kx − t)

A 1 = 3 sen(kx − t + /2)

A 2 = 4 sen(kx − t)

25. Duas ondas transversais de mesma frequência = 100 s−1 são produzidas num fio de aço de 1 mm de diâmetro e densidade 8 g/cm3, submetido a umatensão T = 500 N. As ondas são dadas por

y1 = A cos (kx − t + /6) y2 = 2Asen(t − kx)

onde A = 2 mm.

(a) Escreva a expressão da onda harmônica progressiva resultanteda superposição dessas duas ondas.

(b) Calcule a intensidade da resultante.

(c) Se fizermos variar a diferença de fase entre as duas ondas, qual é a razãoentre os valores máximo e mínimo possíveis da intensidade da resultante?

R: (a) y = 5, 29 × 10−3 cos(2, 23x − 628t +1, 24).

(b) 9, 8 W.

(c) IMAX IMIN = 9.

)](2

1cos[)](

2

1cos[2),(

)()(k )()(

)])(2

1)(

2

1cos[)]

22cos[(2),(

)](2/1cos[)](2/1cos[2)cos()cos(

)cos()cos(

),(

21212121

2121

221121

txktkxAtxy

kkkkk

txkktxk

Atxy

bababa

xktAxktAyyy

txA

Duas oscilações(TONNNNN e TOoNNNNN) com pequena diferençanas suas freqüências quando somadas, produzem o fenômeno do: BATIMENTO!!! - TOINHoIINHIINHoIINHoIIII....!

TOINHoIIIIINHOIIIIIIINHOIIII...!

TONNN.iiii....

Toonnnnnn.iii.....

)](2

1cos[)](

2

1cos[2),(

),(

txktkxAtxy

txA

24. Uma corda, submetida a uma tensão de 200 N e presa em ambas as extremidades, oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária.O deslocamento da corda é dado por:

y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t) onde x = 0 numa das extremidades da corda, x é dado em metros e t em segundos.

(a) Qual é o comprimento da corda? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

(b) Qual é a velocidade escalar das ondas na corda? y = (0, 10) sen(x/ 2) sen(12 t)

(c) Qual é a massa da corda? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

(d) Se a corda oscilar num padrão de onda referente ao terceiro harmônico,qual será o período de oscilação? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

R: (a) L = 4 m, (b) v = 24 m/s, (c) μ = 0, 347 kg/m e (d) T = 0, 11 s

)cos(1 nn xktAy

)cos(2 nn xktAy

)()(2 tsenxkAseny nn

)2/cos()2/cos(2

)cos()cos(2

)]2(2/1cos[)]2(2/1cos[2

)](2/1cos[)](2/1cos[2)cos()cos(

)cos()cos(21

txkAy

txkAy

txkAy

bababa

xktAxktAyyy

nn

nn

nn

nnnn

y = (0, 10)sen(x/2)sen(12t)

Ondas estacionárias numa corda segundo harmônico.

y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

Qual o valor de L ?l

mLLL

nkn 42

2

2

)()(2 22 tsenxkAseny

Qual o valor de v ?l

)()(2 22 tsenxkAseny

y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

24m/s vv212 L

Qual o valor de m?

)()(2 22 tsenxkAseny

y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

T3 = ?

)()(2 33 tsenxkAseny

ssmmT

VL

nTn

n 11,0/244

322

3

y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t) Terceiro harmônico

Ondas estacionárias numa corda terceiro harmônico.

A velocidade do som e a temperatura do gás(caso gás ideal).

Variação da velocidade do som com a temperaturaA velocidade do som em um gás não é constante, e sim que depende da temperatura.

Da equação de um gás ideal pV=nRT ou então,

A fórmula da velocidade do som é expressa em função da temperatura t do gás em graus centígrados.Para obter esta expressão aproximada, tomamos os dois primeiros termos do

desenvolvimento de (1+t/T0)1/2 do binômio de Newton

Sabendo que T0=273.15 K, γ=1.4, R=8.314 J/(K·mol) e M=28.95·10-3 kg/mol, temos que

vs≈331.4+0.61·t onde 331.4 m/s é a velocidade do som no ar a 0ºC.

= Cp/Cv processo ádiabático

Doppler Effect

A Doppler effect is experienced whenever there is relative motion between a source of waves and an observer.When the source and the observer are

moving toward each other, the observer hears a higher frequency

When the source and the observer are moving away from each other, the observer hears a lower frequency

Although the Doppler Effect is commonly experienced with sound waves, it is a phenomena common to all waves

Doppler Effect, Moving Observer I• An observer moves toward a stationary source.

• Due to this movement, • the observer detects an • additional number of

wave fronts per unit time

The frequency heard is increased F ig 1 4 .8 , p . 4 3 5

S lid e 1 2

Use positive V0 if the observer is moving toward the source.

f = v /

Doppler Effect, Moving Observer II

F ig 1 4 .9 , p . 4 3 6

S lid e 1 3

• An observer moves away from a stationary source.

• The observer detects fewer wave fronts per second.

• The frequency appears lower.

Use negative V0 if the observer is moving away from the source.

Doppler Effect, Source in Motion

•As the source moves toward the observer (A), the wave-length appears shorter.

Use –vs when the source moves toward the observer; and +vs when the source moves away from the observer

Because the frequency is inversely proportional to the wavelength, f varies in the opposite way as

As the source moves away from the observer (B), the wave-length appears longer. f = v /

Doppler Effect: both observer and source

moving

Both the source and the observer could be moving

Use positive values of vo and vs if the motion is towardFrequency appears higher

Use negative values of vo and vs if the motion is away

Frequency appears lower