View
182
Download
57
Category
Preview:
Citation preview
MATEMÁTICA
Editora Exato 18
P.A. E P.G. 1. SEQÜÊNCIA
1.1 Definição Define-se como seqüência a toda função f de R N em* que associa a um número ( )fDn ∈ um núme-
ro ( ) ( )fCDnf ∈ na forma ( ) nanf = . Em símbolos, temos: RN →*:f
nan →
a. Lei de formação É toda sentença matemática que expressa o va-
lor de an em relação a n. 1.3 Representação usual
� Seqüência finita: ( )n21 a,,a,a L . � Seqüência infinita: ( )LL ,a,,a,a n21
Exemplos: E.1) Expresse os 4 primeiros termos da se-
qüência n3na 2n −= .
Resolução:
4434a4n
0333a3n
2232a2n
2131a1n
24
23
22
21
=⋅−=⇒=
=⋅−=⇒=
−=⋅−=⇒=
−=⋅−=⇒=
Seqüência ( )L,4,0,2,2 −− E.2) Expresse os 5 primeiros termos da se-
qüência ( )
∈∀⋅=
==
+ *n,2aa
2aa
n1n
1n
N
Resolução 2 1
3 2
4 3
5 4
n 1 a a 2 2 2 4
n 2 a a 2 4 2 8
n 3 a a 2 8 2 16
n 4 a a 2 16 2 32
= ⇒ = ⋅ = ⋅ =
= ⇒ = ⋅ = ⋅ =
= ⇒ = ⋅ = ⋅ =
= ⇒ = ⋅ = ⋅ =
Seqüência: ( )2,4,8,16,32,L
2. PROGRESSÃO ARITMÉTICA
2.1 Definição Define-se como progressão aritmética a toda
seqüência ( )na , tal que:
( ) { { }
−∈∀+=
=
=
−−=
− 1,0n,Raa
aa
a
1nn aaR:Razão
1nn
1
n N
Podemos perceber, na forma acima, que a pro-gressão aritmética (PA) representa o conjunto de se-qüência em que um termo é a soma do termo anterior por uma constante, denominada razão (a partir do se-gundo termo).
2.2 Classificação Dada a progressão aritmética (PA)
( )LL ,a,,a,a n21 de razão r, essa seqüência pode ser classificada em:
� Crescente, quando sua razão r for positiva, ou seja, 0r > .
� Decrescente, quando sua razão r for negati-va, ou seja, 0r < .
� Constante, quando sua razão r for nula, ou seja, 0r = .
2.3 Termo Geral Na progressão aritmética ( )LL ,a,,a,a n21 po-
demos perceber que, ao escrevermos os termos da seqüência, a razão é somada ( )1n − vezes até a che-gada em an, usando tal fato podemos estabelecer que:
( )R.1naa 1n −+= , em que R representa a razão da Progressão Aritmética. 2.4 Propriedades
� Cada termo, a partir do segundo, representa a média aritmética entre o seu termo ante-cessor e o seu termo sucessor, ou seja,
{ }1,0n,2
aaa 1n1nn −∈∀
+= +−
N .
� Em uma progressão aritmética, se desta-carmos os termos pnmk a e a,a,a , tais que
pnmk +=+ , então os elementos gozam da propriedade abaixo:
( )pnmk seaaaa pnmk +=++=+ .
2.5 Representações especiais � Progressão aritmética de 3 termos. ( )Rx,x,Rx +− , PA de razão R. � Progressão aritmética de 4 termos. ( )R3x,Rx,Rx,R3x ++−− , PA de razão 2R. � Progressão aritmética de 6 termos. ( )R5x,R3x,Rx,Rx,r3x,R5x +++−−− , PA de ra-zão 2R.
2.6 Soma dos n primeiros termos da PA Como foi visto nas propriedades, a soma dos
pares de termos L,a e a,a e a,a e a 2n31n2n1 −− é constan-te. Logo, podemos estabelecer a relação abaixo.
S = a + a + a + … + a + a + a
S = a + a + a + … + a + a + a
1
1
2
2
3
3
n-2
n-2
n-1
n-1
n
n
n
n
nas colunas as somas são iguais
+
( ) ( ) ( ) ( )São n parcelas e devemos destacar que a escolha da parcelapara representação poderia ser outra, pois sao todas iguais
n 1 n 1 n 1 n 1 n2S a a a a a a a a= + + + + + + + +
%
L144444444424444444443
Editora Exato 19
( ) ( )1 n 2 n 1
n
a a .n a a .nS ...
2 2
−+ +
= = =
3. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
Define-se como progressão geométrica (PG) a toda seqüência ( )na , tal que:
( ) { { }−
= − ≠−
= ∈
= ⋅ ∀ ∈ −=
1
n n 1n
Razão: anq , an 1 0
an 1
a a
a a q , n 0,1a
R
N
Podemos perceber, na forma acima, que a pro-gressão geométrica (PG) representa o conjunto de se-qüências em que um termo é o produto do termo anterior por uma constante, denominada razão (a par-tir do segundo termo).
4. CLASSIFICAÇÃO
Dada a progressão geométrica (PG) ( )n21 a ..., ,a ,a de razão q, essa seqüência pode ser classificada em:
� Crescente, quando a1>0 e q>1 ou a1<0 e 0<q<1.
� Decrescente, quando a1>0 e 0<q<1 ou a1<0 e q>1.
� Constante, quando = ∈ ≠ =
1 1a 0 e q ou a 0 e q 1R � Alternante, quando 0q e 0a1 <≠ .
5. TERMO GERAL
Na progressão geométrica ( )n21 a ..., ,a ,a pode-mos perceber que, ao escrevermos os termos da se-qüência, a razão é multiplicada ( )1n − vezes até a chegada em an, usando tal fato podemos estabelecer que:
11.
n
na a q −= , em que q representa a razão da Pro-
gressão Geométrica.
6. PROPRIEDADES
� Cada termo, a partir do segundo, representa a média geométrica entre seu termo ante-cessor e seu termo sucessor, ou seja,
{ }1,0n aaa ,1n1n2n −∈∀⋅= +− N .
� Em uma progressão geométrica, se desta-carmos os termos pnmk a e a,a,a , tais que
pnmk +=+ , então os elementos gozam da propriedade abaixo:
a a a a (se k m n p)k m n p⋅ = ⋅ + = + .
7. REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS
� Progressão geométrica de 3 termos.
xq,x,
q
x , PG de razão q.
� Progressão geométrica de 4 termos.
3
3xq,xq,
q
x,
q
x , PG de razão q2.
� Progressão geométrica de 6 termos.
53
35xq,xq,xq,
q
x,
q
x,
q
x , PG de razão q2.
8. SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DA
PG
Indicaremos por Sn a soma dos n primeiros termos da progressão geométrica ( )n21 a,,a,a L , de ra-zão q.
( )−
⋅
= + + + + + ⇒
⋅ = + + + + +
L
L
n 1 2 3 n 1 n
n 2 3 4 n n q
S a a a a a (I) xq
q S a a a a a (II)
Equação I – II, temos:
⋅− = −n n 1 nS qS a a q , escrevendo an em relação ao termo a1 e a razão.
− = −
−≠ =
−
nn 1
n1
n
S (1 q) a (1 q )
a (1 q )Se q 1, então S .
1 q
Para q =1, encontramos 1n anS ⋅= , pois a PG é constante e todos os elementos são iguais a a1.
9. LIMITE DA SOMA
Se uma PG infinita satisfaz a condição 1q < ,
então a soma de seus elementos tenderá para um va-
lor limite dado por: q1
aS 1
−= .
10. PRODUTO DOS N PRIMEIROS TER-
MOS DE UMA PG
O produto dos n primeiros termos da PG ( )n21 a ..., ,a ,a é dado por:
nn1
2n )aa()P( ⋅= ou 2
)1n(n
n1n qaP
−
⋅=
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 Na progressão aritmética ( ),...10,7,4,1 escreva o 10º e o 20º termo.
Resolução: I) ( ) R110aa 110 ⋅−+=
28a
391a
10
10
=
⋅+=
II) ( )
58a
3191a
R120aa
20
20
120
=
⋅+=
⋅−+=
Editora Exato 20
2 Na PA ( )x,5,2 , determine x. Resolução Usando a propriedade da média, temos:
8x10x22
x25 =⇒=+⇒
+= .
Na seqüência finita { { { { { { {
7654321 aaaaaaa
37,31,25,19,13,7,1 po-
demos perceber que: 1 5 3 3 2 4a a a a a a 26.+ = + = + = ob-serve que, para a soma de índices iguais, podemos afirmar que a soma dos elementos correspondentes são iguais.
3 Na progressão geométrica (1,2,4,8,16,...) escreva o 10º e o 20º termo.
Resolução: I) 10 1
10 1a a q −
= ⋅
910
11010
2a
21a
=
⋅=−
II) 19
20
1920
120120
2a
21a
qaa
=
⋅=
⋅=−
4 Na PG (2,4,x), determine x. Resolução: Usando a propriedade da média, temos:
8xx242=⇒⋅= .
E.2) Na seqüência finita
{ { { { { {
3217654321 aaaaaaa
1458,486,162,54,18,6,2 podemos perceber que:
324aaaaaa 423351 =⋅=⋅=⋅ . Observe que, para a soma de índices iguais, podemos afirmar que o produto dos elementos correspondentes são iguais.
5 Determinar o sétimo termo da seqüência definida
por n
2n 7a
7
+=
Resolução:
n
2n 7a
7
+= - an termo geral.
Definir o 7º termo ( )7 ?a =
7
2.7 7 14 7 213
7 7 7a
+ += = = =
6 (ITAJUBÁ) Dada a progressão (5, 8, 11, ...), de-termine 0 21.° termo: Resolução:
a21=? Fórmula do termo geral:
( )
( )
1
21
21
1 .
5 21 1 .
5 20.3 65
na a b r
a r
a
= + −
= + −
= + =
11 8 3r = − =
EXERCÍCIOS
1 (PUC-SP) O número de múltiplos de 7 entre 1.000 e 10.000 é: a) 1280 b) 1284 c) 1282 d) 1286 e) 1288
2 (MACK-SP) Calcular a razão de uma P.A> de 12 termos, cujos extremos são–28 e 60. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
3 (MACK-SP) Numa progressão aritmética de 100 termos, 3a 10= e 98a 90= , a soma de todos os termos é: a) 10.000 b) 9.000 c) 4.500 d) 5.000 e) 7.500
4 (UFPR) A soma de todos os números inteiros de 1 a 100, divisíveis por 3, é igual a: a) 1382 b) 1200 c) 1583 d) 1683 e) 1700
5 (BANDEIRANTES-SP) O valor do 22.° termo de uma P.G. que tem 1a q 2= = é:
a) 512 2 b) 1024 c) 1024 2 d) 2048 e) 2048 2
Editora Exato 21
6 (UGF-RJ) Em uma P.G., o primeiro termo é 4 e o quinto termo é 324. A razão dessa P. G. é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) ½
7 Qual o primeiro termo da P. G. crescente em que 3a 24= e 7a 384?=
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
8 (FGV-SP) A média aritmética dos seis meios ge-ométricos que podem ser inseridos entre 4 e 512 é: a) 48 b) 84 c) 128 d) 64 e) 96
9 (UFRJ) Numa P. G., 1a 3= e 3a 12= , a soma dos oito primeiros termos positivos é: a) 765 b) 500 c) 702 d) 740 e) Nenhuma.
10 (CESCEA-SP) A soma dos termos de uma P. G. infinita 3. Sabendo-se que o primeiro termo é i-gual a 2, então o quarto termo dessa P.G. é:
a) 2
27
b) 1
4
c) 2
3
d) 1
27
e) 3
8
11 (FEI-SP) Dada a progressão geométrica (1, 3, 9, 27, ...), se sua soma é 3280, então ela apresenta: a) 9 termos. b) 8 termos. c) 7 termos. d) 6 termos. e) 5 termos.
12 (UFSC) Sabendo que a seqüência (1 3x, x 2,2x 1)− − + é uma P. A. e que a seqüência
(4y,2y 1, y 1)− + é uma P.G., determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verda-deiras(s): 01) A P.A. é crescente.
02) O valor de y é 1
8.
04) A soma dos termos da P. A. e zero.
08) 3
2− é a razão da P. G.
16) O valor de x é 2.
GABARITO
1 D
2 D
3 D
4 D
5 D
6 A
7 D
8 B
9 A
10 A
11 B
12 31
Recommended