Prof.: Joni Fusinato joni.fusinato@ifsc.edu.br...

Probabilidade em espaços discretos

Prof.: Joni Fusinato

joni.fusinato@ifsc.edu.br

jfusinato@gmail.com

Definições de Probabilidade

Experimento

Espaço Amostral

Evento

Operações entre eventos

Probabilidade em espaços discretos

Probabilidade

Probabilidade

• Estudo da aleatoriedade e incerteza.

• Quantificação do conhecimento que temos sobre um determinado evento.

• Utiliza métodos para quantificação das chances associadas aos diversos resultados.

Exemplo: probabilidade de chover é de 90%O que isso significa? Isso traduz a quantidade de informação que uma pessoa tem sobre esse evento.

90%

Tipos de Fenômenos

DeterminísticosO resultado é sempre o mesmo.

ProbabilísticosResultado incerto e variável

Experimento Aleatório

• Fenômenos aleatórios podem conduzir a diferentes resultados.

• Mesmo em condições iniciais iguais o resultado é imprevisível.

Exemplos:• Lançamentos de moedas honestas• Lançamento de dados• Retirada de cartas de baralhos• Vida útil de componentes eletrônicos e mecânicos.

Experimento Aleatório

• Características:

• Os possíveis resultados são conhecidos (probabilidades).

• O resultado final é imprevisível.

• Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob asmesmas condições.

• Quando o experimento for repetido um grande número devezes e houver regularidade na explicação desse fenômeno, épossível estruturar um modelo matemático probabilístico.

Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimentoaleatório. O espaço amostral é equiprovável quando todos os elementos

têm a mesma chance de ocorrer.

1. Lançamento de um dado. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Tipo sanguíneo (Rh+) S = {A, B, AB, O}

3. Hábito da leitura. S = {leitor, não leitor}

Exemplos:

4. Lançamento de uma moeda S = {cara, coroa}

Espaço Amostral (S ou )

Notação: evento A, B, C, ...Evento impossível: Φ (Conjunto vazio)Evento certo: S ou Ω

Eventos:

A: sair face par A = {2, 4, 6} B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6} C: sair face 1 C = {1}

A, B e C são subconjuntos de S

Eventos: subconjuntos do espaço amostral

Exemplo: Lançamento de um dado.Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Curiosidade: Viagem tripulada a Lua com sucesso

+ 8 meses de trabalho

Como podemos calcular essa probabilidade sem nunca ter realizado esse experimento antes?

Eventos Elementares

Trabalhar com informações de ocorrências de eventoselementares.

Operações entre

Eventos

União

Intersecção

Mutuamente exclusivos

Complementar

União

S

BA

Intersecção

S

BA

Complementar

Mutuamente Excludente

Evento União: ocorre ao menos um de dois eventos possíveis. Ex: Seja A = {2, 4} o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado ser par e menor ou igual a 4, e seja B = {4, 6} o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um segundo dado ser par maior ou igual a 4. Então C = {2, 4, 6}. O evento contém todos os elementos de A e B.

Evento intersecção: contém apenas os elementos comuns a A e B. Ex: seja A = {2, 4} o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, par e menor ou igual a 4, e seja B = {4, 6}, o evento de ocorrência da face superior, par e maior ou igual a 4. Então C = {4} representa o evento de ocorrência da face 4 ao mesmo tempo no conjunto A e B.

Evento Complementar: seja A = {1, 3, 5} o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número ímpar, o seu evento complementar é B = {2, 4, 6} ou seja, são todos os elementos do espaço amostral que não estão contidos em A.

Eventos mutuamente exclusivos: ocorrem quando dois ou mais eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo. Ex: jogar uma moeda e obter cara e coroa ao mesmo tempo.

1) No lançamento de um dado, o espaço amostral é E = {1,2,3,4,5,6}.

Considere os eventos:

O resultado é um número ímpar: A = {1,3,5}; O resultado é um número primo: B = {2,3,5}; O resultado é maior que 4: C = {5,6}.

Qual é o evento complementar de C?

a) {1,2,3,4}b) {5,6}c) {1,2,3,4,5,6}

Quizz

A

O que é Probabilidade?

a) Medida da ocorrência de um evento.

b) Medida baseada em registros de experiências passadas sobre a ocorrência de um evento.

c) Medida da informação sobre a ocorrência de um evento.

d) Nenhuma das anteriores

Definições de Probabilidade

Clássica:p = probabilidadem = resultados favoráveisn = resultados possíveis

Para eventos igualmente prováveis o número de resultados possíveis segue o Princípio Fundamental da Contagem que define -se como sendo o produto de duas ou mais etapas independentes

Exemplo 2: Lança-se um dado honesto. Qual a probabilidade de sair um número maior do que 4?

Casos favoráveis: 2 (5 ou 6)

Casos possíveis: 6 (1, 2, 3, 4, 5 e 6)

Atividade 1

Uma campanha de marketing feita por uma concessionária prometedar o veículo da promoção de presente se a chave escolhida ao acasopelo cliente na hora do test drive ligar o mesmo. Calcule aprobabilidade de você ser o sortudo supondo que a chave premiadaesteja nesta loja. Na hora da escolha você deve optar por uma únicachave dentre as 300 chaves que estão na caixa.

Atividade 2

Uma caixa tem 500 leds e todos estão apagados. Desses 20 sãodefeituosos. Qual a probabilidade de você escolher um led ao acasocom defeito? E sem defeito?

Desafio

Considere a sequência de 3 algarismos distintos formada pela permutação dos números 7, 8 e 9: S = 789, 798, 879, 897, 978, 987

Escolhendo aleatoriamente um número do espaço amostral (S), qual a probabilidade dele ser:

a) Ímpar? b) Par? c) Múltiplo de 4? d) Maior que 780?

66% 33% 0% 100%

a) Evento A: ser ímpar A = 789, 879, 897, 987 casos favoráveis = 4

b) Evento B: ser par B = 798, 978 casos favoráveis = 2

c) Evento C: ser múltiplo de 4 C = casos favoráveis = 0

d) Evento D: ser maior que 780 D = S casos favoráveis = 6

4 2P 0,66 66%6 3

2 1P 0,33 33%6 3

0P 0 0%6

6P(D) 1 100%6

S = 789, 798, 879, 897, 978, 987 n(S) = 6

Casos não equiprováveis

Definição Clássica

Pouco usada na Engenharia

Definições de Probabilidade

Frequencialista: Probabilidade = limite da frequência relativa.

p = probabilidadem = número de vezes que o evento ocorreun = número de experimentos

Número de experimentos for razoavelmente grande

Definições de Probabilidade

Axiomática

P(E) ≥ 0

P(S) = 1

P(E U F) = P(E) + P(F)

E e F são eventos mutuamente excludentes

Embora a definição axiomática não diga como calcular umaprobabilidade ela nos permite desenvolver toda uma teoria arespeito da probabilidade assim como desenvolver uma série depropriedades que permitem o cálculo da probabilidade de eventoscomplexos a partir de eventos elementares

Definições de Probabilidade

Subjetiva: depende da avaliação pessoal

Adotada quando não tenho outra forma de atribuir a probabilidade

Exemplo: Sucesso do Governador

Depende da avaliação do comentarista

Estimativas, conceitos prévios e informações de cada um.

Probabilidade de um avião cair

S = {avião cair, avião não cair}Definição clássica: P = 50%

Probabilidade de um avião cair

Aplicável quando o número de experimentos tendem ao infinito.

Frequencialista

Probabilidade de um avião cair

Combinação de eventos elementares

Axiomática

Probabilidade de um avião cair

Subjetiva

Definições de Probabilidade

Clássica: se os casos possíveis são equiprováveis.

Frequencialista: se tiver um histórico.

Subjetiva: de acordo com o meu nível de informações.

P = 0,5 = 50%

E se a moeda estiver “viciada” e ainda assim eu quero saber a probabilidade de sair coroa, como fazer?

Experimento

Posso utilizar a definição frequencialista.Realizar grande número de experimentos.Nesse caso a definição axiomática não ajuda.

ExperimentoLancei a moeda. Saiu o resultado mas eu tampo a moeda antes de ver o resultado, ou seja o evento já ocorreu... Eu tenho o resultado mas ainda não vi.

Qual a probabilidade de ter saído coroa?

P = 0 ou 1

Mas para mim é como se eu não tivesse jogado a moeda.

P = 0,5. Resultado desconhecido

ExperimentoImagine agora o mesmo experimento com duas pessoas: lanço amoeda e uma pessoa é capaz de verificar o resultado e a outra não.E faço a mesma pergunta: qual a probabilidade de sair coroa?

A pessoa que temacesso a informaçãovai dizer P = 0 ou 1

ExperimentoImagine agora o mesmo experimento com duas pessoas: lanço amoeda e uma pessoa é capaz de verificar o resultado e a outra não.E faço a mesma pergunta: qual a probabilidade de sair coroa?

A pessoa que não temacesso a informação vaidizer P = 0,5

O que é Probabilidade?

a) Medida da ocorrência de um evento.

b) Medida baseada em registros de experiências passadas sobre a ocorrência de um evento.

c) Medida da informação ou crença sobre a ocorrência de um evento.

d) Nenhuma das anteriores

É a medida de informação ou crença sobre a ocorrência do evento.

Eventos Complementares

Um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe a relação:

p + q = 1

Exemplo: Se a probabilidade de um evento ocorrer é p = 1/5, a probabilidade de que ele não ocorra é de 4/5

p + q = 11/5 + q = 1q = 1 -1/5q = 4/5

Em um lote de 30 peças, 6 são defeituosas. Sendo retirada uma peça desse lote:

a) Qual a probabilidade da peça ser defeituosa?

b) Qual a probabilidade da peça não ser defeituosa?

a) p = 6/30 = 1/5 = 20%

b) p = 1 – 1/5 = 4/5 = 80%

Probabilidade da União de Eventos

• Para determinar a possibilidade de ocorrer um evento A ou umevento B, calculamos a probabilidade da união desses dois eventos.

• Para que ocorra a união de dois eventos teremos o mesmo espaçoamostral, logo duas situações serão possíveis da união de A comB (A U B):

A ∩ B = Ø

Eventos mutuamente excludentes

p(A U B) = p(A) + p(B)

Eventos não excludentes

A ∩ B ≠ Ø

p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)

Probabilidade da União de Eventos

p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)

Exemplo 1:

No lançamento de um dado, qual a probabilidade do número obtido ser múltiplo de 2 ou de 3?

Múltiplos de 2: A = {2, 4, 6}

Múltiplos de 3: B = {3, 6}A ∩ B ≠ Ø

p(A U B) = 3/6 + 2/6 – 1/6

p(A U B) = 4/6 = 2/3 = 66,67%

Probabilidade da União de Eventos

p(A U B) = p(A) + p(B)

Exemplo 2:

No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter o número 3 ou 4?

Evento A = {3}

Evento B = {4}A ∩ B = Ø

p(A U B) = 1/6 + 1/6

p(A U B) = 2/6 = 1/3 = 33,33%

ou

Probabilidade da Intersecção de Eventos

Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades da realização dos dois eventos.

P (A B) = p(A) x p(B)

Exemplo: No lançamento de dois dados qual a probabilidade de tirar 2 no 1º dado e 5 no 2o dado?

p = p1 x p2p = 1/6 . 1/6P = 1/36 = 2,78%

Quizz

C

1) Dois dados não viciados são lançados simultaneamente. Considere os eventos:

A = {cair a face com o número 6 no 1º dado} e

B = {cair a face com 1, 2 ou 3 no 2º dado}.

Calcule a probabilidade da intersecção entre os eventos A e B.

a) 1/3

b) 1/6

c) 1/12

Quizz

A

1) Uma urna possui 5 bolas azuis e 3 bolas verdes. Ao retirar 2bolas com reposição, calcule a probabilidade de ambas seremazuis.

a) 25/64 ou 39%

b) 9/64 ou 14%

c) 4/5 ou 80%

De dois baralhos com 52 cartas cada um retiram-se,simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta dosegundo. Qual a probabilidade da carta do 1º baralho ser um rei e ado 2º ser o 5 de copas?

1º Baralho

P1 = 4/52 = 1/13

2º Baralho

P2 = 1/52

P = p1 x p2

P = 1/13 . 1/52 = 1/676

P = 0,15%

Quizz

Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna Bcontém: 5 bolas brancas, 2 pretas e 1 verde; uma urna C contém: 2 bolasbrancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é aprobabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceiraurnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?

1º urna (A)

P1 = 3/9 = 1/3

2º urna (B)

P2 = 2/8 = 1/4

P = p1 x p2 x p3

P = 1/3 . 1/4 . 4/9 = 1/27

P = 3,70%

3º urna (C)

P3 = 4/9

De um baralho com 52 cartas qual a probabilidade de tirar um Ás ou um rei de ouro?

P1 = 4/52 = 1/13

P2 = 1/52

P = p1 + p2

P = 1/13 + 1/52 = 5/52

P = 9,62 %

Quizz

Probabilidade de Eventos Complementares

• A e B são eventos do mesmo espaço amostral S.

• Se: A e B são complementares.

P(A) + P(B) = 1 ou seja: P(B) = 1 – P(A)

Exemplo 1: No lançamento de dois dados qual a probabilidade de não sair a soma 4?

n(S) = 6.6 = 36Evento A: sair Soma 4(1,3); (3,1); (2,2)

A B = e A U B = S

P(A) + P(B) = 1P(B) = 1 – P(A)P(B) = 1 – 3/36 = 33/36 = 11/12P(B) = 91,67%

Probabilidade de Eventos Complementares

Exemplo 2: Lanço uma moeda 3 vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de sair ao menos uma cara?

n(S) = 2.2.2 = 8Evento A: não sair cara (K, K, K)Evento B: sair ao menos uma cara

P(A) + P(B) = 1P(B) = 1 – P(A)P(B) = 1 – 1/8 = 7/8P(B) = 87,50%