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Orgãos
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ESCOLA SUPERIOR NÁUTICA INFANTE D. HENRIQUE DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MARÍTIMA
Licenciatura em Engenharia de Máquinas Marítimas
ORGÃOS DE MÁQUINAS
TEXTOS DE APOIO - Volume I
Victor Franco Correia (Professor Adjunto)
ENIDH - 2006, 2011, ultima actualização: 2012
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 2
1. Projecto de componentes mecânicos. Noções básicas
1.1 Noção de coeficiente de segurança
1.2 Método das tensões admissíveis e método dos estados limites
2. Breve revisão de conceitos básicos da análise de tensões
2.1 Tensões normais e de corte
2.2 Relação Tensões-Extensões. Lei de Hooke
2.3 Tensões normais axiais em barras
2.4 Tensões normais em flexão de vigas rectas
2.5 Tensões de corte transversal em vigas rectas
2.6 Tensões de corte em torção de vigas rectas
2.7 Tensões de origem térmica
2.8 Tensões em reservatórios cilindricos e esféricos sujeitos a pressão interna
2.9 Efeito de tensões combinadas
2.10 Concentração de tensões
2.11 Critérios de falha estática
3. Materiais para componentes mecânicos
4. Fadiga de componentes mecânicos
4.1 Tensões médias e tensões alternadas
4.2 Resistência à fadiga. Curvas SN
4.3 Factores de correcção da tensão limite de fadiga
4.4 Critérios de cálculo à fadiga
4.5 Critérios de acumulação de dano por fadiga
5. Introdução à Mecânica da fractura linear elástica
5.1 Introdução
5.2 Factores de intensidade de tensão
5.3 Tenacidade à fractura
5.4 Propagação de fendas por fadiga
6. Introdução ao fenómeno da Fluência
6.1 A curva de fluência
6.2 Relaxação de tensões
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 3
1. Projecto de componentes mecânicos
1.1 Noção de coeficiente de segurança
As expressões usadas no dimensionamento dos componentes de um sistema a projectar são
sempre aproximados em maior ou menor grau, ou seja, eles referem-se a modelos
matemáticos cujo comportamento poderá estar mais ou menos afastado do comportamento
real do sistema.
Assim o projectista encontra-se sempre face a uma determinada incerteza, na modelização do
comportamento real do sistema a projectar, incerteza esta que ainda é aumentada por um
conjunto de outros factores dos quais se podem destacar :
- Variação nas propriedades de um material no que diz respeito, por exemplo, às
características mecânicas, como a tensão de rotura ou a tensão limite de elasticidade.
- Os valores tabelados relativos às características mecânicas dos materiais baseiam-se
normalmente em ensaios de provetes normalizados de pequenas dimensões. Peças de
maiores dimensões têm tendência a sofrer rotura para tensões mais baixas.
- Cargas aplicadas subitamente, choques ou impactos, podem provocar rotura, o que
poderia não ocorrer se fossem aplicadas gradualmente.
- Situações de funcionamento com cargas acima da carga máxima admitida nos cálculos
(sobrecargas) ou cargas concentradas, quando os cálculos foram efectuados pressupondo
que as cargas eram distribuídas.
- O método de fabrico pode provocar tensões residuais ou concentrações de tensões nas
peças.
- Tensões residuais ou até fendas podem ser provocadas por tratamentos térmicos realizados
incorrectamente.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 4
- Peças em contacto com uma má lubrificação podem ter o seu período de vida útil
apreciavelmente reduzido devido a um desgaste exagerado.
- Especiais precauções deverão ser tomadas quando o funcionamento de um dado
componente se vai efectuar em atmosferas corrosivas, por exemplo. Quando um material
está sujeito a cargas durante largos períodos de tempo a altas temperaturas terá de se ter
em consideração o fenómeno da fluência. O funcionamento a baixas temperaturas também
pode trazer problemas devido à transição de comportamento dúctil - frágil do material ou
materiais em causa.
- Todos o projectos deverão tomar em consideração a segurança do utilizador/operador. As
incertezas existentes nos vários factores que condicionam o projecto poderão ter
consequências bem mais graves se a falha do componente projectado colocar de alguma
forma vidas humanas em risco e portanto maior responsabilidade deverá existir neste caso.
Assim, com a finalidade de tomar em consideração no projecto todas estas incertezas,
introduz-se um factor de correcção a que usualmente se chama Factor ou Coeficiente de
Segurança. O coeficiente de segurança é normalmente aplicado por forma a definir o valor
máximo admissível das tensões num dado componente durante o seu funcionamento - adm .
Por exemplo, se para o projecto de um determinado componente for considerada uma tensão
admissível de 175 N/mm2 e se o material em que vai ser fabricado apresenta uma tensão
limite de elasticidade de 350 N/mm2, diz-se que foi utilizado um coeficiente de segurança
igual a 2 em relação à tensão limite de elasticidade.
A selecção do coeficiente de segurança mais adequado a utilizar no projecto de um
determinado componente não é um procedimento simples. O projectista deve estar consciente
do significado do coeficiente que utilizou. O uso de valores incorrectos poderá resultar ou
num sobre-dimensionamento do componente projectado e consequente peso exagerado, custo
elevado, etc. ou pelo contrário em sub-dimensionamento do componente e consequente
possibilidade de falha durante o seu funcionamento.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 5
Em muitos casos, os procedimentos de projecto de determinados sistemas ou equipamentos
mecânicos são regulados por Normas ou Códigos de projecto, nos quais está reflectida a
experiência acumulada em projectos desse tipo e onde se recomendam de forma clara os
coeficientes de segurança (ou o seu equivalente) a aplicar. Alguns exemplos são os seguintes
(nota: algumas das normas listadas já foram objecto de actualização):
- Normas europeias da FEM (Federation Europeéne de la Manutention, Section I, Regles
pour le Calcul des Appareils de Levage) e DIN 15018 (Cranes. Principles for Stress
Structures. Stress Analysis), para o projecto de aparelhos de elevação e transporte.
- Códigos BS 5500 (British Standard Specification for Unfired fusion Welded Pressure
Vessels, BSI, 1988), ASME VIII Div.2 (Pressure Vessels. Alternative Rules, 1977) e
AD-Merkblatt (Manufacture and Testing of Pressure Vessels, S1, 1973) para o projecto,
construção e ensaio de reservatórios sob pressão.
- Código BS 5400 (Steel, Concrete and Composite Bridges Code, 1980) para o projecto de
pontes.
- EUROCODE 3 (Design of steel structures) para o projecto de estruturas metálicas.
1.2 Método das tensões admissíveis e método dos estados limites
As metodologias geralmente adoptadas no projecto de estruturas e componentes mecânicos
podem apresentar-se sob duas formas principais: uma baseada nas tensões admissíveis ; outra
baseada nos designados estados limites.
No primeiro caso, a tensão máxima actuante na estrutura ou componente é comparada com a
tensão admissível, a qual é função das propriedades mecânicas do material em causa, como
sejam a tensão de rotura ou a tensão limite de elasticidade afectadas de um coeficiente de
segurança apropriado:
n
ou readmadm
sendo,max
max - tensão máxima aplicada na estrutura ou componente mecânico
adm - tensão admissível para o material utilizado
n – coeficiente de segurança ( 1n )
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 6
No segundo caso, as cargas aplicadas, majoradas por factores apropriados, são comparadas
com cargas características do estado limite da estrutura ou componente:
nmk
p
kk RQY .
1
kY - factores de majoração das cargas aplicadas , mk
Q - cargas médias aplicadas
- coeficiente de segurança ou de incerteza na definição das características
mecânicas do material
nR - Resistência nominal, calculada de acordo com os códigos, baseada
nas características mecânicas do material
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 7
2. Breve revisão de conceitos básicos da análise de tensões
2.1 Tensões normais e de corte
Na fig. 2.1 (a) apresenta-se um volume elementar mostrando a convenção adoptada para as
tensões normais x , y , z e para as tensões de corte zyzxyxyzxzxy ,,,,, . Para
equilíbrio do elemento tem-se :
xzzxzyyzyxxy ,,
As tensões normais são positivas, por convenção, se apontam para fora do elemento de
volume considerado (provocando tracção). As tensões de corte são consideradas positivas se
actuam na direcção positiva do eixo de referência (uma tensão de corte xy representa uma
tensão de corte que actua numa face perpendicular ao eixo x e tem a direcção do eixo y).
Na fig. 2.1 (b) ilustra-se a situação de tensão plana (estado biaxial de tensões).
Fig. 2.1
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 8
2.2 Relação tensões-extensões. Lei de Hooke
A lei de Hooke estabelece que no regime elástico de um material, as tensões são
proporcionais às extensões. Um material pode apresentar um comportamento elástico sem no
entanto obedecer à lei de Hooke, dado que há materiais que não apresentam um
comportamento elástico linear.
A lei de Hooke, na sua forma mais simples, pode ser traduzida pelas expressões:
.E
.G
em que e são, respectivamente, as tensões normais e de corte, e são as extensões
e as distorções de corte, E é o módulo de elasticidade ou módulo de Young e G é o módulo
de elasticidade transversal. Os módulos de elasticidade podem ser relacionados por:
)1(2
EG
sendo o coeficiente de Poisson.
As equações que traduzem a lei de Hooke generalizada, para o caso geral tridimensional
referido em 2.1, para um material com um comportamento elástico linear, homogéneo e
isótropico são:
zyx
xEE
zxy
yEE
yxz
zEE
G
xyxy
,
G
xzxz
,
G
yzyz
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 9
sendo zyx ,, as extensões nas direcções x,y,z respectivamente e yzxzxy ,, as
distorções de corte (fig. 2.2).
Fig. 2.2
2.3 Tensões normais axiais em barras
Para uma barra de secção A e comprimento L, sujeita a uma carga axial P, a tensão normal
axial e a extensão axial na barra são dadas por:
A
P
L
em que é a deformação axial da barra,
dada pela expressão :
EA
LP
.
.
x
y
xy
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 10
2.4 Tensões normais em flexão de vigas rectas
2.4.1 Flexão simétrica
Fig. 2.3 (a)
A figura acima mostra a variação das tensões normais devidas a flexão pura (momento flector
M) numa viga recta de secção simétrica em relação ao eixo y. A tensão normal num ponto
localizado a uma distância y do eixo neutro é dada por
max
c
y
O eixo neutro pode ser localizado, na secção transversal, satisfazendo a condição de que a
força resultante produzida pela distribuição de tensões ao longo da secção tem de ser igual a
zero. Assim, notando que a força elementar dAdF actua num elemento de área dA,
temos
0xF , 0maxmax
AAAA
dAyc
dAc
ydAdF
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 11
uma vez que c/max é diferente de zero, esta equação será satisfeita sse 0A
dAy , ou seja o
primeiro momento de área em torno do eixo neutro tem de ser zero. Esta condição só pode
ser satisfeita se o eixo neutro coincidir com o eixo que passa pelo centróide da secção
transversal.
Para relacionar as tensões normais na viga com o momento flector M actuante numa dada
secção transversal, vamos impor que este momento seja igual ao momento produzido pela
distribuição de tensões em torno do eixo neutro. O momento de dF em torno do eixo neutro
é dFydM . Dado que dAdF , podemos escrever
AAA A
dAyc
dAc
yydAydFyM 2max
max .
Dado que
A
IdAy2 (momento de inércia da secção em torno do eixo neutro), vem
I
cMmax .
Fig. 2.3 (b)
Dado que yc //max a tensão normal a uma distância y do eixo neutro será dada por
I
yM .
A tensão máxima devida a flexão pode ser apresentada sob a forma alternativa
w
M
yI
M
z
)/( max
max
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 12
sendo max/ yIw z , designado por módulo de resistência à flexão (section modulus).
2.4.2 Flexão não simétrica
Considere-se a viga de secção rectangular sujeita ao momento flector M, representado por um
vector (utilizando a regra da mão direita) que faz um ângulo com o eixo principal z.
Decompondo o momento M nas suas componentes segundo os eixos z e y, temos
cosMM z e sinMM y .
Fig. 2.3 (c)
A tensão normal num ponto arbitrário a uma distância y do eixo principal z e a uma distância z
do eixo principal y, é dada por
+
=
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 13
y
y
z
z
I
zM
I
yM
sendo zI e yI os momentos de inércia em relação aos eixos principais z e y, respectivamente.
Fig. 2.3 (d)
O ângulo de orientação do eixo neutro (no plano z-y) obrigando 0 na equação anterior,
uma vez que, por definição, no eixo neutro as tensões normais são nulas. Assim temos
y
y
z
z
I
zM
I
yM ou z
IM
IMy
yz
zy .
Dado que cosMM z e sinMM y , será
=
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 14
zI
Iy
y
z
tan .
Esta é a equação da recta que define o eixo neutro. Uma vez que tan/ zy , vem
tantany
z
I
I .
2.5 Tensões de corte transversal em vigas rectas
Se considerarmos uma viga de secção constante (fig. 2.4) submetida a uma força transversal
V, a tensão de corte transversal num dado ponto da secção é dada por:
bI
QV
z .
.
em que b é a largura da secção e Q é o momento estático da área localizada acima ou
abaixo do ponto onde a tensão é calculada, em relação ao eixo neutro, dado por :
c
y
dAyQ
1
.
As tensões de corte transversal máximas para as secções mais usuais são dadas por:
Secção rectangular A
V
2
3max
Secção circular maciça A
V
3
4max
Secção circular tubular A
V2max
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 15
Perfis IPN, UPN, HEA, HEB, RHS, etc. wA
Vmax
sendo A a área total da secção e Aw a área da alma da secção (no último caso admite-se que
apenas as almas das secções absorvem o esforço transverso V).
Fig. 2.4
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 16
2.6 Tensões de corte em torção de vigas rectas
2.6.1 Vigas de secção circular
Considere-se a viga de secção circular da fig. 2.5, sujeita a um momento de torção T. A
deformação angular devida ao momento de torção T é dada por
JG
lT
.
.
sendo l o comprimento da viga, G o módulo de elasticidade transversal e J o momento
polar de inércia da secção transversal da viga.
Para uma secção circular maciça a tensão de corte devida a torção é nula no centro e máxima
na superfície exterior. A distribuição é proporcional ao raio da secção r :
J
rT .max
sendo 32/4dJ e d o diâmetro exterior da secção.
Para uma secção circular tubular, 32/)( 44iddJ , em que di é o diâmetro interior.
Fig. 2.5
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 17
2.6.2 Secções rectangulares
Para veios ou barras de secções rectangulares d b, com um lado maior d e lado menor b,
pode demonstrar-se experimentalmente que a tensão de corte máxima ocorre no centro do
lado maior, sendo dada por uma expressão do tipo
21
maxdbk
T (1)
em que 1k é uma constante que
depende da relação d / b de acordo
com a tabela abaixo.
O ângulo de rotação por unidade de comprimento é dado por
Gbdk
T
L 32
(2)
sendo a constante 2k igualmente dependente da relação d / b, dada na tabela acima.
Na ausência da tabela para 1k e 2k é possível apresentar as equações anteriores sob a forma
aproximada
)8.13(8.1332max bd
db
T
b
d
db
T
444
4242
bdG
JLT
AG
JLT
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 18
em que A é a área da secção transversal A= b d e J o momento polar de inércia da secção
))(12/( 22 dbbdJ .
Da tabela de 1k e 2k é possível observar que para 5/ bd as constantes 1k e 2k são iguais.
Pode mostrar-se que para estes valores da relação d/b temos
d
bkk 630.01
3
121 para 5/ bd
À medida que a relação d/b aumenta, isto é, a secção rectangular torna-se mais longa e
estreita, os valores das constantes 1k e 2k aproximam-se do valor 0.333. Assim assume-se
que 3/121 kk e as equações (1) e (2) reduzem-se a
2max3
bd
T e
Gbd
T
L 3
3
.
2.6.3 Secções abertas de paredes finas
Em muitas aplicações de engenharia são usados perfis laminados ou extrudidos. Muitas
vezes, as secções transversais consistem na combinação de rectangulos e assim as relações
indicadas nas equações (1) e (2) podem ser adaptadas com razoável precisão desde que as
seguintes condições se verifiquem:
a) As secções são abertas, i.e. perfis U, T, I, L, etc.
b) As espessuras são finas comparativamente às outras dimensões.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 19
Para estas secções, as equações (1) e (2) podem ser colocadas sob a forma
21
21
maxdbk
T
dbk
T
32
32 dbkG
T
dbkG
T
L
e para o caso de relações 10/ bd , seria 3/121 kk e assim
2max3
db
T e
3
3
dbG
T
L
O caso de um tubo aberto de parede fina como
representado na figura pode ser tratado como um
caso especial de uma secção aberta de parede
fina. Assim, pode ser tratado como um rectangulo
equivalente, com um lado maior d que é igual ao
perímetro da circunferência média menos a folga x
e com um lado menor b igual à espessura do tubo.
Tem-se então
21
maxdbk
T e
32dbkG
T
L
com xrd 2 , sendo r o raio médio do tubo aberto. Usualmente para tubos de parede fina
tem-se também: 3/121 kk .
Deve notar-se que o facto de existir um pequeno corte num tubo de parede fina dá origem a
uma rigidez torcional (i.e. momento torçor por unidade do ângulo de torção) muito menor do
que no caso de um tubo fechado com as mesmas dimensões.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 20
2.6.4. Outras secções sólidas
A tabela abaixo (ref.: Hearn, Mechanics of Materials, vol. 2) inclui as expressões mais
relevantes para a tensão de corte máxima max e ângulo de torção por unidade de
comprimento L/ para outras secções sólidas não-circulares que podem ser encontradas em
casos práticos.
L/
max
a
a 3max81.4
a
T
no meio de cada face
Ga
T
L 4
10.7
Ref. Hibbeler – Mechanics of Materials
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 21
2.6.5 Tubos fechados não-circulares com paredes finas (teoria de Bredt-Batho)
Considere-se o tubo fechado de paredes finas, sujeito ao momento torçor T em torno do eixo
x, i.e aplicado num plano transversal (a). A forma da secção pode ser arbitrária e a espessura
pode ser variável mas num dado ponto da secção não varia em x. Consideremos um elemento
na parede de dimensão dx ds , como indicado em (b). Este elemento deve estar em
equilíbrio sob a acção das forças F1, F2, F3 ,F4. Estas forças são iguais às tensões de corte que
actuam nestes planos multiplicadas pelas respectivas áreas.
Por exemplo se fizermos 0xF , vem 31 FF , mas dxtF 221 e dxtF 113 . Logo,
dxtdxt 1122 , ou 1122 tt . Ora, uma vez que os planos dxt2 e dxt1 são arbitrários,
as relações anteriores são igualmente válidas para quaisquer outros planos deste tipo, ou seja:
o produto da tensão de corte pela espessura é constante: .consttq A quantidade q é
designada por fluxo de corte.
Consideremos agora a secção transversal do tubo (c). A força por unidade de comprimento ao
longo do perímetro do tubo, é igual a q e é constante como se viu atrás. Então podemos
escrever
dsqrT
ou, uma vez que, para um tubo, q é constante
dsrqT .
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 22
Analisando a figura (c) verificamos que dsr é o dobro da área da zona sombreada
correspondente a um triangulo infinitesimal de altura r e base ds. Assim o integral completo é
o dobro da área cuja fronteira é a linha média do perímetro do tubo. Definindo esta área com
mA , obtém-se
qAT m2 ou mA
Tq
2
Esta equação aplica-se apenas a tubos de paredes finas. A área mA é aproximadamente a
média das áreas exterior e interior do tubo ou, a área inscrita pela linha média do contorno da
secção do tubo. Esta equação não é aplicável se a secção do tubo for aberta.
Dado que para qualquer tubo, o fluxo de corte é constante por definição, a tensão de corte em
qualquer ponto do tubo onde a espessura da parede é t, será dada por
tA
T
t
q
m2
Torna-se evidente que a tensão de corte máxima ocorre no ponto de menor espessura.
Consideremos agora uma faixa longitudinal do tub o com comprimento L, ao longo da qual a
espessura e consequentemente a tensão de corte é constante. A energia elástica de
deformação é dada por
dVG
U
2
2
mas dsLtdV e assim
t
ds
GA
LTds
G
tL
tA
TdsLt
GU
mm2
222
8222.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 23
A energia elástica deformação é igual ao trabalho realizado pelo momento torçor, TW2
1,
e assim
t
ds
GA
LTT
m2
2
82
1.
O ângulo de torção do tubo será então dado por
t
ds
GA
TL
m2
4.
Para tubos de espessura constante ao longo do perímetro da secção transversal, temos
GA
sL
tGA
sLT
mm24
2
sendo s o perímetro da linha média da secção transversal.
Estas equações devem ser utilizadas com cuidado e não são aplicáveis quando existem
variações bruscas de espessura.
Para secções fechadas que possuem espessura constante ao longo de determinados
comprimentos, mas variando de uma zona do perímetro para outra, pode aplicar-se a
expressão
......
4 3
3
2
2
1
12 t
s
t
s
t
s
GA
T
Lm
.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 24
2.6.6 Perfis celulares com paredes finas
Consideremos a secção celular de paredes finas com o perímetro RSMN de espessura
constante 1t e sujeito a uma tensão de corte constante 1 . Igualmente, o perímetro NOPR tem
espessura 2t e está sujeito a uma tensão de corte 2 e finalmente o perímetro NR tem
espessura 3t e tensão de corte 3 .
Considerando o equilíbrio dos fluxos de corte no ponto N da secção
321 qqq ou 332211 ttt
O momento torçor total para a secção é igual à soma dos momentos torçores parciais das duas
células
21 21 22 mm AqAqT = )(221 2211 mm AtAt
Uma vez que o ângulo de torção será igual para ambas as células, temos
21
33223311
22 mm A
ss
G
L
A
ss
G
L
em que 1s , 2s e 3s , são os perímetros médios RSMN, NOPR, e NR, respectivamente. O sinal
negativo surge no último termo, por o sentido do fluxo de corte ao longo do troço NR ser
oposto ao dos restantes troços do perímetro.
1mA
2mA
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 25
Para a secção simétrica acima, os fluxos de corte são como representado. Em A, temos
321 qqq , mas devido a simetria 1q tem de ser igual a 3q , logo 02 q , i.e. numa secção
celular simétrica com paredes finas a alma central não ‘suporta’ fluxos de corte. Assim, sob o
ponto de vista de rigidez torcional da secção a alma central do perfil pode ser ignorada.
Nota: A rigidez torcional de uma secção é dada pelo produto G J ou G Jeq.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 26
2.7 Tensões e extensões de origem térmica
Quando a temperatura de um componente não constrangido é aumentada uniformemente,
desenvolvem-se extensões normais, dadas por
Tzyx .
onde é o coeficiente de dilatação térmica do material e T é a variação de temperatura em
graus. Desta forma o componente sofre um aumento de volume, sendo as distorções nulas:
0 xzyzxy
Se por exemplo uma barra estiver restringida nas extremidades e for submetida a um aumento
de temperatura uniforme, desenvolver-se-ão tensões axiais de compressão na barra, dadas por
ETE ...
Duma forma semelhante se uma placa plana estiver restringida nos quatro lados e igualmente
for submetida a um aumento de temperatura uniforme, desenvolve-se uma tensão de
compressão dada por:
1
.. ET
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 27
2.8 Tensões em reservatórios sujeitos a pressão interna
As paredes dos reservatórios esféricos ou cilindricos sob pressão, de paredes finas, actuam
como membranas.
No caso de um reservatório esférico de parede fina sujeito a uma
pressão interna p , com uma parede de espessura t e com um
raio médio r , se efectuarmos o equilibrio etático de uma secção
hemisférica, como ilustrado na figura, obtemos:
22 rprt
Logo a tensão de membrana na esfera será dada por:
t
rp
2
.
No caso de um cilindro fechado de paredes finas
sujeito a pressão interna, geram-se uma tensão
longitudinal l devida à acção dos fundos que
também estão sujeitos à pressão interna p e
também uma tensão tangencial h , que
constituem as tensões principais que actuam na
membrana cilíndrica.
A tensão longitudinal pode ser calculada efectuando
um corte através da parede cilíndrica, de forma
similar ao caso da esfera, obtendo-se para o
equilibrio estático do corpo livre:
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 28
22 rprtl
t
rpl
2
.
Para a obtenção da tensão tangencial, efectuamos o corte de um anel cilindrico de
comprimento dx ao longo do eixo longitudinal do cilindro, como representado na figura.
Efectuando o equilbrio estático do corpo livre assim obtido, temos:
dxrpdxth 22
ou
t
prh
As equações acima obtidas são válidas para reservatórios de paredes finas. Geralmente, um
reservatório sob pressão é considerado de paredes finas se tr 5 .
Nos reservatórios cilindricos espessos, sujeitos a pressão interna, em rigor desenvolvem-se
tensões radiais r e tangenciais t que podem ser calculadas através das seguintes
expressões, para um raio r genérico (fig. 2.6) :
2
2
22
2
1r
r
rr
pr o
io
iir e
2
2
22
2
1r
r
rr
pr o
io
iit
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 29
2.9 Efeito de tensões combinadas
Quando num dado ponto de um componente se combinam efeitos produzidos por várias
solicitações é corrente no caso de solicitações estáticas e materiais dúcteis, recorrer à tensão
equivalente dada pela teoria de Von-Mises Huber Hencky (critério de energia de distorção),
para comparar o respectivo estado de tensão com o estado de tensão uniaxial produzido por
um ensaio clássico de tracção:
)(3 222222xzyzxyxzzyyxzyxeq
eq - tensão equivalente
Para o caso de tensão plana, temos 0 xzyzz e então a expressão anterior pode ser
simplificada, obtendo-se:
222 3 xyyxyxeq .
Distribuição das
tensões tangenciais Distribuição das
tensões radiais
Fig. 2.6
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 30
2.10 Concentração de Tensões
Usualmente no desenvolvimento das expressões que permitem o cálculo de tensões nas
situações básicas de tracção, compressão, flexão e torção em componentes mecânicos admite-
se por simplicidade que não existem irregularidades na secção do componente em análise. Na
realidade na maioria dos componentes mecânicos, por necessidades construtivas, existem
sempre variações mais ou menos bruscas de secção, furos, rasgos, ressaltos, etc. Todas estas
descontinuidades na secção transversal modificam a distribuição de tensões na vizinhança da
descontinuidade e as tensões reais podem diferir significativamente das que tinham sido
calculadas. As zonas em que ocorrem estas descontinuidades são designadas por zonas de
concentração de tensões. O fenómeno de concentração de tensões é um fenómeno localizado.
Definem-se tK ou tsK como sendo os factores de concentração de tensões teóricos ou
geométricos, que relacionam as tensões máximas na descontinuidade e as tensões nominais,
expressos pelas equações :
0
max
tK e
0
max
tsK
sendo tK usado para tensões normais e tsK para tensões de corte. As tensões nominais 0 e
0 são as tensões calculadas admitindo uma distribuição uniforme e considerando a área da
secção efectiva.
Os valores de tK e tsK são calculados com base na geometria da descontinuidade em causa,
existindo tabelas para as situações mais usuais (vêr Apêndice I).
Para casos mais complexos, para os quais não existem tabelas adequadas, há usualmente
necessidade de efectuar cálculos mais rigorosos recorrendo, por exemplo, ao método dos
elementos finitos, através do qual há a possibilidade de modelizar com rigor a geometria do
componente e de obter a distribuição efectiva de tensões.
Os factores tK e tsK podem eventualmente não ser aplicados às tensões estáticas em
materiais dúcteis mas devem obrigatoriamente ser considerados em materiais frágeis ou com
baixa ductilidade, materiais fortemente encruados ou trabalhados a frio e materiais de alta
resistência:
0max tK e 0max tsK
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 31
Fig. 2.7 – Concentração de tensões devida a variações de geometria.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 32
2.11 Critérios de falha estática
Os critérios de falha permitem estimar a falha de componentes mecânicos e componentes
estruturais, em condições de carregamentos estáticos.
De entre as diversas teorias que têm sido propostas este texto aborda apenas as que são mais
comuns e aplicáveis a materiais isotrópicos. As principais teorias de falha, aplicáveis em
função do tipo de comportamento dos materiais em causa, i.e. dúcteis ou frágeis, estão
listadas na tabela seguinte:
Material Teorias de falha
Dúctil Critério da tensão de corte máxima, Critério de Von-Mises
Frágil Critério da tensão normal máxima, Teoria de Mohr
Todos os quatro critérios serão apresentados em termos das tensões principais. Assim, todas
as tensões devem ser previamente transformadas para as tensões principais antes a aplicação
destes critérios.
Critério da Tensão de Corte Máxima (Maximum Shear Stress Criterion)
O critério da tensão de corte máxima, também conhecido por critério de Tresca, é usualmente
utilizado para prever o início do regime plástico de materiais dúcteis.
A deformação plástica é usualmente causada pelo deslizamento de planos cristalinos ao longo
da superfície de tensão de corte máxima. Assim, um dado ponto de um material é considerado
estar em segurança, i.e. no domínio elástico, desde que a máxima tensão de corte nesse ponto
seja inferior à tensão limite de elasticidade σe obtida através de um ensaio de tracção uniaxial.
O critério da tensão de corte máxima, no caso bidimensional, requer que a diferença entre as
duas tensões principais seja inferior à tensão limite de elasticidade, σe ,
ee 21 , e e 21
Graficamente, o critério da tensão de corte máxima, requer que as duas tensões principais se
situem dentro da zona indicada abaixo,
σe
σe
-σe
-σe
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 33
Critério de Von Mises
O critério de Von Mises (1913), também designado por critério da energia de distorção
máxima, teoria da tensão de corte octaedral, ou teoria de Maxwell - Huber - Hencky - Von
Mises, é usado com muita frequência para estimar o início da deformação plástica em materiais
dúcteis.
O critério de Von Mises assume que a falha ocorre quando a energia de distorção atinge a
energia necessária para provocar a falha ou o início da deformação plástica num ensaio de
tracção uniaxial. Matematicamente, pode ser expresso utilizando a designada tensão
equivalente,
eeq 2
132
322
212
1
Se as tensões forem representadas num sistema de eixos x-y-z, não correspondente às direcções
principais, temos a equação alternativa
No caso de tensão plana, σ3 = 0, o critério de Von Mises reduz-se a,
Esta equação representa a elipse ilustrada na figura seguinte,
Como se mostra na figura, o critério da tensão de corte máxima (linha tracejada) é mais
conservativo que o critério de Von Mises, uma vez que aquele se localiza no interior da elipse
de Von Mises.
A equação anterior, para tensão plana, quando representada pelas tensões num sistema de eixos
x-y, pode ser colocada sob a forma alternativa,
.
exzyzxyxzzyyxzyxeq )(3 222222
eeq 2122
21
exyyxyxeq 222 3
σe
σe
-σe
-σe
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 34
Critério da Tensão Normal Máxima (Maximum Normal Stress Criterion)
O critério da tensão normal máxima, também designado por critério de Coulomb, é
usualmente utilizado para prever a falha de materiais frágeis.
O critério da tensão normal máxima assume que a falha ocorre quando a tensão principal
máxima atinge a tensão de rotura em tracção uniaxial σt, ou a tensão de rotura em compressão
uniaxial σc,
-σc < {σ1, σ2} < σt
onde σ1 e σ2 são as tensões principais bidimensionais.
Graficamente, o critério da tensão normal máxima requer que as duas tensões principais se
localizem dentro da zona representada na figura seguinte,
Teoria de Mohr
A teoria de falha de Mohr, também conhecida por critério de Coulomb - Mohr, é baseada no
círculo de Mohr. A teoria de falha de Mohr é usualmente utilizada para prever a falha de
materiais frágeis e aplicada a casos de tensões bidimensionais.
A teoria da falha de Mohr sugere que a falha ocorre quando o círculo de Mohr representativo
do estado de tensão num ponto excede os limites definidos pelas tangentes aos dois círculos
de Mohr correspondentes à tensão uniaxial de rotura em tracção σt e à tensão uniaxial de
rotura em compressão σc, como se representa na figura seguinte,
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 35
O círculo de Mohr representado no meio (linhas tracejadas) representa a máxima tensão
admissível para um estado de tensão intermédio. Todos os estados de tensão intermédios
podem ser classificados numa das categorias a tabela seguinte, onde em cada caso se define a
tensão máxima admissível para as duas tensões principais para evitar a falha,
Caso Tensões Principais Requisitos do critério de Mohr
1 Ambas em tracção σ1 > 0, σ2 > 0 σ1 < σt, σ2 < σt
2 Ambas em compressão σ1 < 0, σ2 < 0 σ1 > -σc, σ2 > -σc
3 σ1 em tracção,
σ2 em compressão σ1 > 0, σ2 < 0
4 σ1 em compressão,
σ2 em tracção σ1 < 0, σ2 > 0
Graficamente, a teoria de Mohr requer que as duas tensões principais estejam dentro da zona
representada na figura abaixo, onde também se representa o critério de tensão normal máxima
(linha tracejada),
A teoria da tensão normal máxima é menos conservadora que a teoria de Mohr.
121
ct
121
ct
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 36
3. Materiais para componentes mecânicos
Constitui uma tarefa do engenheiro a correcta avaliação das características mecânicas, físicas
e químicas que os materiais deverão apresentar para uma determinada aplicação, sendo de
fundamental importância considerar ainda outros factores como sejam: os custos de aquisição
e processamento, a disponibilidade dos materiais no mercado, os processos de fabrico a
utilizar, etc.
Os materiais metálicos e nomeadamente os aços e as ligas de alumínio têm sido claramente os
materiais mais utilizados em aplicações mecânicas, onde compromissos entre resistência
mecânica, rigidez, resistência à corrosão, necessidades de redução de peso, entre muitos
outros factores, têm de ser correctamente geridos pela engenharia. Deve referir-se que a
utilização de aços de elevado limite elástico em construção metálica, que se tem verificado
nos últimos anos, tem permitido importantes reduções de peso comparativamente com os aços
tradicionais, em aplicações de construção mecânica soldada. A utilização de ligas de alumínio
em aplicações aeronáuticas e navais tem permitido importantes reduções de peso
comparativamente com a utilização dos aços, para além de características interessantes como
a resistência à corrosão.
Recentemente os materiais compósitos reforçados com fibras têm vindo a ser crescentemente
utilizados em elementos críticos de aplicações estruturais onde a redução de peso constitui
uma necessidade importante, como são os casos da indústria aeronáutica e da indústria
automóvel. Exemplos marcantes na área da aeronáutica civil, são as aeronaves Boeing 787 e
Airbus A380 onde a percentagem de materiais compósitos avançados que são utilizados em
elementos estruturalmente críticos não tem qualquer paralelo com as aeronaves construídas
anteriormente. Na indústria automóvel, e em particular considerando a introdução de
motorizações híbridas e eléctricas, o peso adicional introduzido pelas baterias precisa de ser
compensado com reduções de peso nas carroçarias e assim a utilização dos materiais
compósitos tem sido crescente nesta indústria.
As duas figuras seguintes apresentam uma visão qualitativa das relações módulo de Young
versus massa específica e resistência mecânica versus massa específica para diversos
materiais e ligas.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 37
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 38
No Apêndice III inclui-se documentação variada e extractos de normas relativas a materiais
de uso mais generalizado em construção mecânica.
Aços:
No que se refere aos aços de construção de aplicação geral a norma mais comum é a NP EN
10025-2 (2007) que especifica as condições de fornecimento e as propriedades dos aços não
ligados laminados a quente. Os produtos definidos por esta norma têm uma correspondência
directa com a anteriormente utilizada DIN 17100, conforme a tabela abaixo.
A norma NP EN10025-3 (2009) define as condições técnicas de fornecimento de aços de
construção soldáveis, de grão fino, no estado normalizado/laminado normalizado (weldable
fine grain structural steels). A utilização deste tipo de aços reveste-se de fundamental
importância em aplicações estruturais soldadas altamente solicitadas susceptíveis de
funcionamento a baixas temperaturas para as quais é fundamental garantir valores elevados da
energia de rotura por choque (ensaio Charpy).
No que se refere aos perfis ocos de secção rectangular ou circular (vulgarmente designados
por RHS – rectangular hollow sections e CHS – circular hollow sections), a norma NP EN
10210-1 (1998) especifica as condições técnicas de fornecimento dos perfis ocos acabados a
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 39
quente de aços de construção não ligados e de grão fino (non-alloy fine grain structural
steels).
No que se refere aos aços de construção laminados a quente com alto limite elástico, a norma
NP EN 10025-6 (2004)+A1 (2009) define as condições de fornecimento de produtos planos
de aço de construção de alto limite elástico no estado temperado e revenido.
Também para estes materiais, a norma NP EN 10137-2 (1999) define as condições de
fornecimento e propriedades das chapas e placas de grandes dimensões de aços de construção
de alto limite de elasticidade, temperados e revenidos ou endurecidos por precipitação.
Ligas de Alumínio:
No que se refere às ligas de alumínio utilizadas em aplicações de engenharia, a norma NP EN
485-1(2008)+A1(2011) define as condições técnicas de inspecção e de fornecimento de
chapas, bandas e placas espessas de alumínio e suas ligas. A norma NP EN 485-2 (2011)
define as características mecânicas do alumínio e ligas de alumínio em chapas, bandas e
placas espessas.
A norma NP EN 573-1 (2008) define o sistema de designação numérica e composição
química e forma dos produtos trabalhados em alumínio e suas ligas. Importa mencionar a
codificação utilizada para ligas de alumínio para produtos trabalhados (extrusão; laminagem)
(diferente da que é utilizada para produtos vazados) em função dos elementos de liga
preponderantes:
Série 1XXX - essencialmente alumínio puro com um mínimo de 99%;
Série 2XXX - ligas com cobre;
Série 3XXX - ligas com manganés;
Série 4XXX - ligas com silício;
Série 5XXX - ligas com magnésio;
Série 6XXX - ligas com magnésio e silício;
Série 7XXX - ligas com zinco;
Série 8XXX - ligas com outros elementos.
A norma NP EN 573-2 (2009) define um outro sistema de designação baseado nos símbolos
químicos e composição química dos produtos trabalhados em alumínio e suas ligas.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 40
Por exemplo, as ligas 7068, 7075, 7040, 6061, 6063, 6056, 2024 e 5052 são utilizadas na
indústria aeronáutica e aeroespacial.
Na indústria naval utilizam-se essencialmente as ligas das séries 5XXX (magnésio) em
produtos laminados e as séries 6XXX (magnésio-silício) em perfis obtidos por extrusão,
sendo exemplo as ligas: 5052, 5059, 5083, 5086, 5183, 6061, 6063, 6005A, 6082.
Compósitos laminados reforçados com fibras:
Os materiais compósitos laminados reforçados com fibras, aliando uma elevada resistência
mecânica a uma baixa densidade, têm registado uma utilização crescente em componentes
estruturais críticos na indústria aeronáutica e também na indústria automóvel e naval. A
tabela seguinte inclui, a título indicativo, as principais propriedades mecânicas das principais
fibras de reforço utilizadas na indústria e a respectiva massa específica.
Reinforcement Fibers
Glass Fibers
Typical Properties E-Glass S-Glass
Density (g/cm3) 2.60 2.50
Young's Modulus (GPa) 72 87
Tensile Strength (MPa) 1720 2530
Tensile Elongation (%) 2.4 2.9
Aramid Fibers
Typical Properties Kevlar 29 Kevlar 49
Density (g/cm3) 1.44 1.44
Young's Modulus (GPa) 83/100 124
Tensile Strength (MPa) 2270 2270
Tensile Elongation (%) 2.8 1.8
Carbon Fibers
Typical Properties High
Strength
High Modulus
Ultra-High Modulus
Density (g/cm3) 1.8 1.9 2.0 - 2.1
Young's Modulus (GPa) 230 370 520 - 620
Tensile Strength (MPa) 2480 1790 1030 - 1310
Tensile Elongation (%) 1.1 0.5 0.2
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 41
A matriz dos materiais compósitos laminados, sendo a fase contínua do compósito que
assegura o posicionamento geométrico das fibras no laminado, protege as fibras de reacções
com o ambiente, transmite os esforços de uma fibra para outra, protege as fibras de efeitos
abrasivos ou mecânicos, etc. Cada tipo de matriz tem propriedades muito específicas,
salientando-se os três grupos seguintes:
Compósitos de matriz polimérica (PMC): a matriz polimérica (termoplástica ou termofixa)
contribui pouco para a resistência e rigidez do laminado. A matriz polimérica termofixa é
mais comum.
Compósitos de matriz metálica (MMC): a matriz metálica (Al, Ti) tem um efeito significante ,
mas não dominante, para a resistência mecânica e rigidez do laminado. Permitem uma boa
resistência a temperaturas elevadas e melhoram as propriedades transversais do laminado. As
matrizes metálicas tendem a reagir com as fibras comuns e requerem uma protecção para
resistir ao processamento.
Compósitos de matriz cerâmica (CMC): estas matrizes conferem uma contribuição dominante
para a resistência mecânica e rigidez do compósito. O papel da fibra em matrizes cerâmicas é
o de aumentar a tenacidade das cerâmicas. A incorporação das fibras na matrizes cerâmicas é
geralmente mais complexo que para as matrizes metálicas devido à superior temperatura de
fusão.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 42
Nota: Laminado com matriz de resina de Epoxy
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 43
4. Fadiga de componentes mecânicos
4.1 Tensões médias e tensões alternadas
Na obtenção por via experimental das propriedades mecânicas dos materiais (ensaios de
tracção uniaxial, por exemplo) as cargas são aplicadas gradualmente e as deformações
ocorrem lentamente. Estas condições são designadas por estáticas. Existem muitas situações
práticas em que as condições da carga se podem aproximar a um carregamento aplicado
gradualmente e em que as variações do nível de carga são relativamente pequenas.
No entanto, é bastante frequente que os componentes mecânicos estejam sujeitos a condições
em que o nível de carregamentos, e portanto as tensões, variam entre valores limite ao longo
do tempo (fig. 4.1), um número elevado de vezes (por exemplo um veio em rotação
submetido à acção de cargas de flexão). As cargas variáveis cíclicas, por exemplo, podem ser
classificadas da seguinte maneira:
a) carga alternada com minmax
b) carga repetida com 0min ou 0max
c) carga variável com ou sem inversão de carga
Qualquer carga variável pode ser interpretada como a soma de uma carga constante
2
minmax
m ( m - tensão média)
com uma carga alternada com amplitude dada por
2
minmax
a ( a - tensão alternada)
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 44
Fig. 4.1
4.2 Resistência à fadiga. Curvas SN
As cargas variáveis produzem efeitos totalmente diferentes dos provocados por cargas
estáticas. Verifica-se frequentemente que componentes mecânicos, sendo submetidos a cargas
do tipo atrás descrito, fracturam sem que as tensões alguma vez tenham ultrapassado a tensão
de rotura ou mesmo a tensão limite de elasticidade do material em causa. A característica
mais importante destas fracturas é verificarem-se após a aplicação de cargas variáveis,
repetidamente um elevado número de vezes e por isso são designadas por roturas ou fracturas
por fadiga.
Uma fractura por fadiga inicia-se normalmente pela formação de uma pequena fenda, não
observável a olho nu, especialmente em zonas de concentração de tensões, de defeitos
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 45
estruturais da peça ou de irregularidades na superfície causadas pelo processo de fabrico do
componente em causa. Quando a fenda aparece, o efeito de concentração de tensões aumenta
e a fenda propaga-se mais rapidamente. Como a secção resistente diminui, o nível de tensões
aumenta e pode subitamente atingir-se a rotura.
Uma fractura por fadiga é usualmente caracterizada por duas áreas distintas: uma primeira
devida ao desenvolvimento progressivo da fenda e a segunda correspondente à rotura súbita
apresentando um aspecto semelhante ao da rotura de um material frágil.
Designa-se por tensão limite de resistência à fadiga - n , a tensão variável máxima que
possa ser aplicada ''indefinidamente'' sem causar rotura do material em causa.
Para determinar a tensão limite de resistência à fadiga de materiais sujeitos a cargas variáveis,
realizam-se ensaios de fadiga, nos quais se utilizam provetes (fig. 4.2) que são submetidos a
cargas variáveis de valores especificados determinando-se o número de ciclos N, de inversão
das cargas até à rotura. O processo de determinação do valor da resistência à fadiga é de
natureza estatística, sendo necessário realizar um número elevado de ensaios, para diferentes
valores das cargas aplicadas. Os resultados destes ensaios podem ser apresentados num
diagrama Tensão vs. Número de ciclos (curvas SN). No caso dos materiais ferrosos e suas
ligas verifica-se que este diagrama se torna horizontal a partir de um determinado valor de N,
o que significa que para um certo valor máximo da tensão n , a rotura por fadiga não ocorre
por maior que seja o número de ciclos de carga aplicados ao provete (fig. 4.3).
Fig. 4.2
Na impossibilidade de se efectuarem ensaios de fadiga podem tomar-se os seguintes valores, a
titulo meramente indicativo, para o caso dos aços (ver fig. 4.4) :
rn 5.0 se r 1400 N/mm2
n 700 N/mm2 se r 1400 N/mm
2
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 46
Fig. 4.3 - Resistência à fadiga em função do número de ciclos N. Curva SN para carga
axial alternada para um aço Crómio-Molibdénio ( r = 800 MPa/ n = 338 MPa).
Definição de tensão limite de fadiga n .
Fig. 4.4 - Valores obtidos experimentalmente para n vs. r , para aços carbono,
aços de liga e ferros fundidos.
n
r
Ten
são
lim
ite
de
fa
dig
a
Número de ciclos N
Tensão de rotura MPa
Ten
são
lim
ite
de
fa
dig
a
M
Pa
6.0r
n
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 47
4.3 Factores de correcção da tensão limite de fadiga n
A tensão limite de resistência à fadiga, n refere-se ao caso do provete normalizado usado
no ensaio (fig. 4.2) . Quando se considera o caso real de um componente mecânico, a
correspondente tensão limite de fadiga pode ser consideravelmente inferior devido a um
conjunto de factores. Assim define-se a tensão limite de fadiga corrigida nc , para um
dado componente em estudo da seguinte forma:
nc = lk ak bk ck dk ek gk . n
sendo:
lk - factor de carregamento em fadiga
ak - factor de acabamento superficial
bk - factor de correcção de dimensão
ck - factor de fiabilidade
dk - factor de temperatura
ek - factor de correcção para concentração de tensões
gk - outros efeitos
nc - tensão limite de fadiga corrigida
Factor de carregamento lk
Quando se executam ensaios de fadiga com flexão rotativa, carga axial (tracção-compressão)
ou torção, as tensões limite de fadiga variam. Pode admitir-se a título meramente indicativo:
)1(59.0
85.0
1
Torção
Axial
Flexão
kl
(1) Usar apenas para torção pura. Para torção combinada com outras tensões, usa-se 1lk , e
a tensão será a tensão efectiva de Von-Mises.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 48
Factor de acabamento superficial ak
O valor de n é obtido para um provete com uma superfície polida. Para um componente
mecânico com um tipo de acabamento superficial diferente e dependendo da tensão de rotura
do material em causa, o factor de correcção ak pode ser obtido da fig. 4.5.
Fig. 4.5
Tensão de rotura r , GPa
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 49
Factor de correcção de dimensão bk
Os resultados dos ensaios de fadiga referem-se a uma provete com uma secção cilíndrica
mínima de Ø 7.5 mm. Quando se ensaiam provetes de maiores dimensões à flexão ou torção
alternada, verifica-se que o limite de resistência à fadiga é 10 a 15% inferior para provetes até
Ø 50 mm, chegando a ser 25% inferior para provetes com dimensões superiores a Ø 50 mm.
Na falta de valores mais precisos (fig. 4.6), ou em cálculos preliminares, pode-se admitir:
bk =
mmdmmsed
mmdse
2508189.1
81097.0
Para secções não circulares deve tomar-se para d a menor dimensão da secção da peça em
estudo.
Fig. 4.6
Diâmetro da peça , d (mm)
Eq. anterior
Teoria de Kuguel
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 50
Factor de fiabilidade ck
O factor de fiabilidade pretende tomar em consideração o carácter estatístico e portanto as
variações encontradas na tensão limite de fadiga obtida através de ensaios de fadiga num
mesmo material.
Fiabilidade % ck
50 1.0
90 0.897
95 0.868
99 0.814
99.9 0.753
99.99 0.702
99.999 0.659
Factor de temperatura dk
O factor de temperatura deverá ser obtido experimentalmente sempre que possivel e deverá
ser considerado sempre que se verifique o serviço a altas temperaturas. O factor de
temperatura aproximado, para cálculos preliminares, pode ser obtido através da tabela
seguinte:
Temperatura ºC dk
20 1.000
50 1.010
100 1.020
150 1.025
200 1.020
250 1.000
300 0.975
350 0.943
400 0.900
450 0.843
500 0.768
550 0.672
600 0.549
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 51
Factor de correcção para concentração de tensões ek
Ensaios de fadiga mostram que raramente se atinge o valor teórico de concentração de tensões
tK ou tsK , excepto para aços de alta resistência. Torna-se pois necessário utilizar um factor
de concentração de tensões à fadiga fK , que pode ser definido como:
entalhe com provete o para fadiga de limite
entalhe semprovete o para fadigadelimiteK f .
Os valores de fK , para diferentes casos de concentração de tensões, aparecem na literatura
relacionados com o factor teórico tK através do chamado Indice de sensibilidade ao
entalhe q :
1
1
t
f
K
Kq ou )1(1 tf KqK
O índice de sensibilidade ao entalhe q caracteriza a maior ou menor tendência que um
material tem para ser afectado pelo efeito de concentração de tensões e pode ser obtido pelo
diagrama da fig. 4.7 para aços e ligas de alumínio para situações de flexão alternada e cargas
axiais alternadas. Para situações de torção alternada deve ser obtido da fig. 4.8.
O factor ek será dado por f
eK
k1
.
O índice de sensibilidade ao entalhe para os ferros fundidos é muito baixo, variando desde 0
até 0.2 dependendo da tensão de rotura do material. Adoptando uma atitude conservadora
pode-se tomar q = 0.2.
Sempre que haja dúvidas sobre o valor de fK ou sobre o indice de sensibilidade ao entalhe q,
pode tomar-se fK = tK e adoptar uma solução segura.
( vêr no Apêndice I os valores para tK )
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 52
Fig. 4.7 - Índice de sensibilidade ao entalhe para situações de cargas axiais e flexão alternada.
Fig. 4.8 – Índice de sensibilidade ao entalhe para situações de torção alternada.
Ind
ice
de
sen
sibil
idade
ao e
nta
lhe
q
Raio do entalhe , r (mm)
Raio do entalhe , r (mm)
Ind
ice
de
sen
sib
ilid
ad
e a
o e
nta
lhe
q r
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 53
Outros efeitos gk
Pretende-se considerar neste factor gk todos os efeitos que não foram contemplados
anteriormente que possam de alguma forma alterar o valor de n . Alguns destes efeitos
poderão estar relacionados com a frequência de aplicação das cargas, o facto de existir
amplitude variável de cargas, efeitos devidos a corrosão, tensões residuais, etc.
4.4 Critérios de Cálculo à Fadiga
Vamos agora abordar alguns dos critérios para o cálculo de componentes mecânicos sujeitos a
fadiga. Trata-se de estabelecer leis que relacionem as tensões médias m e tensões
alternadas a correspondentes às tensões de serviço com as tensões características do
material nc e n (ou r ). Na fig. 4.9 estão representados graficamente os limites fora
dos quais se dá a rotura por fadiga, resultantes de extensas análises experimentais : Recta de
Goodman, Curva de Gerber, Recta de Soderberg.
Fig. 4.9
Tensão média m
r e
Tensão
alternada
a
nc
m
a
Goodman
Gerber
Soderberg
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 54
Estas curvas podem ser representadas pelas expressões:
Goodman
r
mnca
1
Gerber
2
1r
mnca
O critério de Soderberg é baseado na tensão limite de elasticidade e e é dado por uma
expressão equivalente à de Goodman, substituindo r por e :
Soderberg
e
mnca
1
A prática demostra que a maior parte dos resultados experimentais se situam entre a curva de
Gerber e a recta de Goodman. No entanto, dado que a recta de Soderberg permite uma
margem de segurança adicional, esta equação é normalmente preferida.
Aplicando um coeficiente de segurança n aos limites estabelecidos pela recta de Soderberg,
obtém-se a expressão :
nc
a
e
m
n
1 .
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 55
4.5 Critérios de acumulação de dano por Fadiga
Suponhamos que um dado componente mecânico é sujeito a uma tensão variável 1 para 1n
ciclos, 2 para 2n ciclos, etc. Nestas condições, o nosso problema consiste em estimar o
número de ciclos que o componente pode suportar em fadiga, ou estimar o factor de
segurança se o componente for projectado para vida infinita. Este problema ainda não foi
completamente resolvido. Assim as aproximações que se referem em seguida, devem ser
usadas apenas como indicação, ou para cálculos preliminares.
A teoria que tem maior divulgação e utilização, presentemente, para explicar o fenómeno de
acumulação de dano por fadiga, é a chamada Regra de Palmgreen Miner.
Matematicamente, esta teoria pode ser estabelecida da seguinte forma:
CN
n
N
n
N
n
i
i ...2
2
1
1
onde in é o número de ciclos de tensão i aplicados ao provete e iN é a vida estimada
correspondente à tensão i .
A aplicação desta regra ao estudo do comportamento à fadiga de um componente submetido a
um espectro de carga de amplitude variável implica que esses espectros possam ser
decompostos numa série de espectros parciais de amplitude constante. A cada espectro de
carga parcial pode associar-se uma curva S-N obtida experimentalmente.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 56
A constante C é determinada experimentalmente e usualmente está no intervalo
2.27.0 C . Muitos autores recomendam a adopção de 1C e então a equação anterior
pode ser escrita como:
1i i
i
N
n
Um critério de dimensionamento usualmente adoptado quando se usa a Regra de Miner é o
seguinte:
CN
n
N
n
N
n
i
i ...2
2
1
1
Se C > 1, então a rotura irá ocorrer no decurso da vida do componente e portanto é
fundamental que se tomem medidas no sentido de aumentar a resistência à fadiga.
Se C 1, então o componente tem a dimensão e forma adequadas para suportar o espectro de
carga previsto, possuindo uma vida residual estimada pelas expressões:
i
i
i
in
N
n
nresidualvida ou
C
Cni
1
Se a equação da regra de Palmgreen-Miner for tomada na sua forma puramente algébrica
verifica-se que não é relevante a ordem de aplicação dos ciclos de tensão, i.e. não seria
importante aplicar o ciclo 33 / Nn , antes do ciclo 11 / Nn , por exemplo. No entanto, a
experiência demonstra que a ordem de aplicação dos ciclos de tensões é de grande
importância na resistência à fadiga.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 57
De acordo com a regra de Palgreen-Miner, os ciclos de fadiga com níveis de tensão abaixo da
tensão limite de fadiga não provocam dano pois como nestes casos, Ni = , então a razão
ni /Ni 0. No entanto, na prática sabe-se que estes ciclos de fadiga podem contribuir para o
processo de propagação de uma fenda por fadiga e portanto aumentar o dano causado por
ciclos de fadiga para tensões acima do limite de fadiga.
Considerem-se as duas sequências aplicação das cargas cíclicas da amplitude variável:
Admita-se que no caso dos n2 ciclos a uma maior amplitude de tensão, se excede a tensão
limite de elasticidade do material. No caso da sequencia “HiLo”, ie com ciclos de maior
amplitude de carga aplicados primeiro, a plasticidade na extremidade do entalhe ocorre logo
no primeiro ciclo de maior amplitude, gerando-se tensões residuais de compressão que já
estão presentes no segundo ciclo a menor amplitude o que favorece a resistência à fadiga no
segundo bloco. Assim, a resistência à fadiga será superior no caso “HiLo”.
Isto é, a sequencia de aplicação dos ciclos de carga de amplitude variável tem um efeito
significativo para a resistência à fadiga. O efeito da sequência de aplicação dos ciclos de
cargas não é contemplado pela regra de Palmgreen-Miner.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 58
Considere-se ainda a seguinte situação:
Neste caso a tensão média é nula nos dois ciclos de carga de amplitudes de 200 MPa e 70
MPa. O primeiro ciclo de carga a uma tensão de 200 MPa, origina deformação plástica no
entalhe pois, com o efeito de concentração de tensões, o limite elástico é ultrapassado.
Existe uma diferença subtil existe entre os dois ciclos “HiLo”, fig. (b) e (c). No primeiro
caso, a ultima tensão imediatamente antes de se reduzir o valor da amplitude é positivo e
como tal deixa uma tensão residual de compressão no entalhe. Consequentemente uma maior
resistência à fadiga pode ser esperada para os ciclos de carga seguintes à tensão de 70 MPa.
No segundo caso passa-se o contrário, a tensão residual no entalhe será positiva. Estes efeitos
são ilustrados nos valores experimentais de n/N de 2.04 e 0.9, respectivamente.
Este efeito da plasticidade induzida pela sequência dos ciclos de carga, também não é tida em
consideração na regra de Palmgreen-Miner.
(b) (c)
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 59
Exemplo de aplicação da regra de Miner (Ref. 6)
Considere-se que uma determinada estrutura estava sujeita ao espectro de carga indicado
abaixo:
Tensões i
N/mm2
Número de ciclos
in
100
80
60
40
20
1105
2.5105
5105
1106
2106
Se na estrutura existir um componente cujo comportamento à fadiga (relação entre tensões
aplicadas e o número de ciclos até à rotura) é conhecido e se admite ser descrito pela equação
123 1063.0. N
Então podemos utilizar a regra de Miner da seguinte forma:
Tensões i
N/mm2
No. de ciclos
in
No. de ciclos até à
rotura iN
Fracção de vida
ii Nn /
100
80
60
40
20
1105
2.5105
5105
1106
2106
6.3105
1.23106
2.917106
9.844106
7.875107
0.1587
0.2033
0.1714
0.1016
0.02539
i
i
N
n
N
n
N
n ...
2
2
1
1 =
= 0.6604 = C
Dado que C < 1, o componente em causa seria adequado para suportar o espectro de carga
indicado.
Calculados através da expressão
anterior, i.e.
312 /1063.0 iiN
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 60
5. Introdução à Mecânica da Fractura Linear Elástica
5.1 Introdução
A resistência mecânica de um material, à tracção, deve ser explicada sob o ponto de vista
teórico, através das forças de interacção ao nível atómico. No entanto, devido à presença de
defeitos no material a resistência mecânica real é bastante menor do que a estimativa teórica.
Analise-se a figura abaixo que representa as forças interatómicas: dois átomos, ou um
conjunto de átomos, estão ligados entre si através de uma energia de coesão ou de ligação que
resulta de um equilíbrio entre as forças de atracção e repulsão entre os respectivos núcleos e
as nuvens electrónicas. Para a distancia de equilíbrio, xo, a energia potencial é mínima. A
ligação entre esses dois átomos, ou conjuntos de átomos, pode ser fracturada se for possível
quebrar as ligações interatómicas por acção de uma força externa capaz de vencer a energia de
coesão, ie. originando a fractura.
+ +
xo
BondEnergy
CohesiveForce
l
EquilibriumDistance xo
Pote
ntia
lE
ne
rgy
Distance
Repulsion
Attraction
Tension
Compression
Applie
dF
orc
e
k
BondEnergy
Distance
(energia de ligação)
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 61
Nenhuma estrutura está completamente livre de defeitos e mesmo a uma escala microscópica
esses defeitos actuam como factores de concentração de tensões que iniciam o processo de
propagação de fendas. A teoria da mecânica da fractura assume a existência de fendas e
desenvolve critérios para a propagação catastrófica dessas fendas. Assim, no projecto de
componentes mecânicos é fundamental ter em conta esses critérios.
Num componente sujeito a tensões, uma fenda pode propagar-se através de um do modos de
deformação indicados na figura abaixo, ou de uma combinação desses modos de deformação.
O Modo I representa uma propagação em tracção pura e os Modos II e III representam
propagações em corte nos planos x-y e x-z.
As fracturas mais comuns são devidas a fendas que se propagam através do Modo I e por esta
razão os materiais são normalmente caracterizados pela sua resistência à fractura neste Modo.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 62
Variações de energia em corpos com fendas
Assume-se que uma fenda só se propaga se a sua propagação corresponder a uma redução na
energia livre do sistema que compreende o corpo com a fenda e o mecanismo de carga
aplicada. O primeiro critério de fractura foi desenvolvido por Griffith. O seu modelo teórico
era baseado numa placa infinita com uma fenda de comprimento 2a sujeita a uma tensão
uniaxial .
Segundo Griffith, a condição de propagação da fenda seria
22
E
a
sendo - energia de superfície por unidade de área das faces da fenda.
Definindo um valor crítico de ac para uma dada tensão aplicada, ou um valor crítico de tensão
c para cada valor de a, pode-se escrever a seguinte equação para a designada tensão de
fractura:
2/1
2
c
fa
E
.
Quando uma fenda se propaga num corpo verifica-se
uma diminuição da sua energia potencial.
Griffith mostrou que se essa diminuição na energia
potencial for maior do que a energia requerida para
produzir novas superficies, resultantes da
propagação da fenda, então existirá, na globalidade,
uma redução da energia total do sistema e a fenda
propagar-se-á.
(vêr artigo: A Rational Analytic Theory of Fatigue –
Paris, Gomez e Anderson, 1961.)
b
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 63
5.2 Factores de intensidade de tensão
O critério de fractura de Griffith é um critério energético que ignora a distribuição de tensões
real na zona da extremidade da fenda. Uma abordagem alternativa foi desenvolvida por Irwin.
Irwin obteve expressões para as tensões na vizinhança da extremidade da fenda, em termos
das coordenadas polares ),( r :
2
3sin
2sin1
2cos
2
r
Ky
2
3sin
2sin1
2cos
2
r
Kx
2
3cos
2sin
2cos
2
r
Kxy
em que 0 yzxz e considerando condições de tensão plana: 0z , ou para o caso de
deformação plana: yxz .
O parâmetro K é designado por factor de intensidade de tensões e determina as tensões na
vizinhança da extremidade da fenda. Se basearmos o nosso critério de fractura no nível de
tensões na vizinhança da extremidade da fenda, então o valor de K vai determinar se a fenda
se propaga ou não. O factor K é então função das tensões aplicadas e do comprimento da
fissura.
Se se considerar mais do que um modo de deformação, então por vezes o parâmetro K inclui o
sufixo I, II, ou III correspondentes aos modos de deformação atrás referidos. No presente
texto vamos apenas considerar o modo de deformação I: KI ou simplesmente K.
Estado de tensões na extremidade de uma fenda
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 64
Para o modelo de Irwin, i.e. placa infinita com uma fenda central, o factor de intensidade de
tensão é dado por:
aK
Os componentes mecânicos têm dimensões finitas e normalmente as fendas propagam-se a
partir de uma superfície livre, mas para as regiões na vizinhança da extremidade da fenda,
verifica-se que as expressões apresentadas atrás para as tensões constituem uma boa
aproximação para o campo de tensões, se o factor de intensidade de tensões for modificado
através da expressão:
aYK
em que em que Y é um factor adimensional normalmente designado por função de
complacência que é um polinómio da razão a/W em que W é a largura não fissurada da placa
no plano da fenda.
É comum exprimir o factor K em quantidades directamente mensuráveis da carga aplicada P,
espessura da placa b e largura W. O efeito do comprimento da fenda é assim completamente
incorporado no factor Y:
YbW
PK
2/1
Na prática, os valores de K podem ser obtidos para diferentes casos de interesse prático.
(Ref.: Rooke & Cartwright – Compendium of Stress Intensity Factors).
Na tabela abaixo são apresentadas expressões para Y e K para os provetes de ensaio
laboratorial mais comuns (S.E.N., C.T.S., etc).
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 65
Nota sobre o efeito da concentração de tensões nas fendas
Uma interessante evidência quantitativa do efeito de concentração de tensões das fendas foi
efectuada por Inglis (1913), que estudou o efeito de fendas elípticas em placas. A análise de
Inglis incidiu em placas, com fendas elípticas de dimensão 2a x 2b, sujeitas a um estado de
tensão uniaxial perpendicular ao eixo maior da elipse, conforme ilustrado na figura abaixo.
Assumindo que a largura da placa é bastante superior à dimensão maior da fenda >> 2a e que
a altura é bastante superior à dimensão menor da fenda >> 2b, a tensão na extremidade do
eixo maior da fenda (ponto A) é dada por:
b
aA
21
É interessante notar a concordância quantitativa desta equação com o factor teórico de
concentração de tensões conhecido, para uma placa com um furo circular, ie. a=b, sujeita a
um estado de tensão uniaxial. Neste caso temos
3
21
b
aA , o que é consistente
com o gráfico reproduzido abaixo, para valores de r/d muito pequenos (consistente com uma
fenda numa placa suficientemente grande).
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 66
5.3 Tenacidade à fractura
Um possível critério de fractura pode ser baseado nas equações para as tensões elásticas na
vizinhança da extremidade da fenda. Dado que cada uma das componentes das tensões são
função do parâmetro K, o critério será baseado num valor crítico de K. Assim, a fenda
tornar-se-á instável quando K atingir um valor crítico ICK - factor de intensidade de tensões
crítico no modo de deformação I. ICK é também usualmente referenciado como tenacidade
à fractura.
A tenacidade à fractura é medida aumentando sucessivamente a carga aplicada a um provete
com um entalhe, com geometrias e condições de apoio idênticas aos da tabela anterior.
Quando o inicio de propagação da fenda é detectado então o valor da carga aplicada nesse
instante é usado para calcular o valor de ICK .
A tabela abaixo apresenta, a título meramente indicativo, alguns valores típicos de ICK para
vários materiais.
Material ICK MN/m3/2
Betão 0.1 – 0.15
Resina de Epoxy 0.5 – 2.0
Polimetilmetacrilato (PMMA) 2 – 3
Liga de Alumínio 2024-T851 23
Liga de Alumínio 7075-T7351 31
Aço AISI 4340 59
Titânio Ti-6Al-4V 111
Titânio Ti-6Al-6V 66
No caso de materiais frágeis o inicio de propagação da fissura é normalmente seguido por
uma fractura catastrófica, enquanto que os materiais dúcteis podem suportar um certo período
de propagação estável da fissura antes da fractura final.
No caso de um material idealmente frágil a energia de fractura é devida exclusivamente a
deformação elástica. No caso de um material elasto-plástico a energia de fractura é devida a
deformação elástica e deformação plástica na frente da fenda (como ilustrado nas figuras
seguintes).
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 67
Fractura frágil por clivagem
A tensão na extremidade da
fenda aumenta com 1/r.
Se a tensão for suficiente para
quebrar as ligações
interatómicas (resistência
ideal) dá-se a rotura por
clivagem.
Pouca energia é absorvida.
Fractura dúctil Se o material for dúctil,
forma-se uma zona plástica na
frente da fenda.
Verifica-se a nucleação de
defeitos como inclusões e
vazios que se propagam,
avançando de uma forma
dúctil, absorvendo energia no
processo
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 68
A maioria das soluções clássicas da Mecânica da Fractura, reduzem os problemas a duas
dimensões, ou seja, pelo menos uma das tensões ou deformações principais assume-se que
são nulas (tensão pana ou deformação plana, respectivamente).
Do ponto de vista da teoria da elasticidade uma placa sem fenda sujeita a uma tracção uniaxial
encontra-se num estado de tensão plana, ie as tensões perpendiculares ao plano são nulas
(z=0). No entanto, quando existe uma fenda, o material na zona da fenda é constrangido
pelo material envolvente com tensões mais baixas e são induzidas tensões na direcção da
espessura no interior da placa na zona da extremidade da fenda em condições de deformação
plana.
Assim, em geral as condições na frente da fenda, nem são de tensão plana nem de deformação
plana, mas são tridimensionais. A figura seguinte ilustra a variação das tensões e deformações
transversais (z) através da espessura, num ponto na vizinhança da frente da fenda.
Tensão plana na superfície
Deformação plana no interior
A figura ao lado, ilustra o efeito da
espessura, isto é, de se estar em
presença de condições de tensão
plana ou deformação plana, no valor
crítico de KI.
Um critério definido pela ASTM,
para estabelecer a fronteira entre as
condições de tensão plana e
deformação plana consiste no
seguinte: uma placa é dita “espessa”
se a espessura for superior ou igual
a: 2.5 (K/e)2, sendo e a tensão
limite de elasticidade do material.
ESPESSURA
TENSÃO PLANA DEFORMAÇÃO PLANA
KI CRITICO
FENDA DEF. PLANA
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 69
Quando a espessura é muito menor que: 2.5(K/e)2, a dimensão da zona plástica da
extremidade da fenda será comparável à espessura e a deformação plástica ocorre em planos
a 45, relaxando as tensões na direcção da espessura, de tal forma que toda a placa está num
estado de tensão plana.
5.4 Aplicação da mecânica da fractura ao estudo da propagação de fendas por fadiga
A fractura de componentes mecânicos ocorre muito frequentemente para níveis de tensões
muito distantes da tensão admissível de projecto. Os componentes mecânicos parecem
assumir uma maior probabilidade de falha quando a sua vida em serviço aumenta. Este
fenómeno, que como vimos atrás se designa por fadiga, envolve o crescimento de pequenos
defeitos até ao nível de fendas macroscópicas que se propagam até que o valor de KIC é
excedido e ocorre a fractura.
Uma das primeiras observações da fractura por fadiga foi que a amplitude da flutuação do
nível das tensões aplicadas teria uma maior influência, na vida em condições de fadiga, de um
dado componente, do que o nível das tensões médias. De facto, no limite se não existir
flutuação no nível de tensões então a fadiga não ocorre por maior que seja o nível das tensões
estáticas aplicadas.
A fractura por fadiga é geralmente considerada ser um processo em 3 fases, como indicado na
figura abaixo.
Fase I Fase II Fase III
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 70
A Fase I envolve a iniciação de uma fenda a partir de um eventual defeito e a sua
consequente propagação ao longo de uma orientação mais favorável na microestrutura.
Eventualmente a fenda tornar-se-á suficientemente grande para que a microestrutura tenha um
efeito reduzido na sua direcção de propagação e a mesma propagar-se-á aproximadamente
num plano normal à maior tensão principal aplicada, o que corresponde à Fase II de
crescimento da fenda, que tem atraído muita atenção por ser mais fácil de quantificar do que a
fase de iniciação.
Quando se começa a aproximar do valor de KIC , a velocidade de propagação da fenda
aumenta mais rapidamente e quando finalmente o valor de KIC é excedido, ocorre a fractura
final. Esta fase de propagação acelerada corresponde à designada Fase III.
A taxa de crescimento da fenda em fadiga é descrita em termos do aumento do comprimento
da fenda por cada ciclo de carga: dNda / , estando relacionada com a amplitude do factor de
intensidade de tensões K durante o ciclo. Se a amplitude das tensões aplicadas se mantém
constante, dado que a fenda se propaga, K aumenta. Estas condições produzem curvas de
taxa de propagação do tipo da que se mostra na figura seguinte, onde podem ser identificadas
3 zonas distintas correspondentes às 3 fases de propagação da fenda, descritas atrás.
Existe um valor mínimo de K abaixo do qual a fenda não se propaga - thK .
Para muitos materiais a fase II de propagação da fenda pode ser descrita pela denominada Lei
de Paris-Erdogan, que pode ser escrita sob a forma:
mKCdN
da
em que C e m são constantes. Normalmente os valores de m variam entre 2 e 7.
Esta relação muito simples pode ser usada para estimar a vida útil de um componente se a
amplitude de tensões se mantiver aproximadamente constante e se a dimensão máxima da
fissura for conhecida. Se a amplitude das tensões variar, então a taxa de propagação pode
afastar-se significativamente da Lei de Paris-Erdogan.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 71
A fase III é usualmente uma pequena fracção do processo de propagação de uma fenda em
fadiga e é usualmente desprezada na estimativa do número máximo de ciclos de carga.
Deve notar-se que, dado que estamos a usar K como parâmetro de controle, apenas os
materiais frágeis ou aqueles que apresentam uma baixa ductilidade (deformação plástica)
podem ser tratados por este processo. O tratamento das situações em que se verifica uma
significativa deformação plástica, sai fora do âmbito do presente texto.
Assim, o mecanismo de propagação da fenda em fadiga pode ser representado por um modelo
como o descrito esquematicamente na figura abaixo, originando o típico aspecto da fractura
por fadiga com as designadas “beach marks” características, como a que se ilustra para o caso
de um veio rotativo em aço.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 72
6. Introdução ao Fenómeno de Fluência
Fluência é a deformação plástica, dependente do tempo, que acompanha a aplicação de uma
tensão a um material. À temperatura ambiente, exceptuando os materiais com baixo ponto de
fusão, a maioria dos metais apresenta taxas de fluência extremamente baixas e o fenómeno
pode, nestes casos, ser ignorado. Com o aumento da temperatura, no entanto, a taxa de
fluência aumenta e para valores acima de cerca de 40% da temperatura de fusão do material
em causa o fenómeno da fluência torna-se muito significativo. Em aplicações de engenharia
com temperaturas elevadas, como turbinas, fornos, etc. as deformações provocadas pela
fluência podem ser muito importantes e devem obrigatoriamente ser consideradas no projecto.
6.1 A curva de fluência
A curva de fluência é determinada através de um ensaio realizado a temperatura e carga
aplicada constantes, sendo a deformação do provete registada ao longo do tempo. A duração
dos ensaios depende, entre outros factores, das tensões aplicadas e da temperatura, no entanto
são frequentes durações de pelo menos 2000 h, podendo atingir vários meses ou mesmo anos.
A inclinação da curva, i.e. taxa de deformação por unidade de tempo é designada por
velocidade de fluência - t / . A deformação inicial 0 ocorre instantaneamente com a
aplicação da carga no início do ensaio. Se eventualmente a tensão aplicada for muito elevada
poderá ocorrer desde logo uma deformação plástica. Apesar da deformação inicial não ser
uma deformação de fluência, pode no entanto ser significativa para muitas aplicações, uma
vez que normalmente constitui uma parcela importante da deformação total.
Numa curva típica resultante de um ensaio de fluência, normalmente identificam-se 3 zonas
distintas: I - Zona de fluência primária; II – Zona de fluência secundária; III – Zona de
fluência terciária.
Nota:
Al Cu Mg2 DIN 1712-1725
Nota:
Al Zn Mg Cu1.5 DIN 1712-1725
Exte
nsõ
es
Tempo t
Fractura
Velocidade de fluência
mínima
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 73
Zona de fluência primária
Verifica-se uma diminuição da velocidade de fluência com o tempo, i.e. a resistência à
fluência aumenta com a deformação, prevalecendo o efeito de encruamento.
Assim a velocidade de fluência inicial é elevada, mas rapidamente diminui para um valor
constante.
Zona de fluência secundária
A velocidade de fluência, como resultado de equilíbrio entre os efeitos contrários do
encruamento e dos mecanismos de libertação das deslocações, pode considerar-se
praticamente constante. O valor médio da velocidade de fluência durante o período
secundário designa-se por velocidade de fluência mínima e constitui um parâmetro importante
para efeitos de projecto. Sob condições de tensões crescentes a velocidade de fluência nesta
zona é dada por uma expressão do tipo: n
t
, em que e n são constantes.
Dado que usualmente as zonas primária e terciária ocorrem muito rapidamente, a zona
secundária é a que tem maior importância no projecto de componentes sujeitos a fluência.
Zona de fluência terciária
Verifica-se normalmente em ensaios de carga constante e para tensões e temperaturas
elevadas, sendo o resultado de instabilidades microestruturais e/ou mecânicas. Por exemplo,
defeitos de estrutura como microcavidades, separações de limites de grão e fissuração que
implicam reduções de secção localizadas a que correspondem tensões mais elevadas. Dado
que a velocidade de fluência depende da tensão, a deformação e velocidade de deformação na
proximidade do defeito aumentarão resultando num aumento do número e dimensão dos
defeitos microestruturais, contribuindo assim para acentuar a diminuição de secção e
aumentar a velocidade de deformação. Os defeitos microestruturais ou outras
heterogeneidades podem ainda actuar como pontos para início da estricção que se acentuará
progressivamente e rapidamente dará origem à rotura.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 74
A forma da curva de fluência para um dado material depende da temperatura de teste e do
nivel de tensões num dado instante, uma vez que estes são factores de importância
fundamental no processo de encruamento do material. Com o aumento da temperatura, a
velocidade de fluência, t / na zona secundária aumenta porque o encruamento diminui
como consequência de o processo de libertação de deslocações ocorrer mais facilmente.
A figura abaixo ilustra o efeito do aumento da temperatura e/ou das tensões aplicadas, na
forma da curva de fluência, verificando-se nestes casos, o aumento da velocidade de fluência
mínima na zona secundária, o encurtamento da zona de fluência secundária e o inicio mais
rápido da zona terciária.
Admite-se que a velocidade de fluência, na zona secundária, t / apresenta uma lei de
variação próxima da chamada equação de Arrhenius:
RTHeAt
/
em que H representa a chamada energia de activação para fluência para o material em teste, R
é a constante universal dos gases, T a temperatura absoluta e A é uma constante. Os valores
Efeito do aumento das
Tensões, mantendo a
temperatura constante
Efeito do aumento das
Temperaturas,
mantendo a Tensão
constante
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 75
de A e H assumem valores que estão relacionados com as tensões aplicadas, gama de
temperaturas e aspectos metalúrgicos do material em teste.
A velocidade de fluência, na zona secundária, t / , aumenta com as tensões aplicadas. A
relação é usualmente expressa sob a forma
n
t
em que e n são constantes. O valor de n varia usualmente entre 3 e 8.
As duas equações anteriores podem ser combinadas, obtendo-se
RTHn eKt
/
sendo K uma constante.
Em 1952, Larson e Miller propuseram um método que correlaciona a temperatura T (Kelvin)
com o tempo para ocorrência da rotura tr, em condições de tensão constante s. A equação
de Larson-Miller tem a seguinte forma
mCtT r )(log
onde C é uma constante que depende da liga, m é um parâmetro que depende da tensão
aplicada e tempo de rotura. Assim, se C é conhecido para uma determinada liga, o parâmetro
m pode ser obtido através de um teste. Com esta equação, pode estimar-se o tempo para a
rotura, para qualquer temperatura, para uma tensão aplicada constante.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 76
6.2 Relaxação de tensões
Até agora temos estudado o comportamento dos materiais em condições de tensão constante
em que se verifica o aumento das extensões podendo eventualmente verificar-se a rotura.
Existem no entanto, algumas situações importantes sob o ponto de vista de engenharia,
envolvendo por exemplo, parafusos de fixação de flanges em reservatórios sujeitos a pressão
operando a temperaturas elevadas, onde as extensões se podem admitir constantes e é
necessário calcular a redução nas tensões que podem eventualmente ocorrer ao fim de algum
tempo – problema real do desaperto, ao longo do tempo, de parafusos que trabalham a alta
temperatura.
Este processo de redução das tensões, que ocorre ao longo do tempo, sob condições de
extensão constante é designado por relaxação de tensões.
Considerem-se duas placas unidas por um parafuso sujeito a uma tensão inicial i e uma
extensão elástica inicial i dada por: Eii / (E – módulo de elasticidade).
A temperaturas elevadas e sob condições de fluência, este parafuso terá tendência a sofrer
uma extensão cuja taxa de variação com o tempo é do tipo
n
t
em que e n são constantes da equação da lei de comportamento correspondente à zona
secundária de fluência.
Para relaxação de tensões sob condições de deformação constante temos a seguinte expressão:
tnEni
n)1(
11
11
sendo :
- tensão instantânea
i - tensão inicial
t - intervalo de tempo .
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 77
BIBLIOGRAFIA
1. Mechanical Engineering Design, 1st Metric edition
Joseph Edward Shigley, McGraw-Hill Book Company, 1986
2. Mechanical Engineering Design, 8th
Edition
J. E. Shigley & C. R. Mischke, MacGraw-Hill Book Co., 2006
3. Fundamentals of Machine Elements, 2nd
edition
B. Hamrock, B. Jacobson and S. Schmid, McGraw-Hill Higher Education, 2004
4. Mechanics of Materials
Beer and Johnston, McGraw-Hill Book Company
5. Mechanical Metallurgy
George E. Dieter, McGraw-Hill Book Company, 1988
6. Fadiga de Estruturas Soldadas
C. Moura Branco, A. A. Fernandes, P. S. Tavares de Castro
Ed. Fundação Calouste Gulbenkian, 1986
7. Linear Elastic Fracture Mechanics for Engineers, Theory and Applications
L.P. Pook, WIT Press, 2000.
8. Mechanics of Materials
E. J. Hearn, Vol. 2, 1997.
9. A Rational Analytic Theory of Fatigue
P. C. Paris, M. P. Gomez, W. E. Anderson
The Trend in Engineering, Vol. 13, No. 1, 1961 (Univ. Washington)
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 78
APÊNDICE I
Factores Teóricos de Concentração de Tensões tK
Referencia: Shigley, Mishcke, Budynas – Mechanical Engineering Design
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Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 81
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 82
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 83
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 84
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 85
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APÊNDICE II
Propriedades geométricas de secções
Secções normalizadas de vigas
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Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 92
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 93
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 94
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APÊNDICE III
Materiais
Aços Estruturais
Ligas de Alumínio
Documentação diversa relativa a Materiais
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Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 99
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Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 102
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 103
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 104
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Steel C60
Chemical composition (weight %)
C Si Mn Cr Mo Ni V W Others
0.61 max.0.40 0.75 max.0.40 max.0.10 max.0.40 - - (Cr+Mo+Ni)=max.0.63
Designations by standards
Ravne RavneNo. JUS W.Nr. DIN EN AFNOR BS
C60 519 C1730 1.0601 C60 1C60 1C60 060A62
UNI JIS SIS GOST UNE ASTM CSN
C60 S58C - 60(G) - 1060 12061
Mechanical properties in the hardening and tempering condition:
Diameter (mm)
Yield strength (Rp0.2,N/mm2)
Tensile strength (N/mm2)
Elongation (Lo=5 x do, %)
Reduction of area (%)
up to 16 570 830 - 980 11 20
16 - 40 490 780 - 930 13 30
40 - 100 450 740 - 890 14 35
Mechanical properties in the normalized condition:
Diameter (mm)
Yield strength (Rp0.2,N/mm2)
Tensile strength (N/mm2)
Elongation (Lo=5 x do, %)
16 - 100 380 690 - 890 14
Physical properties (avarage values) at ambient temperature: Modulus of elasticity [10 exp(3) N/mm^2]: 210 Density [g/cm^3]: 7.85 Thermal conductivity [W/m.K]: 46.5 Electric resistivity [Ohm mm^2/m]: 0.127 Specific heat capacity[J/g.K]: no data Mean coefficient of thermal expansion between 20 C and ...C [in 10 exp(-6) m/(m.K)]:
100 C 200 C 300 C 400 C 500 C
11.1 12.1 12.9 13.5 13.9
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Steel properties vs. temperature
Description and application Quenched and tempered steel for heavy duty parts in machines, vehicles.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 110
Steel CK45
Chemical composition (weight %)
C Si Mn Cr Mo Ni V W Others
0.46 max.0.40 0.65 max.0.40 max.0.10 max.0.40 - - (Cr+Mo+Ni)=max.0.63
Designations by standards
Ravne RavneNo. JUS W.Nr. DIN EN AFNOR BS
CK45 620 C1531 1.1191 Ck45 C45E XC45 080M46
UNI JIS SIS GOST UNE ASTM CSN
C45 S45C 1672 45 F.1140-C45k 1045, 1042 12050
Hot forming temperature [C]: 1050 - 850 Annealing temperature [C]: 650 - 700 Hardness after annealing [HB]: 207 Normalizing temperature [C]: 840 - 870 Hardening [C]: 820 - 850, 830 - 860 Quenchant: water, oil Tempering [C]: 540 - 680 Mechanical properties in the hardening and tempering condition:
Diameter (mm)
Yield strength (Rp0.2,N/mm2)
Tensile strength (N/mm2)
Elongation (Lo=5 x do, %)
Reduction of area (%)
Impact strength (J)
up to 16* 340* 580 - 770* 17* - -
17 - 100* 305* 580 - 770* 17* - -
101 - 160*
275* 560 - 750* 15* - -
up to 16 500 700 - 850 14 35 30
17 - 40 430 650 - 800 16 40 30
41 - 100 370 630 - 780 17 45 30
Note: * - in normalized condition.
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Tempering diagram
Description and application Component parts for vehicles, shafts, bushings, crankshafts, connecting rods and parts for the machine building industry and steel for axes, knives, hammers, etc.
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 112
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Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 114
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 115
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 116
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 117
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 118
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 119
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 120
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 121
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 122
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 123
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 124
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 125
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 126
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 127
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 128
APÊNDICE IV
Flexão de vigas: Tabelas de Momentos Flectores, Esforços Transversos e
Deformações máximas para alguns casos tipo
Referência: Shigley, Mischke, Budynas – Mechanical Engineering Design
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 129
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 130
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 131
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 132
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 133
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 134
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 135
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 136
Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 137
APÊNDICE V
Factores KIC
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