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Modelos de Probabilidade
• Utilizados para descrever fenômenos ou situações queencontramos na natureza, ou experimentos por nósconstruídos.
• São expressos por uma família de distribuições de probabilidadeque dependem de um ou mais parâmetros.
• O modelo deve representar, na medida do possível, acomplexidade que envolve o mundo real da população emestudo.
Distribuição de Probabilidade
• São modelos matemáticos que relacionam um valor da variávelem estudo com a sua probabilidade de ocorrência.
• Há dois tipos de distribuição de probabilidade:
• Distribuições Discretas: quando a variável que está sendomedida só pode assumir certos valores como números inteiros.
• Distribuições Contínuas: quando a variável que está sendomedida é expressa em uma escala contínua.
Distribuição Discreta de Probabilidade
Modelo de Bernoulli
Modelo Binomial
Modelo de Poison
Modelo de BernoulliO que as perguntas abaixo têm em comum?
• Diminuirão os casos de dengue no próximo ano? • Haverá uma alta do trigo este ano? • Uma moeda lançada vai dar coroa?
Probabilidade de sucesso: pProbabilidade de fracasso: q = 1 - p
Onde o parâmetro 0 ≤ p ≤ 1 é a probabilidade de sucesso.
O tipo de resposta: Sim ou Não
Modelo de BernoulliExemplo: Considere o lançamento de um dado e a ocorrência de um número superior a 2 em cada lançamento.Defina e determine a probabilidade de sucesso em cada lançamento.
A probabilidade de sucesso é p = 4/6 = 2/3 x = 1, sucessox = 0, fracasso
Modelo Binomial
Considere agora as seguintes perguntas:
– Quantas vezes vão ocorrer casos de dengue no próximo ano? – Quantas vezes vai haver uma alta do trigo nos próximos 20 anos? – Se lançarmos uma moeda 5 vezes, quantas vezes teremos cara?
Muitas vezes, não queremos saber apenas se algo ocorre ou não. Queremos saber quantas vezes ela ocorre.
• A distribuição binomial resolve problemas de contagemrespondendo perguntas do tipo “quantos” em experimentosonde:
Há dois resultados possíveis e mutuamente excludentes
• A probabilidade de sucesso e de falha são constantes em todas as repetições.
• Os eventos são independentes.
Modelo Binomial
Onde:P(x): Probabilidade de x “sucessos” em n repetiçõesn: número de repetiçõesx: número de sucessos; x = 0, 1, 2, ...p = probabilidade de sucessoq = probabilidade de fracasso
Modelo Binomial
Numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peçadefeituosa (sucesso) é de 10%. Toma-se uma amostra de 10 peçaspara serem inspecionadas. Qual a probabilidade de se obter:a) Uma peça defeituosa?b) Nenhuma peça defeituosa?c) Duas peças defeituosas?
p = 0,1q = 0,9n = 10x = 1, 0, 2
Modelo de Poisson• Usado para modelar o número de ocorrências de um evento por um certo
período de tempo ou por um certo volume ou por uma certa área.
• As suposições básicas para a utilização do modelo são:
As condições do experimento permanecem constantes no decorrer do tempo,isto é, a taxa média de ocorrência (λ) é constante ao longo do tempo.
Intervalos de tempo disjuntos são independentes, isto é, a informação sobre onúmero de ocorrências em um período nada revela sobre o número deocorrências em outro período.
P(X = k) ou P(X = x) Probabilidade de x ocorrências em um intervalo de tempo (ou área ou volume).
µ = λ: frequência média de sucesso no intervalo considerado.
Exemplo 1: Um processo fabril apresenta uma taxa média de 0,2 defeitos por unidade produzida. Qual a probabilidade de uma unidade escolhida aleatoriamente:a) Ser perfeita?b) Apresentar 2 defeitos?
µ = 0,2 defeito/unidade
Modelo de PoissonExemplo 2: A aplicação de tinta em um automóvel é feita de formamecânica, e pode produzir defeitos de fabricação, como bolhas ouáreas mal pintadas, de acordo com uma variável aleatória X quesegue uma distribuição de Poisson de parâmetro µ = 1. Aoescolhermos um carro ao acaso para que sua pintura sejainspecionada, qual a probabilidade de encontrarmos, pelo menos 1defeito? E qual a probabilidade de encontrarmos de 2 a 4 defeitos?
1 0
1 1 1
11 1
01 0 632 63 211
P(X ) P(X )eP(X )
!P(X ) , %,
1 2 1 3 1 4
2 4 2 3 4
1 1 12 4 0 26062 3 4
2 2 04 6 6
P( X ) P(X ) P(X ) P(X )e e eP( X ) ,
! ! !P( X ) , %
https://www.youtube.com/watch?v=gIEV5DG1AXw – Distribuição Binomial
https://www.youtube.com/watch?v=2Fvq56lBYYQ – Distribuição de Poisson
https://www.youtube.com/watch?v=Ofeid6knLso – Resolução de Exercícios usando a distribuição de Poisson
https://www.youtube.com/watch?v=Q2sJxJFRz9s – Como fazer a combinação usando a calculadora Casio
